华工数学分析三试题

第一篇：华工数学分析三试题

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试 《数学分析(三)》试卷 1.考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷； 本试卷共五大题，满分100分，考试时间120分钟。(每小题3分，共15分)

1、以下四个命题：(a)两个二次极限都不存在，则二重极限必不存在;(b)两个二次极限存在但不相等，则二重极限必不存在;(c)两个二次极限存在且相等，则二重极限存在；(d)若两个二次极限和二重极限都存在，则它们相等;()、1B、2C、3D、4、考虑二元函数f(x,y)的以下性质： ①f(x,y)在点(x0,y0)处连续;②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续;③f(x,y)在点(x0,y0)处可微;④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在;PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有()、②③①B、③②①C、③④①D、③①④ xy,(x,y)(0,0)223、二元函数f(x,y)xy在点(0,0)处()0,(x,y)(0,0)A、连续，偏导数存在;B、连续，偏导数不存在;C、不连续，偏导数存在;D、不连续，偏导数不存在.4、设f(x)为连续函数，F(t)dyf(x)dx，则F'(2)()1yttA、2f(2)B、f(2)C、－f(2)D、0

5、已知(xay)dxydy为某函数的全微分，则a等于()2(xy)A、-1；B、0；C、1；D、2。《数学分析(三)》试卷

二、填空题(每小题3分，共15分)

1、叙述平面点集E的聚点的定义：____________________________________________ ______________________________________________________________________________。

2z2、设zf(xy,ysinx),其中f具有二阶连续偏导数,则＝__________________ xy

2______________________________________________________________________________。

3、设uf(xy,xy)可微，则它的全微分du=________________________________。

4、函数f(x,y)exy在点(0,0)处的n阶泰勒展开式为____________________________ ______________________________________________________________________________。

5、曲面zx2y2与平面2x4yz0平行的切平面方程是_____________。

三、解答题(每小题6分，共36分)

2z2z2z1、设uxy,vxy,wxyz，变换方程2220。xyyx2、一页长方形白纸，要求印刷面积占A cm2，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度之和为h cm，左部与右部之和为r cm，试确定该页纸的长(y)和宽(x)，使得它的总面积为最小。

3、求球面xyza与圆柱面xyax(a0)的公共部分的体积。

2222224、应用对参数求导法计算：

0ln(12acosxa2)dx(|a|1)。

5、计算：(x2xy)dx(y2xy)dy，l为yx2从(1,1)到(-1,1)。2

2l6、计算曲面积分：I2xdydz2y

S33dzdx3(z21)dxdy，S是曲面

z1x2y2(z0)的上侧。

四、证明题：(每小题7分，共21分)

1、设f(x,y)在区域D内连续，并且在D内两点M1(a1,b1),N1(1,1)异号，则用完全位于D内的任意的折线l联结M1,N1时，在l上必有一点M(x,y)满足f(x,y)0。

122(xy)sin,222、设f(x,y)xy0,x2y20x2y20

证明：fx(x,y),fy(x,y)存在但不连续，在(0,0)点的任何邻域中无界，但在(0,0)点可微。

3、设f(t)当t0时连续，若

在[a,b]上一致收敛。

五、讨论题：(第１小题6分，第２小题7分，共13分)

1、讨论函数F(y)

x20tf(t)dt当a,b时收敛，则tf(t)dt关于010yf(x)dx,(y0)的连续性，f(x)是[0,1]上连续且为正的函数。22xy2、讨论0edx(0)的一致收敛性。

第二篇：数学分析三22

《数学分析》(三)一.计算题（共8题，每题9分，共72分）。

111.求函数f(x,y)3xsin3ysin在点(0,0)处的二次极限与二重极限.yx解： f(x,y)131因此二重极限为0.……(4分)ysin3x3y，yx1111因为lim3xsin3ysin与lim3xsin3ysin均不存在，x0yxy0yx故二次极限均不存在。……(9分)3xsin

yy(x),zxf(xy),2.设 是由方程组所确定的隐函数,其中f和F分别

F(x,y,z)0zz(x)dz具有连续的导数和偏导数,求.dx解： 对两方程分别关于x求偏导:

dydzf(xy)xf(xy)(1)，dxdx ……(4分)dydzFFFz0。xydxdxdzFyf(xy)xf(xy)(FyFx)解此方程组并整理得.……(9分)dxFyxf(xy)Fz

3.取,为新自变量及ww(,v)为新函数，变换方程

2z2zzz。2xxyxxyxy,,wzey（假设出现的导数皆连续）.设22解：z看成是x,y的复合函数如下：

wxyxyzy,ww(,),,。……(4分)e22代人原方程，并将x,y,z变换为,,w。整理得：

2w2w 22w。……(9分)

4.要做一个容积为1m3的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中

目标函数: S表2rh2r2, 《数学分析(三)》参考答案及评分标准

约束条件: r2h1。……(3分)构造Lagrange函数：F(r,h,)2rh2r2(r2h1)。

Fr2h4r2rh0,令  ……(6分)2Fh2rr0.14 解得h2r，故有r3,h3.由题意知问题的最小值必存在，当底面半

214径为r3,高为h3时，制作圆桶用料最省。……(9分)2

y35.设F(y)exydx,计算F(y).y22解：由含参积分的求导公式

y3y322x2yF(y)2edx2x2exydx3y2exyyyy 2x2exydx3y2ey2yey

yy3275xy32yex2yxy2 ……(5分)72y75y51y3x2yedx。……(9分)yeye222yy2

x2y2xy6.求曲线222所围的面积，其中常数a,b,c0.bcaxacos,解：利用坐标变换 由于xy0，则图象在

11 cos,cos,cos0,,。……(3分)

22由Stokes公式得

coscoscos 3zdx5xdy2ydzLx3zy5xdS z2y 2dS ……(6分)2x2y212dxdy

2 ……(9分)

x2y2z28.计算积分yzdzdx,S为椭球2221的上半部分的下侧.abcS解：椭球的参数方程为xasincos,ybsinsin,zccos，其中

02,0,且

2(z,x)acsin2sin。……(3分)

(,)积分方向向下，取负号，因此，2322dbacsincossindyzdzdx002 ……(6分)

 bac2sin2d2sin3cosd0024abc2

……(9分)

二。

.证明题（共3题，共28分）

xy322,xy0249.（9分）讨论函数f(x)xy在原点(0,0)处的连续性、0,x2y20可偏导性和可微性.解：连续性：当x2y20时，xy2x2y4yyf(x)2y0，当x,y0,0，424xyxy22从而函数在原点0,0处连续。……(3分)可偏导性：fx0,0limx0f0x,0f0,00，x《数学分析(三)》参考答案及评分标准

f0,0yf0,00，y0y即函数在原点0,0处可偏导。……(5分)fy0,0lim可微性：x2y20limffxxfyyxy22xy3lim24x2y20xy1xy22 不存在，从而函数在原点0,0处不可微。……(9分)

10.（9分）（9分）设Fx,y满足：（1）在Dx,yxx0a,yy0b上连续，（2）Fx0,y00，（3）当x固定时，函数Fx,y是y的严格单减函数。试证：存在0，使得在xxx0上通过Fx,y0定义了一个

函数yy(x)，且yy(x)在上连续。

证明：（i）先证隐函数的存在性。

由条件（3）知，Fx0,y在y0b,y0b上是y的严格单减函数，而由条件（2）知Fx0,y00，从而由函数Fx0,y的连续性得

Fx0,y0b0，Fx0,y0b0。

现考虑一元连续函数Fx,y0b。由于Fx0,y0b0，则必存在10使得

Fx,y0b0，xO(x0,1)。

同理，则必存在20使得

Fx,y0b0，xO(x0,2)。

取min(1,2)，则在邻域O(x0,)内同时成立

Fx,y0b0，Fx,y0b0。……(3分)于是，对邻域O(x0,)内的任意一点x，都成立

固定此x，考虑一元连续函数Fx,y。由上式和函数Fx,y关于y的连续性可知，存在Fx,y的零点yyb,yb使得

Fx,y＝0。

而Fx,y关于y严格单减，从而使Fx,y＝0的y是唯一的。再由x的任意性，Fx,y0b0，Fx,y0b0。

00证明了对:O(x0,)内任意一点，总能从Fx,y0找到唯一确定的y与x相对应，即存在函数关系f:xy或yf(x)。此证明了隐函数的存在性。

……(6分)（ii）下证隐函数yf(x)的连续性。

设x*是:O(x0,)内的任意一点，记y*:fx*。

《数学分析(三)》参考答案及评分标准

对任意给定的0，作两平行线

yy*，yy*。

由上述证明知

Fx*,y*0，Fx*,y*0。由Fx,y的连续性，必存在x*的邻域O(x*,)使得

Fx,y*0，Fx,y*0，xO(x*,)。

对任意的xO(x*,)，固定此x并考虑y的函数Fx,y，它关于y严格单减且

Fx,y*0，Fx,y*0。于是在y*,y*内存在唯一的一个零点y使

Fx,y0，即 对任意的xO(x*,)，它对应的函数值y满足yy*。这证明了函数yf(x)是连续的。……(9分)

11111.（10分）判断积分sindx在02上是否一致收敛，并给出证明。

0xx证明：此积分在02上非一致收敛。证明如下：

1作变量替换x，则

t1111sindx0xx1t2sintdt。……(3分)

3不论正整数n多么大，当tA,A2n,2n时，恒有

442。……(5分)sint2因此，A1t2A2A1sintdtdt ……(7分)

2At2214t2  

tA22342n4因此原积分在02上非一致收敛。……(10分)注：不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：

B1尽管对任意的B1积分sintdt一致有界，且函数2关于x单调，但是当

1t1x时，2关于0,2并非一致趋于零。事实上，取tn, 相应地取t11112，则lim2lim110，并非趋于零。1ttnnnnlimnnn20，当2时。4《数学分析(三)》参考答案及评分标准

第三篇：数学分析专题研究试题及参考答案

数学分析专题研究试题及参考答案

一、填空题（每小题3分，共18分）

1．集合X中的关系R同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R为

.2．设E是非空数集，若存在实数β，满足1）xE，有x；2），则称β是数集E的下确界。

3．函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若

存在，则称函数f(x)在点x0可导。

4．若yf(x)是对数函数，则f(x)满足函数方程f(xy)

。5．若非零连续函数f(x)满足方程f(xy)f(x)f(y)，则函数f(x)是

函数。

(0,1)，6．设函数f(x)定义在区间(a,b)上，对于任意的x1,x2(a,b)，有

成立，则称f(x)在(a,b)上为下凸函数。

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．设f：XY，AX，则A（）f1(f(A))

A.=

B.≠

C.

D.

2．已知函数yf(x)在区间(a,b)上可导，x(a,b)，有0f(x)1，则（）。A.f(x)有界

B.f(x)无界

C.f(x)可积

D.f(x)不可积

3．已知函数f(x)与(x)在[a,b]上可导，且f(x)< (x)，则（）。A.f(x)≠(x)

B.f(x)<(x)

Cf(x)>(x)

D.前三个结论都不对

1t[0,1]xf(t)F(x)f(t)dt02t(1,2]，对于x[0,2]，定义4．已知，则F(x)在区间[0，2]上（）。

A.连续

B.不连续

C.可导

D.前三个结论都不对 5．已知f(x)是区间[a,b]上的严格下凸函数，则（）。A.f(x)0

B.最小值唯一

C.f(x)0

D.最大值唯一

6．f(x)sinxx定义在（0，1）上，则f(x)在（0，1）上是（）函数

A.有界

B.无界

C.周期

D.偶

三、计算题（每小题8分，共32分）

21．已知f(x)tancosx，求f(x)

2．求定积分20xcosxdx2

3．已知f(x1)x4x3，求f(x)。

4．求x0limxsinxx3

四、证明题（每小题8分，共32分）

anlimnanr1aa1．设数列{n}满足n>0且n，则级数n1收敛

2．已知函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内存在二阶导数，且f(a)f(b)0，存在c(a,b),f(c)0。则至少存在一点(a,b)，使f()0。

3．已知x0,y0,xy2，证明sinxsiny2

4．已知函数在[a,b]上连续非负，且存在一点x0(a,b)，使f(x0)0，则baf(x)dx0。

模拟试卷参考答案

一、填空题（每小题3分，共18分）

1．等价关系

2．0,x0E，使得x0

3．x0limf(x0x)f(x0)x

4．f(xy)f(x)f(y)5．线性

6．f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．D

2．C

3．D

4．A

5．B

6．A

三、计算题（每小题8分，共32分）

f(x)1．解：1sinx22x22cos(cosx)

202.解 2xcosxdxxsinx02sinxdx 0  22sinxdx 02cosx22021

3．解

f(x1)x4x

3(x1)26(x1)8

2f(x)x6x8

故4．解 limx0xsinx1cosxlimx0x33x 1xcosx1sinxlimlim3x02x

x2

=3x0

四、证明题（每小题8分，共32分）1sinx1lim6x0x6

1． 证明：因nlimnanr1，故存在N，当nN时，nanr01r12

2． 即nN时，有anr

（4分）

因为级数nN1n0rn0收敛。

故有n1anann1NnN1an。因nN1

a



n

收敛（7分），故n1an收敛。

2．证明：已知f(x)在（a,b）内存在二阶导数，故f′(x)在（a,b）内连续，由拉格朗日定理，存在1(a,c)，使得

存在2(c,b)，使得

f(1)f(a)f(c)0ac

故存在(1,2)，使得

f(2)f(b)f(c)0bc

f()

f(2)f(1)021

[0,]f(x)sinx2上是上凸函数（2分），故对于3．证明：已知在1x,y(0,),(0,1)22有

xy1sin(sinxsiny)22

故

sinxsiny2sinxy2sin224

4．证明：已知f(x)在[a,b]上连续且存在x0(a,b)使f(x0)0，故存在0，使得(x0,x0)(a,b)且当x(x0,x0)时，负，故

f(x)1f(x0)2（4分），因f(x)非 baf(x)dxx0ax0f(x)dxf(x)dxx0x0f(x)dxbx0f(x)dx

x01f(x0)2f(x0)02

第四篇：华工近代试题(2014年)

一、单项选择题（1-16小题,每小题1分，共16分。下列每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。请将正确答案在答题卷中相应位置的〇涂黑。）1.在近代中国,实现国家富强和人民富裕的前提是(C)A.振兴实业 B.政体变革 C.争得民族独立和人民解放 D.改革教育制度

2.割让台湾全岛及所有附属岛屿和澎湖列岛给日本的条约是（C）

A.《南京条约》 B.《北京条约》 C.《马关条约》 D.《辛丑条约》 3.被称为近代中国睁眼看世界

A．《论联合政府》 B．《将革命进行到底》 C．《向全国进军的命令》 D．《论人民民主专政》 15.社会主义改造基本完成后, 党和全国人民的主要任务是(B)A.继续实行土地制度改革 B.尽快地把我国从落后的农业国变为先进的工业国 C.正确处理人民内部矛盾 D.实现四个现代化

16.下列属于全面开始建设社会主义十年取得的历史成就是(A)A.完成社会主义改造 B.提出党在过渡时期总路线

C.制定新中国

阶段。

A.过渡时期 B.基本完成社会主义改造时期 C.开始全面建设社会主义时期 D.“文化大革命”时期 E.改革开放和社会主义现代化建设时期

三、判断题（25-34小题,每小题1分，共10分。判断正误。“√”表示正确，“×”表示错误。请将正确答案在答题卷中相应位置的〇涂黑。）

25.1841年林则徐组织翻译了英国人慕瑞的《地理大全》，编成了《海国图志》。× 26.《天朝田亩制度》平均土地方案在太平军占领的地区得到了实施。× 27.戊戌维新运动是一场资产阶级性质的政治改革运动。√ 28.南京临时政府是一个资产阶级共和国性质的革命政权。√

29.在国民党政府统治时期,在中国社会经济生活中占优势地位的是官僚资本主义。× 30.工人阶级、小资产阶级和资产阶级从五四运动一开始就参加了这场革命运动。× 31.中国共产党

不足，民族工商业的发展受到了极大的限制。

(4)军阀官僚政府的压榨。由于反动政府征收苛重的捐税，实行经济统制政策和通货膨胀政策，更使得经营民族工商业获利困难，而陷入严重危机。37.简述中国早期马克思主义思想运动的特点。

答：

国方面对于英人之垄断长江，认为势难坐视。至于美国方面，更早已决定，反对一切瓜分之举。俄国方面若能听其独占满洲，毫不加以阻扰，则该国对于他国之实行瓜分中国，当可袖手旁观，盖彼固深信，各国对于此事，彼此之间必将发生无限纠葛故也。因此之故，急欲促现瓜分一事，实系毫无益处之举。

─《瓦德西拳乱笔记》（1901年2月3日）录自中国通史参考资料·近代部分》下册

材料（2）：

“吾人对于中国群众，不能视为已成衰弱无德行之人；彼等在实际上，尚含有无限蓬勃之生气，„„至于中国所有好战精神，尚未完全丧失，可与此次‘拳民运动’中见之。在山东直隶两省内，至少当有十万人数，加入此项运动。彼等之败，只是由于武装不良之故。„

“世人动辄相语，谓取此州略彼地，视外人统治其亿万众庶之事，若础嗟可立办者，然实则无论欧美日本各国，皆无此脑力与兵力，可以统治此天下生灵之四分之一也。„„兹瓜分一事实为下策”

--林华国《历史的真相——义和团运动的史实及其再认识》

“赫德、瓦德西关于义和团运动言论摘编”

回答问题：

(1)材料(1)反映了19世纪末20世纪初西方殖民列强侵略中国的何种情形? 答：19世纪末20世纪初，帝国主义掀起瓜分中国狂潮。同时，帝国主义列强之间的矛盾也日趋尖锐，三国干涉还辽、日俄战争及再后的日本对德宣战、各自扶植北洋军阀派系、府院之争等便是这些矛盾的体现。

(2)分析19世纪末20世纪初帝国主义瓜分中国的图谋没能实现的原因。

答：1中国人口总多，领土广阔，列强势力不够 2 中国人纷纷群其二反抗列强的瓜分 3列强之间的矛盾纠葛，美国的反对，俄国的旁观(2)简评约瑟夫的“列强矛盾阻止瓜分中国说”。

答：该说法不完全正确。

列强瓜分中国的失败不仅仅是因为列强之间的矛盾导致的，其中还有一些客观和主观上的原因。

帝国主义列强不能灭亡和瓜分中国，最根本的原因，是中华民族进行的不屈不挠的反侵略斗争。正是包括义和团在内的中华民族为反抗侵略所进行的前赴后继、视死如归的战斗，才粉碎了帝国主义列强灭亡和瓜分中国的图谋。

帝国主义列强之间的矛盾和互相制约，也是列强不能瓜分中国的一个重要原因。因为帝国主义列强在世界各地争夺殖民地时，都存在着利害冲突，如美国的门户开放政策就一定程度制衡了各国的瓜分。它们或者通过协商，或者直接采取战争的手段，还是把非洲、东南亚地区等瓜分了。（仅做参考）

《中国近现代史纲要》试题 VI

第五篇：华东师范大学2008年数学分析考研试题（范文模版）

华东师范大学

2008年攻读硕士学位研究生入学试题

考试科目代码及名称：数学分析

一、判别题（6*6=30分）（正确的说明理由，错误的举出反例）

1．数列ann1收敛的充要条件是对任意0，存在正整数N使得当nN时，恒有 

a2nan.2．若f(x,y)在(x0,y0)处可微，则在(x0,y0)的某个邻域内

bfxy,f存在。

3．设f(x)在a,b上连续且fxdx0，则f(x)在a,b上有零点。

a4．设级数an收敛，则n1n1ann收敛。

5．设f(x,y)在(x0,y0)的某个邻域内有定义且

xx0yy0limlimfx,ylimlimfx,yfx0,y0，yy0xx0

则f(x,y)在(x0,y0)处连续。

6.对任意给定的x0R，任意给定的严格增加正整数列nk,k1,2,，存在定义在R上的函数

f(x)使得f

二、计算题（10*3=30分）（计算应包括必要的计算步骤）

1．求 lim1(nk)(k)(x0)0,k1,2,，（f(x0)表示f(x)在点x0处的k阶导数）。

1(x1)sinx4e1x1x0.xeucosv2zzzu，.2．设 zzx,y 为由方程组yesinv所确定的隐函数。求

xyxyzuvx1y2z3222dydzdzdxdxdy, 其中rx1y2z3，3．计算333SirrrS1:x1y2z31，S2:222x121y2221nz3231，积分沿曲面的外侧。

三、证明题（14*6=84分）

1．设级数an收敛于A（有限数）。证明：limn1n(an2an1(n1)a2na1)A.2．设f(x)在a,b上的不连续点都是第一类间断点。证明：f(x)在a,b上有界。

求证：存在0使得在a,b上有f(x).3．已知在a,b上，函数列fn(x)一致收敛于f(x)，函数列gn(x)一致收敛于g(x).证明：函数列maxfn(x),gn(x)一致收敛于maxf(x),g(x).4．设数列ann1为a,b中互不相同的点列，an为函数fn(x)在a,b上的唯一间断点。设fn(x):n即存在正数M使得fn(x)M对所有的n与所有1,2,在a,b上一致有界，xa,b均成立。证明：函数hxn1fnx2n在a,b内的间断点集为an:n1,2,.5．设fxn1nen（1）f(x)在0,2上连续；（2）f(x)在cosnx,x0,2，证明：

e0x2

0,2上存在且连续；（3）maxfxe12.6．（1）设F(x)在,上可导。若存在xn,yn使

limFxnlimFync,，证明存在,使得F()0.nn,yn使

（2）设f(x)，g(x)在,上可导，设存在xn,yn，xnnlimfxnB,,limfynA,

nnb,,limgyna,.limgxnn设g(x)0,x,，证明：存在,使

fgBAba.