1.2.4两个平面垂直的判定和性质

第一篇：1.2.4两个平面垂直的判定和性质

江苏省海头高级中学高中数学必修2导学案立体几何

1.2.2 两个平面平面的位置关系第二课时（面面垂直）

编写人：英继祝审核人：王绪霞编号：1

2学习目标：

1．理解二面角的有关概念，能画出二面角；会求二面角的平面角．

2．理解两个平面垂直的定义；掌握面面垂直的判定定理与性质定理．

3．能应用面面垂直的判定与性质解决简单问题．

学习过程：

在日常生活中，公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等．它们中的两个面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．

掌握课本上是怎么定义两个平面所成的角？

1．二面角

（1）半平面：，其中的每一部分都叫做半平面．

（2）二面角：叫做二面角．叫做二面角的棱，叫做二面角的面．

（3）二面角的画法：分直立式与平卧式两种．图1，记作二面角-AB-．

①直立式②平卧式

（4）二面角的表示方法：-l-

2．二面角的平面角

请阅读课本page40-41，思考：①平面几何中角理解为一条射线绕端点旋转所得，一个二面角也可以看作是一个半平面而成的，也是一个旋转量．这说明二面角不仅有．而且其大小是．

②二面角的大小应该怎么度量？

二面角的平面角的定义：以为端点，在两个面内分别作的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

如图2，二面角-l-，Ol，AO，BO，AOl，图2

二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，平面角为0；当两个半平

图BOl．AOB是二面角-l-的平面角．面合成一个平面时，平面角为180．

求解二面角大小的关键是确定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三个要素：（1）确定二面角的棱上一点；（2）经过这点分别在两个面内引射线；（3）所引的射线都垂直于棱．

平面角是直角的二面角叫做直二面角．

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例1 如图正方体ABCDA'B'C'D'中，求①二面角D'ABD的大小②二面角A'ABD的大小 思考：本题中构成二面角D'ABD的两个半平面分别是什么？二面角的棱是什么？如何找出二面角的平面角？如何求解？

构成二面角A'ABD的两个半平面分别是什么？二面角的棱是什么？如何找出二面角的平面角？如何求解？

通过本题你得到的收获是什么？ C’

A

图变式练习1.如图3，平面角为锐角的二面角-EF-，AEF，AG，若AGGAE45，与所成角为30，求二面角-EF-的平面角．

通过例题及变式练习注意，求二面角的步骤是“作—证—算——答”四环节 请阅读课本page42 思考：3.两平面互相垂直的概念：

4.

例2.正方体ABCDABCD中，求证：平面A'C'CABDDB。思考：本题中要证明面面垂直先证直线而这条直线垂直于平面又是如何证明的？

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变式练习2: ABC是等腰直角三角形，ACBCa，P是ABC所在平面外的一点，PA PBPC2a，求证平面PAB平面ABC。

巩固练习：

1．课本P44练习1，2，3，4． 2．二面角指的是（）

A．两个平面相交所成的角B．经过同一条直线的两个平面所组成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形D．两个相交平面所夹的不大于90的角 3．已知二面角-AB-的平面角是锐角，内一点C到的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tan的值等于



4．已知二面角-l-的平面角为60，P，若P到平面的距离为，则P点在



上的射影P1到平面的距离为________________．

5．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是

6．如图5，AOB90，过点O引AOB所在平面的斜线OC，OC与OA、OB分别成45、60角，求二面角A-OC-B的平面角的余弦值．







图

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7．如图6，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的平面角的正切值．

图6

8．如图7，在60的二面角-l-内有一点P，它到、面的距离分别为3和5，求P点到棱l的距离．

图7

图

19.如图8，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．



图4

10.如图9，在空间边形ABCD中，DA平面ABC，ABC90，AECD，（1）EFDC；（2）平面DBC平面AEF．

AFDB．求证：

图5

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第二篇：两个平面垂直的判定和性质(一)

两个平面垂直的判定和性质(一)

一、教学目标

1、理解并掌握两个平面垂直的定义．

2．掌握两个平面垂直的判定定理的证明过程，培养学生严格的逻辑推理，增强学生分析、解决问题的能力．

3．利用转化的方法掌握和应用两个平面垂直的判定定理．

二、教学重点、难点

1．教学重点：掌握两个平面垂直的判定．

2．教学难点：掌握两个平面垂直的判定及应用．

三、课时安排

本课题安排2课时．本节课为第一课时：主要讲解两个平面垂直的判定．

四、教与学的过程设计

(一)复习近平面角的有关知识

1、是二面角的平面角？

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

2、一般地，作二面角的平面角有哪几种方法？

三种．一是利用定义；二是利用三垂线(逆)定理；三是利用棱的垂面．

3、练习(幻灯显示)．

已知：二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°．

求：CD与平面β所成的角．

证明：作CO⊥β交β于点O，连结DO，则∠CDO为DC与β所成的角．

过点O作OE⊥AB于E，连结CE，则CE⊥AB，∴∠CEO为二面角α-AB-β的平面角，即∠CEO=45°．

∵CO⊥OE，OC＝OE，∴∠CDO=30°．

即DC与β成30°角．

点评：本题涉及到直线与平面所成角的范围[0°，90°]以及利用三垂线定理寻找二面角的平面角．事实上，利用三垂线定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一种方法．

(二)两个平面垂直的定义、画法

1、两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况，日常我们见到的墙面和地面、以及一个长方体中，相邻的两个面都是互相垂直的．那么，什么是两个平面互相垂直呢？

两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

2、知道了两个平面互相垂直的概念．如何画它们呢？

如图1-128，把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直．记作α⊥β．

3、练习：(P.45中练习1)

画互相垂直的两个平面、两两垂直的三个平面．如图1-129．

(三)两个平面垂直的判定

两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 提示：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角．让学生独自写出证明过程．

求证：α⊥β．

证明：设a∩β=CD，则B∈CD．

∴AB⊥CD．

在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．

∴α⊥β．

师：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直(图见课本P.43中图1-49)，实际上，就是依据这个原理．

另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．下面我们来做一道练习． 练习：(P.45中练习2)

如图1-131，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了．为什么？如果不转动呢？

如果不转动，只能确定两条直线OA⊥OB，无法确定OA⊥β，从而无法确定α⊥β．

(四)练习

例：⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点． 求证：平面PAC⊥平面PBC．图1-13

3证明：在θO内．

∵AB为θO的直径，∴BC⊥AC．

又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC．

(五)总结

本节课我们讲解了两个平面垂直的定义、画法及判定方法．判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键．

五、作业

P．46中习题六．6、7、8、10(1)，∴平面PAC⊥平面PBC．

第三篇：《两个平面垂直的判定定理》

《两个平面垂直的判定定理》教材结构与内容简析：

1.1 本节内容在全书及章节的地位；

两平面垂直的判定定理出现在高中立几第一章最后一节，这之前学生已学习了空间两直线位置关系，空间直线和平面位置关系,特别是已学习了直线和平面垂直判定定理,二面角的平面角,这是学习本节内容的基础，而本节内容是第二章多面体、旋转体的学习基础，因此，本节的学习有着极其重要的地位。

1.2 数学思想方法分析：

1.2.1 从定理的证明过程，面面垂直可转化为线面垂直，就可以看到数学的化归，“降维”思想。

1.2.2 在教材所提供的材料中，从建构手段角度分析，可以看到归纳思想，而这一思想中包含着重组的意识和能力。教学目标：

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：

2.1 基础知识目标：掌握平面与平面垂直的判定定理及其变

式，能利用它们解决相关的问题。

2.2 能力训练目标：逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。

2.3 创新素质目标：引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力；判定定理及变式的教学培养学生的重组意识和能力；判定定理在现实生活中的应用培养学生的应用的意识和能力。

2.4 个性品质目标：培养学生勇于探索，善于发现，独立的意识，不断超越自我的创新品质。教学重点、难点、关键：

重点：判定定理的证明及变式探索

难点：判定定理的变式。

关键：本节课通过判定定理的证明及变式探索，着重培养和发展学生的认知和元认知能力。教材处理

建构主义学习理论认为，建构即认知结构的组建，其过程一般是先把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线联构成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。本课时为何提出变式呢，应该说，这一处理方法正是基于此理论的体现。其次，本节课处理过程力求达到解决如下问题：知识是如何产生的？如何发展？又如何从实际问题抽象成数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式，如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系。教学模式

遵循教学过程是教师活动和学生活动的十分复杂的动态性总体，是教师和每一个学生积极参与下进行集体认识的过程，教为主导，学为主体，又互为客体，启动学生主动学习，启发引导学生实践思维过程，自得知识，自觅规律，自悟原理，主动发展思维和能力。6 学法

6.1 让学生在认知过程中，着重掌握元认知过程：

6.2 使学生把独立思考与多向交流相结合。教学程序及设想

环节教学程序及设计设计意图7.1 设置问题，创设情景1.提出问题：教室两相邻墙面与地面位置关系如何？在日常生活中，你是如何验证两平面垂直的实际问题。2.（在学生讨论基础上，教师引导）建筑工人在砌墙过程中，为了验证墙面与地面是否垂直，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直1.把教材内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为“猜想”，惊讶，困感，感到棘手；紧张地沉思，期待寻找理由和证明的过程。2.我们知道，学习总与一定知识背景即情景相联系，在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。7.2 提供实际背景材料，形成假说1.在实际生活中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直，即若紧贴墙面的铅锤的线，如垂直地面，则确定墙面与地面垂直，否则不垂直。2.紧贴墙面的线？这句话的实质意义是什么？（学生讨论，期望回答：即此线在墙所在平面）3.由此实际问题如何抽象为数学问题呢？（学生交流讨论，期望回答：若平面过另一平面的垂线，则平面垂直）1.教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上(即思维的最邻近发展)通过问题引领，来促成学生形成面面垂直的判定定理。2.通过学生交流讨论，把实际问题抽象成数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达方式。7.3 引导探索，寻找解决方案1.如何证明上述假说呢？从已学过知识可知，只能从定义出发。2.定义的实质是什么呢？即证明两平面垂直的根据是什么？期望回答：即证二面角的平面是直角。3.二面角的平面角如何做出呢？在本假说中，如何做出二面角的平面角？关键在哪里？（学生交流）期望回答：假说中已知平面的垂线故此垂线必垂直于两平面的交线，所以关键在于在已知平面做与公共棱垂直的直线。尽可能地揭示出认知思想方法的全貌，使学生从整体上把握问题的解决方法。7.4 总结结论，强化认识经过引导，学生得出结论，教师强调此定理的含义促进学生数学思想方法的形成，引导学生确实掌握“降维”的思想方法7.5 变式延伸，进行重构1.教师引导：在此判定定理中已经知道，欲证两平面垂直，可以转化为证明直线与平面垂直进行解决。下面继续研究，已知平面α.β，直线L考察面α，β的位置关系，引导学生利用模型演示进行观察。命题1：如果一个平面平行另一个平面的垂线则这两个平面垂直。事实上此命题实质是判定定理中若平面不经过已知平面垂线时，我们给予加上此平面与垂线平行这一条件。命题2：如果一个平面与另一个平面的平行线垂直，则这两个平面垂直。3.教师引导：若问题中，只出现平面与平面位置关系时你是否能找出这样一个命题证明两平面垂直吗？学生的演示模型命题3：如果一个平面垂直于两个平行面中的一个平面则必垂直于另一个平面。1.学生在教师引导下，在积累了已有探索经验的基础上进行讨论交流，相互评价，共同完成了面面垂直判定定理变式定义上的建构。2.这一问题设计试图让学生不唯书敢于和善于质疑批判和超越书本和教师，这是创新素质的突出表现，让学生不满足于现状，执着的追求。3.让学生对教学思想方法，及其应情境达到较为纯熟的认识，并将这种认识思维地贮存在大脑中，随时提取和应用。7.6 总结回授调整1.知识性内容：证明两平面垂直的方法，常有判定定理，命题1，命题2，命题3。2.对运用数学思想方法创新素质培养的小结：a.要善于在实际生活中，发现问题，从而提练出相应的数学问题。发现作为一种意识，可以解释为“探察问题的意识”；发现作为一种能力，可以解释为“找到新东西”的能力，这是培养创造力的基本途径。b.问题的解决，采用了化归降维等数学思想，体现了数学思想方法是解决问题的根本途径：c.问题的变式探究的过程，是一个创新思维活动过程中一种多维整合过程。重组知识的过程，是一种多维整合的过程，是一个高层次的知识综合过程，是对教材知识在更高水平上的概括和总结，有利于形成一个自我再生力强的开放的动态的知识系统，从而使得思维具有整体的功能，创新的能力。

1、知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质。

2、运用数学方法，创新素质的小结能让学生更系统，更深刻地理解数学理想

方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质。这是每堂课必不可少的一个重要环节。7.7布置作业反馈命师

1、命题

2、命题3的探究过程，并整理证明过程。

第四篇：两个平面垂直的判定方法

★两个平面垂直的判定方法：

⒈定义（证明二面角为直二面角）

⒉判定定理：a,a.※

⒊向量法：※ c,a,b

0⑴.（可0

abA ⑵设n1,n2分别是平面、的一个法向量，则n1n2n1n20.（建系）

1、如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．证明：平面PAC⊥平面PBD；

2.如图所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB于点F.求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)面PAC⊥面PBC；(3)PB⊥EF.3.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)．

4.(文)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值．

5.(理)已知正三棱柱ABC－A1B1C1，若过AB1与BC1平行的平面交上底面A1B1C1的边A1C1于点D.(1)确定D的位置，并证明你的结论；

(2)证明：平面AB1D⊥平面AA1D.6．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．

(1)求证：AF∥平面BCE；

(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.7.(理)在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC是边长为2的等边三角形，AB＝2，O是AB中点．

(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；

(2)求证：平面PAB⊥平面ABC；

1．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()

A．充分不必要条件

C．充要条件B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2.设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是()

m⊥na⊥α⇒α⊥β ①⇒m⊥α②n⊂αa⊂β

m⊥α⇒m∥n④③n⊥α

A．①和②

C．③和④m⊂αn⊂β⇒m∥n α∥βB．②和③ D．①和④

3.已知直线l与平面α内的无数条直线垂直，则()

A．l⊥αB．l∥αC．l⊂αD．不能确定

4.用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；

④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()

4.(文)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是

A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β

B．若l∥α，α∥β，则l⊂β

C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β

D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

5．如图所示，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ACB＝90°，连结PB、PC，则图形中互相垂直的平面有（）()

A．一对B．两对C．三对D．四对

6.(理)若平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()

A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直

B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直

D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

7.(理)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则

①棱AB与PD所在的直线垂直；

②平面PBC与平面ABCD垂直；

③△PCD的面积大于△PAB的面积；

④直线AE与直线BF是异面直线．

以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)

第五篇：直线与平面垂直的判定和性质练习题

直线与平面垂直的判定和性质、平面与平面垂直的判定和性质（6.8）出题人：娄媛审题人：刘福义

一、选择题

1．两异面直线在平面α内的射影（）A．相交直线B．平行直线

C．一条直线—个点D．以上三种情况均有可能 2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个D．—定不存在3．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）

A．必相交B．必为异面直线C．垂直D无法确定 4．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是（）．

A.互相垂直 B.互相平行 C.一定相交 D.平行或相交 5．已知平面，直线l，直线m，lm，则l与的位置关系是（）． A．l B．l// C．l

D．以上都有可能

6．过平面外一点P：①存在无数个平面与平面平行；②存在无数个平面与平面垂直；③存在无数条直线与平面垂直；④只存在一条直线与平面平行．其中正确的是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个 7．在二面角-l-的一个面内有一条直线AB，若

AB与棱l的夹角为45，AB与平面所成的角为30，则此二面角的大小是（）．

A．30

B．30

或150C．45D．45或135

8下列命题

①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；

③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；

④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．

其中，正确的命题有（）

A．1个B．2个C．3个D.4个

二、填空题

9．正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角DA1C1B的大小是________．

10．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．

11.已知二面角ABCD、ACDB、ABDC都相等，则A点在平面BCD上的射影是BCD的___心． 12．、、是相交于点O，且两两垂直的三个平面，点P到、、的距离分别为4cm，6cm，12cm，则PO=________．

三、解答题

13．在四面体SABC中，ASC90，ASBBSC60，SASBSC，求证：平面ASC平面ABC

14如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过Bl作B1E⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC1⊥平面EBlD1

15已知，，a，b，a//b，求证：//．