点线面位置关系定理总结

第一篇：点线面位置关系定理总结

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1.线面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（简述为线线平行线面平行）表述及图示

a ba//ba//2.线面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（简述为线面平行线线平行）a//a//b ab3.平面平行判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

a//b//a// babP4.平面平行性质定理：如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行 //a//ba

b5.线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个abac平面。bcAa

bc6.线面垂直性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。ab a//b7.面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”。a a8.面面垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。l

aal

第二篇：点线面位置关系小结

课题：点线面位置关系小结

一、学习目标：

1.掌握面面垂直定义和判定定理,并会应用证明面面垂直.2.掌握折叠问题.二、重点：证明面面垂直.难点：折叠作图及找到折叠前后的不变量.三、复习引入：

面面垂直的判定定理及应用的关键

四、导练展示：

例1.已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相

交于点G,将此三角形沿DE折成二面角ADEB.求证：面AFG面BCED

例2.如图,将矩形ABCD沿对角线BD把ABD折起,使A移到

A1点,且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上.求证：面A1BC面A1BD

五、达标训练：

1.在正三角形ABC中, ADBC于D,沿AD折成二面角BADC后,BC

AB,这时二面角BADC的大小为（）A.60

B.90

C.45

D.120

2.在矩形ABCD中,AB3,BC3,沿对角线BD把BCD折起,使C移到C,且平面ABC面ABD.⑴求证：ACBC

⑵求AB与面BCD所成角的正弦值.六、小结：

①折叠问题注意如何作图.可将平面图先画成直观图再画折叠图.甚至改

变视角作用.②折叠问题注意折叠前后的不变量作为隐含的已知条件.③证明面面垂直问题的关键是找线面及线线垂直.

第三篇：空间点线面之间的位置关系教案

空间点、直线、平面之间的位置关系

考情分析

1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．

2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．

基础知识

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)． ②范围：.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

注意事项

1异面直线的判定方法：

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．

(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

2.(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．

(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．

(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线． 题型一平面的基本性质 【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（）．

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析

如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．

同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案 D

【变式1】 下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．

解析

在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．

答案 ①②③

题型二 异面直线

【例2】4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()

A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行

解析：若c与a、b都不相交，则c与a、b都平行．根据公理4，则a∥b.与a、b异面矛盾．

答案：C

【训练2】 在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

解析 如题干图(1)中，直线GH∥MN；

图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面； 图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面． 答案(2)(4)

题型三 异面直线所成的角

【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．

解析：如题图所示，由A′O⊥平面ABCD，可得平面A′BC⊥平面ABCD，又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.【变式3】 A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解

如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．

在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.题型四 点共线、点共面、线共点的证明 【例4】►正方体

ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．

证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．

【变式4】 如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点

证明 ∵E、H分别为边AB、AD的中点，∴EH綉BD，而＝＝，∴＝，且FG∥BD.∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理，P∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点．

【例5】l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

解析 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直

线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错． 答案 B

巩固提高

1．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是

（）A．若AC与BD共面，则AD与BC共面

B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC

解析：A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；

B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC是异面直线；

C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC； D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.答案：C

2．已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么()

A．a∥b且c∥d

B．a、b、c、d中任意两条可能都不平行 C．a∥b或c∥d

D．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行 解析：若a与b不平行，则存在平面β，使得a⊂β且b⊂β，由a⊥c，b⊥c，知c⊥β，同理d⊥β，所以c∥d.若a∥b，则c与d可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.答案：C

3．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂α

B．a⊂α，b∥α

C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α 解析：不相交的直线a，b的位置有两种：平行或异面．当a，b异面时，不存在平面α满足A、C；又只有当a⊥b时，D才可能成立．

答案：B

4．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()

A．AB∥CD

B． AB与CD异面 C．AB与CD相交

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

解：若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.答案：D

5．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出三个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ③若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)

解析：由基本性知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故③不正确．

答案：① 答案：90°

第四篇：证明垂直位置关系

第五课时学案垂直的证明方法

命题预测

从近几年的高考试题来看，线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质等是高考的热点,题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高．客观题突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性质；主观题考查较全面，在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象、逻辑推理以及分析问题、解决问题的能力．

预测2013年高考仍将以线面垂直、面面垂直为主要考查点，重点考查学生的空间想象以及逻辑推理能力．

考点1 直线与平面垂直的判定与性质

例

1、（08天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形． 已知AB3,AD2,PA2,PD22,PAB60．（Ⅰ）证明AD平面PAB；

（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角PBDA的大小．

变式1：如图，已知三棱锥A－BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．求证：(1)MD∥平面APC；(2)BC⊥平面APC.变式2：（12全国理）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.变式3：（06福建）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2,ABAD

（I）求证：AO平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）求点E到平面ACD的距离。

B

E

变式4：（11大纲理）如图，四棱锥SABCD中，ABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2,CDSD1．

（Ⅰ）证明：SD平面SAB;（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小．

例

2、（08二）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在CC1上

AC

1且C1E3EC．（Ⅰ）证明：A1C平面BED；（Ⅱ）求二面角A1DEB的大小．EC

例

3、（04湖北）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E 是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点。（1）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；

（2）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1―EF―A的大小。

例

4、（12北京理）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.(I)求证：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

考点2平面与平面垂直的判定与性质

例

1、(2011〃高考江苏卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD

变式1：如图，在直三棱柱:ABC－A1B1C1中,AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；

(2)求证：平面A1BD⊥平面ACC1A1；(3)求三棱锥A－A1BD的体积．

变式2：（08湖南）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.变式3：（09北京）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC平面PDB；

（Ⅱ）当PD

且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.变式4：（05）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=

2AB=1，M是PB的中点。

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

例

2、（12高考江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点． 求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1F//平面ADE．

变式：（11辽宁理）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=2PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．

例

3、如图，四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．

第五篇：1.2《点线面之间的位置关系--线面垂直的判定和性质2》教案(苏教版必修2)

第17课时 直线与平面垂直的判定和性质

（二）教学目标：

使学生掌握直线和平面垂直的性质，点到面的距离，线到面的距离；对学生进行转化思想渗透，培养学生空间想象能力；使学生从问题解决过程，认识事物的发展、变化、规律。

教学重点：

直线和平面垂直的性质。

教学难点：

性质定理的证明、等价转化思想的渗透。

教学过程：

1．复习回顾：

1.判定直线和平面垂直的方法有几种？ ［生］定义，例1的结论、判定定理.2.各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？

［生］若能确定直线和平面内任意一线垂直，则运用定义说明.若能说明所证直线和平面的一条垂线平行，则可运用例题结论说明之.若能说明直线和平面内两相交线垂直，则运用判定定理去完成判定.2．讲授新课：

［师］直线和平面是否垂直的判定方法上节课已研究过，这节课我们来共同探讨：直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？

下面先思考一个问题：

例1：已知:a⊥α，b⊥α.求证：b∥a.［师］此问题是在a⊥α，b⊥α的条件下，研究a和b是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难，而利用反证法来完成此题，相对要容易，但难在辅助线b′的做出，这也是立体几何开始这部分较难的一个证明.在师的指导下，学生尝试证明，待后给出过程.证明：假定b不平行于a，设b∩α＝O，b′是经过点O与

直线a平行的直线

∵a∥b′，a⊥α

∴b′⊥α

即经过同一点O的两条直线b、b′都垂直于平面α，而这是不可能的，因此，b∥a.有了上述证明，师生可共同得到结论：

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行.［师］下面给出点到面的距离.从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间距离叫做这个点到这个平面的距离.应明白，点到面的距离是一线段.A．a∥β，b∥β

B．a⊥β,b⊥β C．a⊥c，b⊥c

D．a与c，b与c所成角相等 2）平面α外的点A到平面α内各点的线段中，以OA最短，那么OAα的关系是

（）A.B.C.在α内

D.不确定 3关系是

（）A.B.C.平行或相交

D.一定垂直 4）矩形ABEF和矩形EFCD不共面，已知EF＝4，BD＝5，求平行直线AB与CD之间的距离.解答：

1.排除法找满足题意的选择支B

［对于选择支A，平行于同一面的两线可能相交，也 可能异面，故不一定推出a∥b，排除A.对于选择支C，因垂直于同一线的两线可能异面、故排除C.对于选择支D，若a、b、c三线能围成三角形.且a与c、b与c成角相等，则a与b不平行，排除D，故选B.而B利用性质定理可验证其正确.］ 2.此题也可用排除法找到正确选择支B ［满足题目的线段，其一个端点在平面外，故A、C应排除，因该线不会和平面又平行，也不会在平面α内，而满足OA最短的线只有一条，故应选B，或依平面外一点和平面内各点的连线垂线段最短，从而选B.］

3.利用分类讨论找选择支C ［平面外的直线上有两点到这个平面的距离相等，这条直线和这个平面的位置取决于点与平面的关系，与这两点在平面的同侧时，直线和平面平行，当这两点在平面的异侧时，直线和平面相交.］

4.［此题的解决主要是充分利用直线和平面垂直判定及平行线间的距离完成.］ 解：因ABEF及EFCD都是矩形，故应有

EF⊥BE，EF⊥CE，而BE∩CE＝E

故EF⊥面BEC 而AB∥EF，CD∥EF

则AB⊥面BEC，CD⊥面BEC BC面BEC

那么

AB⊥BC，CD⊥BC BC就是AB与CD间的距离

BC2＝BD2－CD2＝25－16＝9

即BC＝3.4．课时小结：

1.能正确利用性质定理解题.2..5．课后作业：

课本P38

习题第5，7，8，9题.-