两个平面的位置关系（推荐）

第一篇：两个平面的位置关系（推荐）

9.5两平面的位置关系

授课时间：_________第 ____ 教案

【教学目的】：

1、理解掌握两平面的位置关系及平行判定定理和平行性质；

2、学会判断空间两平面的位置关系并证明面面平行问题。

【教学重点】：理解掌握空间两平面的位置关系

【教学难点】：学会判断、证明两平面的位置关系。

【授课类型】： 新授课

【教学过程】：

一、引入：

1、两直线位置关系：相交、平行、异面

2、直线与平面的位置关系：在平面内、相交、平行

二、新课：

1、两平面的位置关系：

1）平行——没有公共点。记作//

2）相交——有无数公共点，且所以公共点在一条直线上。记作l

3）重合——有三个不共面的公共点。

2、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个

平面平行。即：a,b,abA// a//,b//

3、性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。即：//,a,ba//b3、应用举例：

例

1、已知a,b,abA,a//a',b//b',a',b'求证：//证明：a//a',a'a//同理b//

又a,b,abA,//

推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平

面平行。

例

2、已知平面//平面，AB和CD为夹在、间的平行线段，求证：AB=CD

证明：如图所示，连接AD、BC，因为AB//CD

所以AB、CD确定平面ABCD

又平面ABCD=AD，平面ABCD=BC，//

所以AD//BC即ABCD为平行四边形

所以AB=CD

推论2：夹在两平行平面间的两条平行线段相等。

推论3：两直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例。

即：////，直线m,l分别与平面,,交于点A、B、C、D、E、F，则AB

BCDE

EF（证明略）

例

3、已知四面体PABC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点（如图）

C

求证：平面DEF//平面ABC

证明：在PAB中，D、E分别是PA、PB的中点

所以DE//AB

又DE平面 ABC，所以DE//平面 ABC，同理EF//平面ABC

又DEEF=E

所以平面DEF//平面ABC

三、课堂训练：P140A1、2、3B

1四、小结：

1、掌握空间两平面的位置关系及判定；

2、能够运用面面平行的判定定理及性质定理证明面面平行问题。

五、作业：P140B2、3、4、【教学后记】：

第二篇：点、直线、平面之间的位置关系知识点总结

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结

立体几何知识点总结 1.直线在平面内的判定

(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.2.存在性和唯一性定理

(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；

(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；

(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质

(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段； 当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.(4)射影的有关性质

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角 等角定理及其推论

定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.异面直线所成的角

(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0°＜θ≤90°.(3)求解方法

①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角

(1)定义 和平面所成的角有三种：

(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)取值范围0°≤θ≤90°(3)求解方法

①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理

斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角

(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是 0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角

①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：

(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.③找(或作)二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(iii)三垂线法

(Ⅳ)根据特殊图形的性质(4)求二面角大小的常见方法

①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理 S′=S·cosα

其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离 点到平面的距离

(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.(2)求点面距离常用的方法： 1)直接利用定义求

①找到(或作出)表示距离的线段； ②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离

(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.(2)求线面距离常用的方法

①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离(1)定义 个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.(2)求平行平面距离常用的方法 ①直接利用定义求

证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离

(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.(2)求两条异面直线的距离常用的方法

①定义法 题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离 ③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法

第三篇：平面图形及其位置关系回顾与思考教案

平面图形及其位置关系回顾与思考教案

〖教学目标〗

1．知识与技能：学生通过自我回顾及小组交流活动对本章所研究的基本元素和基本关系有进一步的认识，掌握本章知识的框架。

2．数学思考：在操作活动中积累活动经验，发展有条理的思考与表达。

3．解决问题：通过学习增强学生对所学知识的应用意识。

4．情感与态度：调动学生自主学习的意识，培养学生主动参与、交流合作的意识和能力。

〖重点〗总结本章的知识框架。〖难点〗正确写出并理解框架图。〖教学方法〗

新的课程改革要求教师在上“回顾与思考”课时要打破以往复习课的题海战术，从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的情境。而本节课恰恰体现出这一特点，教师利用现代化的教育技术手段，为学生提供丰富多彩的学习素材，引导学生独立思考、探究合作、获得知识、形成技能，从而发展学生思维，学会学习。教师在习题的设计上别具匠心，题目的呈现方式多种多样，能运用学生关注或感兴趣的实例作为知识背景，激发学生的求知欲、创造力，提高学生运用所学知识解决问题的应用意识。〖教学手段〗

本节课选择的教学手段是多媒体辅助教学 〖教学设计〗

(一)写一写

教师课前提前布置学生准备提纲：

1．对于本章的学习你有哪些收获?请你尝试画出本章的框架图。

2．你还有哪些地方需要帮助?

3．小组交流你对本章认识。

(二)说一说

1．教师请2～3个小组的代表到实物投影仪前展示本小组的框架图，并说出本小组的想法，小组同学可以互相补充。

2．教师展示本章的，并对学生阐述自己对本章的理解：

(三)比一比

抢答题：

1．选一选(10分)

下列说法正确的是()个。

①三条直线两两相交有三个交点

②两条不相交的直线叫平行线

③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行

④平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

⑤平面内，若线段AB＝BC，则

(A)1(B)2(C)3(D)4

2．填一填(10分)

(1)要把木条水平地钉在墙上至少需要钉钉子，用数学知识解释为；

(2)1．6°＝（）′＝（）″，1800″

(3)两条相交直线所成角相等，那么这两条直线；

B为AC＝（°；

的中点）′＝（）

(4)找找看图中共有（）条线段，（）个小于平角的角。

3．画一画(10分)

为方便居民出入，要从某居民点A修两条马路，一条要求与东海路平行，另外一条要求与它垂直，你能画出图形吗?

4．拼一拼(20分)

请你用一副三角尺拼出135°，75°，15°的角。

5．算一算(10分)

(1)如图：∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠AOC

若∠BOD＝150°，求∠BOC等于多少度?

(2)当钟表上的时间是12：30时，时针与分针所成的角是多少度

6．想一想(20分)(1)已知：如图，B为线段AC上的一点，点M，N分别为填空：MN＝()+()，MN＝()-()，MN＝()-()-()；

(2)已知：如图，B为线段AC上的一点，点M，N分别为BOD相等吗

AB，BC的中点。AB，BC的中点，? ?

与∠

AB＝m，BC＝n，求：MN。

7．做一做(10分)

利用方格纸，分别画出MN的平行线段、8．辨一辨(10分)

如图是一个公园的示意图，下列说法错误的是

(A)海洋世界在大门口的北偏东90°

(B)猴山在大门的正北方向

PQ的垂线段。()。

(C)大象馆在大门的北偏东60°

(D)虎豹园在大门的南偏东30°

9．议一议（20分）

如图，如图，AOC 为一条直线，OB、OD、OE是三条射线，且∠AOD=∠BOD，∠COE =

10玩一玩 用你手中的七巧板拼一个可爱的小狐狸。

(四)谈一谈

1．谈谈本节课的收获。

2．还有哪些困难需要帮助

(五)作业

完成一份小结，用自己的语言梳理本章的内容，并写出本章学习中的收获、困难和需要改进的地方，装入成长记录袋。BOE，请判断(10分)

OE与OD是否互相垂直，为什么？ ?

∠

第四篇：直线与平面之间的位置关系教学设计

一、教学目标

1、知识与技能：（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法：（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。

二、教学重点、难点

重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。

难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。

三、学法与教法

1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。

2、教法：观察类比，探究交流。

四、教学过程

（一）复习引入：空间两直线的位置关系：（1）相交；（2）平行；（3）异面

2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式： ．

3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式： 与 是异面直线

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点 作直线，所成的角的大小与点 的选择无关，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线 所成的角（或夹角）．为了简便，点 通常取在异面直线的一条上

8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作 ．

（二）研探新知

1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

例1下列命题中正确的个数是（）

?内，则L∥?⑴若直线L上有无数个点不在平面

内的任意一条直线都平行?平行，则L与平面?(2)若直线L与平面

（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

内任意一条直线都没有公共点?平行，则L与平面?（4）若直线L与平面

（A）0(B)1(C)2(D)

32、探析平面与平面的位置关系：

① 以长方体为例，探究相关平面之间的位置关系？ 联系生活中的实例找面面关系.② 讨论得出：相交、平行。

→定义：平行：没有公共点；相交：有一条公共直线。→符号表示：α∥β、α∩β＝b

→举实例：…

③ 画法：相交：……。平行：使两个平行四边形的对应边互相平行

④ 练习： 画平行平面；画一条直线和两个平行平面相交；画一个平面和两个平行平面相交

探究：A.分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系？

B.三个平面两两相交，可以有交线多少条？ C.三个平面可以将空间分成多少部分？

D.若，则

（三）、巩固练习

1．选择题，则a∥b??，b? ④若a∥?，则a∥?，则a∥b ③若a∥b，b∥?，b∥? ②若a∥?，则a∥??表示平面）①若a∥b，b?（1）以下命题（其中a，b表示直线，其中正确命题的个数是（）

（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有（）?，b∥?（2）已知a∥

（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个的位置关系一定是（）?的距离都是a，则直线AB和平面?外有两点A、B，它们到平面?（3）如果平面

??（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）AB

=l，则l（）?∩?，?，n∥平面?（4）已知m，n为异面直线，m∥平面

（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交

（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交

教材P51 练习学生独立完成后教师检查、指导

（四）归纳整理、整体认识

教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。

（五）作业：

1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。

2、教材P51习题2.1 A组第5题

第五篇：证明两个平面平行

证明两个平面平行

证明两个平面平行的方法有：

(1)根据定义。证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。

(2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。

2.两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面，平面

与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。

3.两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。

因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。

1.两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：

(1)平行—没有公共点;

(2)相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。

注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。

2.两个平面平行的判定定理表述为：

4.两个平面平行具有如下性质：

(1)两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。

简述为：“若面面平行,则线面平行”。

(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简述为：“若面面平行,则线线平行”。

(3)如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。

(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等

用反证法

A平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为p

B平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为Q

假设A和B不平行，那么一定有交点。

设有交点R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

没有这样的三角形。因为三角形的内角和为180

所以A一定平行于B