2011年高考试题解析数学(理)分项版17：几何证明选讲

第一篇：2011年高考试题解析数学(理)分项版17：几何证明选讲

2011年高考试题解析数学（理科）分项版选修系列：几何证明选讲

一、选择题:

1．(2011年高考北京卷理科5)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：

①AD+AE=AB+BC+CA； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A．①②C．①③B．②③ D．①②③

【答案】A

【解析】由切线长定理得AD=AE,BD=BF,CE=CF,所以AB+BC+CA=AB+BD+CE=AD+AE，故①正确；

由切割线定理知，AD= AF·AG，故②正确，所以选A.二、填空题:

1.(2011年高考天津卷理科12)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于

点F,E是AB延长线上一点,且

圆相切,则线段CE的长为.2,AF:FB:BE=4:2:1.若CE与 2【解析】设AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得:DFAFFB,即8x2172,即x2,由切割线定理得:CE2EBEA7x2,所以4

4CE2.(2011年高考湖南卷理科11)如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则的AF长为

./ 4

2答案：

3解析：如图2中，连接EC，AB,OB,由A,E是半圆周上的两个三等分点可知：∠EBC=30°,且⊿ABO是正三角形，所以EC=2,BE=,BD=1,且AF=BF=232.故填 33

评析：本小题主要考查平面几何中直线与圆的位置关系问题，涉及与圆有关的定理的运用.3.(2011年高考广东卷理科15)（几何证明选讲选做

题）如图4，过圆O外一点P分别作圆的切线和割

线交圆于A,B。且PB7，C是圆上一点使得

BC5，BACAPB，则AB.【答案】.PAB～【解析】由题得PABACB

ABCPBAB7ABAB ABBCAB

54．(2011年高考陕西卷理科15)（几何证明选做题）如图BD,AEBC, ACD900,且AB6,AC4,AD12,则BE

【答案】【解析】：

ACD900,AD12,AC4

CD



又RtABERtADC所以

三、解答题:

1．(2011年高考辽宁卷理科22)（本小题满分10分）选修4-1：几何

证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED.（I）证明：CD//AB；

（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，ABBEABDC6，即BEADDCAD1/

4F四点共圆

.2.(2011年高考全国新课标卷理科22)（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

如图，D，E分别是AB,AC边上的点，且不与顶点重合，已知AEm,ACn,AD,AB 为方程x214xmn0的两根，（1）证明 C,B,D,E四点共圆；

（2）若A90,m4,n6，求C,B,D,E四点所在圆的半径。

分析：（1）按照四点共圆的条件证明；（2）运用相似三角形与圆、四

边形、方程的性质及关系计算。

解：（Ⅰ）如图，连接DE，依题意在ADE,ACB中，DCE第22题图/

4点评：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。注意把握判定与性质的作用。

3.(2011年高考江苏卷21)选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r2(r1r2)，1与r

圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上），求证：AB:AC为定值。

解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。第21-A图/ 4

第二篇：2012高考数学几何证明选讲

几何证明选讲

模块点晴

一、知识精要

值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑

6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：

（1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（3）三边对应成比例，两三角形相似。

形与三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应

条直线平行于三角形的第三边。

1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；

（2）相似三角形周长的比等于相似比；

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。的比例中项。

两条切线的夹角。

二、方法秘笈

⒈几何证明选讲内容的考点虽多，主要还是集中在对圆的相关内容的考查，而圆中又主要以与切线有关的性质、圆幂定理、四点共圆这几个内容的考查为主。

⒉虽然本书内容主要是由原初三内容改编过来，而在初中，相关内容也已经删去，似乎教师教与学生学都有一定难度，但是由于学生经过两年的高中学习，逻辑性、严密性都有了较大的提高，只要教学得法，学生对这部分的学习应该并不会感到困难。

⒊紧扣课本中的例习题进行学习，重视各个定理的来龙去脉，理解其中渗透的重要的数学思想方法，因为高考试题中所采取的一些方法多来自课本中定理的证明方法及例习题的证明方法；

试题解析

一、选择题

例1.（2012北京、理科）如图.∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于

点E.则()

A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·AB C.AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD ²

【解析】A。在ACB中，∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，所以CD理的CD

二、填空题

例1.（2012全国、文科）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于D.过点C作BD的平行线与圆交于点E,与AB相交于点

F,AF3,FB1,EF

ADDB,由切割线定

CECB,所以CE·CB=AD·DB。

32,则线段CD的长为

【解析】如图连结BC，BE，则∠1=∠2，∠2=∠A

A1，又∠B=∠B，CBF∽ABC，CBBFCBCF,,代入数值得BC=2，ABBCABAC

AC=4，又由平行线等分线段定理得解得CD=

ACCD



AFFB,.【答案】

例2.(2012湖南、理科)如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于

_______.PO交圆O于C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知

PAPBPCPD,即1(12)(3-r)(3r),r

P

例3.（2012天津、理科）如图，已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=

32，则线段CD的长为

【解析】∵AF=3，FB=1，EF=

432

ABAF，由相交弦定理得AFFB=EFFC，所以FC=2，FC=83

又∵BD∥CE，∴

AFAB

=

FCBD，BD=

2=

83，设CD=x，则AD=4x，再由切

割线定理得BD=CDAD，即x4x=（练习题

1.（2012湖北、理科）)，解得x=，故CD=

43.如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_____________。

答案：

22.（2012陕西、文理科）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB5。

三、解答题

例1(2012年全国新课标卷)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：

G

F

(Ⅰ)CD=BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

【解析】（1）CF//AB，DF//BCCF//BD//ADCDBFCF//ABAFBCBCCD

（2）BC//GFBGFCBD

BC//GFGDEBGDDBCBDCBCDGBD

O相交例2．（2012辽宁、文理科）如图，⊙O和⊙

/

于A,B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D

两点，连接DB并延长交⊙O于点E。

证明

（Ⅰ）ACBDADAB；（Ⅱ）ACAE。

例3.（2012江苏、理科）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结

BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE．

求证：EC．

【解析】

21-A题）

第三篇：高考几何证明选讲分析

几何证明选讲

1．（2010·陕西高考理科·Ｔ１5）如图,已知RtABC的两条直角边AC,BC 的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D, 则BDDA

【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题 【思路点拨】条件RtADCRtADCRtACB

ADAC

ACAB

ADBD结论

【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以ADC900,ADC为RtADC，ADAC

ACAB

AC

2RtADCRtACB,,AD

AB



5,BDABAD5



165，

BDDA



169169

【答案】

2．（2010·陕西高考文科·Ｔ１5）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝cm.【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题 【思路点拨】条件RtADCRtADCRtACB

ADAC

ACAB

ADBD

【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以ADC90,ADC为RtADC，RtADCRtACB,

165

ADAC



ACAB,AD

AC

2AB



95,BDABAD5



165，【答案】

3．（2010·北京高考理科·Ｔ１2）如图，O的弦ED，CB的延长线 交于点A。若BDAE，AB＝4, BC＝2, AD＝

3,则DE＝；CE＝。【命题立意】本题考查几何证明的知识。运用割线定理是解决本题的突破口。

【思路点拨】本题可由相交弦定理求出DE，再利用三个直角三角形RtABD,RtBDE ,RtBCE中求CE。

【规范解答】由割线定理得，ABACADAE，即463AE，得AE8。DE835。连接BE，因为BDAE，所以BE为直径，所以BCE900。在Rt

ABD中，BD在Rt

BDE中BE

Rt

BCE中，CE



。

A

【答案】527

4．（2010·天津高考文科·Ｔ１1）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和 DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则

BCAD的值为。

【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。【思路点拨】利用相似三角形的性质转化。【规范解答】由题意可知BCP∽ADP相似，所以

BPBC

13 PDAD



1BC



3AD



BCAD

1

3。

【答案】

5．（2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若

PBPA

=

1PC1BC,=,则的值为2PD3AD

【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。【规范解答】由题意可知BCP∽ADP相似，所以

BCAD

PCAP

PBPD,由

PCAP



PBPD

及已知条件

PBPA

=

1PC

1,= 2PD3

可得

PCPB

=

23

PCPB

=,又

BCAD



PCPB,

BCAD

。

【答案】

66．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a2，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.【命题立意】本题主要考察平面几何中直角梯形以及三角形中位线的性质.【思路点拨】利用直角梯形的性质，求出DB，再利用三角形中位线的性质，求出EF.【规范解答】过连接DE，则四边形EBCD为矩形，所以DEAB且

EBDC

a2，所以， ABa,  AEEB

a2, 所以ABD是以AB为底的等腰三角形，即：

12DB

a2.又点E，F分别为线段AB，CD的中点，所以EF为ABD的中位线，所以EFDADB=a，【答案】2

a

7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=

2a3，∠OAP=30°，则CP＝

______.【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.【思路点拨】由垂径定理得OPAB，算出AP，再由相交弦定理求出CP.【规范解答】因为P为AB的中点，由垂径定理得OPAB，在Rt

OPA中，BPAPacos30



a，由相交弦定理得：BPAPCP

DP，即2

a)CP

a，解得CP【答案】

988

a..9a

8.（2010·江苏高考·Ｔ2１）AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

【命题立意】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。【思路点拨】利用圆心角和圆周角之间的关系证明OB=BC=OD=O即可.【规范解答】方法一：连结OD，则：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=30，∠DOC=60，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。方法二：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90，AB=2 OB。因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。

9．（2010·辽宁高考理科·Ｔ22）如图，ABC的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E（I）证明：ABE

ADC

2ADAE，求BAC的大小。

（II）若ABC的面积S

【命题立意】本题考查了几何证明，相似三角形判定和性质，圆周角定理，考查了三角形的面积公式等。

【思路点拨】（I）先相等的两角，再证相似。

（II）先由三角形相似，得到AB·AC=AD·AE再比较三角形的面积公式，得到sin∠BAC,进而

求出∠BAC。

【规范解答】

(I)由已知条件，可得BAE＝CAD因为AEB与ACB是同弧上的圆周角，所以AEB＝ACD

所以△ABE∽△ADC（II）因为△ABE∽△ADC 所以

ABAE12＝ADAC，即ABAC＝ADAE，12

ADAE，又S＝ABACsinBAC,且S＝

所以ABACsinBAC＝ADAE，所以sinBAC1,又BAC为三角形的内角，所以BAC＝90。

o

，ACBD10.（2010 海南高考理科T22）如图：已知圆上的弧

过C点的圆的切线与BA的延长线交于 E点，证明：

（Ⅰ）ACE=BCD.（Ⅱ）BC2=BECD.【命题立意】本题主要考查了圆的切线、等弧所对的圆心角相等等知识.【思路点拨】熟练利用等弧所对的圆心角相等，判断出三角形相似，然后证明问题.,所以BCDABC.ACBD【规范解答】（Ⅰ）因为

又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC

所以ACEBCD.（Ⅱ）因为ECBCDB,EBCBCD,所以BDCECB,故

BCBE



CDBC

.即BCBECD.11．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如图1所示，过PA=2，点P到

外一点P作一条直线与

交于A,B两点。已知的切线上PT=4，则弦的长为。

【命题立意】以直线和圆立意，考查处理平面问题的一种方法：平面几何法.【思路点拨】割切→切割线定理

【规范解答】∵PT=4，PA=2，PT2=PA·PB，∴PB=8，∴AB=PB-PA=6，∴弦长

AB=6

【答案】6

【方法技巧】弦→连接弦中点和圆心，切→连接切点和圆心，联想弦切角等于同弧所对的圆周角，割→切割线定理.

第四篇：几何证明选讲专题

几何证明选讲

几何证明选讲专题

一、基础知识填空：

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________.3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_______________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90的圆周角所对的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________.6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________.7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；

圆心和这点的连线平分_____的夹角.二、经典试题：

1.(梅州一模文)如图所示，在四边形ABCD中，EFFG+=． EF//BC，FG//AD，则D BCAD

C

2.(广州一模文、理)在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE：EB=1：2，DE与AC交于

点F，若△AEF的面积为6cm2，则△ABC的面积为

B cm2．

3.(广州一模文、理)如图所示，圆O上

一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于．

4.(深圳二模文)如图所示，从圆O外一点P 作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD=__ 第1页

5.(广东文、理)已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=_______.6.(广东文、理)如图所示，圆O的直径

AB=6，C圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点 D、E，则∠DAC＝，线段AE的长为

三、基础训练： 1.(韶关一模理)

如图所示，PC切⊙O于

点C，割线

PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于 点E，PC=4，PB=8，则CD=________.2.(深圳调研文)如图所示，从圆O外一点A 引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=

AC=6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距 离为________.3.(东莞调研文、理)如图所示,圆O上一

点C

在直径AB上的射影为D，CD=4，则圆O的半径等于．

4.(韶关调研理)如图所示，圆O是

△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=AB=BC=3.则BD的长______，AC的长_______．5.(韶关二模理)如图，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延长线于N，MN=3，NQ=15，则 PN＝______．

6.(广州二模文、理)如图所示, 圆的内接

△ABC的∠C的平分线CD延长后交圆于点E，连接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段.N7.（湛江一模文）如图，四边形ABCD内接

于⊙O，BC是直径，MN切⊙O于A，∠MAB=25则∠D=___.8.(湛江一模理)如图，在△ABC中，D 是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC

BF=于F，则

FC

第2页

9.(惠州一模理)如图：EB、EC是⊙O的两

条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320，则∠A的度数是.10.(汕头一模理)如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，则圆O的面积是______.11.(佛山一模理)如图，AB、CD是圆O的两条弦，C

且AB是线段CD的中垂线，已知AB=6，CD=25，则线段AC的长度为．

12.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中点，EF交BD于G，交AC于H.若 AD=5，BC=7，则GH=________.13.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D.C

AD=2，AC= 25，则AB=____

14.如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的 割线，且PB=

B

1PABC，则的值是________.2PB

15.如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线

PCD经过圆心O，PE是⊙O的切线。已知PA=6，AB=7，PO=12，则PE=____O的半径是_______.3答 案

二、经典试题：

1.1 ；2.72；3.5 ；4.30o；5.；6.30°，3.三、基础训练：

243

.5.3..3.5.4.4，522116..7.115o.8..9.99O.10.4.25

11..12.1.13.10，4.14..15.4, 8.1.第3页

第五篇：几何证明选讲

几何证明选讲

2007年：

15．（几何证明选讲选做题）如图4所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的 垂线AD，垂足为D，则DAC

A

2008年：

15．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB=1，则圆O的半径R=

图

4l

2009年：

15.(几何证明选讲选做题)如下图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，ACB30，则圆O的面积等于

o

2010年：

14．（几何证明选讲选做题）如上图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=2

2011年：

15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形ABCD中，AB//CAD,B4,CD2,分别为E,F，上的点，且ADBC，

3EF，EFAB

则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为

A

2012年：

15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB与圆O相切与点B，D是弦AC上的点，PBADBA，若ADm,ACn，则AB

图3

2013年：

15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD

中，ABBC3，BEAC，垂足为E，则ED

图3