一元二次方程的实践与探索

第一篇：一元二次方程的实践与探索

一元二次方程的实践与探索

本人在班上了一节一元二次方程的实践与探索的探索课，其中产生了一些思考。

本节内容的知识目标是探索具体问题中的数量关系和变化规律，运用二元一次方程的知识进行描述和解决；能力目标是能选择、处理数学信息，并做出合理的推断或大胆的猜测；能结合具体情境发现并提出数学问题；尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效解决问题，并能与他人交流思维的过程和结果。情感目标是乐于接受生活中的数学信息，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，能从交流中获益。本节的教学重点是通过创设探索情境，体现数学与现实生活的联系，进一步培养学生解决问题的能力。教学难点是数学建模思想的培养，从实际问题中抽象出数学模型，进而用数学知识来解决问题。

问题设置如下：某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为首次打进世界杯决赛圈的国家足球队加油助威。可租用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空位也不超载。

（1）请你探求所有的可行性方案。

（2）请添加一个条件使之只有一种方案可行，并把它解答出来。

因本题需要学生自行建模，而大多学生只是枚举第一问的答案。对于学生的解答，请同学们作评价。教师适时调控，如：“你有什么理由说明你的答案就是正确的呢？确定没有遗漏？事实上，学生在教师质疑下产生自我批判，启发数学思考。学生开始主动寻求更为正确严谨的方式进行求解。

生1：（1）设租用8人座车x辆，4人座车y辆，依题意得:

8x+4y=36

x,y是非负整数，x0x1x2x3x4，，，，，y9y7y5y3y1

答：只有五种方案。分别是租9辆4人座车，或者1辆8人座车7辆4人座车，或者2辆8人座车5辆4人座车，或者3辆8人座车3辆4人座车，或者4辆8人座车1辆4人座车。

生2：（2）条件添加来两种车辆租用数量一样

8x4y36依题意得：  xy

解之得： x3 y3

答：租用8人座车和4人座车各3辆。

生3：……

选用的问题是精心设计的学生较易接受的题目背景，这样在教学中学生容易产生亲切感，有利于教学活动的开展。但是对于比较难的题型或知识，应该事先布置给学生作预习，这样将有助于课堂教学和学生更深层次的理解。

第二篇：一元二次方程与证明题

一元二次方程与证明题

班级姓名

一．填空题

1.一元二次方程x=16的解是

2.若关于x的一元二次方程x2(k3)xk0的一个根是2，则另一个根是______．

3．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．

4.某果农2006年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2008年年收入增加到7.2万元，则平均每年的增长率是__________.5．一元二次方程x2mx30的一个根为1，则另一个根为．

6、△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝＿＿＿＿。

7、如果等腰三角形的底角为15°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为＿＿＿＿＿＿。

8、矩形的两边长分别是 3cm 和 4cm，则对角线长＿＿＿＿cm。

９、等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为 15cm，19cm，则它的腰长为＿＿＿＿＿。

10、如果矩形一条较短的边是 5，两条对角线的夹角是 60°，则对角线长是＿＿＿＿。

二．选择题

11.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x212x350的根，则该三角形的周长为（）

A．14B．12C．12或14D．以上都不对

12．为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（）

A．20x2

5222B．20(1x)25 2C．20(1x)25D．20(1x)20(1x)25

213．已知x2是一元二次方程xmx20的一个解，则m的值是（）

A．3B．

32C．0D．0或3 14.若关于x的一元二次方程kx2x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是

(A)k1(B)k1且k0(c)k1(D)k1且k0

15.（2009山西省太原市）用配方法解方程x2x50时，原方程应变形为（）

A．x16

C．x29 222B．x16 D．x292216、如图，□ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，则图中全等的三角形共有（）

A、1对B、2对C、3对D、4对

D C

17.已知一直角三角形的周长是 4＋2 2，则这个三角形的面积是()A、5B、3 C、2 D、118、符合下列条件的四边形不一定是菱形的是（）A、四边都相等

B、两组邻边分别相等

D、两条对角线分别平分一组对角

D B

C

E C D

C、对角线互相垂直平分

19、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，BD⊥CD，则∠C＝（）

A、30°B、45°C、60°D、75° 20、如图，延长正方形ABCD的一边BC至E，使CE＝

AC，连结AE交CD于F，则∠AFC的度数是（）A、112.5°B、120°C、122.5°D、135° 三．解下列方程

（1）x24x20．（2）x22x30

（3）5x22x0（4）x12x350

四．解答题

1.已知：CD平分∠ACB，BF是△ABC的高，若∠A＝70°∠ABC＝60°求∠BMC的度数。

2.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，且AB＝CD，E是BC中点

求证：△ABE≌△DCE。

3.BE、CD是△ABC的高，F是BC边的中点，求证：△DEF是等腰三角形。

D

E

C

4.菱形ABCD的对角线交于O点，DE∥AC，CE∥BD，求证：四边形OCED是矩形。

D E

5.小鹏等同学在“福田花市”租了个摊位销售年桔，平均每天可售出20盆，每盆盈利4

4元.除夕将至，他们决定适当降价促销。观察发现：如果每盆降价1元，则每天可多售出5盆年桔，但每天至多能销售150盆.若每天要盈利1600元，每盆年桔应降价多少元？

6.如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，求证：（1）

∠EBM=∠ECB；（2）BE=AF.

第三篇：实际问题与一元二次方程

实际问题与一元二次方程

（一）-------传播问题和比赛问题

列方程解应用题的一般步骤：（1）__________（2）__________（3）__________（4）__________（5）__________（6）__________。

1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有

点121人患了流感，（1）每轮传染中平均一个人传染了几个

人？

（2）如果按照这样的传染速度，三轮传

染后有多少人患流感?

2、有一人患了流感，经过两轮传染后共有

100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数是_________，如果不及时控制，第三轮将又有_________人被传染？

3、某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若小分支、枝干和主干的总数是73，则每个枝干长出_________个分支？

4、某生物实验室需培养一群有益菌。现有

60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到目24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌。（1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂

出多少个有益菌？、（2）按照这样的分裂速度，经过三轮后

有多少个有益菌？

5、（1）参加一次足球比赛的每两队之间都

进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？

（2）参加一次篮球比赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛15场，共有多少个队参加比赛？

6、生物兴趣小组的同学将自己制作的标本

向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，则该兴趣小组共有多少名同学？

7、在某次聚会上，每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，则有多少个人参加这次聚会？

8、某航空公司有若干个飞机场，每两个飞

机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场多少个？

9、（1）两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。（2）两个连续偶数的和为6和8，则这两个连续偶数是________。

第四篇：实际问题与一元二次方程教案

教学过程

〖活动1〗 问题 通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？ 教师提出问题，学生回忆，选一位同学作答，其他同学补充.在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生对列方程解应用问题的步骤 是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题.（活动1为学生创设了一个回忆、思考的情景，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫）.〖活动2〗 问题 要设计一本书的封面，封面长27cm ,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）.（1）本题中有哪些数量关系？

（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数？（4）列方程并得出结论.（5）反思解决问题的关键是什么？

教师展示课件，教师提出问题（1）学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系.教师提出问题（2）学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9︰7.问题（1）（2）都是帮助学生更好的理解题意，为后面的解题做以铺垫.教师提出问题（3）学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法.问题（3）是活动2的中心环节，在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生对几何图形的分析能力；（2）学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；（3）在讨论中能否互相合作；（4）学生回答问题时的语言表达是否准确.学生充分的讨论，得出多种不同的方法，激发学生的学习热情，使学生体会解决问题的方法多样性.为活动3埋下一个伏笔.教师提出问题（4）学生分组，分别按问题三中所列的方程来解答，选代表展示解答过程.教师提出问题（5）学生充分的讨论，丰富解题经验.〖活动3〗某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.教师展示课件，请一位同学朗读题目.教师提出问题，学生回答方案1，学生通过探究与讨论，活跃了解题思路.教师提出方案（2）学生思考.因为有活动2的基础，选一位同学回答这一组问题即可，如有不完全的地方，教师适当补充.教师做屏幕演示，特别提醒学生：剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去2条路的面积？以引导学生注意道路重叠部分的处理.活动2是针对活动2的巩固性练习.《思考》：能不能把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些？ 学生分组讨论，教师指导.引领学生 讨论后请一位同学回答.教师引领学生发现两个图形都存重叠部分，但除此之外的剩余部分，第一个图是一个完整的矩形，易于表示；而第二个图中分为4块，所以不容易表示.《思考》是活动3的中心环节，以图形对比的问题为 引导，通过对比两个图形的联系与区别，启发学生方案1为模型，构建草坪问题的解题思路.学生分组讨论，画图，上台演示.教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则.在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生的学习效果；（2）使学生充分体会图形变换的灵活性；（3）学生对图形的观察、联想能力；（4）教师要强调图形变换中图形改变、位置改变、关键量不变的原则.在学生充分的思维活动之后，学生会自然产生动手实践的欲望，教师可以给学生一定的空间去发挥想象，同时也要注意对图形变换的指导，可以对部分不太合适的答案也进行一下点评.〖活动4〗 问题 通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？

〖活动5〗当堂测试

布置作业： 教科书53页，习题21.3第5、8题;教科书58页，复习题21第7、10题，教师应重点关注：

第五篇：21.3.1 实际问题与一元二次方程

21.3.1 实际问题与一元二次方程（1）

学习目标：

1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

3.通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．

4.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用． 重点、难点

重点：列一元二次方程解有关传播问题、平均变化率问题的应用题 难点：发现传播问题、平均变化率问题中的等量关系

【课前预习】（阅读教材P45 — 46 , 完成课前预习）探 究：

问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

分析：

1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感；

2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。则：列方程

，解得

即平均一个人传染了 个人。

再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？

问题2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？（精确到0.001）

绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，•乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，•乙种药品成本的年平均下降额较大．

相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．

分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为 元，两年后甲种药品成本为 元． 依题意，得

解得：x1≈，x2≈。

根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为。

②设乙种药品成本的平均下降率为y．则，列方程：

解得： 答：两种药品成本的年平均下降率 ．

思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？

【课堂活动】

活动1：预习反馈，分析问题

活动2：典型例题，初步应用 例1：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？

例2：青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8460kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.活动3：归纳小结

1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“设”，即设_____________，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中________ 关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的_________；(4)“检验”，即验证是否符合题意；(5)“答”，即回答题目中要解决的问题。2.增长率=（实际数-基数）/基数。平均增长率公式：Qa(1x)其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，2是增长（或降低）的次数。

【课后巩固】

1．某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人？

2．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（）

A．x（x+1）=182

B．x（x-1）=182

C．2x（x+1）=182

D．x（1-x）=182×2 3．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．

A．12人

B．18人

C．9人

D．10人

4.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？

5.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？

6．两个连续偶数的积为168，求这两个偶数.7.某商品原来单价96元，厂家对该商品进行了两次降价，每次降低的百分数相同，现单价为54元，求平均每次降价的百分数？

8.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%，平均每次降息的百分率是多少？（结果精确到0.01﹪）

9.一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm，面积是24 cm2，求两条直角边的长。

10.一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12 cm2，求菱形的周长。