2012年高考试题分项解析数学(理科)专题17 选修系列：几何证明选讲(教师版)

第一篇：2012年高考试题分项解析数学(理科)专题17 选修系列：几何证明选讲(教师版)

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2012年高考试题分项解析数学（理科）专题17 选修系列：几何证明选讲（教师版）

一、选择题:

1.(2012年高考北京卷理科5)如图.∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则()

A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·AB

C.AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD ²

二、填空题:

1.(2012年高考广东卷理科15)（几何证明选讲选做题）

如图3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线

交于点P，则PA=_______..3.(2012年高考湖北卷理科15)（选修4-1：几何证明选讲）

如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为

_____________.4.(2012年高考湖南卷理科11)如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于

_______.5．(2012年高考陕西卷理科15)B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦

EFDB，FDBCD垂直，垂足为E，垂足为F，若AB6，AE1，则D．

三、解答题:

1.（2012年高考江苏卷21）A．[选修4-1：几何证明选

讲]（本小题满分10分）

如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两

点，连结BD并延长

至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE．

求证：EC．

2.(2012年高考辽宁卷理科22)(本小题满分10分)

选修41：几何证明选讲

如图，⊙O和⊙O相交于A,B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于

点E.证明/

(Ⅰ)ACBDADAB；

(Ⅱ)ACAE。

3.(2012年高考新课标全国卷理科22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D,E分别为ABC边AB,AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F,G两点，若CF//AB，证明：

（1）CDBC；

（2）BCD

GBD

第二篇：2011年高考试题解析数学(理)分项版之专题17-选修系列：几何证明选讲

2011年高考试题解析数学（理科）分项版选修系列：几何证明选讲

一、选择题:

1．(2011年高考北京卷理科5)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：

①AD+AE=AB+BC+CA； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A．①②B．②③ C．①③D．①②③

【答案】A

【解析】由切线长定理得AD=AE,BD=BF,CE=CF,所以AB+BC+CA=AB+BD+CE=AD+AE，故①正确；

由切割线定理知，AD= AF·AG，故②正确，所以选A.二、填空题: 1.(2011年高考天津卷理科12)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且

若CE与圆相切,则线段CE

2【答案】

22【解析】设AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得:DFAFFB172222即8x2,即x,由切割线定理得:CEEBEA7x44CE.2

2.(2011年高考湖南卷理科11)如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直

径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则的AF长为.23答案：

3-1-

解析：如图2中，连接EC，AB,OB,由A,E是半圆周上的两个三等分点可知：∠EBC=30°,且⊿ABO是正三角形，所以EC=2,BE=2,BD=1,且AF=BF=223.故填 33

评析：本小题主要考查平面几何中直线与圆的位置关系问题，涉及与圆有关的定理的运用.3.(2011年高考广东卷理科15)（几何证明选讲选

做题）如图4，过圆O外一点P分别作圆的切线和

割线交圆于A,B。且PB7，C是圆上一点使得

BC5，BACAPB，则AB 【答案】35.【解析】由题得PABACBPAB～

ABCPBAB7ABAB35 ABBCAB

54．(2011年高考陕西卷理科15)（几何证明选做题）如图BD,AEBC,ACD900,且AB6,AC4,AD12,则BE

【答案】【解析】：

ACD90,AD12,AC4 0

CD

又RtABERtADC所以

三、解答题:

1．(2011年高考辽宁卷理科22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且

EC=ED.ABBEABDC6

，即BEADDCAD1

2（I）证明：CD//AB；

（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆

.2.(2011年高考全国新课标卷理科22)（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，D，E分别是AB,AC边上的点，且不与顶点重合，已知AEm,ACn,AD,AB 为方程x14xmn0的两根，（1）证明 C,B,D,E四点共圆；

（2）若A90,m4,n6，求C,B,D,E四点所在圆的半径。

分析：（1）按照四点共圆的条件证明；（2）运用相似三角形与圆、四

边形、方程的性质及关系计算。

解：（Ⅰ）如图，连接DE，依题意在ADE,ACB中，DCE2第22题图

点评：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。注意把握判定与性质的作用。

3.(2011年高考江苏卷21)选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)，圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上），求证：AB:AC为定值。

解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。证明：由弦切角定理可得AO2CAO1B,

ABO1Br1 ACO2Cr第21-A图

第三篇：2011年高考试题解析数学16 选修系列：几何证明选讲

2011年高考试题解析数学（文科）分项版选修系列：几何证明选讲

一、填空题:

1.(2011年高考天津卷文科13)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且

若CE与圆相切,则线段CE的长为.2【解析】设AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得:DFAFFB,2即8x2,即x21722,由切割线定理得:CEEBEA7x,所以CE.442．(2011年高考广东卷文科15)（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为．

5【答案】.7

【解析】由题得EF是梯形的中位线，S梯形ABFE

S梯形EFCD1(23)h5 17(34)h23.（2011年高考陕西卷文科15)B.（几何证明选做题）如图，BD,AEBC,ACD900,且AB6，AC4，AD12,则AE=_______.【答案】

2【解析】：RtABERtADC所以

即AEABAE，ADACABAC642 AD12

二、解答题：

4.(2011年高考江苏卷21)选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)，第21-A图

圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上），求证：AB:AC为定值。

解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。证明：由弦切角定理可得AO2CAO1B,ABO1Br1 ACO2Cr

5.（2011年高考全国新课标卷文科22)（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，D，E分别是AB,AC边上的点，且不与顶点重合，已知C

EAEm,ACn,AD,AB

为方程x14xmn0的两根，（1）证明 C,B,D,E四点共圆； 2D第22题图

（2）若A90,m4,n6，求C,B,D,E四点所在圆的半径。

6.（2011年高考辽宁卷文科22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED。

（I）证明：CD//AB；

（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆。

第四篇：2012高考数学几何证明选讲

几何证明选讲

模块点晴

一、知识精要

值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑

6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：

（1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（3）三边对应成比例，两三角形相似。

形与三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应

对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应

条直线平行于三角形的第三边。

1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；

（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；

（2）相似三角形周长的比等于相似比；

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。的比例中项。

两条切线的夹角。

二、方法秘笈

⒈几何证明选讲内容的考点虽多，主要还是集中在对圆的相关内容的考查，而圆中又主要以与切线有关的性质、圆幂定理、四点共圆这几个内容的考查为主。

⒉虽然本书内容主要是由原初三内容改编过来，而在初中，相关内容也已经删去，似乎教师教与学生学都有一定难度，但是由于学生经过两年的高中学习，逻辑性、严密性都有了较大的提高，只要教学得法，学生对这部分的学习应该并不会感到困难。

⒊紧扣课本中的例习题进行学习，重视各个定理的来龙去脉，理解其中渗透的重要的数学思想方法，因为高考试题中所采取的一些方法多来自课本中定理的证明方法及例习题的证明方法；

试题解析

一、选择题

例1.（2012北京、理科）如图.∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于

点E.则()

A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·AB C.AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD ²

【解析】A。在ACB中，∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，所以CD理的CD

二、填空题

例1.（2012全国、文科）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于D.过点C作BD的平行线与圆交于点E,与AB相交于点

F,AF3,FB1,EF

ADDB,由切割线定

CECB,所以CE·CB=AD·DB。

32,则线段CD的长为

【解析】如图连结BC，BE，则∠1=∠2，∠2=∠A

A1，又∠B=∠B，CBF∽ABC，CBBFCBCF,,代入数值得BC=2，ABBCABAC

AC=4，又由平行线等分线段定理得解得CD=

ACCD



AFFB,.【答案】

例2.(2012湖南、理科)如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于

_______.PO交圆O于C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知

PAPBPCPD,即1(12)(3-r)(3r),r

P

例3.（2012天津、理科）如图，已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=

32，则线段CD的长为

【解析】∵AF=3，FB=1，EF=

432

ABAF，由相交弦定理得AFFB=EFFC，所以FC=2，FC=83

又∵BD∥CE，∴

AFAB

=

FCBD，BD=

2=

83，设CD=x，则AD=4x，再由切

割线定理得BD=CDAD，即x4x=（练习题

1.（2012湖北、理科）)，解得x=，故CD=

43.如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_____________。

答案：

22.（2012陕西、文理科）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB5。

三、解答题

例1(2012年全国新课标卷)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，证明：

G

F

(Ⅰ)CD=BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

【解析】（1）CF//AB，DF//BCCF//BD//ADCDBFCF//ABAFBCBCCD

（2）BC//GFBGFCBD

BC//GFGDEBGDDBCBDCBCDGBD

O相交例2．（2012辽宁、文理科）如图，⊙O和⊙

/

于A,B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D

两点，连接DB并延长交⊙O于点E。

证明

（Ⅰ）ACBDADAB；（Ⅱ）ACAE。

例3.（2012江苏、理科）如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结

BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC，AE，DE．

求证：EC．

【解析】

21-A题）

第五篇：2011年高考试题解析数学(理)分项版17：几何证明选讲

2011年高考试题解析数学（理科）分项版选修系列：几何证明选讲

一、选择题:

1．(2011年高考北京卷理科5)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：

①AD+AE=AB+BC+CA； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A．①②C．①③B．②③ D．①②③

【答案】A

【解析】由切线长定理得AD=AE,BD=BF,CE=CF,所以AB+BC+CA=AB+BD+CE=AD+AE，故①正确；

由切割线定理知，AD= AF·AG，故②正确，所以选A.二、填空题:

1.(2011年高考天津卷理科12)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于

点F,E是AB延长线上一点,且

圆相切,则线段CE的长为.2,AF:FB:BE=4:2:1.若CE与 2【解析】设AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得:DFAFFB,即8x2172,即x2,由切割线定理得:CE2EBEA7x2,所以4

4CE2.(2011年高考湖南卷理科11)如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则的AF长为

./ 4

2答案：

3解析：如图2中，连接EC，AB,OB,由A,E是半圆周上的两个三等分点可知：∠EBC=30°,且⊿ABO是正三角形，所以EC=2,BE=,BD=1,且AF=BF=232.故填 33

评析：本小题主要考查平面几何中直线与圆的位置关系问题，涉及与圆有关的定理的运用.3.(2011年高考广东卷理科15)（几何证明选讲选做

题）如图4，过圆O外一点P分别作圆的切线和割

线交圆于A,B。且PB7，C是圆上一点使得

BC5，BACAPB，则AB.【答案】.PAB～【解析】由题得PABACB

ABCPBAB7ABAB ABBCAB

54．(2011年高考陕西卷理科15)（几何证明选做题）如图BD,AEBC, ACD900,且AB6,AC4,AD12,则BE

【答案】【解析】：

ACD900,AD12,AC4

CD



又RtABERtADC所以

三、解答题:

1．(2011年高考辽宁卷理科22)（本小题满分10分）选修4-1：几何

证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED.（I）证明：CD//AB；

（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，ABBEABDC6，即BEADDCAD1/

4F四点共圆

.2.(2011年高考全国新课标卷理科22)（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲

如图，D，E分别是AB,AC边上的点，且不与顶点重合，已知AEm,ACn,AD,AB 为方程x214xmn0的两根，（1）证明 C,B,D,E四点共圆；

（2）若A90,m4,n6，求C,B,D,E四点所在圆的半径。

分析：（1）按照四点共圆的条件证明；（2）运用相似三角形与圆、四

边形、方程的性质及关系计算。

解：（Ⅰ）如图，连接DE，依题意在ADE,ACB中，DCE第22题图/

4点评：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。注意把握判定与性质的作用。

3.(2011年高考江苏卷21)选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r2(r1r2)，1与r

圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上），求证：AB:AC为定值。

解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。第21-A图/ 4