基本初等函数的极限（全文5篇）

第一篇：基本初等函数的极限

基本初等函数在其定义域内极限值等于函数值.cc 常函数 yc limx

指数函数 yaxa0,a1

a1 limax limax0；0a1 limax0 limax xxxx对数函数 ylogaxa0,a1

logax；0a1limlogax，limlogax a1limlogax，limxx0xx0

三角函数

ytanx lim

xk2tanx limxk2tanx

ycotx limcotx limcotx xkxk

反三角函数

xlimarctanx2arctanx；limarccotx0 limarccotxxlimxx2

幂函数 yx

x2定义域为R,例如yx2，limx

1/21/21/2limxlimx0（定义域内的点）0,定义域为，例如，yxxx0

x10，limx1 定义域为,00,，例如yx1，limxx0

x1/20，limx1/2 定义域为0,，例如yx1/2，xlimx0

注：不管的取值，定义域都包括0,

0，limx，limx0；0，limx0，limx xx0xx0

第二篇：基本初等函数

基本初等函数

一、考点分析

函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线。在高考中，至少三个小题一个大题，分值在３０分左右。以指数函数、对数函数、生成性函数为载体结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）、反函数问题常常是选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。函数与导数的结合是高考的热点题型，文科以三次（或四次）函数为命题载体，理科以生成性函数（对数函数、指数函数及分式函数）为命题载体，以切线问题、极值最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件，与不等式、数列综合成题，是解答题试题的主要特点。

考点：函数的定义域和值域，了解并简单应用分段函数，函数的单调性、最值及几何意义、奇偶性，会利用函数图像表示并分析函数的性质；理解指数函数、对数函数的概念以及运算

性质，会画图像并且了解相关性质。了解幂函数的概念，结合图像了解变化情况。

易错点：容易遗忘判断单调性以及奇偶性的方法；容易遗忘指数、对数函数的图像性质，以及相关的运算性质。

难点：函数的单调性、奇偶性，指数、对数函数的图像性质以及运算性质。

二、知识分析

1．函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）

2．求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数

ylgx3的定义域是答：0，233，4 2，3．如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_____________。答：a，a

4．求一个函数的解析式数时，注明函数的定义域了吗？

如：f

令texx，求f（x)t0，∴xt21，∴f(t)et

x2121t21，∴f(x)ex21x0

5．如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？，u(x)（内层），则yf(x) yf(u)（外层）

当内、外层函数单调性相同时，f

(x)为增函数，否则f(x)为减函数

如：求ylog1x22x的单调区间。

设ux2x，由u0，则0x2且log1u，ux11，如图



当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

∴……）

6．如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0，则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)x3ax在1，上是单调增函数，则a的最大值是 A．0

B．1C．2D．

3x0令f'(x)3xa3x，则x

x，

由已知f(x)在1，1，即a3，∴a的最大值为3 7．函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图像关于原点对称 若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图像关于y轴对称 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0

a·2xa

2如：若f(x)为奇函数，则实数a

2x

1a·20a2

0，∴a1 ∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0，即0

212x

又如：f(x)为定义在(11)，求f(x)在，上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x

41(11)，上的解析式。

2x

令x10，，则x01，，f(x)x

412x2x

又f(x)为奇函数，∴f(x)x

4114x

2x

0)4x1,x(1，

又f(0)0，∴f(x)0,x0

2x

x,x0，141

8．你熟悉周期函数的定义吗？

（T0）若存在实数T，在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期函数，T是

一个周期。如：若fxaf(x)，则答： T2a为f(x)的一个周期。

又如：若f(x)图像有两条对称轴xa，xb即f(bx)f(bx)，f(ax)f(ax)，则f(x)是周期函数，2|ab|为一个周期

如图：

9．你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图像关于y轴对称 f(x)与f(x)的图像关于x轴对称 f(x)与f(x)的图像关于原点对称 将yf(x)图像右移a(a0)个单位

左移a(a0)个单位

yf(xa)上移b(b0)个单位yf(xa)b

 下移b(b0)个单位

yf(xa)yf(xa)b

注意如下“翻折”变换：f(x)|f(x)|,f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1y=log2x

作出y|log2x1|及ylog2|x1|的图像

10．你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

（1）一次函数：ykxbk0（2）反比例函数：y

kk

k0推广为ybk0是中心O'(a，b)的双曲线。

xxa

b4acb2

（3）二次函数yaxbxca0ax的图像为抛物线 

2a4a

b4acb2bx顶点坐标为，对称轴 2a4a2a

开口方向：a0，向上，函数ymin

4acb2

4a

a0，向下，ymax

4acb2

4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不

等式）的关系——二次方程axbxc0，0时，两根x1、x2为二次函数

也是二次不等式axbxc0(0)解集的端yax2bxc的图像与x轴的两个交点，点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程axbxc0的两根都大于

0

bkk，一根大于k，一根小于kf(k)0

2af(k)0

（4）指数函数：ya

x

a0，a1

ax(a>1)

（5）对数函数：ylogaxa0，a1

由图象记性质！（注意底数的限定！）（6）“对勾函数”yx

(a

0)，k

k0 x

1ap

11．你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a01(a0)，a

p



aa

0)，a

mn



mn



a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0

loga

M

1logaMlogaN，logalogaM Nn

logax

对数恒等式：a

x；对数换底公式：logab

logcbn

logambnlogab logcam

12．如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。先令xy0f(0)0，再令yx，……

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为偶函数。先令xytf[(t)(t)]f(tt)，∴f(t)f(t)f(t)f(t)，∴f(t)f(t)……

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2…… 13．掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），换元法，均值定理法，利用函数单调性法，导数法等。）

三、习题

第三篇：基本初等函数教学反思

初中我们学习了一次函数、二次函数、反比例函数三类初等函数，必修一中我们又要学习另外三种初等函数----指数函数、对数函数、幂函数。在前两章中我们已经学习了函数的概念、函数的基本性质——单调性、奇偶性，我在教学学过程中就将这些性质和初中学习的函数进行结合，分析讨论这些函数的相关性质。指数函数、对数函数、幂函数的研究也是以这些基本性质为出发点，来进行研究的。实质是对函数性质研究的延续。我主要谈一下我在教学对数函数的图像和性质方面的感受。

指数函数和对数函数间有着密不可分的关系，它们的性质有好多的相似指处，因此在教学过程中，我比较注重培养学生运用对比、类比的数学思想去学习对数函数函数。；同时从数形结合的角度去感性认识对数函数的性质，这样可以把函数的抽象性以更为直观的形式表现出来；在教学过程中，我还适时运用肢体语言让同学们感知函数图像，从而比较自然地使学生能尽快记住函数图像的样子，有了图像性质全部写在图上。数形结合这种重要的数学思想贯穿整个高中数学，应该逐渐使学生养成运用意识。学生对函数性质的把握还是不错的。

但是，对于新知的理解和接受需要一个过程，就像我们人与人之间的交往一样，新朋友的熟悉需要一个认识的过程。由于课程时间安排比较紧，我们不可能停下来认识，一个学期或一个学年后发现好多学生已经将对数函数、指数函数的性质忘记了，碰到了和陌生的一样。我觉得这和我们平时的月考内容安排有关系，我们的月考内容应该是之前的全部学习内容，非本学期的前面的知识要占一定比例，但是我们的安排都是本月学习什么只考什么，前面的根本不涉及。这样前面的东西就慢慢忘了。我们应该在这方面改进一下。

第四篇：函数极限

习题

1.按定义证明下列极限:

(1)limx6x5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x2x

x251;(4)lim(3)lim2xx1x2

(5)limcos x = cos x0 xx04x2=0;

2.根据定义2叙述limf(x)≠ A.xx0

3.设limf(x)= A.,证明limf(x0+h)= A.xx0h0

4.证明:若limf(x)= A,则lim| f(x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? xx0xx0

5.证明定理3.1

6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

2x;x0.(3)f(x)=0;x0.1x2,x0.

7.设 limf(x)= A,证明limf(xxx01)= A x

8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).xx0

习题

1． 求下列极限：

x21（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;x02x2x1x22

x21x113x;

lim(3)lim;(4)

x12x2x1x0x22x3

xn1(5)limm(n,m 为正整数)；（6）lim

x1xx41

（7）lim

x0

2x3x2

70；

a2xa3x68x5.（a>0）;(8)lim

xx5x190

2． 利用敛性求极限：(1)lim

x

xcosxxsinx

;(2)lim2

x0xx4

xx0

3． 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：

xx0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

xx0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

xx0

（3）lim

xx0

f(x)A

=(当B≠0时)g(x)B

4． 设

a0xma1xm1am1xam

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1

b0xb1xbn1xbn

试求 limf(x)

x

5． 设f(x)>0, limf(x)=A.证明

xx0

xx0

lim

f(x)=A，其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0

x0

7.设limf(x)=A, limg(x)=B.xx0

xx0

(1)若在某∪(x0)内有f(x)< g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？

（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x)> g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）：(1)lim 

x0

x

x11

lim;(2);nnx0x1xx1x

xx2xnn

(3)lim;(4)lim

x0x0x1

x1

x

(5)lim

x

x(提示：参照例1)

x

x0

x0

x0

9．（1）证明：若limf(x3)存在，则limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，试问是否成立limf(x)=limf(x2)?

x0

x0

x0

习题

1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.n

n

2.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在n

[a,+)上有上(下)界.3.(1)叙述极限limf(x)的柯西准则;

n

(2)根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.n

n

4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都

n

n

存在,则所有这极限都相等.提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0xu

x0

0xun(x0)

inff(x)

6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.xx0

7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0

x

8.证明定理3.9

习题

1.求下列极限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x0x0sinx2x

(3)lim

x

cosxx



tanxsinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x0x0xx

sin2xsin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

xxaxxa

;(4)lim

x0

tanx

;x

cosx2

(9)lim;(10)lim

x0x01cosxx11

sin4x

2.求下列极限

12x

(1)lim(1);(2)lim1axx(a为给定实数);

nx0x

x

(3)lim1tanx

x0

cotx

;(4)lim

1x

;

x01x

(5)lim（x

3x22x1);(6)lim(1)x(,为给定实数)

n3x1x

3.证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限:(1)limnsin

n



x0n





x2

xxcos1 2n22



n

;(2)

习题

1． 证明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinxO(x)(x→0);

+

(3)x1o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 为正整数)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 应用定理3.12求下列极限：

x21x(1)lim(2)lim x01cosxxxcosx

x3． 证明定理3.13

4． 求下列函数所表示曲线的渐近线：

13x34

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx2x

5． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1x

(3)tanxsinx;(4)

x24x3

6． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：

(1)

x2x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r

时的无穷大量。

9． 设 f(x)~g(x)(x→x0)，证明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

总 练习题

1． 求下列极限：

1

(x[x])lim([x]1)(1)lim;(2)

x3

x1

(3)lim（x

axbxaxbx)

xxa

(4)lim

x

(5)lim

xxa

x

(6)lim

xxxx

x0

(7)lim

nm,m,n 为正整数 nx11xm1x

2． 分别求出满足下述条件的常数a与b：

x21

(1)limaxb0 xx1

x(3)limx

(2)lim

xxx2

x1axb0

x1axb0

x2

3． 试分别举出符合下列要求的函数f：

(1)limf(x)f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的xx0

局部保号性有矛盾吗？

5． 设limf(x)A，limg(u)B，在何种条件下能由此推出

xa

gA

limg(f(x))B?

xa

6． 设f(x)=x cos x。试作数列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 证明：若数列{an}满足下列条件之一，则{an}是无穷大数列：

(1)limanr1

n

(2)lim

an1

s1(an≠0,n=1,2,…)

nan

n2

n2

8． 利用上题（1）的结论求极限：

(1)lim1

n

11(2)lim1

nnn

9． 设liman，证明

n

(1)lim

(a1a2an) nn

n

(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2an 10.利用上题结果求极限：

(1)limn!(2)lim

n

In(n!)

nn

11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明：若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)A，则有

n

f(x0－0)=

supf(x)A

0xU(x0)

12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)A。证明：f(x)A，x∈(0,+∞)

x

13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)f(1)lim

x0

x

证明：f(x)f(1)，x∈(0,+∞)

14.设函数f定义在(a,+∞)上，f在每一个有限区间内(a,b)有界，并满足

x

lim(f(x1)f(1))A证明

x

lim

f(x)

A x

第五篇：函数极限

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

第三章 函数极限

教学目的：

1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限

和，并能熟练运用；

4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。教学重（难）点：

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。

教学时数：16学时

§ 1 函数极限概念（3学时）

教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。

教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。

教学重点：函数极限的概念。

教学难点：函数极限的定义及其应用。

一、复习：数列极限的概念、性质等

二、讲授新课：

（一）时函数的极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例4 验证

例5 验证

例6 验证

证 由 =

为使

需有

需有

为使

于是, 倘限制 , 就有

例7 验证

例8 验证(类似有

（三）单侧极限:

1．定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域

《数学分析》教案

第三章 函数极限

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我们引进了六种极限:.以下以极限，为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th 4 若使，证 设

和都有 =

(现证对 都存在, 且存在点 的空心邻域)，有

註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有

5.6.以

迫敛性:

”为“ 举例说明.”, 未必

四则运算性质:(只证“+”和“ ”)

（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例8

例9

例10 已知

求和

补充题:已知

求和（）§ 3 函数极限存在的条件（4学时）

教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则 运用。

教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限

为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：

Th 1 设函数在,对任何在点

且的某空心邻域

内有定义.则极限都存在且相等.(证)

存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为

单调趋于

.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.7 《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

教学难点：两个重要极限的证明及运用。

教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一．

（证）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 证明极限 不存在.二.证 对

有

例6

特别当 等.例7

例8

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

三． 等价无穷小：

Th 2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3(等价无穷小替换法则)

几组常用等价无穷小:（见[2]）

例3 时, 无穷小

与

是否等价? 例4

四.无穷大量:

1.定义:

2.性质:

性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:

无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大

习题 课（2学时）

一、理论概述：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例7.求

.注意 时, 且

.先求

由Heine归并原则

即求得所求极限

.例8 求是否存在.和.并说明极限

解;

可见极限 不存在.--32