§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案

第一篇：§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案

sx-14-(2-2)-01

5§1.1.1-1.1.2《变化率与导数概念》导学案

编写：袁再华审核：沈瑞斌编写时间:2014.4.25

班级＿＿＿＿＿组名＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿

【学习目标】

1.通过实例，了解变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；

2.掌握平均变化率的概念及其计算步骤，体会逼近的思想方法；

3.在了解瞬时速度的基础上抽象出瞬时变化率，建立导数的概念,掌握用导数的定义求导数的一般方法.【学习重难点】

重点：导数的概念。难点：平均变化率、瞬时变化率的理解。

【知识链接】：

请阅读本章导言

【学习过程】：

一、知识点一.变化率

阅读教材 P2-3页内容，回答下列问题：

问题1：在气球膨胀率问题中，气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系

是

__________.如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.(1)当V从0增加到1时,气球半径r增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.由以上可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系为h(t)=-4.9t+6.5t+10, 计算运动员在下列各时间段的平均速度v 2（1）在0t0.5这段时间里，=_______________________________

（2）在1t2这段时间里，v=__________________

二、知识点二.平均变化率概念

问题1：函数f(x)从x1到x2的平均变化率用式子表示为。问题2：设xx2x1,yf(x2)f(x1)，这里x看作是对于x1的一个“增量”

可用

x1+x代替x2,同样yf(x2)f(x1))，则平均变化率为

问题3：观察课本P4图1.1-1函数f(x)的图象，平均变化率y___________.xyf(x2)f(x1)表示什么?____________________________.xx2x1

问题4：求函数平均变化率的一般步骤：

① 求自变量的增量Δx=；

② 求函数的增量Δy=；

③求平均变化率yx

2问题5：已知质点运动规律为st3，求时间在（3，3+t）中相应的平均速度

温馨提醒：①x是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；②x2= x1+Δx，Δy=y2-y1；③Δx

可正可负

但不能为零。

思考：在高台跳水运动中,计算运动员在0t65这段时间里的平均速度，并思考以49

下问题： ⑴运动员在这段时间内是静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

三．知识点三.导数的概念

问题1：阅读教材P4-5内容.我们把物体在某一时刻的速度称为____________。一般地，若物体的运动规律为sf(t)，则物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到tt这段时间内，当t_________时的平均速度，即vlims=___________________ t0t

问题2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单

位：s）存在函数关系为ht4.9t6.5t10，运动员在t0=2的瞬时速度怎2

样表示？

问题3：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率表示为我们称它为函数yf(x)在xx0处的______，记作f'(x0)或________，即

温馨提示：

函数y=f(x)在x=x0处的导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,其定义的代数形式：f'(x0)=limf(x)f(x0)ylim；xx0xxx0xx0

2问题4：求函数y=2x在x=-1,x=-2时的导数,并说说你对所求结果的认识。

温馨提示：求函数yfx在xx0处的导数步骤：

(1)求增量yf(x0x)f(x0);

yf(x0x)f(x0);xyx

.x0时）x(2)算比值(3)求yxx0

问题5：阅读教材P6页例1，计算 21mv2。求物体开始运动后第5s时的动能。2

第二篇：导数的概念及其几何意义3导学案

导数的概念及其几何意义3导学案

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三大段

一中心

五环节

高效课堂—导学案

制作人：张平安

修改人：

审核人：

班级：

姓名：

组名：

课题

第六课时

导数的几何意义

（二）学习

目标

掌握切线斜率由割线斜率的无限逼近而得，掌握切线斜率的求法

学习

重点

（1）能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）会求曲线上一点处的切线斜率．

学习

难点

（1）能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）会求曲线上一点处的切线斜率．

学法

指导

探析归纳，讲练结合 学习

过

程

一

自主学习

．情境：设是曲线上的一点，将点附近的曲线放大、再放大，则点附近将逼近一条确定

的直线．

2．问题：怎样找到在曲线上的一点处最逼曲线的直线呢？

如上图直线为经过曲线上一点的两条直线．

（1）判断哪一条直线在点附近更加逼近曲线．

（2）在点附近能作出一条比更加逼近曲线

的直线吗？

（3）在点附近能作出一条比更加逼近曲线的直线吗？

3.归纳

（1）．割线及其斜率：连结曲线上的两点的直线叫曲线的割线，设曲线上的一点，过点的一条割线交曲线于另一点，则割线的斜率为

．

（2）．切线的定义：随着点沿着曲线向点运动，割线在点附近越来越逼近曲线。当点无限逼近点时，直线最终就成为在点处最逼近曲线的直线，这条直线也称为曲线在点处的切线；

（3）．切线的斜率：当点沿着曲线向点运动，并无限靠近点时，割线逼近点处的切线，从而割线的斜率逼近切线的斜率，即当无限趋近于时，无限趋近于点处的切线的斜率．

二

师生互动

例1．已知曲线，（1）判断曲线在点处是否有切线，如果有，求切线的斜率，然后写出切线的方程．

（2）求曲线在处的切线斜率。

分析：（1）若是曲线上点附近的一点，当沿着曲线无限接近点时，割线的斜率是否无限接近于一个常数．若有，则这个常数是曲线在点处的切线的斜率；（2）为求得过点的切线斜率，我们从经过点的任意一点直线（割线）入手。

例2．已知，求曲线在处的切线的斜率．

分析：为了求过点的切线的斜率，要从经过点的任意一条割线入手．

例3．已知曲线方程，求曲线在处的切线方程．

三、自我检测

练习第1，2，3题；

习题2-2A组中第3题

四、课堂反思、这节课我们学到哪些知识？学到什么新的方法？

2、你觉得哪些知识，哪些知识

还需要课后继续加深理解？

五、拓展提高、补充：判断曲线在点处是否有切线？如果有，求出切线的方程．

2、习题2-2中B组1、2

第三篇：1.1变化率与导数 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

（1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念

（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2.教学重点/难点

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解 教学难点：会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数

3.教学用具

多媒体、板书

4.标签

教学过程

一、创设情景、引入课题

【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【板演/PPT】

【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 【板演/PPT】 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

【设计意图】自然进入课题内容。

二、新知探究 [1]变化率问题 【合作探究】 探究1 气球膨胀率

【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么

【板演/PPT】 【活动】 【分析】

当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 解析：探究2 高台跳水

【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?（请计算）

【板演/PPT】 【生】学生举手回答

【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

【设计意图】两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。

探究3 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:（1）运动员在这段时间里是静止的吗?（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【板演/PPT】 【生】学生举手回答

【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.【活动】师生共同归纳出结论平均变化率: 上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子

我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：

【几何意义】观察函数f（x）的图象，平均变化率意义是什么？ 的几何

【提示】：直线AB的斜率 【生】学生结合图象思考问题 【设计意图】问题的目的是： ① 让学生加深对平均变化率的理解； ② 为下节课学习导数的几何意义作辅垫； ③ ③培养学生数形结合的能力。[2]导数的概念 探究1 何为瞬时速度 【板演/PPT】

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 解：

探究2 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?

从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时,平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度.因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.为了表述方便，我们用

表示“当t =2, △t趋近于0时,平均速度 趋近于确定值– 13.1”.【瞬时速度】

我们用

表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻 的瞬时速度?

【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t＝2秒时的瞬时速度。

探究3:

（1）.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?（2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的概念:

一般地，函数 y = f(x)在 x = x0 处的瞬时变化率是

称为函数 y = f(x)在 x = x0 处的导数, 记作

或,【总结提升】

由导数的定义可知, 求函数 y = f(x)的导数的一般方法: [3]例题讲解

例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时, 原油的温度(单位:)为 y=f(x)= x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是

在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.[4]本节课知识总结 1.函数的平均变化率

2.求函数的平均变化率的步骤:（1）求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)（2）计算平均变化率

3、求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)（2）求平均速度（3）求极限

4、由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)（2）)平均变化率（3）求极限

三、复习总结和作业布置 [1] 课堂练习

1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是()A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。

4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.课堂练习【参考答案】 1.D 解析：分别写出x＝x0和x＝x0＋Δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D.2.B 解析：3.解析：

4.解析：

课后习题

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本 P.10习题1.1 A组1,2,3,4.

第四篇：3．1 变化率与导数 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

知识与技能

1.理解平均变化率的概念.2.了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.3.理解导数的概念

4.会求函数在某点的导数或瞬时变化率.过程与方法

理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率．

情感、态度与价值观

感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力．

2.教学重点/难点

教学重点

平均变化率的概念． 教学难点

平均变化率概念的形成过程．

3.教学用具

多媒体、板书

4.标签

教学过程

教学过程设计

创设情景、引入课题

【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。新知探究 1.变化率问题 探究1 气球膨胀率

【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是

如果将半径r表示为体积V的函数,那么

【分析】

（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为 0.62>0.16，可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

解析：

探究2

高台跳水

【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10

探究3 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

（1）运动员在这段时间里是静止的吗?（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.【活动】师生共同归纳出结论平均变化率: 上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子表示.我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：

【几何意义】观察函数f（x）的图象，平均变化率 的几何意义是什么？

【提示】：直线AB的斜率 【设计意图】问题的目的是：

①

让学生加深对平均变化率的理解； ②

为下节课学习导数的几何意义作辅垫； ③ 培养学生数形结合的能力。2.导数的概念

探究1 何为瞬时速度2.【板演/PPT】

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 解：

探究2 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? 从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时,平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度.因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.为了表述方便，我们用

表示“当t =2, △t趋近于0时,平均速度趋近于确定值– 13.1”.【瞬时速度】 我们用

表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻 的瞬时速度?

【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t＝2秒时的瞬时速度。探究3:（1）.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?（2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的概念: 一般地，函数 y = f(x)在 x = x0 处的瞬时变化率是

称为函数 y = f(x)在 x = x0 处的导数，记作

由导数的定义可知, 求函数 y = f(x)的导数的一般方法: 1.求函数的改变量2.求平均变化率

3.求值

【典例精讲】

例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时, 原油的温度(单位:)为 y=f(x)= x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是

根据导数的定义，在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近, 原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.例2.求函数处的导数．

【小结】

1．求导方法简记为：一差、二化、三趋近．

2．求函数在某一点导数的方法有两种：一种是直接求出函数在该点的导数；另一种是求出导函数，再求导数在该点的函数值，此方法是常用方法． 【变式训练】

用定义求函数f(x)＝x2在x＝1处的导数．

【当堂训练】

1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为()A．f(x0＋Δx)

B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx

D．f(x0＋Δx)－f(x0)2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是()A．4

B．4.1 C．0.41

D．－1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。

4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.【参考答案】 1.D 解析：分别写出x＝x0和x＝x0＋Δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D.2.B

【作业布置】

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本 P.10习题1.1 A组1,2,3,4.课堂小结

1、函数的平均变化率

2、求函数的平均变化率的步骤:（1）求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)（2）计算平均变化率

3、求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)（2）求平均速度

（3）求极限

4、由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)（2）求平均变化率

（3）求极限

课后习题

课本 P10习题1.1 A组1,2,3,4.板书

第五篇：1.1变化率与导数 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.2.教学重点/难点

【教学重点】：

理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：

理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.3.教学用具

多媒体

4.标签

变化率与导数

教学过程

课堂小结

课后习题