复数说课稿

第一篇：复数说课稿

《复数的有关概念》说课稿

大家好！我是焦作一中的郜珂。今天，有幸借此平台与大家交流，希望各位专家和老师指导我的说课。我说课的题目是《复数的有关概念》，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学过程、自我反思五个部分作具体的阐述。

一、教材分析

首先是教材分析，《复数的有关概念》是北师大版新课程标准实验教科书选修系列2的模块2中第五章第一节的内容，这节课的主要内容是数系的扩充与复数的引入、以及复数的有关概念。数系扩充的过程体现了数学的发现和创造的过程，同时也体现了数学发生发展的客观需求和背景。

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。对于高中生来说，学习一些复数的基础知识是十分必要的，这可以促使学生对数的概念有一个初步的较为完整的认识，也给他们运用数学知识解决问题增添了新的工具，同是还为进一步学习高等数学打下一定的基础。

在实际生活中，复数在电力学、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信息分析等方面都得到了广泛的运用，是现代人才必备的基础知识之一。

二、学情分析

与本节教材相关的学生情况有如下几个特征：（1）我们的学生在从小学到高中的学习中已经掌握了整数、分数、正数、负数、有理数、无理数、实数这些概念，也掌握了相应的运算法则和运算律；(2)同时又从政治和历史课中了解到一些与数系扩充的有关的重要历史事件；(3)但是学生们对数的分类的掌握，主要依靠的是简单记忆，当然对数系的扩充过程以及与人类发展史的必然联系不甚了解。

三、教学目标

鉴于以上对教材和学情的分析，确定本节课的教学目标如下：

1、知识目标：了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件

2、能力目标:通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等充要条件的研究过程中提高学生类比思考的能力；

3、情感目标：提高学生学习数学的兴趣；拓展数学视野，使学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。

四、课堂设计

为了达成以上教学目标，我将本节课设计成以下五个环节： 首先是设置情境，演示数系扩充的过程；然后引入虚数，讲解复数的基本概念；接下来通过类比学习，掌握复数相等的充要条件；完成了以上新概念的学习环节之后，利用课堂小结巩固本节课主要内容。最后进行课外引申，激发学生课外学习兴趣。

第一环节中，首先让学生回忆从小学到高中认识数的过程，然后结合人类发展史，通过幻灯片展示，用通俗易懂的语言向学生演示数系发展的过程。展示过程如下：

从远古围猎时期人类常用的“结绳”和“堆石”记数方法中，逐步产生了自然数的概念；在分配劳动成果的过程中，产生了“正分数”的概念；随着人类商品交换时代的来临，为了表示相反意义的量，又引入了“负数”的概念；至此人们认为所有的数都可以用两个互质整数的比值来表示；然而，随着人类种植活动的兴盛，在丈量土地、计算长度、计算产量过程中产生了经验几何学，其中在勾股弦定理使用中发现：在求两直角边长度都是“1”的直角三角形斜边的时候，其斜

边长度不能用任何有理数来表示，于是引入了无理数，把数系扩充为实数。

在此，提出问题：数系发展的动力和原因是什么？由学生体会并回答。

这个过程中通过兴趣学习，让学生了解数系扩充的过程，让学生亲自体会到“数的产生和发展，是人类生产和生活的需要”。之后，我还会指出数系的每一次扩充也是数学自身发展和完善的需要，并以解方程为例进行说明。为了使方程理论更加完整数系一步步扩充到了实数。

第二环节：引入虚数，理解复数的基本概念。

通过第一环节的学习，学生已经了解了由自然数到实数的数系扩充过程。但是人们发现在实数范围内仍然无法完全解决代数方程根的问题，例如在解方程x?1?0时候，用任何实数都无法表达其方程的根，这就必须引入新的“数”。2 这时，要鼓励学生积极思考和尝试创造，并肯定学生的思维结果。由此自然地引入“虚数单位i”，规定i2??1；接着要求学生尝试求解方程x2??4和x2?2x?5?0的根，让学生逐步发现复数的代数表示形式z?a?bi。指出这些原来在实数范围内无解的方程，现在可以借助虚数单位表示出根来，这些根都是虚数，与之对应，之前我们认识的数都是实数，实数和虚数统称为复数。接下来，提出问题“形如z?a?bi的数是否一定是虚数？”

在学生思考和讨论之后，总结结论并讲解实部虚部的概念，通过对实部虚部取值情况的分析，帮助学生掌握复数集的分类：当虚部b=0时复数z?a?bi表示的是实数，当虚部b≠0时复数z?a?bi表示的是虚数，特别的当b≠0且a=0时复数z?a?bi可写成z?bi，这样的数是纯虚数。至此完成了“引导学生从实数系到复数系扩充”的教学任务。结合学生认识数的过程，引导学生发现“每个人认识数字的历程都和人类发展史中数系扩充的过程是一致的”，让学生体会到数学体系、数学思维的发展会促进人类全面素质的提高，从而激发学生学习数学的兴趣和热情。

为了巩固学生对复数概念的理解，与学生一起分析例一，边启发边讲解，注重实部虚部概念的表述，强调复数a?bi的实部是a，虚部是b，不是bi。之后要求学生思考课后练习第一题，以此加强对复数概念和复数集分类的掌握。最后通过提问的方式确认学生已经达到本环节教学目标的要求。为了提高学生思维能力并加强学生对复数概念的理解，引导学生完成例一变式：

例1变式:当m为何实数时，复数z?m2?m?2?(m2?1)i是

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0 在第四问中，通过复数z等于0的题目设置引导学生向复数相等充要条件的教学目标过度。

第三环节：进入到第三个教学环节，引导学生类比两个二项式相等的条件，归纳出复数相等的充要条件，即实部与实部相等并且虚部与虚部相等。之后，详细讲解并板书例二，如幻灯片所示，起到教师的典范的作用。

例2:设x,y?r,并且(x?2)?2xi??3y?(y?1)i,求x,y的值.在观察学生反映，确认学生已经基本理解复数相等的充要条件之后，要求学生独立完成课后练习第二题。经过巡视，挑出学生代表展示其解析过程，表扬书写比较工整的学生，以达到教育全班学生要规范严谨的教学目的。

为了引起学生重视并给学生提供思维能力升华的空间，鼓励学生积极思考例二

变式

例2变式：已知实数x与纯虚数y满足2x?1?2i?y,求x和y.这个题目要由学生在组内讨论完成，为了保证教学效果，教师积极参与到小组讨论中去，通过交流与观察，由完成较好的小组推举出代表为大家进行讲解，教师及时给予点评。

第四个环节课堂小结

在完成了新知学习的环节之后，进入到课堂小结。引导学生通读一遍课本的同时回顾本节课的主要内容，由学生自己总结出本节课的主要知识和方法。并在多媒体上演示这些内容。以此达到提高学生归纳总结能力的教学目标。

布置作业时，分两部分：

1、书面作业：课后习题a组第1、2题，书面作业设置的目的，就是通过这些题目的训练，达到促使学生课下复习思考，加深对复数相关概念的理解和应用。

2、知识拓展作业：小组成员交流合作，写一篇与数系扩充和发展有关的小论文；以此促使学生对数学史进行研究，延伸了数学课堂，并达到提高学生语言组织能力、逻辑思考能力的教学目的。

第五个环节，课外引申，激发学生课外学习的兴趣

最后一个环节，进行课外引申，激发学生课外学习数学的兴趣。通过提出“数系发展到复数之后还能不能继续扩充？”这样的问题，引发学生思考，并鼓励学生了去解章末阅读材料中“四元数”的内容，再推荐一本书目《虚数的故事》给兴趣浓厚的学生提供课外拓展数学视野的平台。

五、自我反思

在最后，我对本节课的设计进行一下自我反思。

在设计之初，考虑到复数基本概念比较容易掌握，但如果要求学生简单硬性记忆，并不能达到新课程标准中三维目标的要求。所以本节课设计理念就是：把数系扩充过程的详细生动讲解作为一个亮点，以此吸引学生的注意力，提高学生学习兴趣，激发学生思考和创造的精神，并且期望能达到进一步提高学生数学素养的最高目标。

在课堂设计中，采用了教师示范、自学讨论、学生互评等多元化的教学方式，在教学过程中时刻注重学生的参与，每个环节都采用有效的方法来确认教学目标的达成，保证课堂的时效性，圆满完成本节课的教学任务。

我的说课到此结束，希望各位专家和老师给予指导。谢谢！

焦作一中 郜珂

2010年3月29日篇二：数系的扩充和复数的概念说课稿 3.1.1《数系的扩充和复数的概念》说课稿

郑州十二中 张敬生

一 学习目标分析 学习目标是教学中最先要考虑的因素，明晰学习目标，做到有的放矢，是课堂教学的第一要素。我从以下几个方面考虑来制定本节课的学习目标：（1）明确《课程标准》要求；（2）分析教材；（3）分析学情。

1、本节课的《课程标准》要求：

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。

2、分析教材

复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充．但是，复数它完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性．实际的需要使实数具有某种实在感．可是，复数的情形却不一样，是纯理论的创造．

新课程中复数内容突出复数的代数表示，同时也强调了复数的几何意义．它的内容是分层设计的：先将复数看成是有序实数对，再把复数看成是直角坐标系下平面上的点或向量，最后介绍复数代数形式的加、减运算的几何意义．同时，复数作为一种新的数学语言，也为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法，体现了数形结合思想．

本节课的学习，一方面让学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性．另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础．因此，本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容．

3、分析学情

在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。基于以上分析，本节课的学习目标如下：

（1）通过回忆数系的扩充过程，观察所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部。（2）通过小组讨论能将复数归类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题。

（3）通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目。

二 评价方案分析（借助教学媒体）

1、通过课堂检测1检测目标1的达成。

2、通过例

1、课堂检测2检测目标2的达成。

3、通过例

2、课堂检测3检测目标3的达成。

设计意图：通过过程性评价和结果性评价来激发学生的学习兴趣，提过课堂效率。同时能及时反馈学生信息，了解学生的学习效果。

三 重点、难点分析：

本节课是人教版《选修1-2》第三章第一课时，复数的概念为学生学习复数的表示、复数的运算及后继知识奠定了坚实的基础，因此，复数的概念是本节课学习的重点。2象x=-1这样的方程没有实数解在学生心目中已成定论，负数不能开平方是学生固有的思维模式，而虚数单位i的引入会引起学生认知上的冲突、心理上的排斥。故虚数单位i的引入是学生学习中的难点。

四 教法与学法分析（课堂结构）

结合以上分析，本节课的教法主要采用问题驱动教学模式．通过设置问题串，让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领学生追溯历史，提炼数系扩充的原则；通过设置问题串，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中。

五 教学设计流程

从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动．在数学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质．基于这一理论，我把这一节课的教学程序分成四个环节来进行，下面我向各位专家作详细说明： 1 创设情境

从学生已有的知识入手，提出问题串：

问题1 从小到大，我们认识了各种各样的数。进入高中，我们学习了集合，你知道的数集有哪些？分别用什么记号表示？

问题2你能用包含关系将这些数集“串”起来吗？（n?z?q?r）问题3 “?”能换成“ ? ”吗？为什么？ ? 设计意图：一方面从学生已有的认知入手，便于学生快速进入学习状态，激发他们的学习热情，培养学生的归纳、概括与表达能力；另一方面为引入虚数单位“i”埋下伏笔，引入课题。2 建构理论

问题4 我们常说的运算，是指加、减、乘、除、乘方、开方等运算，思考一下，这些运算在各个数集中总能实施吗？

追问：这些问题是怎么解决的呢？

设计意图：让学生思考数集扩充的原因，在此基础之上，帮助学生重新建构数集的扩充过程，这是本节课的生长点．

问题5 那么在实数范围内加、减、乘、除、乘方、开方这些运算总能实施了吗？

由此，追问：

问题6 需要添加什么样的数呢？

设计意图：教师引领学生采用类比的思想，将问题转化为找一个数的平方为－1，从而让“引入新数”水到渠成．

此时，教师适时介绍与虚数单位i有关历史，从而激发学生学习的兴趣，强化对i的认识，并让学生感受到科学上每一步的迈出是多么的艰辛！

引入i后，给出问题串：

问题7 添加的新数仅仅是i吗？

问题8 你还能写出其他含有i的数吗？

问题9 你能写出一个形式，把刚才所写出来的数都包含在内吗？

设计意图：学生通过问题7、8的铺垫，引导学生由特殊到一般，抽象概括出复数的代数形

式，帮助学生主动建构复数的代数形式．

由此，追问： a?bi(a,b?r)一定是虚数吗？

问题10 实数集与扩充后的复数集是什么关系呢？

设计意图：学生通过讨论自然而然地想到要对复数进行分类，从而深化对复数概念的理解，攻克本节课的重点．

问题11 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集它们之间是什么关系呢？你能用图表的形式画出来吗？

设计意图：让学生直观地感受复数的分类，进一步深化复数的概念。3 检测反馈

为了检测学生对复数有关概念的理解，对应三个目标我分别设置了下列三组练习： 例

1、指出下列复数的实部和虚部

（1）4（2）2-3i（3）-6i（4）0（5）1i（6）2 ?2 例

2、实数m取什么值时，复数z=m(m-1)+(m-1)i 是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

设计意图：例题1主要是前后照应，采用概念同化的方式完善认知结构；例题2主要是巩固复数的分类标准．让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念，起到及时反馈、学以致用的功效．

并追问：对于复数z1?a?bi，z2?c?di(a,b,c,d?r)，你认为在什么情况下相等呢？ 从而为在直角坐标系中用点表示复数提供了可能．并设置了：

例3已知复数z1=(x + y)+(x－2y)i ,复数z2=(2x－5)+(3x+y)i , 若z1 = z2 ,求实数x,y的值.设计意图：强化复数相等的充要条件，并让学生感受到复数问题可以化归为实数问题来求解．

回顾反思（学生的疑问和收获）

抛出问题：实数能用数轴上的点来表示，所有的复数也能用数轴上的点来表示吗？

设计意图：通过学生总结、教师提炼，深化内容，让学生体会数系扩充过程中蕴含的创新精神和实践能力。提出问题激发学生对复数的后续学习的欲望。

六、反思：

本节课教学，采用问题驱动教学模式，从概念产生的背景到概念的建立、辨析再到概念的应用，层层深入，最后完成评价检测目标的达成。这样教学，符合 “感知—辨认—概括—定义—应用”的概念学习模式。此外，复数的概念，并不是通过教师的讲授来实现的，而是让学生在问题解决中感悟、体验。

当然，在本设计中，有些问题还有值得思考的必要。比如，由于虚数单位i的概念非常抽象，又与学生原有知识冲突，学生能否顺利接受从而理解复数的概念？学生能否将复数分类并能准确表示？评价方案是否切合学生实际？如果这些学习目标无法顺利实现，在教学过程中还要做哪些知识铺垫？这都是值得研究的。

以上是我对数系的扩充的第一课时的构思与设计，请各位专家批评指正．谢谢！篇三：复数说课稿

一 教材分析

（一）复数的概念是职中数学职业模块i第三章第一大节的第一小节的内容

（二）本节的地位和作用

在本节之前，学生已经学习了整数有理数实数的概念和运算，这为过渡到本节的学习起到铺垫的作用。本节内容是本章的基础，也是学好复数的关键。

二 学情分析

认知分析 学生已掌握了实数的概念的运算这为了我们学习复数概念奠定了基础 能力分析 学生已具备一定的归纳猜想能力，但分类讨论思想等价转化思想数学

思想和方法需进一步培养。

三 教学目标

知识目标 理解复数的有关概念掌握复数的代数表示及复数相等的条件。能力目标 培养学生抽象概括运算求解的能力。

情感目标 培养学生学习数学的兴趣激励学生勇于创新。

四 教学重点和难点

重点：复数的有关概念。难点：对复数有关概念的理解。

五 教学过程

知识回顾 多媒体演示

自然数集、整数集、有理数集、实数集之间关系。

问题 数集能否再进行扩充？

【设计意图】活跃学生思维。

新课导入 1概念讲解

（1）由虚数单位i引入复数概念

【设计意图】使学生产生对复数的好奇心。把形如a+bi（a,b∈r）形式的数称为复数 复数用字母z表示

复数组成的集合称为复数集，有字母c表示。2复数的代数形式 z=a+bi(a,b∈r)a叫做复数z的实部用rez表示。b叫做复数z的虚部用imz表示。3复数的分类：z=a+bi(a,b∈r)当b=0时，复数为实数

当b≠0时，复数为虚数 在虚数中，当a=0时，复数为纯虚数，当a≠0时复数为非纯虚数。

例题讲解（多媒体）课堂练习（多媒体）4复数相等：我们规定：两个复数z1=a+bi(a,b∈r)与z2=c+di（c,d∈r)相等当且仅当它们的实部与与虚部分别相等，即 a+bi=c+di?a=c,且b=d 特别地，a+bi=0?a=b=0,此时复数z=a+bi=0 例题讲解（多媒体）5课堂练习p85练习题3 6小结： 本节知识点有: <1>复数概念：把形如 a+bi(a,b∈r)的数叫复数。<2>复数相等：两个复数相等当且仅当它们的实部与虚部 相等。7作业：p85 练习第四题 教学方法 启发式教学

教学手段 多媒体教学 设计说明 通过回顾学生对以前的自然数集、有理数集、实数集已经有了初步的认识，但对扩展后的新数集具有的一些性质和特点如何构造或有何发现的，常常缺少应有的思考探索和创新，所以本节课力图从事物发展的角度由实数集具有的一些性质和特点，做一些理性的探索和研究，同时，在学习运用过程中对转化思想和数形结合思想进行感性的认识。

教学收获： 1.通过使用多媒体课件，用图示法使学生直观明了的了解数与数之间的关系。2.绝大多数同学能掌握复数的概念和复数相等的判断，并能对复数进行分类。

复数的概念说课稿

李小军

2013.12.5篇四：复数的运算说课稿

复数的运算说课稿

林萍萍 2012-10-21

一、说教材

（一）教材的地位与作用：

1、依据新大纲及教材分析，复数四则运算是本章知识的重点。

2、新教材降低了对复数的要求，只要求学习复数的概念，复数的代数形式及几何意义，加减乘除运算及加减的几何意义。因此，复数的概念，复数的代数运算是重点，在教学中要注意与实数运算法则和性质的比较，多采用类比的学习方法，在复数的概念和复数的代数运算的教学中，应避免烦琐的计算，多利用复数的概念解决问题。

3、将实数的运算通性、通法扩充到复数，是对数学知识的一种创新，有利培养学生的学习兴趣和创新精神。

（二）学情分析：

1、学生以了解复数的概念与定义以及复数在数域内的地位。

2、学生知识经验与学习经验较为丰富，以具有类比知识点的学习方法。

3、学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

4、学生层次参差不齐，个体差异比较明显。

（三）教学目标：

1、知识目标：掌握复数代数形式的加、减、乘、除、乘方运算法则。

2、能力目标：培养学生运算的能力。

3、情感、价值观目标培养学生学习数学的兴趣，勇于创新的精神。

（四）教学重点：复数的概念，复数的代数运算是重点

（五）教学难点：复数代数形式的乘、除法法则。教学方法：

二、说教法：

1、本节课通过复习整式的运算，复数的运算，通过类比思想体会整式的运算与复数的运算的共性，使学生体会其中的思想方法，培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。

2、例题的学习，使学生在学会复数运算的基础上归纳计算方法，提高运算能力，归纳、概括能力。

三、说学法：

1、复习已学知识，为本节课学习作铺垫。通过对数系学习的回忆，引出课题，激发学生学习动机。

2、让学生板演运算法则，有利于培养学生创新能力和主动实现学习目标。

3、通过例题学会复数的运算，归纳运算简便方法。培养

学生归纳问题、转化问题的努力。

四、说课过程：

（一）、复习提问：

2ii1、1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即 ??1;(2)实数

可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算

2、i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x=－1的一个根，方程x=－1的另一个根是－i22

3、复数的概念：形如a+bi(a，b∈r)叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部。

4、复数的分类：复数a+bi(a，b∈r)，当b=0时，就是实数;当b≠0时，叫做虚数;当a=0，b≠0时，叫做纯虚数;

5、复数z1=a1+b1i与z2=a2+b2i 相等的充要条件是a1=a2，b1=b2。?实数(b=0)?复数z?a?bi??一般虚数(b?0,a?0)虚数(b?0)???纯虚数(b?0,a?0)?

6、复数的分类：

虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是 也没有大小。???

7、复数的模：若向量oz表示复数???z，则称oz的模r为复数z 的模，z?|a?bi|? z1??zn?z1?z2???zn积或商的模可利用模的性质（1）z1z1?z2z2，（2）?z2?0?

8、复平面、实轴、虚轴：

点z的横坐标是a，纵坐标是b，复

数z=a+bi(a、b∈r)可用点z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了复数集c和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

?复平面内的点z(a,b)复数z?a?bi一一对应

（二）类比代数式，引入复数运算：

一、复数代数形式的加减运算 类似根据代数式的加减法，则复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.?a,b,c,d?r? 复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.?a,b,c,d?r?

二、复数的加法运算满足交换律和结合律

1、复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈r).∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又∵a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.2、复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈r).∵(z1+z2)+z3=［(a1+b1i)+(a2+b2i)］+(a3+b3i)=［(a1+a2)+(b1+b2)i］+(a3+b3)i =［(a1+a2)+a3］+［(b1+b2)+b3］i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+［(a2+b2i)+(a3+b3i)］ =(a1+b1i)+［(a2+a3)+(b2+b3)i］ =［a1+(a2+a3)］+［b1+(b2+b3)］i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i ∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).三、复数代数形式的加减运算的几何意义

复数的加(减)法(a+bi)〒(c+di)=(a〒c)+(b〒d)i.与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).篇五：数系的扩充和复数的概念公开课说课稿

《数系的扩充和复数的概念》说课稿

大家好！我是孟州一中的何柯柯。今天，有幸借此平台与大家交流，希望各位专家和老师指导我的说课。我说课的题目是《复数的有关概念》，我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学过程、自我反思五个部分作具体的阐述。

一、教材分析

首先是教材分析，《复数的有关概念》是北师大版新课程标准实验教科书选修系列2的模块2中第五章第一节的内容，这节课的主要内容是数系的扩充与复数的引入、以及复数的有关概念。数系扩充的过程体现了数学的发现和创造的过程，同时也体现了数学发生发展的客观需求和背景。

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。对于高中生来说，学习一些复数的基础知识是十分必要的，这可以促使学生对数的概念有一个初步的较为完整的认识，也给他们运用数学知识解决问题增添了新的工具，同是还为进一步学习高等数学打下一定的基础。

在实际生活中，复数在电力学、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信息分析等方面都得到了广泛的运用，是现代人才必备的基础知识之一。

二、学情分析

与本节教材相关的学生情况有如下几个特征：（1）我们的学生在从小学到高中的学习中已经掌握了整数、分数、正数、负数、有理数、无理数、实数这些概念，也掌握了相应的运算法则和运算律；(2)同时 又从政治和历史课中了解到一些与数系扩充的有关的重要历史事件；(3)但是学生们对数的分类的掌握，主要依靠的是简单记忆，当然对数系的扩充过程以及与人类发展史的必然联系不甚了解。

三、教学目标

鉴于以上对教材和学情的分析，确定本节课的教学目标如下：

1、知识目标：了解数系扩充的过程，理解复数的基本概念，掌握复数相等的充要条件

2、能力目标:通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等充要条件的研究过程中提高学生类比思考的能力；

3、情感目标：提高学生学习数学的兴趣；拓展数学视野，使学生逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。

四、课堂设计

为了达成以上教学目标，我将本节课设计成以下五个环节：

首先是设置情境，演示数系扩充的过程；然后引入虚数，讲解复数的基本概念；接下来通过类比学习，掌握复数相等的充要条件；完成了以上新概念的学习环节之后，利用课堂小结巩固本节课主要内容。最后进行课外引申，激发学生课外学习兴趣。

第一环节中，首先让学生回忆从小学到高中认识数的过程，然后结合人类发展史，通过幻灯片展示，用通俗易懂的语言向学生演示数系发展的过程。展示过程如下： 从远古围猎时期人类常用的“结绳”和“堆石”记数方法中，逐步产生了自然数的概念；在分配劳动成果的过程中，产生了“正分数”的概念；随着人类商品交换时代的来临，为了表示相反意义的量，又引入了“负数”的概念；至此人们认为所有的数都可以用两个互质整数的比值来表示；然而，随着人类种植活动的兴盛，在丈量土地、计算长度、计算产量过程中产生了经验几何学，其中在勾股弦定理使用中发现：在求两直角边长度都是“1”的直角三角形斜边的时候，其斜边长度不能用任何有理数来表示，于是引入了无理数，把数系扩充为实数。

在此，提出问题：数系发展的动力和原因是什么？由学生体会并回答。

这个过程中通过兴趣学习，让学生了解数系扩充的过程，让学生亲自体会到“数的产生和发展，是人类生产和生活的需要”。之后，我还会指出数系的每一次扩充也是数学自身发展和完善的需要，并以解方程为例进行说明。为了使方程理论更加完整数系一步步扩充到了实数。第二环节：引入虚数，理解复数的基本概念。

通过第一环节的学习，学生已经了解了由自然数到实数的数系扩充过程。但是人们发现在实数范围内仍然无法完全解决代数方程根的问题，例如在解方程x2?1?0时候，用任何实数都无法表达其方程的根，这就必须引入新的“数”。这时，要鼓励学生积极思考和尝试创造，并肯定学生的思维结果。由此自然地引入“虚数单位i”，规定i2??1；接着要求学生尝试求解方程x2??4和x2?2x?5?0的根，让学生逐步发现复数的代数表示形式z?a?bi。指出这些原来在实数范围内无解的方程，现在可以借助虚数单位表示出根来，这些根都是虚数，与之对应，之前我们认识的数都是实数，实数和虚数统称为复数。接下来，提出问题“形如z?a?bi的数是否一定是虚数？”

在学生思考和讨论之后，总结结论并讲解实部虚部的概念，通过对实部虚部取值情况的分析，帮助学生掌握复数集的分类：当虚部b=0时复数z?a?bi表示的是实数，当虚部b≠0时复数z?a?bi表示的是虚数，特别的当b≠0且a=0时复数z?a?bi可写成z?bi，这样的数是纯虚数。至此完成了“引导学生从实数系到复数系扩充”的教学任务。结合学生认识数的过程，引导学生发现“每个人认识数字的历程都和人类发展史中数系扩充的过程是一致的”，让学生体会到数学体系、数学思维的发展会促进人类全面素质的提高，从而激发学生学习数学的兴趣和热情。为了巩固学生对复数概念的理解，与学生一起分析例一，边启发边讲解，注重实部虚部概念的表述，强调复数a?bi的实部是a，虚部是b，不是bi。之后要求学生思考课后练习第一题，以此加强对复数概念和复数集分类的掌握。最后通过提问的方式确认学生已经达到本环节教学目标的要求。为了提高学生思维能力并加强学生对复数概念的理解，引导学生完成例一变式：

例1变式:当m为何实数时，复数z?m2?m?2?(m2?1)i是

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0 在第四问中，通过复数z等于0的题目设置引导学生向复数相等充要条件的教学目标过度。

第三环节：进入到第三个教学环节，引导学生类比两个二项式相等的条件，归纳出复数相等的充要条件，即实部与实部相等并且虚部与虚部相等。之后，详细讲解并板书例二，如幻灯片所示，起到教师的典范的作用。例2:设x,y?r,并且(x?2)?2xi??3y?(y?1)i,求x,y的值.在观察学生反映，确认学生已经基本理解复数相等的充要条件之后，要求学生独立完成课后练习第二题。经过巡视，挑出学生代表展示其解析过程，表扬书写比较工整的学生，以达到教育全班学生要规范严谨的教学目的。为了引起学生重视并给学生提供思维能力升华的空间，鼓励学生积极思考例二变式

例2变式：已知实数x与纯虚数y满足2x?1?2i?y,求x和y.这个题目要由学生在组内讨论完成，为了保证教学效果，教师积极参与到小组讨论中去，通过交流与观察，由完成较好的小组推举出代表为大家进行讲解，教师及时给予点评。

第四个环节课堂小结 在完成了新知学习的环节之后，进入到课堂小结。引导学生通读一遍课本的同时回顾本节课的主要内容，由学生自己总结出本节课的主要知识和方法。并在多媒体上演示这些内容。以此达到提高学生归纳总结能力的教学目标。

第二篇：复数复习

1．若复数(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值是．

2．已知M＝{1,2，(a－1)＋(b－5)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，实数a与b的值分别是．

z2－2z3．已知复数z＝1－i． z－

14．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC

AG的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的GD

四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面

AO的距离都相等”，则＝． OM

5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b＞0”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”． 其中类比得到的结论正确的序号为．

6．已知复数z1＝4＋2i，z2＝k＋i，且z1·z2是实数，则实数k＝________．

7．＝6

8．复数z1＝

数a的值．

119．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋a＋bb＋c

＝3，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若a＋b＋c32(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，求实a＋51－a2＋23，33＋＝84＋4815，…，若156＋b(a，b均为实数)，则猜测a＝________，b＝________． b

成等差数列，请给出证明．

解答：

1．a＝

3a＝42． b＝5

z2－2z－222i3．＝＝2i z－1－ii－

14．①②

6，此时易知3

13点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有r3

41366666＝⇒r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝343123124

＝3.4125．【解析】 如图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM

6．k＝

27． 6 3

58．【解析】 z1＋z2＝32＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i a＋51－a

32＝a＋51－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i 

＝a－13(a2＋2a－15)i.(a＋5)(a－1)

∵z1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.9．【证明】 A、B、C成等差数列，下面用综合法给出证明：

113∵＝ a＋bb＋ca＋b＋c

a＋b＋ca＋b＋c∴3，a＋bb＋c

ca∴＝1，a＋bb＋c

∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cos B＝，2ac2ac

2∵0°＜B＜180° ∴B＝60°.∴A＋C＝2B＝120°，∴A、B、C成等差数列．

第三篇：复数知识点

2011年高考总复习制作：孙老师2010-11-17

复数知 识 点

1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，bR）；

② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③ 虚数—当b0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b0时的复数a + bi，即bi.⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.复数是实数的充要条件：

① z=a+bi∈Rb=0（a、b∈R）；②z∈Rz=z；③Z∈RZZ2。

复数是纯虚数的充要条件：

① z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0（a、b∈R）；②z是纯虚数或0Z+z=0； ③z是纯虚数 z2＜0。

⑶两个复数相等的定义：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.2⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数]

2若z1z2，则z1z20.（√）

②若a,b,cC，则(ab)2(bc)2(ca)20是abc的必要不充分条件.（当(ab)2i2，(bc)21,(ca)20时，上式成立）

2、复数加、减、乘、除法的运算法则：

设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)，则z1z2(ac)(bd)i；

z1z2(acbd)(adbc)i；z1acbdbcad22i。22z2cdcd

加法的几何意义：设OZ1，OZ2各与复数z1，z2对应，以OZ1，OZ2为边的平行四边形的对角线OZ就与z1+z2对应。

减法的几何意义：设OZ1，OZ2各与复数z1，z2对应，则图中向量Z1Z2所对应的复数就是z2-z1。｜z1-z2｜的几何意义是分别与Z1，Z2对应的两点间的距离。

3.⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2.其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）.⑵曲线方程的复数形式： ①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.③zz1zz22a（a0且2az1z2Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.④zz1zz22a（02az1z2表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：

设z1，z2是不等于零的复数，则 ①z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.②z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An.4.共轭复数：两个复数实部相等，虚部互为相反数。即z=a+bi，则z=a-bi，（a、b∈R），实数的共轭复数是其本身

性质22zz、z1z2z1z2、zz2a，zz2bi（za + bi）、zz|z||z|

nnz1z2z1z2、z1z2z1z2、z1z1（z20）、z(z)z2z

2注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]

nzzz...z(nN)②对任何z，z1,z2C及m,nN有 5.⑴①复数的乘方：z

n

mnmnmnmnnnn③zzz,(z)z,(z1z2)z1z2

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i1,i1若由i2421142(i)121就会得到11的错误结论.②在实数集成立的|x|x2.当x为虚数时，|x|x2，所以复数集内解方程不

能采用两边平方法.⑵常用的结论：

i1,i24n1i,i4n21,i4n3i,i4n1ii

i，2nn1in2in320,(nZ)(1i)2i,1i1ii,i 1i1i若是1的立方虚数根，即

21nn则3  1 ,  2, 1  n  2(., ,1 0  0nZ)

6.⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件： 12

①zRzz.②若z0，z是纯虚数zz0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：|z||z|.7.复数集中解一元二次方程：

2在复数集内解关于x的一元二次方程axbxc0(a0)时，应注意下述问题：

①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x1,2

b|i

2abb；若=0，则有二相等实数根x1,2；2a2a若＜0，则有二相等复数根x1,2（x1,2为共轭复数）.②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.【典型例题】

2m23m2例

1、当m为何实数时，复数z＝+（m2+3m－10）i； 2m2

5（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．

解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

m23m100（1）z为实数，则虚部m+3m－10=0，即，2m250

2解得m=2，∴ m=2时，z为实数。

m23m100（2）z为虚数，则虚部m+3m－10≠0，即，2m2502

解得m≠2且m≠±5.当m≠2且m≠±5时，z为虚数．

2m23m20（3）m23m100，2m250

11解得m=－, ∴当m=－时，z为纯虚数． 22

诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时必须具备的相应条件，还应特别注意分母不为零这一

要求．

例

2、（1）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的实数m＝.解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．

∵ m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10, 且虚数不能比较大小，m210|m|102,解得m0或m3,m3.∴m3m0

2m3或m1m4m30

当m＝3时，原不等式成立．

注：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

（2）已知z=x＋yi（x，y∈R），且 2xyilog2x8(1log2y)i，求z．

解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．

2xy80xy3∵ 2ilog2x8(1log2y)i，∴，∴，logx1logyxy22

2x2x1解得或, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i． y1y2xy

注：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键点，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）。

例

3、若复数z满足z=1ti（t∈R），求z的对应点Z的轨迹方程． 1ti

解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等．

1ti(1ti)21t22t设z＝x＋yi，（x, y∈R），∵ z==i，221ti(1ti)(1ti)1t1t

1t

2x21t∴ ，消去参数 t，得x2＋y2= 1，且x≠－1．

y2t

1t2

∴ 所求z的轨迹方程为x2＋y2＝1（x≠－1）．

诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质，求出|z|即可．

【模拟试题】

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1、设条件甲：x=0，条件乙：x＋yi（x，y∈R）是纯虚数，则（）

A、甲是乙的充分非必要条件B、甲是乙的必要非充分条件

C、甲是乙的充分必要条件D、甲是乙的既不充分，又不必要条件

2、已知关于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有实根，则实数m应取的值是（）

111B、m≤－C、m= 4412A、m≥－ D、m=－1 1

2(1)

3、2i

(1i)612i等于（）

A、0B、1C、－1D、i4、设f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，则z等于（）

A、5＋3iB、5－3iC、－5＋3iD、－5－3i5、方程x2＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一实根的条件是（）

A、－22≤k≤22B、k≤－22或k≥2

2C、k=±22D、k≠226、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值为（A、m＝4，n=－3B、m=－4，n＝1

3C、m＝4，n=－21D、m=－4，n＝－

5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7、已知下列命题：

（1）在复平面中，x轴是实轴，y轴是虚轴；

（2）任何两个复数不能比较大小；

（3）任何数的偶次幂都是非负数；

（4）若 t＋si=3－4i，则 t=

3、s=－4．

其中真命题为．

8、若复数z满足z+12||=－1＋2i，则z.9、设z∈C，|z|=1，则|z++i|的最大值为.三、解答题（本大题共4题，共50分）

10、设z

z1是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程．

11、已知复数z满足|z|＝5，且（3+ 4i）z是纯虚数，求z．）

试题答案

1、B7、（1）

8、－

2、C3、A4、B5、C6、B 8+2i39、310、解：此题主要考查复数的有关概念及性质，四则运算和点的轨迹方程的求法．

zzzz0, 是纯虚数，∴()0，即z11z1z1z

12zz∴2z+z+=0，（z≠0，z≠－1），0，∴(1)(z1)∵

设z=x＋yi，（x，y∈R），2（x2＋y2）＋2x＝0（y≠0）

∴（x＋1221）＋y＝（y≠0）即为复数z对应的点的轨迹方程． 2

4诠释：解此题应抓住虚数的定义和共轭复数的性质，利用运算法则进行求解。

11、解：此题主要考查复数的有关概念，复数的运算，模的定义及计算．

设 z＝x＋yi（x, y∈R）,∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25,又（3＋4i）z=（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）+（4x＋3y）i是纯虚数，x4x43x4y0或∴ ，联立三个关系式解得，y3y34x3y0

∴ z=4＋3i或z＝－4－3i．

第四篇：名词复数

1.名词复数的构成方法

规则变化的复数名词遵循以下原则：

(1)在一般情况下，加词尾-s：

desk→desks 书桌

tree→trees 树

face→faces 脸

(2)以 s, x, z, sh, ch 等结尾的名词，通常加词尾-es：

bus→buses 公共汽车 box→boxes 盒子

dish→dishes 盘子

(3)以y 结尾的名词，其复数构成要分两种情况：以“辅音字母+y”结尾的名词，将 y 改为 ies；以“元音字母+y”结尾的名词，直接加词尾-s：

city→cities 城市

boy→boys 男孩

key→keys 钥匙 monkey→monkeys

(4)以o结尾的名词，有些加-es，tomato→tomatoes 西红柿

potato→potatoes土豆

hero→heroes英雄

Negro→Negroes黑人

【注】以o结尾的名词后加词尾-s的有 zoo(动物园)，photo(照片)，piano(钢琴)，等；

(5)以 f 或 fe 结尾的名词，一般将 f / fe 改为 ves：

knife→knives 小刀

thief→thieves 贼 life→lives 生命

【注】主要的有wife(妻子)，life(生命)，knife(小刀)，leaf(树叶)，thief(贼)，half(一半)，self(自己)，loaf(面包)，wolf(狼)。它们的复数形式均是将词尾的f或fe改为ves。

另外，也有的以 f 或 fe 结尾的名词直接加词尾-s构成复数（如roof →roofs 屋顶，proof →proofs 证据），但这在初中英语中很少见。

2.单数与复数同形的名词

初中英语中主要的有：

sheep 绵羊 fish 鱼

deer 鹿 Chinese 中国人

Japanese 日本人 Swiss 瑞士人

等

【注】fish 有时也用 fishes 这样的复数形式，尤其表示种类时。

3.不规则的复数名词

有的名词单数变复数时，没有一定的规则：

man→men 男人

woman→women 女人

child→children 小孩

tooth→teeth 牙齿

foot→feet 脚

mouse→mice 老鼠

【注】一些以 man, woman 结尾的合成词，构成复数时与 man, woman 的变化形式相同，如：

policeman→policemen 警察

Englishwoman→Englishwomen(女)英国人

但是 human(人)，German(德国人)不是合成词，其复数不能仿 man 的变化规律，而是按规则变化，即用 humans, Germans。

另外，当man和woman用于名词前作定语时，若其后被修饰的名词为复数，则man和woman也要用复数：

man nurse→men nurses 男护士

woman doctor→women doctors 女医生

第五篇：复数名词整理

1、clothes, cloth, clothing有什么区别，举例说明

clothes 是“衣服”，指具体的衣服，不能用作单数，也不能和数词连用。不能说a clothes,five clothes,也不说The clothes is „,而应说The clothes are„。例如：

She is dressed in her everyday clothes.她穿着日常穿的衣服。

He wears fine clothes.他穿着讲究。

Where did you get your clothes made?你的衣服在哪做的？

clothing 是衣服、服装的总称，是集体名词，没有复数形式。可以说an article of clothing,a piece of clothing一件衣服。例如：

The orphans are well provided with food and clothing.孤儿的衣食供应很充足。

This shop sells men’s clothing.这家商店卖男装。

cloth 的意思是“布料”、“毛料”、“丝绸”（特别指布料和毛料）。Cloth在一般情况下是物质名词，不可数，没有复数，不能与不定冠词连用。例如：a piece of cloth(不能说a cloth)一块布料

This piece of cloth is long enough for you to make a shirt.这块布够你做一件衬衣。

值得注意的是，cloth和某些词构成复合名词，作为特殊用途的一块布时，是可数名词。例如：

a tablecloth一块桌布

a dishcloth一块擦碗布

The waiter dried the glass with a dirty cloth.那个服务员用一块脏布擦干了玻璃。

2、只有复数形式的名词)一些成双成对的名词通常只有复数形式，常见的有jeans(牛仔裤)、headphones(耳机)、trousers(裤子)、clothes(衣服)、pants(短裤)、glasses(眼镜)、shoes(鞋子)、sunglasses(太阳镜)、scissors(剪刀)、compasses(圆规)。这些名词可单独作主语，动词用复数形式，也可用...pair/pairs of修饰，作主语时动词取决于pair的形式。

2)一些食物名词只有复数形式，常见的有noodles, vegetables, snacks。

3)一些固定短语中的名词只有复数形式，常见有的express one's thanks to sb.(向某人表达感激之情), a letter of thanks(一封感谢信), in high/low spirits(情绪高涨/低落), have sports(进行体育活动)。

4)一些不可数名词只有复数形式，但却表示单数概念，常见的有news(消息), means(手段)。

As we all know, no news is good news.众所周知，没有消息就是好消息。

5)一些专有名词只有复数形式，但却表示单数概念，常见的有：the United States(美国)、the United Nations(联合国)、the United Kingdoms(英国)、the Arabian Nights(《一千零一夜》)。