空间中的平行关系的判断与证明（优秀范文5篇）

第一篇：空间中的平行关系的判断与证明

2012高三复习教案-1

2课题：平行与垂直关系的证明

学习目标：掌握线线平行、线面平行、面面平行的判定方法，并能熟练解决线面平行、面面平行的证明问题.(注意平行关系的相互转化)学习重点：平行关系的证明

学习重点：线线、线面、面面平行关系的相互转化。

一、主要知识及主要方法：

3.面面平行的证明：

（二）典例分析：例1．（1）a、b、c是条不重合的直线，、、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：

(1)

a∥ca∥∥c∥c

a∥b;(2)a∥b；(3)∥;(4)a∥;b∥cb∥∥ca∥c

(5)

∥∥

∥(6)a∥;其中正确的序号是_______∥a∥

(2)．设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是()

A.α⊥β且m⊥βB.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥αD.α∥β且mβ

例2．已知M、N、P是下列正方体各棱的中点，则AB//平面MNP的图形序号是__________

①

②

③

B

④

A

例3．如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中ABAC，PA平面ABCD，且 PAAB，点E是PD的中点（.1）ACPB

（2）PB//平面EAC

E

CD

例4．如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：（1）平面MNP∥平面A1BD.（2）AP⊥MN；

C

P

B

M

A

C

1例5．如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1

AB，点E、M分别为A1B、CC1的中点，2B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N。(1）求证：EM//平面A1B1C1D1；过点A（2）设

1、截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1＜V2），求V1∶V2的值.A

例6．如图，设P为正方形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD。M、N、O分别为BC、PA、BD的中点，(1)求证：BDON；(2)在直线AB上是否存在一点S，使得SN//平面PDM，若存在，求出S点位置；若不存在，说明

理由。

D

A

例7．（09四）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45(1)求证：EF平面BCE；

(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证： PM∥平面BCE(3)求二面角FBDA的大小



B

C

M

E

B

D

P C



例8．如图，DC平面ABC，EB//DC，ACBCEB2DC2，ACB120，P,Q分别

为AE,AB的中点．

（1）证明：PQ//平面ACD；

（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值．

例9．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是A点D在B1C1上，A1B、AC1的中点，1DB1C。

平面BB1C1C.求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD

例10．四边形ABCD为矩形，AD面ABE，AEEBBC2。F为CE上的点且BF面ACE(1)AEBE

(2)求三棱锥DAEC体积

(3)设M在线段上AB且AM2MB在CE是否存在 一点N使MN//面DAE若存在确定点N位置，不存在说明理由

D

C

F

A

B

E

第二篇：空间几何——平行与垂直证明

三、“平行关系”常见证明方法

（一）直线与直线平行的证明

1)利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行

2)利用三角形中位线性质

3)利用空间平行线的传递性（即公理4）：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4)利用直线与平面平行的性质定理： a∥ca∥bb∥c

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

a∥

aβ a a∥

b

α b b

5)利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．//aa//b



b

6)利用直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

baa∥

b7)利用平面内直线与直线垂直的性质：

8)利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

1)利用直线与平面平行的判定定理：

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

ab

a∥

b

a∥b

2)利用平面与平面平行的性质推论：

两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

a

∥

a∥

a

β

3)利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点

（二）平面与平面平行的证明

常见证明方法：

1)利用平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

a⊂b⊂a∩bPa//b//

//

b

2)利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 3)利用定义：两个平面没有公共点

三、“垂直关系”常见证明方法

（一）直线与直线垂直的证明

1)利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。2)看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。3)利用直线与平面垂直的性质：

如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

a

b

ba

b

a

4)利用平面与平面垂直的性质推论：

如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

l

abalbl

a

b

5)利用常用结论：

① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另

一条直线也垂直于第三条直线。

a∥b

ac

b

c

② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么

这两条直线互相垂直。

a

b∥

ab

b

（二）直线与平面垂直的证明

1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等

2)看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂

直于此平面。

3)利用直线与平面垂直的判定定理：

ababAlalb



l

l

b

A

a

4)利用平面与平面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

l

aal





a

l

5)利用常用结论：

①

a∥bb

a

② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一

个平面。

∥

a



a

（三）平面与平面垂直的证明

1)利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等

2)看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角

是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直。3)利用平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

aa







a



第三篇：证明空间线面平行与垂直

证明空间平行与垂直

 知识梳理

一、直线与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：直线与平面无公共点。

(2）判定定理： a

ba//ba//

//

（3）其他方法：a//a

a//

2.性质定理：a

 a//b

b

二、平面与平面平行

1.判定方法

（1）定义法：两平面无公共点。

a//

b//

（2）判定定理：a //

b

abP

（3）其他方法：aa// //;// a//

//

2.性质定理：a a//b

b

三、直线与平面垂直

（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

（2）判定方法

① 用定义.abac

② 判定定理:bcAa

b

c

a

③ 推论: b

a//b

（3）性质 ①

aa

ab②a//bbb

四、平面与平面垂直

（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。

a

（2）判定定理 

a

（3）性质

l

①性质定理

a

al

l②Al

P

PA垂足为A④PA

PPA

 “转化思想”

面面平行线面平行 线线平行 面面垂直线面垂直 线线垂直

例题1.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；例

题2.如图，在棱长为2的正方体

ABCDA1B1C1D1中,O为BD1的中点,M为BC的中点,N为AB的中点，P为BB1的中点.（I）求证：BD1B1C；（II）求证BD1平面MNP；

例题3.如图，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且ACBCa，∠VDC0（I）求证：平面VAB⊥平面VCD；



π． 2

π

（II）试确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为．

Ｄ

例题4.（福建省福州三中2008届高三第三次月考）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC1的中点，AE交A1D于点H.BB

（1）求证：AE平面A1BD；

（2）求二面角DBA1A的大小（用反三角函数表示）；

A1

CHA

C

第四篇：空间线面平行与垂直的证明

空间线面平行与垂直的证明

本考点以空间几何体为载体，既考查几何体的概念和性质，又考查空间线面位置关系（平行与垂直）的判定与性质，还可结合一些简单的计算进行考查，是每年高考的必考内容，也是重点考查的内容.该部分试题难度适中，一般都可用几何综合法解决，少部分不易证明的才通过建立空间直角坐标系用坐标法求解.（1）掌握线面平行、垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行与垂直，会用性质定理解决线面平行与垂直的问题.（2）通过线面平行、垂直的证明，培养同学们的空间观念及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力.该知识点的重点、难点是：线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的灵活转化；同时要注意推理表达的规范与完整.（1）证明平行或垂直问题，一般利用平行或垂直的判定定理及其推论，将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明；而无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线线垂直.可见，转化是证明平行、垂直问题的关键.（2）在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，再从结论中分析所要证明的关系，从而架起已知与未知之间的桥梁.增添辅助线是解决问题的关键，常见的添辅助线的方法有：中点、垂足等特殊点，用中位线、高线转化；有面面垂直的条件，则作交线的垂线，等等.例1 如图12，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，在等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心.图12

（1）求证：平面ADF⊥平面CBF；？摇

（2）求证：PM∥平面AFC.破解思路 对于第（1）问，将证明面面垂直转化为证明线面垂直；

（2）根据面面平行的性质定理，将线面平行的问题转化为面面平行来证明.答案详解（1）因为矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF.？摇 又AF？奂平面ABEF，所以CB⊥AF.又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，由余弦定理知BF=，所以AF2+BF2=AB2，所以AF⊥BF.又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CFB.因为AF？奂平面ADF，所以平面ADF⊥平面CBF.？摇

（2）连结OM并延长交BF于H，则H为BF的中点.又P为CB的中点，所以PH∥CF.又因为CF？奂平面AFC，所以PH∥平面AFC.连结PO，则PO∥AC.因为AC？奂平面AFC，所以PO∥平面AFC.又PO∩PH=P，所以平面POH∥平面AFC.因为PM？奂平面POH，所以PM∥平面AFC.？摇

例2 如图13，平面ABCD⊥平面ABE，其中四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，且AB=2，点F，G分别是BC，AE的中点.（1）求三棱锥F-ABE的体积；

（2）求证：BG∥平面EFD；

（3）若点P在线段DE上运动，求证：BG⊥AP.图13 图14

破解思路 对于第（1）问，求出三棱锥F-ABE的高后可直接求解.对于第（2）问，根据线面平行的判定定理，在平面EFD中，只要找出与BG平行的直线即可证明.对于第（3）问，可通过证明线面垂直来转化.答案详解（1）因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE.因为G是等边三角形ABE的边AE的中点，所以BG⊥AE，所以VF-ABE= S△ABE?BF= ? ?AE?BG?BF= ×2× ×1=.（2）如图14，取DE的中点M，连结MG，FM.因为MG AD，BF AD，所以MG BF，所以四边形FBGM是平行四边形，所以BG∥FM.又因为FM？奂平面EFD，BG？埭平面EFD，所以BG∥平面EFD.（3）因为DA⊥平面ABE，BG？奂平面ABE，所以DA⊥BG.又BG⊥AE，AD∩AE=A，所以BG⊥平面DAE.又AP？奂平面DAE，所以BG⊥AP.1.如图15，直角梯形ACDE与等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2.图15

（1）求证：平面BCD⊥平面ABC；

（2）求证：AF∥平面BDE；

（3）求四面体B-CDE的体积.2.如图16，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点.图16

（1）求证：MD⊥AC；

（2）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

第五篇：用向量法证明平行关系

2010 山东省昌乐二中 高二数学选修2-1导学案时间：2010-12-21班级：姓名：小组：教师评价：

课题: 3.2.1用向量法证明平行关系

编制人：刘本松、张文武、王伟洁审核人：领导签字： 【使用说明】1.用20分钟仔细研读课本P95-P98,认真限时完成问题导学预习自测；

2.具体要求：

三、练一练：

3

1、已知点A(3,4,0),B(2,5,5),而且BCOA，其中O为坐标原点，点C的坐标为

5

2、l1的方向向量为v1(1,2,3)，l2的方向向量为v2(,4,6)，若l1//l2，则等于

3、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任一点O，满足下面条件的点M是否一定在平面

（1）用向量表示直线或点在直线上的位置；

（2）用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行；

【学习目标】 1.掌握用向量法证明平行关系，提高概念理解和应用能力；

2.独立思考，合作学习，探究向量法研究空间平行问题的规律方法； 3.激情投入，形成扎实严谨的数学思维品质.【课前预习】

一、重点：用向量证明空间的平行关系；难点：空间向量在证明平行关系中的应用.二、问题导学

1.类比平面内直线的向量参数方程，写出空间直线的向量参数方程.思考：当t

1时，线段AB中点M的向量表达式是2.设v

21和v2分别是直线l1和l2的方向向量，则由向量共线的条件，得l1//l2或l1和l2重合的充要条件是什么？

l//或l在内的充要条件是什么？

//或与重合的充要条件是什么？

ABC内？ OM2OAOBOC

(四)我的疑问：

【课内探究】

一、讨论、展示、点评、质疑

探究一：用向量表示直线或点在直线上的位置

已知点A(2,3,0),B(1,3,2)，以AB的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P,Q为轴上的两

点，且满足条件：（1）AQ:QB2；（2）AP:PB2:3.求点P和点Q的坐标.拓展1：已知点A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5),且ABCD是平行四边形，则顶点D的坐标

2010 山东省昌乐二中 高二数学选修2-1导学案时间：2010-12-21班级：姓名：小组：教师评价：

拓展2：已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点A(0,3,5),B(2,2,0),C(0,5,0)，直线BD//CA，并且与坐标平面xOz相交于点D，求点D的坐标.拓展1（AB）已知矩形ABCD和矩形ADEF，AD为公共边，但是它们不在同一个平面上，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BM1

1BD,ANAE.证明：直线MN//平面CDE.3

3E

【规律方法总结】探究二：用向量法证明空间中的平行关系

如图，已知正方体ABCDA'B'

C'

D'，点M,N分别是面对角线A'B与面对角线AC''的中点.求证：MN//侧面AD'

；MN//AD'，并且MN1'

AD.A'

D'

B'N

C'

A

B

D

C

D

N

C

MA

B

拓展2（A）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC, E是PC的中点.用向量法证明PA//平面EDB.E

C

B

【规律方法总结】

二、课堂小结：

1.知识与方法方面：2.数学思想方法方面：