2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 教学设计 教案

第一篇：2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

1、知识与技能

（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；

（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法

（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；

（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

2.教学重点/难点

通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

3.教学用具

投影仪等.4.标签

数学，立体几何

教学过程

（一）创设情景，揭示课题

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。

（二）研探新知

1、二面角的有关概念

老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）

2、二面角的度量

二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。教师特别指出：

（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。

（四）运用反馈，深化巩固 问题：课本P.73的探究问题

做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。

（五）小结归纳，整体认识

（1）二面角以及平面角的有关概念；

（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？

（六）课后巩固，拓展思维

1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。

2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？

课堂小结

（1）二面角以及平面角的有关概念；（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？

课后习题

1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。

2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？

板书 略

第二篇：直线与平面垂直的判定的教学设计

直线与平面垂直的判定的教学设计

阜阳市城郊中学

吴桃李

一、内容和内容解析

本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用．直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线（无一例外）都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行．直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的．本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想．直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础．

二、教学目标和解析

1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；

2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；

3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.三、教学问题诊断分析

学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础．学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理．

教学的重点是直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究； 教学的难点是操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用．

四、学习行为分析

本节课安排在立体几何的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义，进而通过辨析讨论，深化对定义的理解．进一步，在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理，并在教师的指导下，通过动手操作、观察分析、自主探索等活动，切身感受直线与平面垂直判定定理的形成过程,体会蕴涵在其中的思想方法．继而，通过例1的学习概括直线与平面垂直的几种常用判定方法．再通过练习与课后小结，使学生进一步加深对直线与平面垂直的判定定理的理解．

五、教学支持条件分析

观察和展示现实生活中的实例与图片，以直观感知直线与平面垂直的形象；准备三角形纸片，用于探究直线与平面垂直的判定定理；制作多媒体课件动态演示，以加深对直线与平面垂直定义及判定定理的感知与理解．

六、教学过程设计

1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象

问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？

设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”． 问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明．

设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义．

2.提炼直线与平面垂直的定义

问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？

设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？

问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?

(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？

设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念．

（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？

（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（对问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若，则)

设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念．通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法． 通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法． 3.探究直线与平面垂直的判定定理 创设情境 猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？

设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理． 师生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）

问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（组织学生动手操作、探究、确认）

设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直．

问题6：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线，把桌面抽象为平面(如图3)，那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么？

对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内．问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）

设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线．

问题7：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？

设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的．

根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法．

（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）问题8：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么? 设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？

如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？

设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时通过提出 “为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解．

4.直线与平面垂直判定定理的应用

如图５，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线．并说明这些直线有怎样的位置关系？

思考：如图６，已知，则吗？请说明理由．

（分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面）设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系．

练习：如图７，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点． 求证：AC⊥平面VKB

思考：

(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；

(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC 的中点，试判断EF与平面VKB的位置关系；

(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，对吗？ 设计意图：例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用．变式（1）在例2的基础上，应用了直线与平面垂直的意义；变式（2）是对例1判定方法的应用；变式（3）的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理．3个小题环环相扣，汇集了本节课的学习内容，突出了知识间内在联系和融会贯通．

5.小结回授

（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述．（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？

设计意图：以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解的语言对问题进行质疑和概括．

七、目标检测设计

1．PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形．

第三篇：直线与平面垂直的判定教案

《直线与平面垂直的判定》

选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2第二章第三节

一、教学目标 1.知识与技能目标

(1).掌握直线与平面垂直的定义

(2).理解并掌握直线与平面垂直的判定定理(3).会判断一条直线与一个平面是否垂直

(4).培养学生的空间想象能力和对新知识的探索能力

2.过程与方法目标

(1).加强学生空间与平面之间的转化意识，训练学生的思维灵活性

(2).要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加

3.情感态度价值观目标

(1).培养学生的探索精神(2).加强学生对数学的学习兴趣

二、重点难点

1.教学重点：直线与平面垂直的定义及其判定定理 2.教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解

三、课时安排

本课共安排一课时

四、教学用具

多媒体、三角形纸片、三角板或直尺

五、教学过程设计 1.创设情境

问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？

设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”。

问题2：列举在日常生活中你见到的可以抽象成直线与平面相交的事例？ 寻找特殊的事例并引入课题。设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。

2.提炼定义

问题3：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?

(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？ 设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。

（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）

思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？

（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（对问（1），在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若，则)

设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念。通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法。

通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验。这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法。

3.探究新知

创设情境

猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？

设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，猜想判定定理。师生活动：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）

问题4：（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

（组织学生动手操作、探究、确认）

设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直。

问题5：在你翻折纸片的过程中，纸片的形状发生了变化，这是变的一面，那么不变的一面是什么呢？（可从线与线的关系考虑）如果我们把折痕抽象为直线，把BD、CD抽象为直线 m，n，把桌面抽象为平面件是什么？

(如图3)，那么你认为保证直线与平面

垂直的条

对于两条相交直线必须在平面内这一点，教师可引导学生操作：将纸片绕直线AD（点D始终在桌面内）转动，使得直线CD、BD不在桌面所在平面内。问：直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗？（此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线）设计意图：通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内，从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词：平面内两条相交直线。

问题6：如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下，仍保证

吗？，（如图4）你认为直线还垂直于平面设计意图：让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。

根据试验，请你给出直线与平面垂直的判定方法。

（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化）

问题7：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?

设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想，通过寻找定义与判定定理的共同点，感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？

如果安装完了，请你去检验旗杆与地面是否垂直，你有什么好方法？

设计意图：用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学生用数学的意识，同时通过提出 “为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？”（对该问题可引导学生用三角形纸片来验证），从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解。

4.练习提高

如图5，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系？

思考：如图6，已知，则吗？请说明理由。

（分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明；并让学生用语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面）

设计意图：这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题，这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系。

5.小结回授

（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述。（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？

设计意图：以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生运用自己理解的语言对问题进行质疑和概括。

第四篇：直线与平面垂直的判定和性质练习题

直线与平面垂直的判定和性质、平面与平面垂直的判定和性质（6.8）出题人：娄媛审题人：刘福义

一、选择题

1．两异面直线在平面α内的射影（）A．相交直线B．平行直线

C．一条直线—个点D．以上三种情况均有可能 2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个D．—定不存在3．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）

A．必相交B．必为异面直线C．垂直D无法确定 4．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是（）．

A.互相垂直 B.互相平行 C.一定相交 D.平行或相交 5．已知平面，直线l，直线m，lm，则l与的位置关系是（）． A．l B．l// C．l

D．以上都有可能

6．过平面外一点P：①存在无数个平面与平面平行；②存在无数个平面与平面垂直；③存在无数条直线与平面垂直；④只存在一条直线与平面平行．其中正确的是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个 7．在二面角-l-的一个面内有一条直线AB，若

AB与棱l的夹角为45，AB与平面所成的角为30，则此二面角的大小是（）．

A．30

B．30

或150C．45D．45或135

8下列命题

①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；

③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；

④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．

其中，正确的命题有（）

A．1个B．2个C．3个D.4个

二、填空题

9．正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角DA1C1B的大小是________．

10．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．

11.已知二面角ABCD、ACDB、ABDC都相等，则A点在平面BCD上的射影是BCD的___心． 12．、、是相交于点O，且两两垂直的三个平面，点P到、、的距离分别为4cm，6cm，12cm，则PO=________．

三、解答题

13．在四面体SABC中，ASC90，ASBBSC60，SASBSC，求证：平面ASC平面ABC

14如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过Bl作B1E⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC1⊥平面EBlD1

15已知，，a，b，a//b，求证：//．

第五篇：《直线与平面垂直的判定》教学设计（最终版）

《直线与平面垂直的判定》教学设计

一、内容和内容解析

本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。

直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线（无一例外）都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理，本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条（无限）垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面 垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的。

本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。

二、学情分析

（1）学生的起点能力分析

学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。

学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折 纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。（2）学习行为分析

本节课安排在立体几何的初始阶段，是学生空间观念形成的关键时期，课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义，进而通过辨析讨论，深化对定义的理解。进一步，在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理，并在教师的指导下，通过动手操作、观察分析、自主探索等活动，切身感受直线与平面垂直判定定理的形成过程,体会蕴涵在其中的思想方法。继而，通过课本例1的学习概括直线与平面垂直的几种常用判定方法。再通过练习与课后小结，使学生进一步加深对直线与平面垂直的判定定理的理解。

三、教学目标

知识与技能目标：通过观察图片和折纸试验，使学生理解直线与平面

垂直的定义，归纳和确认直线与平面垂直的判定定理，并能简单应用定义和判定定理；

过程与方法目标：通过对判定定理的探究和运用，初步培养学生的几

何直观能力和抽象概括能力；

情感态度与价值观目标：通过对探索过程的引导，努力提高学生学习

数学的热情，培养学生主动探究的习惯．

四、教学重难点

教学重点：对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解及其简单应用。教学难点：探究、归纳直线与平面垂直的判定定理，体会定义和定理中所包含的转化思想．

五、教学方式

启发式与试验探究式相结合。

六、教学过程设计

（一）、观察归纳直线与平面垂直的定义

1、直观感知

问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置 关系？你能举出一些类似的例子吗？

设计意图：从实际背景出发，直观感知直线和平面垂直的位置关系，使学生在头脑中产生直线与地面垂直的初步印象，为下一步的数学抽象做准备。

师生活动：观察图片，引导学生举出更多直线与平面垂直的例子，如教室内直立的墙角线和地面位置关系，桌子腿与地面的位置关系，直立书的书脊与桌面的位置关系等，由此引出课题。

2、观察思考

思考：如何定义一条直线与一个平面垂直呢？

我们已经学过直线和平面平行的判定和性质，知道直线和平面平行的问题可转化为考察直线和平面内直线平行的关系, 直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察一条直线和一个平面内直线的关系，然后加以解决。

问题2：（1）如图1，在阳光下观察直立于地面旗杆AB及它在地面的影子BC，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？

（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么？

设计意图：引导学生用“平面化”的思想来思考问题，通过观察，感知直线与平面垂直的本质属性。

师生活动：教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，引导学生得出旗杆所在直线与地面内的直线都垂直。

3、抽象概括

问题

3、通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？

设计意图：让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义。

师生活动：学生思考作答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直。同时给出线面垂直的记法与画法。

定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线

l与平面α互相垂直，记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图2。

4、辩析举例

辨析：下列命题是否正确，为什么？

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直。

（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线。

设计意图：通过问题辨析，加深概念的理解，掌握概念的本质属性。由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思，定义的实质就是直线与平面内所有直线都垂直。由（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化。

师生活动：命题（1）判断中引导学生用铁丝表直线，用三角板两直角边表两垂直直线，桌面表平面举出反例。教师利用三角板和教鞭进行演示，将一块大直角三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一 条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直.在此基础上在讲台上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移动，那么BC始终和EF垂直，但它不一定和讲台桌面垂直，最后教师用多媒体课件展示反例的直观图，如图3。

由命题（2）给出下列常用命题：

这个命题体现了平行关系与垂直关系的联系，它是判断线线垂直的常用方法。

（二）、探究发现直线与平面垂直的判定定理

1、观察猜想

思考：我们该如何检验学校广场上的旗杆是否与地面垂直？ 虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？

问题

4、观察跨栏、简易木架等实物，你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？

设计意图：通过问题思考与实例分析，寻找具有可操作性的判定方法，体验有限与无限之间的辩证关系。

师生活动：引导学生观察思考，给出猜想：一条直线与一个平面内两相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

2、操作确认

问题5：如图4，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：

（1）折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？ 设计意图：通过实验，引导学生独立发现直线与平面垂直的条件，培养学生的动手操作能力和几何直观能力。

师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就与桌面垂直，再利用多媒体演示翻折过程，增强几何直观性。

3、合情推理

问题6：根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，你能给出直线与平面垂直的判定方法吗？

设计意图：引导学生根据直观感知及已有知识经验，进行合情推理，获得判定定理。

师生活动：教师引导学生回忆出“两条相交直线确定一个平面”，以及直观过程中获得的感知，将“与平面内所有直线垂直”逐步归结到“与平面内两条相交直线垂直”，进而归纳出直线与平面垂直的判定定理。同时指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.定理充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。用符号语言表示为：

4、质疑深化

辨析：如果一条直线与一个梯形的两条边垂直，那么这条直线垂直于梯形所在的平面吗？

设计意图：通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件。师生活动：学生思考作答，教师再次强调“相交”条件。

（三）、直线与平面垂直的判定定理的初步应用

尝试练习

1、求证：与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。

设计意图：初步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用线面垂直判定定理的条件。

师生活动：学生根据题意画图（如图6），将其转化为几何命题：不妨设a⊥AC,a⊥BC求证：a⊥AB。请两位同学板演，其余同学在练习本上完成，师生共同评析，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相交”的条件。

尝试练习

2、如图7，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。

设计意图：进一步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直，体会转化思想在证题中的作用，发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力。

师生活动：教师引导学生分析思路，可利用线面垂直的定义证，也可用判定定理证，提示辅助线的添法，将思路集中在如何在平面内α内找到两条与直线b垂直的相交直线上。另外，再引导学生将已知条件具体化的过程中，逐步明确根据异面直线所成角的概念解决问题。学生练习本上完成，对照课本P73例1,完善自己的解题步骤。同时指出：本例结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理.这样判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明.（四）、总结反思

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现的什么数学思想？（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？

设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括。师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示）。

七、目标检测设计

1、如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.求证：PO⊥平面ABCD

2、课本P74 练习1、2

3、课本P86 A组10

4、如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？

（板书设计）