05 第五节 函数展开成幂级数

第一篇：05 第五节 函数展开成幂级数

第五节 函数展开成幂级数

前面几节我们讨论了幂级数的收敛域以及幂级数在收敛域上的和函数.现在我们要考虑相反的问题，即对给定的函数f(x)，要确定它能否在某一区间上“表示成幂级数”，或者说，能否找到这样幂级数，它在某一区间内收敛，且其和恰好等于给定的函数f(x).如果能找到这样的幂级数，我们就称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数,而这个幂级数在该区间内就表达了函数f(x).分布图示

★引言★泰勒级数的的概念

★麦克劳林级数

★函数展开成幂级数—直接法★例1

★例2★例3★例4★例5

★常用麦克劳林展开式

★函数展开成幂级数—间接法★例6

★例7★例8★例9★例10

★例11★例12★例13

★函数的幂级数展开式的应用

★内容小结★课堂练习

★习题7-

5内容要点

一、泰勒级数的概念：函数的泰勒展开式；函数的麦克劳林展开式；如果函数f(x)能在某个区间内展开成幂级数，则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数.即，没有任意阶导数的函数是不可能展开成幂级数的.可证明，如果f(x)能展开成x的幂级数，则这种展开式是唯一的，它一定等于f(x)的麦克劳林级数.二、函数展开成幂级数的方法：直接法：直接将函数展成泰勒级数；

间接法：利用已知的函数展开式（七个基本函数的麦克劳林展开式），通过线性运算法则、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幂级数的展开式.这种方法我们称为函数展开成幂级数的间接法.三、级数的主要应用之一是利用它来进行数值计算.在函数的幂级数展开式中，取前面有限项，就可得到函数的近似公式，这对于计算复杂函数的函数值是非常方便的，可以把函数近似表为x的多项式，而多项式的计算只需用到四则运算，非常简便.sinx1等，其原函数不能用初等函数表示，但,xlnx

若被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则可通过幂级数展开式的逐项积分，用积分后的级数近似计算所给定积分.五、求常数项级数的和：在本章的前三节中，我们已经熟悉了常数项级数的求和的几种常用方法，包括利用定义和已知公式直接求和、对所给数拆项重新组合后再求和、利用推导得到的递推公式求和等方法.这里，我们再介绍一种借助幂级数的和函数来求常数项级数的和的方法，即所谓的阿贝尔方法，其基本步骤如下：

四、计算定积分：许多函数, 如ex,2

（1）对所给数项级数an, 构造幂级数anxn;

n0n0



（2）利用幂级数的运算性质，求出anxn的和函数s(x);

n0



（3）所求数项级数

s(x).anxlim1n0

例题选讲

利用直接法将函数展开成幂级数

例1（E01）将函数f(x)ex展开成x幂级数.解由f(n)(x)ex,得f(n)(0)1(n0,1,2,),于是f(x)的麦克劳林级数为

121xxn 2!n!

该级数的收敛半径为R.对于任何有限的数x、(介于0与x之间)，有 1x

|R(n)n1e|x||x|n1e.x(x)|(n1)!(n1)!

n1|x|n1|x|n1|x||x|0(n), 因e有限,而是级数的一般项，所以e(n1)!(n1)!(n1)!n0x

即有limRn(x)0,于是ex1xn121xxn,x(,).2!n!

例2（E02）将函数f(x)sinx展成x的幂级数.nnx解f(n)(x)si(n0,1,2,)2

f(n)(0)顺序循环地取0,1,0,1,(n0,1,2,),于是f(x)的麦克劳林级数为

2n11315nxxxx(1) 3!5(2n1)!

该级数的收敛半径为R.对于任何有限的数x、(介于0与x之间)，有

(n1)sinn1x2xn1 Rn(x)(n1)!(n1)!

有Rn(x)xn1

(n1)!0(n),2n113nx,x(,).于是sinxxx(1)3!(2n1)!

例3（E03）将函数f(x)cosx展成x的幂级数.解利用幂级数的运算性质,由sinx的展开式

2n1x3x5nxsinxx(1),x(,)3!5!(2n1)!

逐项求导得

2nx2x4nx(1),x(,)cosx12!4!(2n)!

1x)展成x的幂级数.例4（E04）将函数f(x)ln（解因为f'(x)1,而 1x

11xx2x3(1)nxn,x(1,1)在上式两端从 0 到x逐项积分,得 1x

n1x2x3nx(1),x(1,1] ln(1x)x2!3!n1

1x)在 上式对x1也成立.因为上式右端的幂级数当x1时收敛，而上式左端的函数ln（x1处有定义且连续.例5（E05）将函数f(x)(1x)(R)展开成x的幂级数.解f(x)a(1x)a1,f(x)a(a1)(1x)a2,„ 

f(n)(x)a(a1)(a2)(an1)(1x)an,„

所以f(0)1,f'(0)a,f''(0)a(a1),„f(n)(0)a(a1)(an1),„ 于是f(x)的麦克劳林级数为

1axa(a1)2a(a1)(an1)nxx(1)2!n!

anan11(n), n1an该级数相邻两项的系数之比的绝对值

因此，该级数的收敛半径R1,收域区间为(1,1).设级数(1)的和函数为s(x),则可求得 s(x)(1x)n,x(1,1)

a(a1)(an1)nxx(1,1)(2)n!

在区间的端点x1处，展开式(2)是否成立要看a的取值而定.可证明:当a1时，收敛域为(1,1);当1a0时，收敛域为(1,1];当a0时，收敛 域为[1,1].公式(2)称为二项展开式.即(1x)a1ax

特别地,当a为正整数时，级数成为x的a次多项式，它就是初等代数中的二项式定理.例如，对应a

11、a的二项展开式分别为 22

x1112133xxx,x[1,1];224246

1113213531xxx,x(1,1].224246x

例6 将函数sinx展开成x/4的幂级数.解sinxsin[/4(x/4)]

sin(4)cos(x4)cos(4)sin(x/4)

1

2[cos(x

4)sin(x

4)]

1(x/4)3(x/4)5(x/4)2(x/4)4

 [1(x/4)3!5!2!4!2

1(x/4)2(x/4)3

[1(x/4)](x).2!3!2

利用间接法将函数展开成幂级数

例7（E06）将函数f(x)arctanx展开成x的幂级数.解arctaxn

x0dx 1x2x2x4(1)nx2n]dx x0[1

2n11315nxxxx(1),x(1,1).352n1

(1)n(1)n1

当x1时，级数收敛;当x1时，级数收敛.且当x1时，函数arctanx2n12n1n0n0

连续，所以

2n11315nxarctanxxxx(1),x[1,1].352n1

11x1例8将函数f(x)lnarctanxx展开成x的幂级数.41x2

11111解由于f'(x)()1 41x1x21x2

11x4n141xn0

4nxn14n, 且f(0)0,所以 f(x)x0f(x)dxx0(x4n1

x)dx,x(1,1).4n1n1n1

例9（E07）将函数

解

例10 将函数 ln43xx2展开成x的幂级数.解ln(43xx2)ln(1x)(4x)ln(1x)ln(4x)

(x)2(x)3

(1x1)而ln(1x)ln[1(x)](x)23x132132x32x132展开成x的幂级数.xln3e223ln31ln321ln3331xxx,x(,).22!23!2

xxx1x1xln(4x)ln4(1)ln4ln(1)ln4()2()3(4x4)4442434

所以

x2x3xx2x3ln4 ln(43xx)x2323424342

317633ln4xx2x(1x1).432192

例11 将函数fx

解因为1展开成x2的幂级数.2x1111 x2x(x2)2212

231(1)n1x2x2x21(x2)n(|x2|2).n22222n02

11逐项求导,得22x

1所以f(x)2xn1(1)nn(x2)n1, n2n1(1)n12n1(0x4).(x2)n1n

1展开成(x1)的幂级数.2x4x3

111111解f(x)2, 2(1x)2(3x)(x1)(x3)x1x1x4x3418124例12（E08）将函数f(x)

11(1)n

而(x1)n(1x3), n4(1)4n02

2

11(1)n

(x1)n(3x5), nx18n048(1)4

111故2(1)n(n22n3)(x1)n(1x3).x4x3n022

例13（E09）将f(x)

解x1展开成x1的幂级数, 并求f(n)(1).4x

114x3(x1)11x1x12x1n[1()()],|x1|3, 33333(1)3

1(x1)2(x1)3(x1)nx11,x13.(x1)(x1)23n34x4x333

f(n)(1)1n!n,故f(n)(1)n.于是n!33

课堂练习

1.将函数ln(1x2x)展开成x的幂级数.2.设函数f(x)ex, 求f22(n)(0).1113.求常数项级数1的和.357

第二篇：由一句话展开成一段话(五年级作文教案 )

由一句话展开成一段话

教学目标：

1．知识与能力目标：

（1）培养学生的思维能力、想象能力和表达能力。

（2）拓展学生的想象空间，提高学生的写作能力（包括口头和书面）。

2．过程与方法目标：

培养学生通过互动、思考来获取知识的能力。3．情感、态度与价值观目标：

通过指导学生学会思考，发挥想象，激起参与兴趣，产生表达冲动，诱发成就动机，从而自觉投入写作训练。

教学重难点：

重点：会围绕中心意思说和写。难点：运用描写方法将句子写具体。教学准备： 教师制作课件 教学设计：

一、激趣导入：

1.谈话导入：同学们，在我们平常的学习中，我们认识很多很多的字，还会组词。

2.字的延伸：现在，我们来看看这个字。（出示“漂”字，让学生组词，说话。）

“漂”

“漂亮”

“小兰的衣服真漂亮。”

二、句子练习

1.出示短句“她说”引导展开想象，练习说句子。她说： 她伤心地说：

她两眼含泪，非常伤心地说：“我的布娃娃不见了。”

她两眼含泪，非常伤心地说：“我的布娃娃不见了，那是生日时妈妈送给我的礼物啊！”

2.出示例句“我很后悔。”引导想象，练习写句子。我很后悔。

我很后悔没有学好拼音。

我很后悔没有学好拼音，那时只知道跟小朋友们玩游戏。我很后悔没有学好拼音，那时只知道跟小朋友们玩游戏,不懂得学习好拼音的重要性。

三、给下列几段话找出中心句。1．问：什么是中心句？

2.引导复习理解中心句。（概括一篇文章或一段话意思的句子，叫做中心句。）

3.出示《赵州桥》中第二自然段，要求学习齐读，边读边思考，找出段落的中心句。赵州桥非常雄伟。桥长五十多米，有九米多宽，中间行车马，两旁走人。这么长的桥，全部用石头砌成，下面没有桥礅，只有一个拱形的大桥洞，横跨在三十七米多宽的河面上。大桥洞顶上的左右两边，还各有两个拱形的小桥洞。平时，河水从大桥洞流过，发大水的时候，河水还可以从四个小桥洞流过。这种设计，在建桥史上是一个创举，既减轻了流水对桥身的冲击力，使桥不容易被大水冲毁，又减轻了桥身的重量，节省了石料。

4.出示两个片段，学生默读，找出段落中心句。挤

超市里真热闹。货架上的商品琳浪满目，看得我眼花缭乱。男女老少都在精心挑选着自己喜欢的物品。看，一位售货员正在认真地为一位老奶奶热情介绍着最新上市的按摩机 “你看，这产品„„”老奶奶则边听边试着按摩机的功能。几个小学生在学习用品区里东瞧西望，看见中意的就跑去央求爸爸妈妈买下。副食品区永远是孩子的天堂。瞧，一位孩子正对着想买的食品和妈妈撒娇，“不嘛，不嘛，我要买！”而在日用品区，一位年轻的姐姐正坐在柜台试着化妆品，售货员在一旁热心地销售着自己的商品。

5.小结：上面的几段话都是围绕中心意思来展开的。

四、练习说话： 1.“操场真热闹。”

2.想一想，围绕这句话说什么？ 3.围绕这个中心句，怎样把内容说具体。

操场真热闹。同学们有的打球、有的跳绳、有的跳皮筋、有的在远跳。看，一位小朋友正和她的小伙伴比赛跳绳。她身轻如燕，绳子在她的手上飞快地甩动着，旁边的同学都为她鼓劲：“加油！加油！”瞧，男生们抱着心爱的篮球在操场上展开了激烈的球赛。一个男生灵活地躲过对方的阻拦，熟练地把球运到篮下，手一抬，球随着一道优美的弧线入网，场上立刻爆发出一阵热烈的掌声。

五、段的练习： 1.“小表妹哭了。”

2.围绕“小表妹哭了”你想写什么？

3.围绕“小表妹哭了”写一段话，写好后全班交流。

六、拓展练笔

1.拿出练习纸（运用所学的方法，任选一句，给句子增增肥，将句子写得更加具体生动精彩）（1）你打算围绕哪句话来说？（2）围绕这句话，你准备说什么（3）怎样把内容说具体？ 2.学生自己写，师巡视指导。

七、总结

语言、动作、表情、心理活动等将一句简单的话变成一段生动具体的话。

板书：

由一句话展开成一段话

语言

动作

围绕中心句

表情

心理活动

第三篇：5第五节报告写作

第五节 报告写作

【例文导读】参考答案

【例文一】

1．【C】 向区政府汇报开放型经济工作的情况

2．✕✕镇人民政府关于开放型经济工作的报告

开头：概述✕✕镇政府开放型经济工作的基本情况。

主体：具体展开✕✕镇政府如何开展开放型经济工作的情况

一．外资利用进展顺利。

二．重点项目推进顺利。

三．大力推进招商引资。

（一）注重招商队伍能力建设。

（二）突破 “以企引外” 瓶颈制约。

（三）注重内外并举。

【例文二】

1．【D】向省税务局反映✕市遭受特大洪水灾害的情况。

2．【B】帮助上级领导了解洪灾损失的总体情况。

3．报告主要用于汇报工作，向上级机关提供信息。报告中引用大量数据资料的作用一是说明洪灾损失的严重情况，二是说明抗洪救灾取得的成绩，如果离开了这些数据，到底损失严重到什么程度，抗洪救灾取得多大的成绩都无法作出令人信服的说明。

【知识检测】参考答案

【单项选择】1【A】2【C】

【判断正误】1【 ✕ 】2【 ✓ 】3【 ✕ 】4【 ✕ 】

【技能实训】参考答案

【病文诊改】

【诊断】

1．格式问题：缺少字号；多头主送；缺少印章、成文时间不规范

2．标题概括不准。“机场损坏”范围太宽。“问题的情况报告”叠床架屋，“情况的报告”即可。

3．报告中夹杂了请示事项。

4．行文拖沓。开头一句对机场规模、客流量的介绍，属多余之笔。

5．建议事项前面矛盾，不相不一致。

6．结构混乱。前后建议之间横插进工作组的调查，使前后文意不相连贯。

【改写】关于✕✕机场跑道损坏情况的报告

市✕航字【✕✕✕✕】✕号

民航总局：

✕✕机场跑道自✕✕✕✕年建成以来使用至今一直未加维修，损坏严重，到✕✕✕✕年七月为 1

止，据统计，跑道开裂已达✕✕✕✕处，严重影响飞行安全，亟待尽快修建。✕✕✕✕年八月，✕✕✕工作组曾到✕✕机场进行调查，结论亦与此相同。为此，我们建议：

1．在机场西跑道西边增加一条跑道。

2．在原跑道上加固盖被。

特此报告

✕✕市民航局（章）✕✕✕✕年九月十八日

【综合技能训练】

县环境卫生管理所关于✕✕✕✕环境管理费征收和支出情况的报告

县卫字﹝✕✕✕✕﹞✕号

县财政局：

根据市政府✕✕✕✕年✕月✕日 ✕✕✕✕✕✕✕✕工作会议纪要作出的决定，市属环境管理 部门可按《✕✕✕✕✕✕✕✕征收办法》征收一定的环境管理费，所征收的环境管理费纳入政府非税收入范围之内，可用于环卫管理方面的支出。现我所已完成了✕✕✕✕环境管理费的征收和支出计划，此将我所的基本情况、本环境管理费收费项目及标准、费用支出情况汇报如下：

一、单位的基本情况

我所隶属于县城市综合管理局，是经费来源财政全额预算的二级法人事业单位，核定定额定项补助的事业编制人员共68名，现有职工203人（其中在编职工：59人、临时职工94人、下岗职工50人）。

二、收费项目及标准

本收费总任务为45万元，具体各项收费标准如下：

1.县城居民垃圾代运费，每月收取4元/户；

2.县城单位垃圾代运费，每月收取0.40元/㎡；

3.县城门市部、旅馆、餐饮业（酒楼）分别按每月0.50元/㎡、每月3.00元/间、每月2.00元/㎡收取。

三、费用支出情况

1.全年大、中型接待任务接待费8万元；

2.环卫专用工作服装费2万元（一线工人每提2套/人）；

3.洒水车水费3万元（用于洒水及冲洗街道）；

4.环卫设施建设维修费9.5万元(含垃圾池、点、站、集装箱、果皮箱、公厕、手推保洁车所 产生的维修费用；

5.垃圾场开支费用2.5万元（含垃圾场平整、管理、消毒及周边村民的灭菌灭蚊用品）；

6.环卫生产在编作业车辆共10台，燃油及维修费按预算经费指标与实际支出经费缺口为20 万元。

特此报告

县环境卫生管理所（章）

✕✕✕✕年✕月✕日

第四篇：6.第五节 二次函数的综合应用

第三章

函数

第五节

二次函数的综合应用

第1课时

二次函数的实际应用

(建议时间：40分钟)

1.如图是我省最古老的石拱桥——晋城“景德桥”，是晋城市城区通往阳城、沁水的交通要道，也是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．已知AB的长约20米、桥拱最高点C到AB的距离为9米，以水平方向为x轴，选取点A为坐标原点建立直角坐标系，则抛物线的表达式是y＝－x2＋x，则选取点B为坐标原点时的抛物线的表达式为()

第1题图

A.y＝x2－x　　　B.y＝x2＋x

C.y＝－x2

D.y＝－x2－x

2.(2019连云港)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12

m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()

第2题图

A.18

m2

B.18m2

C.24m2

D.m2

3.(2019襄阳)(人教九上P43问题改编)如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s.第3题图

4.(2019锦州)2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可销售出100件，根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每月少销售出2件，设每件商品的售价为x元．每个月的销售为y件．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；

(3)当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？

5.(2019成都)随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待．某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化，设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．

(1)求y与x之间的关系式；

(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台)，p与x的关系可以用p＝x＋来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？

第5题图

6.(2019武汉)某商店销售一种商品，经市场调查发现，该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价，周销售量，周销售利润w(元)的三组对应值如下表：

售价x(元/件)

周销售量y(件)

周销售利润w(元)

1000

1600

1600

注：周销售利润＝周销售量×(售价－进价)

(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；

②该商品进价是________元/件；当售价是____元/件时，周销售利润最大，最大利润是______元；

(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．

7.为迎接第二届全国青年运动会的召开，山西体育场周边社区积极参与社区改造，晋阳社区将一片空地进行修建改造，已知投资50000元修建的休闲区与投资40000元修建的鹅卵石健身道的面积相等，且修建1平方米的休闲区比修建1平方米的鹅卵石健身道费用高20元．

(1)求修建1平方米的休闲区与修建1平方米的鹅卵石健身道的费用各是多少元？

(2)如图，新入住的一个小区需要在一块长为60

米，宽为40米的矩形空地上修建四个面积相等的休闲区，并将余下的空地修建成横向的宽为x

米，纵向的宽为10米的鹅卵石健身道，且横向的宽度不超过纵向的宽度，所用工程队与晋阳社区相同且费用不变．

①用含x(米)的代数式表示休闲区的面积S(平方米)，并注明x的取值范围；

②综合实际情况现要求横向宽满足1≤x≤5，则当x为多少时修建休闲区和鹅卵石健身道的总价w最低，最低造价为多少元？

第7题图

第2课时

二次函数综合题

(建议时间：40分钟)

1.(2019贺州改编)综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC，抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)的图象经过A，B，C三点．

(1)求点C的坐标及抛物线的表达式；

(2)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．

第1题图

2.(2019德阳改编)综合与探究

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝，B、C两点的坐标分别为B(2，0)，C(0，－3)，点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点(不与B、C两点重合)．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)如图，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

第2题图

3.综合与探究

如图，抛物线y＝－x2＋x＋4的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于B，C两点，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD与BC交于点E，设点P的横坐标为m.(1)求直线l的表达式及点A坐标；

(2)试探究是否存在点P，使△PCE为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由．

第3题图

4.综合与探究

如图，已知抛物线y＝x2－x－4的图象与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，点D沿AB以每秒1个单位长度的速度在AB之间由点A向点B运动(点D不与A、B重合)．连接AC、BC、CD.设点D的运动时间是t(t＞0)．

(1)求直线BC的函数表达式和此抛物线的顶点坐标；

(2)E为抛物线上一点，是否存在这样的t值，使以B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

第4题图

参考答案

第1课时

二次函数的实际应用

1.D　【解析】当以点B为坐标原点时，相当于在以点A为坐标原点的基础上向左平移了20个单位，将y＝－x2＋x化为顶点式为y＝－(x－10)2＋9，∴平移后的抛物线的表达式为y＝－(x－10＋20)2＋9＝－x2－x.【一题多解】如解图，当点B为坐标原点时，设抛物线的表达式是y＝ax2＋bx，点A的坐标为(－20，0)，点C的坐标为(－10，9)，将A、C坐标代入表达式得，解得，∴当点B为坐标原点时，抛物线的表达式为y＝－x2－x.第1题解图

2.C　【解析】设BC的长为x

m，则CD＝(12－x)m，如解图，过点C作CE⊥AB于点E，∵∠DCB＝120°，∴∠BCE＝30°，∴CE＝CB·cos30°＝x，BE＝CB·sin30°＝x，∴S四边形ABCD＝·CE＝·x＝－x2＋6x,∵－<0，∴当x＝－＝8时，面积有最大值为：－×82＋6×8＝24(m2)．

第2题解图

3.4　【解析】∵小球的飞行高度h与飞行时间t满足二次函数关系，h＝20

t－5

t2＝－5(t－2)2＋20.∴当t＝2时，小球运动到最高点．∴小球从飞出到落地所用的时间为4s.4.解：(1)根据题意得y＝

100－2(x－60)＝－2x＋220(60≤x≤110)；

(2)由题意可得：(－2x＋220)(x－40)＝2250.x2－150x＋5525＝0，解得x1＝65，x2＝85.答：当每件商品的售价定为65元或85元时，利润恰好是2250元；

(3)设利润为W元，∴W＝(x－40)(－2x＋220)＝－2x2＋300x－8800＝－2(x－75)2＋2450.∵a＝－2<0，∴抛物线开口向下．

∵60≤x≤110，∴当x＝75时，W有最大值，W最大＝2450(元)．

答：当售价定为75元时，获得最大利润，最大利润是2450元．

5.解：(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由图象可知，将点(1，7000)，(5，5000)代入得

解得

∴y关于x的函数关系式为y＝－500x＋7500；

(2)设销售收入为W，根据题意得

W＝yp＝(－500x＋7500)·(x＋)，整理得W＝－250(x－7)2＋16000，∵－250＜0，∴W在x＝7时取得最大值，最大值为16000元，此时该产品每台的销售价格为－500×7＋7500＝4000元．

答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格为4000元．

6.解：(1)①y＝－2x＋200；

②40，70，1800；

(2)由题意可知w＝(－2x＋200)×(x－40－m)＝－2x2＋(280＋2m)x－8000－200m，对称轴为直线x＝，∵m＞0，∴对称轴x＝＞70，∵抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴当x＝65时，ymax＝1400，代入表达式解得m＝5.7.解：(1)设修建1平方米的鹅卵石健身道费用为m元，则修建1平方米的休闲区费用为(m＋20)元，根据题意，得

＝，解得m＝80.经检验，m＝80是原分式方程的解，且符合实际，m＋20＝80＋20＝100.答：修建1平方米的休闲区费用是100元，修建1平方米的鹅卵石健身道的费用是80元；

(2)①S＝(60－3×10)(40－3x)

＝－90x＋1200(0＜x≤10)；

②w＝100(－90x＋1200)＋80[60×40－(－90x＋1200)]

＝－1800x＋216000.∵－1800<0，∴w随x的增大而减小．

∵1≤x≤5，∴当x＝5时，w最小＝－1800×5＋216000＝207000(元)．

答：当x＝5时，修建休闲区和鹅卵石健身道的总价w最低，最低造价为207000元．

第2课时

二次函数综合题

1.解：(1)由题意得C(0，－4)．

∵OA＝OC，∴A(4，0)．

将A(4，0)，B(－1，0)带入y＝ax2＋bx－4得，解得

∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4；

(2)如解图，过点P作PE⊥x轴交AC于点E，第1题解图

∴PE∥y轴．

∵OA＝OC，∴∠PED＝∠OCA＝45°.∴△DEP为等腰直角三角形，∴PD＝PE，∴当PE取得最大值时，PD取得最大值，易得直线AC的解析式为y＝x－4，设P(x，x2－3x－4)，则E(x，x－4)，则PE＝(x－4)－(x2－3x－4)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∵0＜x＜4，∴当x＝2时，PE取得最大值，最大值为4.此时PD取得最大值，最大值为4×＝2，点P坐标为(2，－6)．

2.解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴－＝，则b＝－a.∵抛物线过点C(0，－3)，∴代入得c＝－3.∴抛物线的表达式为y＝ax2－ax－3.又∵抛物线过点B(2，0)，∴代入得a＝，则b＝－.∴此抛物线的表达式为y＝x2－x－3；

(2)存在．如解图，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F，第2题解图

设直线BC的表达式为y＝mx＋n，将B(2，0)，C(0，－3)代入y＝mx＋n，得

解得

∴直线BC的表达式为y＝x－3.设点P的坐标为(x,x2－x－3)，则点F的坐标为(x，x－3)，∵点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点，∴PF＝x－3－(x2－x－3)＝－x2＋x.∴S△PBC＝S△PFB＋S△PFC＝PF·BE＋PF·OE

＝PF·OB

＝·(－x2＋x)·2

＝－x2＋3x

＝－(x－)2＋.∵－<0，∴当x＝时，△PBC的面积取得最大值，最大值为.当x＝时，y＝x2－x－3＝－3，∴此时点P的坐标为(，－3)．

3.解：(1)∵抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4.令x＝0，解得y＝4，∴C(0，4)．

令y＝0，即－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∵点A在点B左侧，∴A(－1，0)，B(3，0)．

设直线l的表达式为y＝kx＋n(k≠0)，将B(3，0)，C(0，4)代入y＝kx＋n得，解得

∴直线l的表达式为y＝－x＋4；

(2)存在，当m的值为1，或时，△PCE为等腰三角形．

【解法提示】根据题意有以下三种情况：

①当CP＝CE时，如解图①，过点C作CH⊥PE于点H，则有PE＝2PH，第3题解图①

由(1)得PE＝－m2＋4m，∵PH＝－m2＋m＋4－4＝－m2＋m，∴－m2＋4m＝2×(－m2＋m)．

解得：m＝1或m＝0(不合题意，舍去)；

②当EP＝EC时，如解图②，过点C作CH⊥PE于点H，第3题解图②

易得△EHC∽△COB，∴＝

.∵CH＝m，BC＝5，BO＝3，∴CE＝＝m.由(1)得PE＝－m2＋4m，∴－m2＋4m＝m.解得：m＝或m＝0(不合题意，舍去)；

③当PC＝PE时，如解图③，过点P作PG⊥CE于点G，第3题解图③

易证△PGE∽△BOC，∴＝＝，∴GE＝PE＝×(－m2＋4m)＝－m2＋m.∵PC＝PE，PG⊥CE，CE＝m，∴GE＝CE＝－m2＋m＝m.解得m＝或m＝0(不合题意，舍去)，综上所述，m的值为1，或时，△PCE为等腰三角形．

4.解：(1)在抛物线y＝x2－x－4中，当y＝0时，x2－x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴A(－2，0)，B(8，0)，当x＝0时，y＝－4，∴C(0，－4)，设直线BC的表达式为y＝ax＋b，∵直线BC过B(8，0)，C(0，－4)两点，∴解得

∴直线BC的表达式为y＝x－4，又∵抛物线y＝x2－x－4＝(x－3)2－，∴抛物线的顶点坐标为(3，－)；

(2)存在．满足条件的t的值为4或－3.【解法提示】根据题意分以下三种情况讨论(如解图)：①当BC为边且点E位于x轴上方时，此时的点E为直线y＝4与抛物线的交点，∴x2－x－4＝4，解得x1＝3＋，x2＝3－，∴xD1＝3＋－8＝－5，xD2＝3－－8＝－－5，∴D1(－5，0)，D2(－－5，0)(在点A的左侧，不合题意，舍去)，此时D1A＝－3，∴t＝－3；②当BC为边且点E位于x轴下方时，此时的点E为直线y＝－4与抛物线的交点，∴x2－x－4＝－4，解得x1＝6或x2＝0(与点C重合，不合题意，舍去)，∴xD3＝6＋8＝14，∴D3(14，0)(在B点右侧，不合题意，舍去)；③当BC为对角线时，此时满足条件的点E的横坐标仍然是6，且CE4＝BD4＝6，xD4＝8－6＝2，∴D4(2，0)，此时D4A＝4，∴t＝4.综上t的值为4或－3.第4题解图

第五篇：旭日东升武术操-第五节：侧展运动

第五节：侧展运动（4×8拍）动作图文解析

第一个八拍：1—2拍:开步上冲

3—4拍:振脚砸拳

5—6拍:勾脚侧冠

7—8拍:并步抱拳（图略）

第二个八拍：同第一个八拍，方向相反。第三、四个八拍：同第一、二个八拍。