复数复习

第一篇：复数复习

1．若复数(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值是．

2．已知M＝{1,2，(a－1)＋(b－5)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，实数a与b的值分别是．

z2－2z3．已知复数z＝1－i． z－

14．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC

AG的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的GD

四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面

AO的距离都相等”，则＝． OM

5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b＞0”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”． 其中类比得到的结论正确的序号为．

6．已知复数z1＝4＋2i，z2＝k＋i，且z1·z2是实数，则实数k＝________．

7．＝6

8．复数z1＝

数a的值．

119．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋a＋bb＋c

＝3，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若a＋b＋c32(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，求实a＋51－a2＋23，33＋＝84＋4815，…，若156＋b(a，b均为实数)，则猜测a＝________，b＝________． b

成等差数列，请给出证明．

解答：

1．a＝

3a＝42． b＝5

z2－2z－222i3．＝＝2i z－1－ii－

14．①②

6，此时易知3

13点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有r3

41366666＝⇒r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝343123124

＝3.4125．【解析】 如图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM

6．k＝

27． 6 3

58．【解析】 z1＋z2＝32＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i a＋51－a

32＝a＋51－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i 

＝a－13(a2＋2a－15)i.(a＋5)(a－1)

∵z1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.9．【证明】 A、B、C成等差数列，下面用综合法给出证明：

113∵＝ a＋bb＋ca＋b＋c

a＋b＋ca＋b＋c∴3，a＋bb＋c

ca∴＝1，a＋bb＋c

∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cos B＝，2ac2ac

2∵0°＜B＜180° ∴B＝60°.∴A＋C＝2B＝120°，∴A、B、C成等差数列．

第二篇：期末复习：推理与证明,复数

高2013级数学（文科）期末复习

期末复习：推理与证明，复数

一、推理

1．归纳推理是由，从的推理。

Ex1:将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，（二）间接证明：反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结

论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：

(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

Ex: 用反证法证明数学命题: 设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于1

4三、复数

24k4k+14k+24k+

31、虚数单位i，规定：i=；i=；i=；i=；i=（kN*）

2、复数的代数形式是，全体复数所成的集合叫做________集。用字母________来表示。

3.z=a+bi（a、bR），则复数z的实部是；复数z的虚部是。复数z是实数，复数z是虚数，复数z是纯虚数

4、z1=a+bi（a、bR），z2=c+di（c、dR），复数z1=z2；复数z1>z2

5、复数的几何表示：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,x轴叫做________轴，y轴叫做

_______轴.实轴上的点都表示______数；除原点外，虚轴上的点都表示__________数。

6、z=a+bi（a、bR），则|z|=|a+bi|=，|z|的几何意义是

7、z1=a+bi（a、bR），z2=c+di（c、dR），则z1+z2=，对应向量运算；

z1-z2=，对应向量运算

8、z1=a+bi（a、bR），z2=c+di（c、dR），则|z1-z2|=，|z1-z2|的几何意义是

9、z1，z2是两个已知复数，z是满足下列等式的复数，写出z所对应的图形分别是什么？

（1）|z-z1|=a(aR，a>0)

（2）|z-z1|=|z-z2|

（3）||z-z1|+|z-z2||=2a(aR，|z1-z2|<2a)

（4）||z-z1|-|z-z2||=2a(aR，|z1-z2|>2a)

10、复数乘除法：（1）43i54i(2)2i74i11、z=a+bi（a、bR），则复数z的共轭复数为z=，zz=

12、实系数一元二次方程ax+bx+c=0(a、b、cR，且a0)的根的情况

当>0时，方程有根，分别为

当=0时，方程有根，为

当<0时，方程有根，分别为

四、题型分类

(一)i的运算1、1iiii12321232010、1iiii20101232010i3、i2i3i20105、f(n)=iinn2010、1i111i2i3i2010nn(nN*)的值域是1i

6、1i1i1i=

7、n为奇数，=1i1i

(二)复数分类

21、z=(2+i)m-3(1+i)m-2(1-i)(mR)，z是实数，m取值； z是虚数，m取值；z是纯虚数，m取值；

2、z1=a+bi（a、bR），z2=2+ci（cR），则z1> z2的充要条件是

(三)复数的坐标表示、与向量之间的关系1、3+4i的点关于原点对称的点对应的复数为

22、(m+m-2)+(6-m-m2)i对应复平面上的点一定不在第象限

3、平行四边形中，z1=1+2i，z2=-2+i，z3=-1-2i对应复平面上的点为三个顶点，第四个顶点对应的复数

为

4、复数3-4i和5-6i分别对应向量，求向量AB所对应的复数

(四)共轭运算

1、z1z223i，z1=1-5i，则z2=

2、(z+2)(z2)z,则z=

(五)模的运算及几何意义

2(12i)5(34i)

1、=

2、| z1+ z2|| z1|+| z2| 5(2i)

3、若集合M={z| |z+1|=1, zC},集合N={z| |z-2i|=|z|，zC},则MN=

4、复数z满足条件|z|=1，则|z+3-i|的取值范围是

5、复数z=cos+isin,(R)，则|z+1-i|的取值范围是

6、复数z1 z2满足| z1|=3，| z2|=4，| z1+ z2|=5，则|z1 –z2|=

7、|z|+z=8-4i，则z=

8、(1+i)z115i, z2=a-2i , |z1z2||z1|, a的范围(六)函数

1、f(z)=1-z,则z1=2+3i, z2=5-i, 则f(z1z22、f(z)=z-1,则z1=2-3i,f(z1 –z2)=4+4i，求z2=, |z1+z2|=

(七)一元二次方程1、2+ai，b+i（a、bR）是实系数一元二次方程x2pxq0的两根，2、、是方程xxm0（mR）的两个根，且||=2，求m的值

3、复数、是方程xxm0（mR）的两个根，且||||=2，4、方程x+(k-2i)x+4+2i=0有一个根是2，复数另一个根为

五、反思小结

六、巩固练习

1、若zC,且|z-3i|-iz=6-3i,则z=_____.2、若|z1|=|z2|=1,|z1＋z2|=3,则|z1－z2|=________。

第三篇：名词复数

1.名词复数的构成方法

规则变化的复数名词遵循以下原则：

(1)在一般情况下，加词尾-s：

desk→desks 书桌

tree→trees 树

face→faces 脸

(2)以 s, x, z, sh, ch 等结尾的名词，通常加词尾-es：

bus→buses 公共汽车 box→boxes 盒子

dish→dishes 盘子

(3)以y 结尾的名词，其复数构成要分两种情况：以“辅音字母+y”结尾的名词，将 y 改为 ies；以“元音字母+y”结尾的名词，直接加词尾-s：

city→cities 城市

boy→boys 男孩

key→keys 钥匙 monkey→monkeys

(4)以o结尾的名词，有些加-es，tomato→tomatoes 西红柿

potato→potatoes土豆

hero→heroes英雄

Negro→Negroes黑人

【注】以o结尾的名词后加词尾-s的有 zoo(动物园)，photo(照片)，piano(钢琴)，等；

(5)以 f 或 fe 结尾的名词，一般将 f / fe 改为 ves：

knife→knives 小刀

thief→thieves 贼 life→lives 生命

【注】主要的有wife(妻子)，life(生命)，knife(小刀)，leaf(树叶)，thief(贼)，half(一半)，self(自己)，loaf(面包)，wolf(狼)。它们的复数形式均是将词尾的f或fe改为ves。

另外，也有的以 f 或 fe 结尾的名词直接加词尾-s构成复数（如roof →roofs 屋顶，proof →proofs 证据），但这在初中英语中很少见。

2.单数与复数同形的名词

初中英语中主要的有：

sheep 绵羊 fish 鱼

deer 鹿 Chinese 中国人

Japanese 日本人 Swiss 瑞士人

等

【注】fish 有时也用 fishes 这样的复数形式，尤其表示种类时。

3.不规则的复数名词

有的名词单数变复数时，没有一定的规则：

man→men 男人

woman→women 女人

child→children 小孩

tooth→teeth 牙齿

foot→feet 脚

mouse→mice 老鼠

【注】一些以 man, woman 结尾的合成词，构成复数时与 man, woman 的变化形式相同，如：

policeman→policemen 警察

Englishwoman→Englishwomen(女)英国人

但是 human(人)，German(德国人)不是合成词，其复数不能仿 man 的变化规律，而是按规则变化，即用 humans, Germans。

另外，当man和woman用于名词前作定语时，若其后被修饰的名词为复数，则man和woman也要用复数：

man nurse→men nurses 男护士

woman doctor→women doctors 女医生

第四篇：复数教案

2014年10月16日教案

教学课程

复数的有关概念

教学目标

（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．

教学内容

1、复数的有关概念，由x^2+1=0，引进概念虚数 正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

2、分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下。

3、复数相等的充要条件，对于复数 数 时，一定有，实部是，虚部是 ．注意在说复，否则，不能说实部是，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式

②实部、虚部中的字母为实数，即

4、复数的几何表示，①任何一个复数 都可以由一个有序实数对()唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对（）叫做复数的．

②复数 而不是(用复平面内的点Z()表示．复平面内的点Z的坐标是()，)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者 就是纵轴的单位长度．

③当

(时，对任何，时，是纯虚数，所以纵轴上的点())都是表示纯虚数．但当 是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

5、共轭复数的概念．要学生注意可以提一下当

于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当 轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行． 随即写几个例子

时的特殊情况，即实轴上的点关

时，与

互为共

6、“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意： 根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么

．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

(i)对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)

教学重难点

1．要注意知识的连续性：复数因而注意与平面解析几何的联系．

2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．

是二维数，其几何意义是一个点，3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．

第五篇：复数课件

复数

在人的一般印象中，对于数字的概念，一般都是-1-2 0.1.2.3，或者1.1，1.2 再深一点就是√2，√3.诚然，每一种新的数的范围的发现到被人为人接受，熟知，是要经过一段历程，在过去的历史中，它的发展曲折的。

面对复数，人们很难理解，心有不免有疑问，复数到底是什么，复数是怎样产生的?它是不是像有些书上所叙述的那样:在求一元二次方程的过程中，实数集不够用了需要进行扩张,扩张后的数集,使得一元二次方程

有解,从而引入复数

。这一过程表面上看似乎也符合人们的认识，也能为人们，特别是中学生所接受。可是在历史上复数却不是这样产生的,它不是产生干一元二次方程的求解过程.而是首先出现在求解一元三次方程的过程中。

16世纪意大利米兰医生卡当，从一位外号称为“塔尔里塔里”（意大利语为“口吃者”）那里得到一份关于一元三次方程求解方法的手稿，于1545年在他们“大法”一书中首先公布了一元三次方程的求解公式，他认为任何一个一元三次方程卡当在（1）式中，令

当就得到

或

时，就可以满足上述方程，这

都可以化为形如，使（1）式成为

（1）

因此便得到方程的解为

而对于一元三次方程

只要令，用同样的方法可得到

这就是解一元三次方程的卡当公式。

上述解一元三次方程的卡当公式，在数学逻辑推导上是正确无误的，但是这个方程显然有的根，以及另外两个实数根。这就产生了矛盾；在解一元三次方程时，要想得到大家承认的实数根，就必须经过负数开平方这样严峻而又不能邂逅的事实。这与在求解一元二次方程的情况完全不一样了，在一元二次方程的求解过程中，人们不承认负数开平方不会导致任何矛盾。因此虚数产生于求解一元三次方程的过程中也就不难理解了。

虽然卡当当时还不能通过自己的公式将这些实数根求出来，而把这类方程称为“不可约情形”

后来经过达朗贝尔，欧拉，高斯等数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

接下来正式介绍一下复数 Z=x+yi 其中x称为复数的实部，y为复数的虚部

i为虚数单位.假如两个复数要相等的话，就必须满足实部之间相等，虚部之间同样相等 此外，复数还存在一个共轭复数概念

所谓共轭复数，也是就是两个复数之间的虚部互为相反数，其他相同。如z = 1+i z =1-i 复数的四则运算