第一篇：页码问题教案
篇一：教案 五升六4页码问题
五升六 重庆新思维学校—成绩提升专家
第4讲 页码问题
页码问题主要是指一本书的页数与所用的数字之间关系的一类应用题；
数字也可称为数码，他们的个数是有限的，有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共有10个数码
页码也称为页数，它是有数字（数码）组成的，一个数字组成一位数，两个数字组成两位数（个位，十位）。。页数（或页码）的个数是无限的。这是我们在解决这类问题时，在审题，解题中要特别加以区别的。
例1 小明和小智是两个数学爱好者，他们经常在一起探讨数学问题，一次，小明对小智说：我有一本书，它的页数是一个三位数，个位数字比百位数字大44 随堂练习1个位数字大6 例2 一本科幻小说共320页。问
（1（2）数字0 随堂练习2（1（2 例3 723个数字，这本书共有多少页？
随堂练习3 排一本学生词典的页码共用了2925个数字，这本词典共有多少页？
五升六 重庆新思维学校—成绩提升专家 例4 有一批文章共15篇，各篇文章的页数分别是1页，2页，3页。。14页，15页，如果将这些论文按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的论文最多有多少？
随堂练习4 翻开数学书看见2页，页码的积是1806，求这两页的页码。
例5 一本书的页码共有62次，得到的和数为2000.随堂练习5 一本书的页码从1到80，共80了，结果得到的和数位3182.例6 6 71个零，问这本书共有多少页？
练习
（1）给一本书编页码，在印刷时必须用到2010这个铅字（一个铅字代表一个数字）这本书共有多少页？
（2）排印一本200页的书，共需要多少数字？
（3）排一本书有600页，共需要多少个零？
篇二：页码问题
课题：页码中的数字问题
教学目标：
1、通过学习，使学生掌握解决页码、数码等问题的解题方法。
2、培养学生总结归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：解决页码、数码等问题的解题方法。
教学难点：解决页码、数码等问题的解题方法。
教具准备：若干数字卡片，图书两本。教学过程：
一、导入
1、情境导入
你们看，老师手上有两本书，是什么书？不管这两本书的内容上有多么的不同，但
这两本书上还有一个相同地方，是什么？能猜猜吗？
2、揭示课题：页码中的数字问题（板书）
二、新授
1.基础知识铺垫：
1)师请两位学生上台用数字卡片任意摆出一个页码，其余的学生和同桌合作摆放。2)通过学生的摆放情况，介绍什么是页码？什么是数码？以及他们的区别？
3)介绍完后，请学生自己说说自己摆放的页码中有几个数码，分别是哪些数字？（加
深对概念的掌握和理解）
4)页码是大家最常见，最常用，最熟悉的数，知道一本书的页码，如何求共有多少个
数码呢？反之，知道一本书的页码所需的数码数量，如何求这本书的页码？
解答页码问题的基本方法是分类整理。先按自然数的位数分类：
一位数（1—9）：1x9=9（个）数码
两位数（10—99）： 2x(90-10+1)=180个 数码
三位数（100—999）： 3x(999-100+1)=2700个 数码 依次类推
一本书的页码只排到一位数,这本书共有多少个数码？（9个）只排到两位数呢？
（9+180=189个），只排到三位数呢？（9+180+2700=2889个）（板书）5)游戏：判断：
① 如果一本书共有237个数码，这本书的页码可能是几位数？为什么？
② 如果一本书共有3000个数码，这本书的页码可能是几位数？为什么？
③ 如果一本书的页码是三位数，这本书的数码可能是在（）和（）之间呢？
过渡：通过刚才的游戏，我们基本上掌握了页码和数码之间的关系，看看页码问题在实际生活题中的运用吧。
2、教学例1 1)出示例1，审题，从题目中获得了哪些信息？（132页是页码），问题是求数码？ 2)方法：分类整理。引导学生共同整理如下：
一位数（1—9）：1x9=9（个）?数码
两位数（10—99）： 2x(90-10+1)=180个 ?数码
三位数（100—132）： 3x(132-100+1)=99个?数码 3)看问题：共有多少个数码？就是把分类数码和起来，如何列式？（9+180+99=288个）4)作答。5)练习1 指名学生上台板演，集体讲评。做的对的同学给予奖励。
3、教学例2 1)出示例2，审题，看看例2和例有什么不同之处？（已知数码，求页码）2)那从题中获得了什么信息？（共有2925个数码）
3)从2925个数码中，有同学可以判断一下这本辞典的页码可能是几位数？为什么？ 4)前三位数的页码共用了多少个数码呢？怎么求？请学生说，生边说师边板书。
一位数（1—9）：1x9=9（个）? 数码
两位数（10—99）： 2x(90-10+1)=180个?数码
三位数（100—999）： 3x(999-100+1)=2700个?数码 9+180+2700=2889个?数码
5)前三位共用了2889个数码，可是实际用了2925个，说明什么？能得到什么？（说明这
36个数码全部去排了四位数的页码，2925-2889=36个?四位数的数码）
6)一个页码有四位数，36个数码可以排出几个四位数，就有几个四位数的页码？
（36÷4=9个?四位数的页码）
7)看问题：共有多少页？师引导学生共同答：前三位数的页码共有999页，999+9=1008 页，得出这本辞典的总页码数。8)作答。9)练习2，指名学生上台板演，集体讲评。做的对的同学给予奖励。
4、思考题：通过今天的学习，同学们掌握了不少本领，老师有道思考题，请同学运用我们今天学习的知识来完成。
“一本书有800页，按页码从小到大的顺序依次排列：组成一个大数：***1314??777778779800，问从左往右数第666个数字是几？”提示：第666个数字是什么？数码，第666个数字是几，实际上是已知共666个数码，求共有几页？ 学生自己完成。
板书设计：
篇三：第十四课页码问题 教师用书
第十四课页码问题
笑笑是一个爱动脑子的孩子。一天她正在做数学作业，爸爸走过去随手拿起一本书，书共有
204页，就问笑笑：你知道需多少个数码编页码？
同学们，咱们一起来看看这道题
吧。
一、你能根据情境中的问题与你的生
活经验，你能尝试解决上面的问题吗？请用你的方法解决问题，并写下来。
二、说说你的体会！
教学内容说明：
本课教学的重点是让学生明确页码问题实际上是数论的问题。它与书的页码有密切联系
解决关键：要知道“数”与“组成它的数码个数”之间的关系．一位数共有9个，组成所有的一位数需要9个数码；两位数共有90个，组成所有的
两位数需要2×90＝180(个)数码；三位数共有900个，组成所有的三位数需要3×900＝2700(个)数码。
教材分析与教学建议：
教材创设了问题情境。教学时，教师先引导学生从中提炼出重要的数学信息，了解数”与“组成它的数码个数”之间的关系。然后让学生自主尝试解决问题，并把解决问题的过程和结果写下来，再将自己的方法与同学进行交流。最后，引导学生总结出解题思路。
分析与解：
1～9页每页上的页码是一位数，共需数码：1×9＝9(个)；
10～99页每页上的页码是两位数，共需数码：2×90＝180(个)； 100～204页每页上的页码是三位数，共需数码(204－99)×3＝105×3＝315(个)． 综上所述，这本书共需数码 9＋180＋315＝504(个)． 1.一本故事书共131页编印这本故事书的页码共要用多少个数字？ 2.一本词典共1008页编印这本词典的页码共用多少个数字？ 3.一本小说共320页数字0在页码中共出现了多少次？
通过解题你发现了什么？你还有什么想法？
4、给一本书编上页码共用201个数
字，那么这本书有多少页？
5、排一本科幻小说的页码共用了2211个数字，问这本科幻小说共有多少页？
问题解决
在此环节要给学生足够的时间自主学习，让学生想办法学会解决问题，找到一定的方法。第1题
本题与例题相似，要求学生独立列式解答。（131-99）×3=96个 9+180+96=285（个）数字 第2题
（1008-999）×4=36个 9+180+2700+36=2925（个）数字 第3题
先计个位和十位都是0的有100、200 300.只有个位是0的有32-3=29个。只有十位是0的有101-109、201-209、301-309共27个.所以数字0共出现：2×3+29+27=62（次）问题拓展
第4题
一位数的页码有9页，用9个数字。两位数的页码有90页，共180个数字。剩下的数字排三位数的页码：（201-9-180）÷3=4页，这本书共有103页 第5题
前面的分析知道，在排三位数的页码时用了数码(2211－189)个，也就是674(页)。不到三位的页数有99页，所以这本书共有：99＋674＝773(页)．
6、一本书的页码从1至62，即共有62页．在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次．结果，得到的和数为2000．问：这个被多加了一次的页码是几？
说说你的收获吧，还想解决什么问题？
7.给一本书编页码，一共有了1179个数字，这本书有多少页？
9.将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：***„问：左起第2000位上的数字是多少？
第6题
分析：因为这本书的页码从1至62，所以这本书的全书页码之和为 1＋2＋„＋61＋62＝62×(62＋1)÷2 ＝31×63＝1953．
由于多加了一个页码之后，所得到的和数为2000，所以多加的是： 2000－1953＝47． 本课回顾
在放手让学生独立思考，去尝试之后，看看学生能不能运用转化的数学思想将新问题有效转化成例题式题
类型，有效渗透数学转化思想，培养学生解决问题的能力。
练一练
是对本节课知识的巩固，如果课堂上时间不够，可以让学生回家完成。第7题
（1179-180-9）÷3=330 330+99=429页 第8题 183-175=8个就是1—8页 第9题
分析：本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码？”因为(2000－189)÷3＝603„„2，所以2000个数码排到第99＋603＋1＝703(页)的第2个数码“0”．所以本题的第2000位数是0．
篇四：必修一教学设计-未编页码
第一章 认识细胞 第1节 多种多样的细胞
一、教学准备
二、教学过程
三、教学反思
第2节 人类探索细胞的历程
一、教学准备
篇五：37 一个奇怪的问题(教案)读课文查字典识字（音序）
37、一个奇怪的问题
徐汇区上海小学 撒滢
教学总目标：
1.能在语言环境中正确认读 “题、科、提、满、胖、挺、叔、误、居”等11个生字，重点识记“题、提”的字形；继续学习音序查字法；正确描摹“提、题、试、居”。2.能正确朗读课文，重点读好科学家提出的问题。
3.能结合课文内容，借助提示想象说话，读懂句子和课题的意思。
4．联系课文内容，了解科学家的用意，知道“遇到问题不仅要问为什么，而且还要动手去试一试”的道理。
教学时间：
两课时
第一课时
教学目标：
1.能在具体的语境中正确认读“题、科、提、满、胖、挺、叔、误、居”9个生字，重点识记“题、提”的字形。
2.能正确朗读课文，重点读好科学家提出的问题。
3.能结合课文内容，借助提示想象说话，读懂句子和课题的意思。4.知道遇到问题应像伊琳娜那样敢于质疑，善于实践与思考。
教学技术与学习资源应用：
媒体课件、田字格卡纸、生字卡片、词卡
教学过程：
一、学习生字“题”和“提”，比较异同，并揭示课题。1.学习生字“题”和“提”。
（1）揭示“提问题”
（2）学习“提”和“题”两个生字。
①正音，区别词义
② 齐读词组
2、揭示课题，齐读课题。
（1）揭示课题
（2）板书课题，重点指导 “题”的字形
（3）齐读课题（提醒学生“的”字读轻声）。
【说明】
针对学生年龄小，好奇心强的特点，在揭示课题时，引出“提问题”这个词组。之后，学生通过老师引导和自身的仔细观察，发现“提、题”是两个同音异义的字。通过板书课题，完成对生字“题”字形的初步记忆。
二、初读课文，读准生字字音，整体感知课文内容。1.学生自由朗读课文，要求读准字音，读通句子。
师：那么在课文中出现了哪些人物呢？谁提出了什么问题呢？让我们带着这些疑问，自己读读课文，注意读准字音，读通句子。
2．学生交流文中出现的人物，随机学习。
◆ 科学家叔叔
①听记句子，了解科学家。学习生字“科”。
②指名交流。
③出示听记句子，齐读。
◆ 居里夫人
①正音
② 了解居里夫人，学习“大名鼎鼎” a、了解居里夫人 b、学习“大名鼎鼎”
师：谁能把“大名鼎鼎”放到句子中，再来介绍一下居里夫人。
出示：居里夫人是大名鼎鼎的科学家。
③指名读
④齐读
◆一个扎着小辫子的女孩、另一个胖墩墩的小男孩
①“一个扎着小辫子的女孩”
（师范读——个别生读——女生齐读）
②“另一个胖墩墩的小男孩”
（指名读——男生齐读）
◆伊琳娜
正音
【说明】
以“文中出现了哪些人物？”这一问题的解决为抓手，培养学生边读边思考的阅读习惯。反馈时，有机融合识字教学，做到字音、字义的教学各有侧重，同时在语境中理解“大名鼎鼎”的意思。
三、学习课文，深入感知。
1.读文思考：文中有哪些人分别提出了什么问题？
（1）自读课文，括出有关句子。
（2）生交流。
师：谁提出了问题？ 板书： 科学家 伊琳娜
师：科学家提出了什么问题？ 出示：科学家的问题。
师：那么，伊琳娜提出了什么问题？ 出示：伊琳娜的问题 2.学习第1节。
（1）出示：第一小节，自由读，个别读，正音。
（2）出示停顿符号，指导朗读。
（3）齐读。
（4）引读：一位科学家向小朋友们提出了一个问题：他先告诉小朋友一个现象——；接着提出了一个假设——；最后他问——。
（5）了解“这”的具体内容。
（6）齐读，读出提问的语气
【说明】 文中科学家提出的问题比较长，要读好这一长句，先让学生读准字音，再尝试读出句子的停顿，最后，通过教师的引读，引导学生逐步读懂长句的意思。在理解的基础上，逐步达成读准字音，正确停顿，不加字、不漏字的要求。3．学习2——6节。
（1）学习小女孩和小男孩的回答。
① 引读，指名读，随机出示两个回答。
师：一个扎着小辫子的女孩说——。另一个胖墩墩的小男孩说——— ②自由读。
③师生角色扮演读。
④引读：伊琳娜觉得——不是那样，可是她——想不出这是为什么。就回家——去问妈妈。
（2）学习伊琳娜的表现
①想象说话
师：她会怎样问妈妈呢？请你们再读读课文1—4小节，来想一想，问一问。②自己练说。指名交流
a、根据科学家的问题提问
b、引导读懂第四小节，提出问题。
◆指名交流。
◆ 同桌练说。
师：请你们根据提示，再来把伊琳娜心中的疑问说说清楚。
出示：伊琳娜问：“我觉得不是，也不是
。？”
◆指名交流。
◆随机板书
师：看来伊琳娜遇到问题后是经过了一番思考的，（板书：想）她自己想不明白，就去请教妈妈。（板书：问）
【说明】
抓住”伊琳娜如何回家问妈妈”这一问题,借助教师所提供的句式,帮助学生再次梳理回顾课文1—6小节的学习内容，反馈学生对内容的了解。通过这一语言训练，既能训练学生如何规范、完整地表达，引导他们将文本的语言内化为自己的语言进行输出；又能渗透联系上下文读懂文章的阅读方法。
在具体操作时，如果学生的提问比较片面，只关注到科学家提出的那个问题。老师可以适时引导他们关注文章中“伊琳娜觉得不是那样的”这句话，然后，通过相关句式“我觉得不是，也不是 ”来理解这里的“那
样”，其实也就是她不认同她的两个同学的回答。在读懂这句话的基础上，引导学生再来说说伊琳娜还会怎样问妈妈。最后，同桌合作，再把问题提清楚，达到从点到面的训练。整个过程要引导学生始终以课文内容为依据，联系上下文进行合理想象。
（3）引读第5小节
（4）齐读第5小节。
（5）学习第6节，体会伊琳娜敢于质疑，善于实践与思考。
过渡：伊琳按照妈妈说的去做了，（板书：做）
师：那么做的结果如何呢？你们自己再读读后面的内容，找一找。① 学生交流，出示第六节。
②联系上文，借助句式想象说话，理解“奇怪的问题”。a、理解“挺”的意思，读好词语。b、想象说话，知道伊琳娜先是生气，接着感到奇怪的原因。
◆了解伊琳娜生气的原因。
提示：科学家说??可是伊琳娜做了以后却发现??。
板书：发现 加箭头
师：原来她通过自己动手，发现科学家提出的问题是——错误的。
板书： 错误
过渡：伊琳娜生气之余，又感到很奇怪。
◆了解伊琳娜感到奇怪的原因
出示：伊琳娜想：真奇怪，？ 生交流 板书：提出 指导“提”的字形 c、小结。
【说明】
“挺”字曾在《一粒种子》一课中出现，表示动作，与这里的“挺生气”意思不一样，老师要有联系意识，运用旧知，帮助学生掌握新知，引导学生对不同语境中的“挺”进行字义上的辨析。帮助学生了解字义，在今后的学习中尝试独立运用。
③学习伊琳娜提问的句子，试着读出疑惑的语气。
第二篇：页码问题
一．页码问题
对多少页出现多少1或2的公式
如果是X千里找几，公式是 1000+X00*3 如果是X百里找几，就是100+X0*2，X有多少个0 就*多少。依次类推！请注意，要找的数一定要小于X，如果大于X就不要加1000或者100一类的了，比如，7000页中有多少3 就是 1000+700*3=3100（个）
20000页中有多少6就是 2000*4=8000（个）
友情提示，如3000页中有多少3，就是300*3+1=901，请不要把3000的3忘了
二．页码问题
(一)某数出现多少次问题
99中，某数（不含0）出现20次。999中，某数（不含0）出现20*9+120次。
(二)含某数的页数有多少问题（就是出现次数减去重复次数）99中，含某数（不含0）19页。999中，含某数（不含0）19*9+100页。
9999中，含某数（不含0）(19*9+100)*9+1000页。(三)A页的书需要多少字符数问题 A+A-9+A-99=B(字符数)。
(四)页码数加减是否有误（等差求和公式的运用）等差求和公式是：Sn=（a1+an）×n/2，对于书本来说，页码是从第一页始，因此SN=（1+n）×n/2≈n^2/2
【解析】例题：一本故事书共121页，在这本书的页码中数字“1”出现多少次？？
A.70 B.65 C.60 D.55选D。0-99中 20个，100-121中 22+11+2=35个，20+35=55。
例题：老李有一本很旧的书，已知这本书最后一页页码的第一个数字是3，其它的页码数都已模糊不清。这本书出现数字3的次数有180次。求这本书由多少个铅字组成（1代表1个铅字，11，代表2个铅字）A.962 B.965 C.1057 D.1089 【解析】选B。20+20+20+120，推出399页，399x3-9-99=1089。
例题：编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5，共3个数字），问这本书一共有多少页？
A.117 B.126 C.127 D.189 【解析】选B。首先肯定是三位数，A+A-9+A-99=270，3A=378，A=126（页）。例题：甲乙两册书的页码共777个数码，其中甲比乙书多7页，问甲书有多少页？ A.70 B.133 C.162 D.169 【解析】选D。1-9﹏9，10-99﹏180，甲乙都在百页。多7页就多21个数码，可列X+Y=777,X-Y=21 ；解得，X=399。3A-9-99=399，A=169（页）
例题：一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，…，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确结果1997，则这个被加了两次的页码是()A.42 B.43 C.45 D.44 【解析】选D。N*(N+1)/2<=1997，N最大是62时，即1953。则被多加的页码是 1997-1953=44。估算运用：n*(n+1)/2<1997，n*（n+1)<3994，n^2<3994，n^2<4000。
例题：有一本书的中间被撕掉了一张，余下的各页的页码数之和正好是1000，则被撕掉的那一张页码是（）A.17和18 B.18和19 C.19和20 D.21和22 【解析】选D。共45张，等差求和（1+45）*45/2=23*45=1035，1035-1000=35。
例题：如果把1到999些自然数按照从小到大的顺序排成一排，这样就组成了一个多位数：***——996997998999.那么在这个多位数里，从左到右第2000个数字是多少？？
【解析】1-9有9个数，10-99有180个数，求第2000个数字，减去前面的2000-189=1811。而100-999 每个数值是3位数。那么1811/3可算出是第几个数值（不是数字）1811/3 = 603……2，因起步为100，100+603...2=703....2。
二，握手问题
N个人彼此握手，则总握手数
S＝（n-1）{a1+a(n-1)}/2=（n-1）{1+1+(n-2)}/2=『n^2-n』/2 =N×（N-1）/2 例题：
某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次，请问这个班的同学有（）人
A、16 B、17 C、18 D、19
【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人 则Cx取3＝152 但是在计算X时却是相当的麻烦。我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x－3次手。每个人都是这样。则总共握了x×（x-3）次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际的握手次数是x×（x-3）÷2＝152 计算的x＝19人
三，钟表重合公式
钟表几分重合，公式为： x/5=(x+a)/60 a时钟前面的格数
四，时钟成角度的问题
设X时时，夹角为30X，Y分时，分针追时针5.5，设夹角为A.（请大家掌握）
钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。
1.【30X－5.5Y】或是360－【30X-5.5Y】 【】表示绝对值的意义（求角度公式）
变式与应用
2.【30X－5.5Y】=A或360－【30X-5.5Y】=A（已知角度或时针或分针求其中一个角）
五，往返平均速度公式及其应用（引用）
某人以速度a从A地到达B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v=2ab/(a+b)。
证明：设A、B两地相距S，则
往返总路程2S，往返总共花费时间 s/a+s/b 故 v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)六，空心方阵的总数
空心方阵的总数＝（最外层边人(物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4 ＝ 最外层的每一边的人数^２－（最外层每边人数－2*层数）^２
＝每层的边数相加×4－4×层数
空心方阵最外层每边人数=总人数/4/层数+层数
方阵的基本特点： ① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层边上的人数就少2；
② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
③ 中实方阵总人（或物）数=(每边人（或物）数)2=（最外层总人数÷4+1）2 例：① 某部队排成一方阵，最外层人数是80人，问方阵共有多少官兵？（441人）
② 某校学生刚好排成一个方队，最外层每边的人数是24人，问该方阵有多少名学生？（576名）解题方法：方阵人数＝（外层人数÷4+1）2＝（每边人数）2
③ 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？（289人）
解题方法：去掉的总人数＝原每行人数×2－1＝减少后每行人数×2+1
典型例题：某个军队举行列队表演，已知这个长方形的队阵最外围有32人，若以长和宽作为边长排出2个正方形的方阵需要180人。则原来长方形的队阵总人数是（）
A、64，B、72 C、96 D、100
【解析】这个题目经过改编融合了代数知识中的平方和知识点。长方形的（长＋宽）×2＝32＋4 得到长＋宽＝18。可能这里面大家对于长＋宽＝18 有些难以计算。你可以假设去掉4个点的人先不算。长＋宽（不含两端的人）×2＋4（4个端点的人）＝32，则计算出不含端点的长＋宽＝14 考虑到各自的2端点所以实际的长宽之和是14＋2＋2＝18。求长方形的人数，实际上是求长×宽。根据条件 长×长＋宽×宽＝180 综合（长＋宽）的平方＝长×长＋宽×宽＋2×长×宽＝18×18 带入计算即得到B。其实
在我们得到长宽之和为18时，我们就可以通过估算的方法得到选项B 七，青蛙跳井问题
例如：①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井？（6）
②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠？（7）
总解题方法：完成任务的次数＝井深或绳长-每次滑下米数（遇到半米要将前面的单位转化成半米）
例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的4米转换成8个半米再计算。
完成任务的次数＝（总长-单长）/实际单长+1 八，容斥原理
总公式：满足条件一的个数＋满足条件2的个数－两个都满足的个数＝总个数－两个都不满足的个数
【国2006一类-42】现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人？ A.27人 B.25人 C.19人 D.10人
上题就是数学运算试题当中经常会出现的“两集合问题”，这类问题一般比较简单，使用容斥原理或者简单画图便可解决。但使用容斥原理对思维要求比较高，而画图浪费时间比较多。鉴于此类问题一般都按照类似的模式来出，下面华图名师李委明给出一个通解公式，希望对大家解题能有帮助：
例如上题，代入公式就应该是：40+31-x=50-4，得到x=25。我们再看看其它题目：【国2004A-46】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是多少？A.22 B.18 C.28 D.26 代入公式：26+24-x=32-4，得到x=22 九，传球问题
这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。
【李委明解三】不免投机取巧，但最有效果（根据对称性很容易判断结果应该是3的倍数，如果答案只有一个3的倍数，便能快速得到答案），也给了一个启发----传球问题核心公式
N个人传M次球，记X=[（N-1）^M]/N，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。大家牢记一条公式，可以解决此类至少三人传球的所有问题。
四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式：
A.60种 B.65种 C.70种 D.75种
x=(4-1)^5/4 x=60 十，圆分平面公式：
N^2-N+2,N是圆的个数
十一，剪刀剪绳
对折N次，剪M刀，可成M*2^n+1段
将一根绳子连续对折3次,然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后,原来的绳子被剪成了几段? A．18段 B．49段 C．42段 D．52段
十二，四个连续自然数，性质一，为两个积数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除
性质二，他们的积+1是一个奇数的完全平方数
十三，骨牌公式
公式是：小于等于总数的2的N次方的最大值就是最后剩下的序号
十四，指针重合公式
关于钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：61T=S（S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格书，确定S后算出T的最大值知道相遇多少次。）
十五，图色公式
公式：（大正方形的边长的3次方）—（大正方形的边长—2）的3次方。
十六，装错信封问题
小明给住在五个国家的五位朋友分别写信，这些信都装错的情况共有多少种 44种
f（n）=n！（1-1/1！+1/2！-1/3!......+（-1）n（1/n！））
或者可以用下面的公式解答
装错1信 0种
装错2信：1种2 4 9 5 44
递推公式是S(n)=n.S(n-1)+(-1)^n~~~~~ 如果是6封信装错的话就是265~~~~ 十七，伯努利概率模型
某人一次涉及击中靶的概率是3/5，设计三次，至少两次中靶的概率是
集中概率3/5，则没集中概率2/5，即为两次集中的概率+三次集中的概率
公式为 C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/5)^1]+C(3,3)[(3/5)^3]*[(2/5)^0] 81/125
十八，圆相交的交点问题
N个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析 N*(N-1)十九，约数个数问题
M=A^X*B^Y 则M的约数个数是
（X+1）（Y+1）
360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？
解〕360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何一个约数都等于至多三个2（可以是零个，下同），至多两个3和至多一个5的积。如果我们把下面的式子
（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）
展开成一个和式，和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的积。由前面的分析不难看出，360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加数。由于第一个括号里有4个数，第二个括号里有3个数，第三个括号里有2个数，所以这个展开式中的加数个数为4×3×2=24，而这也就是360的约数的个数。另一方面，360的所有约数的和就等于这个展开式的和，因而也就等于
（1＋2＋4＋8）×（1＋3＋9）×（1＋5）
=15×13×6=1，170
答：360的约数有24个，这些约数的和是1，170。
甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？
解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数，只有
1，22，24，52，22×52，24×52.在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.二十，吃糖的方法
当有n块糖时，有2^(n-1)种吃法。
二十一，隔两个划数
1987=3^6+1258 1258÷2×3+1=1888 即剩下的是1888
减去1能被3整除
二十二，边长求三角形的个数
三边均为整数，且最长边为11的三角形有多少个？
[asdfqwer]的最后解答：
11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;11,10,10;11,10,9;...11,10,2;11,9,9;...11,9,3;11,8,8;...11,8,4;11,7,7,...11,7,5;11,6,6;
1+3+5+7+9+11=6^2=36 如果将11改为n的话，n=2k-1时，为k^2个三角形；
n=2k时，为(k+1)k个三角形。
二十三，2乘以多少个奇数的问题
如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N等于多少个2与1个奇数的积？
解：因2^10=1024，2^11=2048＞2000，每个不大于2000的自然数表示为质因数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=2^10，所以，N等于10个2与某个奇数的积。
二十四，直线分圆的图形数
设直线的条数为N 则 总数=1+{N（1+N）}/2
将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明．
〔解〕我们来一条一条地画直线。画第一条直线将圆形纸片划分成2块．画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块（增加了2块），否则只能划分成3块．类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同（即没有3条直线交于一点），则将圆形纸片划分成7块（增加了3块），否则划分的块数少于7块．下图是画3条直线的各种情形
由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同．这时增加的块数等于直线的条数。（为什么？）这样划分出的块数，我们列个表来观察：
直线条数纸片最多划分成的块数1＋1
1＋1＋2
1+1+2+3
1+1＋2+3+4 5 1＋1＋2+3+4+5
不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。（为什么？）我们把问题化为：自第几行起右边的数不小于50？我们知道
1+1+2+3＋…＋10＝56，1+1＋2＋3＋…＋9=46，可见
9行右边还不到50，而第10行右边已经超过50了。答：至少要画10条直线。
二十五，公交车超骑车人和行人的问题
一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？
此类题通解公式：
a=超行人时间，b=超自行车时间，m=人速，n=自行车速
则每隔t分钟发车；t=（abn-abm）/(bn-am)，令M=1 N=3，解得T=8。
二十六，公交车前后超行人问题
小明放学后,沿某公交路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不变速度不停的运行,每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他,每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,问该路公共汽车每隔多少分钟发一辆车?
此类题有个通解公式：如果a分钟追上，b分钟相遇，则是2ab/（a+b）分钟发一次车
二十七，象棋比赛人数问题
象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是:1979，1980，1984，1985，经核实只有一位观众统计正确，则这次比赛的选手共有多少名?
A.44 B.45 C.46 D.47
解析：44*43=1892，45*44=1980，46*45=2070 所以选B 二十八，频率和单次频度都不同问题
猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑着的兔子，立刻追赶，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步。猎犬至少跑多少米才能追上兔子？（）
A.67B.54C.49D.34 答案b
分析：猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步.可知猎犬和兔子的速度比是6:5，s/(s-9)=6/5，s=54 二十九，上楼梯问题
一般来说上电梯有a1=1 a2=2 a3=4 a4=a1+a2+a3 所以一般公式是 an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)三十，牛吃草公式
核心公式:草场草量=(牛数-每天长草量)*天数
例如:10牛可吃20天,15牛可吃10天,则25牛可吃多少天? 解:可用公式,设每天恰可供X头牛吃一天,25牛可吃N天
则(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N，可得X=5,Y=5 三十一，十字相乘法
十字相乘法使用时要注意几点：
第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
（2007年国考）某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是：
A ．84 分 B.85 分 C.86 分 D.87 分 答案：A
分析： 假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。男生与女生的比例是9：5。
男生：Y 9 75 女生：X 5
根据十字相乘法原理可以知道
X=84
6.（2007年国考）．某高校2006 毕业学生7650 名，比上增长2 %.其中本科毕业生比上减少2 %.而研究生毕业数量比上增加10 % , 那么，这所高校今年毕业的本科生有：
A ．3920 人 B ．4410 人 C ．4900人 D ．5490 人
答案：C
分析：去年毕业生一共7500人。7650/（1+2%）=7500人。
本科生：-2% 8% 2%
研究生：10% 4%
本科生：研究生=8%：4%=2：1。
7500*（2/3）=5000 5000*0.98=4900
此方法考试的时候一定要灵活运用
三十二，兔子问题
An=A(n-1)An(n-2)
已知一对幼兔能在一月内长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一月内生出一对幼兔。如果现在给你一对幼兔，问一年后共有多少对兔子？
析：1月:1对幼兔
2月:1对成兔
3月;1对成兔.1对幼兔
4;2对成兔.1对幼兔
5;;3对成兔.2对幼兔
6;5对成兔.3对幼兔.......可看出规律:1,1,2,3,5,8(第三数是前两数之和),可求出第12项
为:13,21,34,55,89,144，答:有144只兔
三十三，称重量砝码最少的问题
例题：要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？这些砝码的重量分别是多少？
分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。
（1）称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。
（2）称重2克，有3种方案：
①增加一个1克的砝码；
②用一个2克的砝码；
③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。
（3）称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。
（4）称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个砝码就可以称出（3+1）克以内的任意整数克重。
（5）接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用
9-（3+1）=5，即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13（克）以内的任意整数克重。
而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为
14+13=27（克），可以称到1+3+9+27=40（克）以内的任意整数克重。
总之，砝码重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。
三十三，文示图
红圈： 球赛。蓝圈： 电影 绿圈：戏剧。
X表示只喜欢球赛的人； Y表示只喜欢电影的人； Z表示只喜欢戏剧的人
a表示喜欢球赛和电影的人。仅此2项。不喜欢戏剧
b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此2项。不喜欢球赛
c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此2项 不喜欢电影。
中间的阴影部分则表示三者都喜欢的。我们用 T表示。
回顾上面的7个部分。X，y，z，a，b，c，T 都是相互独立。互不重复的部分
现在开始对这些部分规类。
X＋y＋z＝是只喜欢一项的人 我们叫做 A a+b+c＝是只喜欢2项的人 我们叫做B T 就是我们所说的三项都喜欢的人
x＋a＋c＋T＝是喜欢球赛的人数 构成一个红圈
y＋a＋b＋T＝是喜欢电影的人数 构成一个蓝圈
z＋b＋c＋T＝是喜欢戏剧的人数 构成一个绿圈
三个公式。
（1）A＋B＋T＝总人数
（2）A＋2B＋3T＝至少喜欢1个的人数和
（3）B＋3T＝至少喜欢2个的人数和
例题：学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人。
通过这个题目我们看 因为每个人都至少喜欢三项中的一项。则我们用三个圈红，绿，蓝代表球赛。戏剧、和电影。
A＋B＋T＝100 A＋2B＋3T＝148 T＝12 则可以直接计算只喜欢一项的和只喜欢两项的A=64 B=24
典型例题：甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多（）题? A、6 B、5 C、4 D、3
【解析】第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很清楚的我们设a表示简单题目，b表示中档题目 c表示难题
a＋b＋c＝20
c＋2b＋3a＝12×3 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的将a＋b＋c＝20变成 2a＋2b＋2c＝40 减去 上面的第2个式子
得到： c－a＝4 答案出来了
可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。在开始使用这样方法的时候费时不少。当当完全了解熟练运用a＋2b＋3c这个公式时，你会发现再难的题目也不会超过1分钟。
三十四，九宫图问题
此公式只限于奇数行列
步骤1：按照斜线的顺序把数字按照从小到大的顺序，依次斜线填写！
步骤2： 然后将3×3格以外格子的数字折翻过来，最左边的放到最右边，最右边的放到最左边
最上边的放到最下边，最下边的放到最上边
这样你再看中间3×3格子的数字是否已经满足题目的要求了 呵呵！
三十五，用比例法解行程问题
行程问题一直是国家考试中比较重要的一环，其应用之广恐无及其右者。行程问题的计算量按照基础做法不得不说非常大。所以掌握简单的方法尤为重要。当然简单的方法需要对题目的基础知识的全面了掌握和理解。
在细说之前我们先来了解如下几个关系：
路程为S。速度为V 时间为T S＝VT V＝S/T T＝S/V
S相同的情况下： V跟T成反比
V相同的情况下： S跟T成正比
T相同的情况下： S跟V成正比
注：比例点数差也是实际差值对应的比例！理解基本概念后，具体题目来分析
例
一、甲乙2人分别从相距200千米的AB两地开车同时往对方的方向行驶。到达对方始发点后返回行驶，按照这样的情况，2人第4次相遇时甲比乙多行了280千米 已知甲的速度为60千米每小时。则乙的速度为多少？
分析：这个题目算是一个相遇问题的入门级的题目。我们先从基础的方法入手，要多给自己提问 求乙的速度 即要知道乙的行驶路程S乙，乙所花的时间T乙。这2个变量都没有告诉我们，需要我们去根据条件来求出：
乙的行驶路程非常简单可以求出来。因为甲乙共经过4次相遇。希望大家不要嫌我罗嗦。我希望能够更透彻的把这类型的题目通过图形更清晰的展现给大家。
第一次相遇情况
A（甲）．。。。。。。。。。。（甲）C（乙）。。。。。。。。。。。B（乙）
AC即为第一次相遇 甲行驶的路程。BC即为乙行驶的路程
则看出 AC＋BC＝AB 两者行驶路程之和＝S 第2次相遇的情况
A．。。。。。。。。。。（乙）D（甲）。。。C。。。。。。。。。。。。。B
在这个图形中，我们从第一次相遇到第2次相遇来看甲从C点开始行驶的路线是C－B－D，其路程是 BC＋BD 乙行驶的路线则是C－A－D 其行驶的路程是AC＋AD
可以看出第2次相遇两者的行驶路程之和是BC＋BD＋AC＋AD＝（BC＋AC）＋（BD＋AD）＝2S，同理第3，4次相遇都是这样。
则我们发现 整个过程中，除第一次相遇是一个S外。其余3次相遇都是2S。总路程是2×3S＋S＝7S 根据题目，我们得到了行驶路程之和为7×200＝1400
因为甲比乙多行驶了280千米 则可以得到 乙是（1400－280）÷2＝560 则甲是560＋280＝840
好，现在就剩下乙的行驶时间的问题了。因为两个人的行驶时间相同则通过计算甲的时间得到乙的时间 即 840÷60＝14小时。
所以T乙＝14小时。那么我就可以求出乙的速度V乙＝S乙÷T乙＝560÷14＝40 说道这里我需要强调的是，在行程问题中，可以通过比例来迅速解答题目。
比例求解法：
我们假设乙的速度是V 则根据时间相同，路程比等于速度比，S甲：S乙＝V甲：V乙 衍生出如下比例：（S甲＋S乙）：（S甲－S乙）＝（V甲＋V乙）：（V甲－V乙）
得出 1400：280＝（60＋V）：（60－V）解得 V＝40
例
二、甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速1/3，而乙车则增速1/3。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米？
A.1250 B.940 C.760 D.1310
【解析】 我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等
160×（2/3）的N次方＝20×（4/3）的N次方 N代表了次数 解得N＝3 说明第三次相遇即达到速度相等
第一次相遇前： 开始时速度是160：20＝8：1 用时都一样，则路程之比＝速度之比
我们设乙行驶了a千米 则（a＋210）： a ＝ 8：1 解得 a＝30
第二次相遇前： 速度比是 甲：乙＝4：1 用时都一样，则路程之比＝速度之比
我们设乙从第1次相遇到第2次相遇行驶了b千米 则（b＋210）： b ＝ 4：1 解得 a＝70 第三次相遇前：速度比是 甲：乙＝2：1 用时都一样，则路程之比＝速度之比
我们设乙从第2次相遇到第3次相遇行驶了c千米 则（c＋210）： c ＝ 2：1 解得 c＝210 则三次乙行驶了 210＋70＋30＝310千米
而甲比乙多出3圈 则甲是 210×3＋310＝940 则 两人总和是 940＋310＝1250
例三、一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城开往乙城，返回时它用原速度走了全程的4分之3多5米，再改用每小时30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的时间比前往乙城的时间多用了10分钟，甲、乙两城相距多远？
【解析】我们知道多出来的10分钟即1/6小时是在最后1/4差5千米的路程里产生的，则根据路程相同
速度比等于时间比的反比
即 T30：T40＝40：30＝4：3
所以30千米行驶的最后部分是用了 1/6×（4－3）×4＝2/3小时
即路程是30×2/3=20千米
总路程是(20＋5)÷1/4=100
例
四、甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆10次时乙摇浆8次,而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程,现甲先摇浆4次,则乙摇浆多少次才能追上? A.14 B.16 C.112 D.124
【解析】 甲摇浆10次时乙摇浆8次 知道甲乙速度之比=5：4
而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是甲：乙＝7：9
所以，我们来看 相同时间内甲乙得距离之比，5×7：4×9＝35：36 说明，乙比甲多出1个比例单位
现在甲先划桨4次，每浆距离是7个单位，乙每浆就是9个单位，所以甲领先乙是4×7＝28个单位，事实上乙每4浆才能追上36-35＝1个单位，说明28个单位需要28×4＝112浆次追上！选C
例
五、甲乙两个工程队共100人,如果抽调甲队人的1/4至乙队,则乙队比甲队多了2/9,问甲队原来多少人?
这个题目其实也很简单，下面我说一个简单方法
【解析】 根据条件乙队比甲队多了2/9 我们假设甲队是单位1，则乙队就是1＋2/9＝11/9，100人的总数不变
可见 甲乙总数是1＋11/9=20/9（分母不看）
则100人被分成20分 即甲是100÷20×9＝45 乙是 55
因为从甲队掉走1/4 则剩下的是3/4 算出原来甲队是 45÷3/4＝60 三十六，计算错对题的独特技巧
例题：某次考试有30道判断题，每做对一道题得4分，不做的不得分，做错一道题倒扣2分 小明得分是96分，并且小明有题目没做，则小明答对了几道试题（）
A 28 B 27 C 26 D25 正确答案是 D 25题
我们把一个答错的和一个不答的题目看成一组，则一组题目被扣分是6＋4＝10 解释一下6跟4的来源
6是做错了不但得不到4分还被扣除2分 这样里外就差4＋2＝6分
4是不答题 只被扣4分，不倒扣分。
这两种扣分的情况看着一组
目前被扣了30×4－96＝24分
则说明 24÷10＝2组 余数是4
余数是4 表明2组还多出1个没有答的题目
则表明 不答的题目是2＋1＝3题，答错的是2题
三十七，票价与票值的区别
票价是P（2，M）是排列 票值是C（2，M）
三十八，两数之间个位和十位相同的个数
1217到2792之间有多少个位数和十位数相同的数？
从第一个满足条件的数开始每个满足条件的数之间都是相差11 方法一：
看整数部分1217～2792
先看1220～2790 相差1570 则有这样规律的数是1570÷10＝157个
由于这样的关系 我总结了一个方法 给大家提供一个全新的思路
方法二：
我们先求两数差值 2792－1217＝1575 1575中有多少11呢 1575÷11＝143 余数是2 大家不要以为到这里就结束了 其实还没有结束
我们还得对结果再次除以11 直到所得的商小于11为止
商+余数再除以11
（143＋2）÷11＝13 余数是2
（13＋2）÷11＝1 因为商已经小于11，所以余数不管
则我们就可以得到个数应该是143＋13＋1＝157
不过这样的方法不是绝对精确的，考虑到起始数字和末尾数字的关系。误差应该会在1之间！不过对于考公务员来说 误差为1 已经可以找到答案了！
三十九，搁两人握手问题
某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次，请问这个班 的同学有（）人
A、16 B、17 C、18 D、19
【解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的对角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人 则Cx取3＝152 但是在计算X时却是相当的麻烦。我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握x－3次手。每个人都是这样。则总共握了x×（x-3）次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际握手次数是x×（x-3）÷2＝152 计算的x＝19人
四十，溶液交换浓度相等问题
设两个溶液的浓度分别为A％，B％并且 A＞B 设需要交换溶液为X 则有：（B－X）：X＝X：（A－X）
A：B=（A-X）：X
典型例题：两瓶浓度不同得盐水混合液。60％的溶液是40克，40％的溶液是60克。要使得两个瓶子的溶液浓度相同，则需要相互交换（）克的溶液？
A、36 B、32 C、28 D、24
【解析】答案选D 我们从两个角度分析一下，假设需要交换的溶液为a克。则我们来一个一个研究，先看60％的溶液 相对于交换过来的a克40％的溶液 可以采用十字交叉法来得出一个等式 即（再设混和后的标准浓度是p）
40－a ：a＝（P－40％）：（60％－P）
同理我们对40％的溶液进行研究 采用上述方法 也能得到一个等式：
60－a ：a＝（60％－P）：（P－40％）
一目了然，两者实际上是反比，即40－a ：a＝a ：60－a 解得 a＝24 即选D
如果你对十字交叉法的原理理解的话 那么这个题目中间的过程完全可以省去。所以说任何捷径都是建立在你对基础知识的把握上。
解法二： 干脆把2个溶液倒在一起混和，然后再分开装到2个瓶子里 这样浓度也是相等的。我们根据十字交叉法，60跟40的溶液混合比例 其实跟交换的x克60％溶液与剩下60－x克40％的溶液比例成反比，则60：40＝60－x：x解 X＝24克
四十一，木桶原理
一项工作由编号为1～6的工作组来单独完成，各自完成所需的时间是：5天，7天，8天，9天，10.5天，18天。现在将这项工作平均分配给这些工作组来共同完成。则需要（）天？
A、2.5 B、3 C、4.5 D、6
【解析】这个题目就是我们常说的“木桶效应”类型的题目。“木桶效应”概念来自于经济学中的称呼。意思是一个木桶是由若干个木板拼凑起来的。其存水量取决于最短的那块木板。这个题目我们看 该项工作平均分配给了每个小组，则每个小组完成1/6的工作量。他们的效率不同 整体的时间是取决于最慢的那个人。当最慢的那个人做完了，其它小组早就完成了。18天的那个小组是最慢的。所以完成1/6需要3小时，选B
例题：一项工作，甲单独做需要14天，乙单独做需要18天，丙丁合做需要8天。则4人合作需要（）天？
A、4 B、5 C、6 D、7
【解析】 题目还是“木桶效应”的隐藏运用。我们知道甲乙的各自效率。但是丙丁不知道，根据合做的情况 并且最后问的也是合作的情况。我们不妨将其平均化处理。也就是说 两个人的平均效率是16天。那么这里效率最差的是18天。大家都是18天 则4人合作需要18÷4＝4.5天。可见最差也不会超过4.5天，看选项只有A满足
四十二，坏钟表行走时间判定问题
一个钟表出现了故障，分针比标准时间每分钟快6秒，时针却是正常的。上午某一时刻将钟表调整至标准时间。经过一段时间 发现钟表的时刻为晚上9：00 请问钟表在何时被调整为标准时间？
A、10：30 B、11：00 C、12：00 D、1：30
【解析】此题也是比较简单的题目。我们看因为每分钟快6秒则1个小时快60×6＝360秒即6分钟。当9：00的时候 说明分针指在12点上。看选项。其时针正常，那么相差的小时数是正常的，A选项差10.5个小时即 分针快了10.5×6＝63分钟。则分针应该在33分上。错误！同理看B选项 相差10个小时 即10×6＝60分钟，刚好一圈，即原在12上，现在还在12上选B，其它雷同分析。
四十三，双线头法则问题
设做题的数量为S 做对一道得X分 做错一道扣Y分 不答不得分
竞赛的成绩可能值为N 令T=（X+Y）/Y
则N={[1+（1+S）]*（1+S）}/2-{[1+（S-T+1）]*（S-T+1）}/2
某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是每一题答对得4分，答错一道扣2分，不答不得分，设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少？
A、28 B、30 C、32 D、36
【解析】该题是双线段法则问题【（1＋11）×11÷2 】－【（1＋8）×8÷2】＝30
所谓线段法则就是说，一个线段上连两端的端点算在内共计N个点。问这个线段一共可以行成多少线段。计算方法就是（N－1）×N÷2，我看这个题目。我们按照错误题目罗列大家就会很清楚了
答对题目数 可能得分40 9 36，34 8 32，30，28 7 28，26，24，22 6 24，22，20，18，16 5 20，18，16，14，12，10 4 16，14，12，10，8，6，4 3 12，10，8，6，4，2，0，－2 2 8，6，4，2，0，－2，－4，－6，－8 4，2，0，－2，－4，－6，－8，－10，－12，－14，0 0，－2，－4，－6，－8，－10，－12，－14，－16，－18，－20
这样大家就不难发现可能得分的情况随着答对题目数量的减少，或者说答错题目的增多。呈现等差数列的关系，也就是线段法则的规律。然后从第7开始出现了重复数字的产生。也是随着题目的答错数量的增加而等差增加。这是隐藏的线段法则。所以称之为双线段法则应用。
回归倒我一看的题目 大家可能要问，后面【】里面的8从什么地方来的？ 这就是确定重复位置在哪里的问题。（得分分值＋扣分分值）÷扣分分值＝3 即当错3题时开始出现重复数字。也就是隐形线段法则的起始端。10－3＝7 就是说 从0～8之间有多少个间隔就有多少个重复组合。
四十四，两人同向一人逆相遇问题
典型例题：在一条长12米的电线上,红,蓝甲虫在8:20从左端分别以每分钟13厘米和11厘米的速度向右端爬行去,黄虫以每分钟15厘米的速度从右端向左爬去,红虫在什么时刻恰好在蓝虫和黄虫的中间? A 8:55 B 9:00 C 9:05 D 9:10
公式总结；设同向的速度分别为A B 逆向的为C 时间为T 则T=A+[（A-B）/2+C]*T=S 四十五，往返行程问题的整体求解法
首先两运动物体除第一次相遇行S外，每次相遇都行使了2S。
我们可以假设停留的时间没有停留，把他计入两者的总路程中
化静为动巧求答
例题：1快慢两车同时从甲乙两站相对开出，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需行15小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留1小时返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时？
解法：根据往返相遇问题的特征可知，从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离的2倍，假设快车不在乙站停留0.5小时，慢车不在甲站停留1小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为600×2+60×0.5+40×1=1270（千米），故此期间所经时间为1270÷（60+40）=12.7（小时）甲乙两人同时从东镇出发，到相距90千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行30千米，乙步行每小时行10千米，甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。问这时乙走了多少千米？
解法：根据题意可知甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇（乙未到西镇，无返回现象），故两人所行路程总和为（90×2=）180（千米），但因甲到西镇用了1小时办事。倘若甲在这1小时中没有停步（如到另一地方买东西又回到西镇，共用1小时），这样两人所行总路程应为：
90×2+30=210（千米），又因两人速度和为30+10=40（千米），故可求得相遇时间为：（210÷40=）5.25（小时），则乙行了（10×5.25=）
52.5（千米）。甲、乙两人同时从东西两镇相向步行，在距西镇20千米处两人相遇，相遇后两人又继续前进。甲至西镇、乙至东镇后都立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇距离？
解法一 设东西两镇相距为x千米，由于两次相遇时间不变，则两人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程：
所以东西两镇相距45千米。
解法二 紧扣往返行程问题的特征，两人自出发至第二次相遇所走路程总和为东西两镇距离的3倍，而第一次相遇距西镇20千米，正是乙第一次相遇前所走路程，则从出发至第二次相遇乙共走（20×3=）60（千米），第二次相遇时乙已从东镇返回又走了15千米，所以，两镇的距离为（20×3-15=）45（千米）
四十六，行船问题快解
例题：一只游轮从甲港顺流而下到乙港，马上又逆水返回甲港，共用8小时，顺水每小时比逆水每小时多行12千米，前4小时比后4小时多行30千米。甲、乙两港相距多少千米？A.72 B.60 C.55 D.48 解析：30/12=5/2，8-5/2=11/2(12/2)*1/[(2/5-2/11)/2]=55 四十七，N条线组成三角形的个数
n条线最多能画成几个不重叠的三角形 F(n)＝F(n－1)＋ F(n－2)如 f（11）＝19 四十七，边长为ABC的小立方体个数
边长为ABC的长方体由边长为1的小立方体组成，一共有abc个小立方体，露在外面的小立方体共有 abc－（a－2）（b－2）（c－2）
四十八，测井深问题
用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台9米；把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米。那么，绳子长多少米? 解答：（2*9-3*2）/(3-2)=12
（折数*余数-折数*余数）/折数差=高度
绳长=（高度+余数）*折数=（12+9）*2=42 四十九，分配对象问题
（盈+亏）/分配差 =分配对象数
有一堆螺丝和螺母，若一个螺丝配2个螺母，则多10个螺母；若1个螺丝配3个螺母，则少6个螺母。共有多少个螺丝？()A.16 B.22 C.42 D.48
解析：A，（10+6）/（3-2）=16
若干同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人，若每船5人则船上空4个坐位，共有()位同学A.17 B.19 C.26 D.41 解析：D，（5+4）/（5-4）=9，4*9+5=41
第三篇：页码问题公式总结
页码问题常见的主要有三种题型： 一、一本书有N页，求排版时用了多少个数字；或者反过来，一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页；
二、已知一本N页的书中，求某个数字出现多少次；
三、已知一本N页的书中，求含有某个数字的页码有多少页
1．编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115 用了2个1 和1个5共3个数字），问这本书一共有多少页？
A.117 B.126 C.127 D.189 方法一：l--9 是只有9个数字，10--99 是2*90 =180个数字，那么剩下270-9-180= 81，剩下81/3 = 27页，则这本书是99+27-1=126 页。
方法二：假设这个页数是A页，则有A 个个位数，每个页码除了1--9，其他都有十位数，则有A-9个十位数，同理：有A-99个百位数。则：A+(A-9)+(A-99)=270 3A-110+2=270 3A=378，A=126 方法三：公式法：公式：一本书用了N个数字，求有多少页：N/3+36。270/3 +36=126。
2．一本小说的页码，在排版时必须用2211 个数码。问这本书共有多少页？ A．773 B.774 C.775 D.776 解析：代入公式：N/3+36=737+36=773 ．王先生在编一本书，其页数需要用6869 个字，问这本书具体是多少页？ A.1999 B.9999 C.1994 D.1995 方法一：假设这个页数是A页，则：A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869，求出A=1994 方法二：6869>2889，所以，把所有的数字看作是4位数字，不足4位的添O补足4位，l , 2 , 3 , „ 9 记为0001 , 0002 , 0003 ,..0009 这样增加了3 * 9 = 27 个0 10 , 11 , 12 , „ 99 记为0010 , 0011 , 0012，..0099 增加了180 个0 100 , 101，„ 999 记为0100 , 0101，„ 0999 增加了900 个O(6869+27+180+900)/4 =1994
总结：一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页，N<2889时，用公式：N/3+36；N>2889时,用添加0计算。
4.在1-5000 页中，出现过多少次数字3 ？
解析：每十个数里的个位上有一个3，5000个数就有5000/10=500个3，每一百个数里的十位上会有30到39,10个3，所以(5000/100)乘10=500个3，每一千个数里的百位上会有300到399，100个3所以(5000/1000)乘100=500个3，在千位上的3就有3000到3999，1000个3，所以500+500+500+1000=2500个3
5.一本书有4000 页，问数字1 在这本书里出现了多少次？ 解析：我们看4000分为千，百，十，个四个数字位置
千位是1 的情况：那么百、十、个三个位置的选择数字的范围是0--9 共计10个数字。就是10*10*10=1000 百位是1 的情况，千位是（0 , 1 , 2 , 3)4个数字可以选择。十位，个位还是0--9，10个数字可以选择即4*l0*10=400 十位和个位都跟百位一样。那么答案就是1000+400*3=2200
总结：因为在页码1-99 中，l、2、3、4、5、6、7、8、9 均会出现20 次；在页码100-999 中，l、2、3、4、5、6、7、8、9 均会出现20*9+100次。
上面两题均可以用公式,关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/10 乘以（数字位-1)，再加上10 的（数字位数-l）次方。如三位数：总页数的1 / 10 乘以（3 一l)+ 1O 的（3-1)次方 四位数：总页数的l / 10 乘以（4 一l)+ 10 的（4-l)次方
那么第4题：(5000/10)*3+1000=2500；第5题：(4000/10)*3+1000=2200 6．在1-5000页中，含3的页数有是多少？ 在页码1-99中，数字3出现了20次，即有19个含3的页码(33页要去掉一次）；在页码100-999 中，分两种情况考虑：（1）首位数字是3，那么，后面两位就不用管了，一共有含3的页码100页；（2）首位数字不是3，那么必须考虑后两位数字含3，而前面知道，1-99中，有19个含3的页码，由于首位数字这时有l、2、4、5、6、7、8、9 这么8种可能性，所以应该是19 * 8个含3的页码。
本题，在1-999中，含3的页码一共19+19*8+100=19*9+100页；再引申到1000-5000，也分两种情况：(l)千位是3，则有1000页：(2）千位不是3，则只可能是l、2、4，只考虑后3位，有（19*9+l00)*3 个含3 的页码。所以，合计是：19 * 9 + 100 +(19 * 9 + 100)* 3 + 1000 =2084 页 7.99999 中含有多少个带9 的页面？
答案是40951，排列组合学的不是特别好的同学可以牢记公式: [(19*9+100)*9+1000]*9+10000=40951
规律很简单：19*9+100，代表l-999里含l、2、3、4、5、6、7、8、9 的页码数；
(19*9+100)*9+1000，代表1-9999 里含l、2、3、4、5、6、7、8、9 的页码数； [(19*9+100)*9+1000]*9+10000，代表l-99999 里含l、2、3、4、5、6、7、8、9 的页码数。
2位数是19页，然后每多一位数就乘以9，再加上10的N次方，N=位数减1。8.一本300页的书中含“l”的有多少页？ 19*2+100=138页
9．将所有自然数，从1 开始一次写下去得到：***13„ „，试确定第206786 个位置上出现的数字？ A.3 B.0 C.7 D.4 解析：
方法一：9999*4<10000*4=40000<206786<99999*5,那么肯定是5位数了。
l , 2 , 3 , „ 9 记位00001 , 00002 , 00003 ,..00009 这样增加了4 * 9 = 36 个0 10 , 11 , 12 , „ 99 记为00010 , 00011 , 00012，..00099 增加了270 个0 100 , 101，„ 999 记为00100 ,00101，„ 00999 增加了1800 个O 1000,1001，„ ,9999记为01000 ,01010，„ 09999 增加了9000 个O(206786+36+270+1800+9000)/5 =217892/5=43578余2, 说明206788 位置上的数就是第43579 的第2个数字3 方法二
设有A页，那么：A+(A-9)+（A-99）+（A-999）+（A-9999)=206788 5A-(9+99+999+9999)=206786 A=43578余数是2 说明206786 位置上的数就是第43579 的第2个数字3
10、一本小说的页码，在印刷时必须用1989个铅字，在这一本书的页码中数字1出现多少次？
解析：共有1989/3+36=699 页。
即出现：(700/10)*(3-1)+100=240次
11.印刷一本书用了1992个数字，在这本书中出现数字2的页码有多少页？
A.214 B.226 C.230 D.240 解析：有1992/3+36=664+36=700页，含有数字2的页码：6*19+100=214选A
第四篇：教案 四年级 第2讲 页码中的数字问题
黄冈思维数学四年级B册
第二讲 页码中的数字问题
内容：页码中的数字问题
目的：使学生掌握页码中常见的三种数字问题：
① 计算页码中所有数字的个数的和，或是根据已知页码中的所用数字个数的和求页码数。
② 计算页码中某个数字出现的次数。③ 计算页码中所有数字的和。
重点难点：①仔细审题，动脑筋找出题目中数字之间的特殊联系。
②掌握三种问题中的一些常见的、巧妙的解题方法
教学方法：应用分段、分类、分组的思想将不熟悉的数字问题转化为熟悉的数字问题。教学流程：情景引入
同学们，请把你们手中的黄冈思维数学打开看一下，总共有多少页呢？事实上，每本书都要编页码，而页码是大家最常见、最常用、最熟悉的数，而这些熟悉的数放到我们数学中就让我们大开眼界了。
探究新知
例1 一本书共132页，在这本书的页码中，共用了多少个数字？
教师分析：
1、仔细审题，所求的是共用多少个数字，是指所有数字的个数的和，绝不是指总页数。
2、看上去比较难，不能直接算
师生互动：
1、直接算太麻烦，如何找方法呢？学生讨论
2、教师点拨，将132个数可分为哪几类，进而引入分段、分类思想
第一段
1—9，也就是一位数，有9个数，共有9个数字
第二段 10—99，也就是两位数，有90个数，共有90×2=180个数字 第三段 100—132，也就是三位数，有33个数，共用33×3=99个数字
3、学生分段求每段的个数和。
完全解答：解： 1×9+2×（99-9）+3×（132-99）
=8+180+99
=288（个数字）
答：这本书页码共用了288个数字。
学生模仿训练：P14第一题
总结：求页码中数字个数的和时，我们可以按一位数、两位数、三位数„„进行分段分类，再求出每段中数字个数和，最后把结果相加。
例2 一本书有408页，要把它编出页码1、2、3、4、„„407、408，数字2一共需出现几次？
教师分析：
1、一个一个地数出来很浪费时间，而且很容易遗漏
2、模仿例1，对408个数进行分段分类
3、强调2在几个数位上同时出现时，需要重复计算。
师生互动：
1、把1—408进行分段分类，可分为1—99，100—199，200—299，300—399，400—408共五段
2、显然，每段中数字2出现的次数互不相等，仍然不能直接计算，该怎么办？学生讨论后，在教师指导下，将大段又分为几个小段
3、教师指导学生将1—99再分为1—9，10—19，20—29，„„，90—99共10个小段，学生找出每小段中2出现的次数，针对学生出现的问题，教师强调：20—29中，2出现的次数是11次，而不是10次，22中，2出现的次数是2次。
4、类比上步，学生找100—199，300—399出现2的次数
5、在200—299中，2出现的次数很容易遗漏，教师强调，百位上出现了100次2.完全解答：
解： 20×4+100+1
=80+100+1
=181
答：数字2一共要出现181次。学生模仿练习：P15第2题
总结：求某个数字在页码中出现的次数时，①可将数字分段分类
②必要时，可将大段再分小段，也就是将“大事化小，小事化了”的思想
③至于怎样分类，要靠对题意进行仔细的观察和认真的分析。
例3 排一本辞典的页码共用了2925个数字，请你算一下，这本辞典有多少页？
教师点拨：
1、对照例1观察，发现两例是相反的，例1是已知页码数，求共用多少个数字，例3是已知共用的数字，求页码数。
2、分组分类 1—9，用9个数字；10—99，用2×90=180个数字；100到999，用3×900=2700个数字 3、1—999中，用了9+180+2700=2889个数字，但是，2925＞2889，显然，这本书不止999页。4、1000—9999都是四位数，学生思考，四位数的页码数是多少个？
完全解答：
解： 1—999页排完后剩下多少个数字
2925-1×9-2×90-3×900
=2925-9-180-2700
=36（个）
总页数：9+90+900+36÷4
=999+9
=1008（页）
答：这本辞典共有1008页。
学生模仿练习：P17第3题
总结：在已知页码所用的数字个数之和，求页码数时，①不能硬算 ②要充分利用题中数字之间的内在联系，来找解题的入手点 ③要注意比较
例4： 一本书100页，计算页码1—100这些自然数中的所有数字之和是多少？
教师分析：①举例说明，页码数之和绝不等于各页码数字之和
②采用分类法，将1—100分为10段
学生互动：先分段，再求各段数字之和。完全解答：
解：把1—100各数分成1—9，10—19，20—29，30—39，„„90—99，和100，这样11段，第一段1、2、3、4、5、„„
8、9，其和为45；第二段，它们的个位上数字之和仍然是45，另外还有十位上的10个1，其和为45+10=55；第三段个位上数字之和仍然是45，再加上十位上的10个2，其和为45+10×2=65；„„以此类推，第10段每个数字的和为45+90=136；第11段只有100这个数，和为1.45+55+65+„„+135+1
=（45+135）×10÷2+1
=901
答：1—100这些自然数的所有数字和是901.还有其他的分段方法吗？带着这个问题学生阅读第十七页的“解法归纳一”。
学生模仿训练：P18第4题（答案：1—9：45；10—99：855 ；100—200：1003.共1903.）
总结：计算页码中所有数字和时，我们必须①先分段分类分组 ②总结各段之间的变化规律，避免重复计算 ③选择好的分类方法，可使运算简便。
例5 一本书的页码从1到82，共82页，在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次，结果得到的和为3440，问：这个被多加了一次的页码是多少？ 教师分析：
1、页码数之和可以直接求
2、造成错误的原因是有一页码被多加了一次，使总结果多加了这一页码数 学生动手求：①1—82的页码和
②两和的差
完全解答： 解：1—82的页码和
（1+82）×82÷2
=83×82÷2
=3403
多加一次的页码：
3440-3403=37（页）
答：这个被多加一次的页码是37.学生模仿练习：P19第5题
总结：解决页码中的数字问题，我们必须仔细审题，动脑筋找出题目中数字与数字之间的特殊联系，同时更要学习和掌握分段分类分组的解题方法。
巩固练习P20第2、3题
拓展提高P20第1题——教师点拨：第P150页，第160页，在同一张纸上。
P21第2题——教师点拨：每三页分为一组，先求总数
第五篇：word里 A3分栏 页码和打印问题
word里 A3分栏 页码和打印问题
设置A3纸张打印文件，正反面，看起来方便，可以对折之后翻阅。但是要第4页、第1页印在一面。第2页。第3页印在另外一面
首先 分栏页码（4页和1页、2页和3页）这样怎么设置？看网站上说了用域名设置{={page}*2-1}这样我试过了，是（1页.2页）（3页.4页）依次顺序排列的还有是要4页和1页的内容在一版，2页和3页的内容在一版
不要分栏，选好A3纸后，从菜单选 文件--打印，在弹出的对话框内单击右上角的打印机的“属性”按钮，在“完成”选项页中，选中双面打印，之后，“小册子布局”选项由灰色灰为黑色，在下方的每张打印页数中自动变成每页打印两页。然后 根据需要选小册子布局为左侧装订还是右侧装订，就可以打印了
点击咨询 