弧长和扇形面积教案

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第一篇:弧长和扇形面积教案

24.1弧长和扇形面积(第1课时)

教学目标 :

1、知识 与技能:理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程,掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算;

2、过程与方法:经历用类比、联想的方法探索公式推导过程,培养学生的数学应用意识,分析问题和解决问题的能力。

3、情感与态度:通过联系和运动发展的观点,渗透辩证唯物主义思想方法。教学重难点:

重点:弧长,扇形面积公式的导出及应用。难点:用公式解决实际问题。教学过程:

一、情境导入

在田径二百米比赛中,每位运动员的起跑位置相同吗?这样比赛公平吗?

二、课内探究

(一)弧长公式

1、回顾圆弧的定义,并提问“弧是圆的一部分,你会求弧的长度吗?”

2、自主学习,合作探究(5分钟)

(1)半径为R的圆,圆的周长是多少?半圆呢?四分之一圆呢?(2)圆的周长可以看作是多少 度的圆心角所对的弧?(3)1°圆心角所对弧长是多少?(4)n°圆心角所对的弧长是多少?,(点评)根据同学们的解题过程,我们可得到:1°的圆心角所对的弧长为n°的圆心角所对的弧长是1°的圆心角所对的弧长的n倍,n

3、精讲例题

例1 制造弯形管道时,要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试计算图所示管道的展直长度L(单位:mm,精确到1mm)

2πRπR 360180πRnπR即l.180180

4、链接中考

(1)已知圆心角为60°,半径为1,则弧长为 _________.(2)已知圆心角为120°,弧长为10πcm,则半径为__________ cm. 检查学生练习情况并点评

(二)扇形面积公式

1、扇形的定义并学会判断什么图形是扇形?

2、自主学习,合作探究(5分钟)

(1)如果圆的半径为R,则圆的面积是多少?半圆呢?四分之一圆呢?(2)1°的圆心角对应的扇形面积为 多少?

(3)n°的圆心角对应的扇形面积为 多少?

πR2(点评)根据同学们的解题过程,我们可得到:1°的圆心角所对的扇形面积为

360πR2n°的圆心角所对的扇形面积是1°的圆心角所对的扇形面积的n倍,n即

360nπR2S扇形.3603、比较弧长公式和扇形面积公式,你能类比扇形面积和对应弧长的关系.推导并归纳:S扇形4、链接中考

(1)一个扇形的圆心角为120°,半径为3,则这个扇形的面积为 _________(结果保留π).(2)已知扇形的面积为2π,半径为3,则该扇形的弧长为_________(结果保留π). 检查学生练习情况并点评

三、练习

P113 练习第1、2、3题

四、小结

通过这节课,你们学习了什么知识?

1、弧长公式

2、扇形面积公式

3、弧长公式与扇形面积公式的关系

4、解决课前问题

在田径二百米比赛中,每位运动员的起跑位置相同吗?这样比赛公平吗?

五、布置作业

习题24.4 第1、2、3、6、7、8题 nπR21nπR1RlR

36021802

第二篇:弧长及扇形的面积教案

24.4.1弧长和扇形的面积

钦南区丽光学校:吴春明

教学目标(一)知识目标

1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;

2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题.(二)能力目标

1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力。

(三)情感与价值观

1.经历探索弧长及扇形面积计算公式,让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.

2.通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力.

教学重点

探索弧长及扇形面积计算公式的过程. 教学难点

用公式解决实际问题. 教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

[师] 老师想将扇子的边缘贴上金纸边,买多长比较合适? 帮老师解决这个问题?哪位同学可以 [生]学生各抒己见,说出解决问题的方法 引入课题:弧长和扇形面积 Ⅱ.新课讲解

一、探索弧长的计算公式

(1)提问:

1.半径为R的圆,周长是多少?

2.圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 3.1°圆心角所对弧长是多少? 4.2°圆心角所对弧长是多少? 5. 3°圆心角所对弧长是多少?...n°的圆心角所对的弧长是多少?

(2)学生之间相互讨论得出答案,进而推导出⊙O半径为R,n°的圆心角所对的弧长公式为

注意:进行计算时,公式中的数,不带单位。

(3)弧长公式的运用 巩固提升

(一)2、已知90°的圆心角所对的弧长为2πcm,则此弧长所在圆的半径是 cm

(4)例题讲解

PPT展示例题:先让学生自主学习,教师最后适当讲解分析。

1、制造弯形管道时,要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试计算图所示管道的展直长度L(单位:mm,精确到1mm)解:由弧长公式,可得弧AB的长 lnR180n

表示的是1度的圆心角的倍nR l180

因此所要求的展直长度

L27005002970答:管道的展直长度为2970mm

二、探索扇形面积的计算公式

(一)扇形的概念

1、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。

2、会判断某个图形是否是扇形

(二)面积公式的探索

(1)提问:

1.半径为R的圆,面积是多少?

2.圆的面积可以看作是多少度圆心角所对的扇形? 3.1°圆心角所对对应的扇形面积是多少? 4.n°的圆心角所对的弧长是多少?

(2)学生之间相互讨论得出答案,进而推导出⊙O半径为R,n°的圆心角所对应得扇形面积为 S扇形nR2360注意:公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的;(3)扇形面积公式的运用

1、已知⊙O的圆心角和半径如图所示,则S扇形AOB =

2、一个扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的圆心角是

3、已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的面积是

提问:扇形的面积可否用弧长的方式来表示?若可以,扇形的面积公式还可以如何表示?

【学生】}互相讨论,师生总结,扇形的面积与弧长的关系。

(4)例题讲解

PPT展示例题:老师做相应的提示,逐步引导学生解题。

2、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上有水部分的面积。(精确到0.01cm)。

S扇形1lR224、已知扇形的半径为24cm,弧长为 20 π cm,那么这个扇形的面积是________cm

三、综合巩固

学生之间互相讨论学习,教师再讲评 1、(2013年.琼州)如图1,两个同心圆中,大圆的半径OA=4cm,∠AOB=∠BOC=60°,则图中阴影部分的面积是多少?

BADC图1

图2

2、(2014年山东)如图2,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D两两不相交,且半径都是2cm,求图中阴影部分的面积。

3、(2010年玉林)如图,从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB,A、B为切点,已知⊙O的半径为2,∠P=60°,求图中阴影部分的面积。

4、

第三篇:弧长和扇形面积.教学反思

《弧长和扇形面积》教学反思

一、教学构思:

本次授课思路:圆周长公式——弧长公式,由此类比导出扇形面积公式。重点强调培养学生解决实际问题的能力。首先是与学生一起复习圆的周长、面积计算公式,接着用教材中的题目引入新课,与学生一起推导弧长与扇形面积的计算公式。由复习到新授的衔接还算流畅,但对学生的思维启发可能不够到位,所以学生在实际应用中用得不熟练,对公式中的字母还得想一想才能反应过来代表哪个量。

本节课主要内容是弧长及扇形面积的计算。不仅强调学生会运用公式,而且要理解算法的意义。引例的设计主要考虑了学生生活实际,放弃了课本的引例,选择了很多实际问题,特别是自动喷水装置探索其喷灌范围、计算扇子的贴纸部分面积等例子,这样能够激发学生的学习欲望,调动学生积极性,让学生积极动手、动脑,解决实际问题。使学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中,获取广泛的数学活动经验,进而促进自身的主动发展。

二、课堂教学反思:

本节课的内容一般来说老师会把重点放在公式的理解和熟练运用上,对于九年级的学生来说这很重要,而且弧长公式和扇形面积公式的推导过程也比较容易理解。但是这样可能导致中等及以下学生因为某些概念、细节的不理解或者不懂,造成学习的障碍。结合学生的实际,认真分析学生可能出现障碍的地方,逐步引导学生观察、比较,从基本的概念入手,处理好各个思维的转折点,在注重基础的同时发展学生的数学能力,关注了全体学生的发展。另外在提问的处理上进行分层,避免死板的教公式、记公式的老套,希望能激发学生思维,体现教师引导者的身份。

针对学生的实际情况,在课堂中关注大多数学生能够参与到教学中来很重要,存在的不足之处是,于九年级的学生来说,成绩较好学生的思维明显受到限制,不能最大限度的培养数学优生的数学思维。如何在关注全体学生的同时让优生最大限度的发展,最终体现课程标准中让不同的人在数学上得到不同的发展的理念,是我们数学课堂教学一直要思考的问题。

本节课的不足还在于时间的分配上不是很合理,由于在学生在探索弧长时我担心引导措施不到位,导致时间过长,后面的教学环节比较吃紧,对学生在新知的应用上没有足够的时间。有待于在今后的教学中注意这方面的问题,以便进一步提高课堂教学效率。

三、教材处理的反思:

《弧长和扇形面积》课后反思: 任何新知识获得,都是要经过“实践——认识——再实践——再认识”的过程,这个过程,本身蕴含着一个再创造的过程。从教学这个意义上来讲,就强调了以学生为中心,引导学生自主学习。同时,培养学生的合作能力。可是上完这节课,我感触颇深,有欣慰的,也有遗憾的。欣慰的是自己对“先学后教”的课堂模式有了进一步的认识;遗憾的是这堂课存在不少问题。在此我对自己发现的问题进行反思。首先,揭示目标时三言两语,没能使学生产生深刻的印象。其次,对学生实际情况的把握不到位,自认为出现了以下两个问题:一是推导公式的用时多了;二是对设计的几个问题中的重点引导不足,使部分学生对公式的探究过程仍存在一定的疑点。再次在例题评析时脱离了学生的理解。应该根据学生的疑难进行引导,但我却从自己的理解出发了。接着因上面环节用时过长明显影响了当堂训练的开展。总之,通过对这堂课的反思,发现了问题,这就是收获。只有这样发现问题,找出问题,才能促使自己去探索,去解决问题,在发现和解决问题中提高自身教育教学的水平,使自己的课堂更好的服务于“人人学有用的数学”。

第四篇:弧长和扇形面积课堂教学设计

弧长和扇形面积课堂教学设计

教学目标

1,知识与技能 掌握弧长与面积的计算公式,并会用公式解决一些实际问题 2.过程与方法:

经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,提高探索能力; 知道弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练数学运用能力。3,情感态度与价值观

通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,体验数学与人类生活的密切联系,激发学习数学的兴趣,提高学习积极性,同时提高运用能力。

教学重点:

经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;会用公式解决问题; 教学难点:

探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题; 教学过程:

一、创设问题情境,引入新课

我们已经学习过有关圆的周长和面积公式,弧是圆周的一部分,扇形是圆的—部分,那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索。

二、探索研究,获取新知 探究一:教师活动:提出问题

制造弯形管道时,经常要先按中心线计算“展直长度”(教材120页图24.4-1中虚线的长度),再下料,这就涉及到计算弧长的问题。

学生活动:自主探究弧长的计算方法。

教师提示:可以把它分为几个部分,AC和BD的长我们知道,只需要求出AB段弧长,就能得出结果。

师:同学们,你们还记得圆周长的计算公式吗? 生:C=2 R 师:那圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长? 生:是360°所对的弧长。

师:那我们再想,1°的圆心角所对的弧长是多少呢?n°的圆心角呢? 生:1°的弧长=教师总结:

在半径是R的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所

nR以n°的圆心角所对的弧长为: L=

180[教法]:让学生们理解后识记。

图24.4-1中所给的数据,由上面的弧长公式,可得AB弧 的长为 L=100900 ≈1570(mm)。

1802RnR;n°的弧长=。

180360探究二:扇形的面积

如下图,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

0A B

师:上图中扇形有几个?同求弧长的思维一样,要求扇形的面积,应思考圆心角为 n。的扇形面积占圆面积的几分之几?进而求出圆心角的扇形面积。

教师活动:

如果设圆心角是n°的扇形面积为S,圆的半径为R,那么扇形的面积为nR2nRS=,由于这个扇形对应的弧长L=,还可以推出扇形面积的另一个计360180算公式

S=1LR(这个公式最好在教师的引导下由学生推出)2[教法]:类比弧长的公式的探究方法自主探究扇形的面积的计算方法。

三、典型例题

例1:如图24.4-3,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m,其中水面高0.3m,求截面上有水部分的面积(精确到0.01m2)。

OABC

解:如图24.4-3,连接OA、OB,作弦AB的垂直平分线,垂足为D,交 于点C。

∵OC=0.6,DC=0.3, ∴OD=OC-DC=0.3。

在Rt△OAD中,OA=0.6,利用勾股定理可得,AD=0.3。

在Rt△AOD中,OD= OA,∴∠OAD=30°。

∴∠AOD=60°,∠AOB=120°。有水部分的面积 S=S扇形OAB-S

OAB=1201×0.62-AB×OD 236010.63 ×0.3 2=0.12-≈0.22(m)2

四、课堂练习

1.有一段弯道是圆弧形的,道长是12m,弧所对的圆心角是81°,求这段圆弧的半径R(精确到0.1m)。

a为半径的圆相2切于点D、E、F,求图中以D、E、F为顶点的封闭图形的面积。2.正三角形ABC的边长为a,分别以A、B、C为圆心,以

A DEB E C

五、小结

本节课我们共同探寻了弧长和扇形面积的计算公式,一方面,要理解公式的由来,另一方面,能够应用它们计算有关。计算时要力求细心准确。

第五篇:《弧长和扇形面积》教学设计

24.4 弧长和扇形面积

第二课时

一、教学目标

(一)学习目标

1.了解圆锥母线的概念,探索并理解圆锥侧面和全面积计算公式; 2.会灵活应用圆锥侧面积和全面积计算公式解决问题.

(二)学习重点

探究圆锥侧面积和全面积的计算公式.(三)学习难点

应用圆锥侧面积和全面积计算公式解决问题

二、教学设计 1.自主学习

(1)弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾

师问:上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式,你们还记得它们是怎样的吗? 生答:弧长l=半径)

生答:扇形面积S=(2)圆锥的再认识

(教师出示一组生活中含圆锥形物体的图片)nR2,(其中n表示扇形圆心角的度数,R表示扇形所在圆的半径)360nnR2R=,(其中n表示弧所对的圆心角的度数,R表示弧所在圆的360180

师问:上面的物体中,有你熟悉的立体图形吗? 生答:圆锥体

师问:非常好,它们都含有圆锥体(如下图),那么什么是圆锥体呢?

生答:圆锥是由一个底面和一个侧面组成的,它的底面是一个圆,它的侧面是一个曲面. 师问:我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的母线,那么一个圆锥有多少条母线呢?它们在数量上有什么关系? 生答:有无数条,它们是相等的. 师问:为什么是相等的呢?

生答:由勾股定理,每条母线l=h2r2,h表示圆锥的高,r表示底面半径,对于同一个圆锥体,h和r的长是固定的,因此母线的长也是固定的.

师:非常好!我们不仅知道母线长度是相同的,而且还了解了有关母线的一条非常重要的性质:母线l、圆锥高h、底面半径r之间满足:l2h2r

2【设计意图】本节课探究的圆锥的侧面积和全面积,因此有必要重新认识圆锥,另外,本节课必须使用到上节课学习的弧长计算公式和扇形面积计算公式,因此也有必要回顾这两个公式,为本节课教学内容顺利进行做铺垫.

二、合作交流

师:大家分析得非常好,接下来请大家以小组为单位,完成下列问题串:

如图,沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平,容易得到,圆锥的侧面展开图是一个扇形,(1)设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,如图所示,那么这个扇形的半径为________;(2)扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的,所以扇形弧长为________;(3)因此圆锥的侧面积为________,圆锥的全面积为________

l

(学生先独立思考,再小组合作完成,并展示)归纳:

①如上图,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2r,根据上节课学习的扇形面积公式S扇形半径)可知:该圆锥的侧面展开图的面积是S侧1lR(其中l表示扇形的弧长,R表示扇形212rlrl; 2②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积,表示为:

S全S侧S底=rlr2r(lr)

③通过上面两个公式,我们可以看到,只要知道母线、底面半径就可以求圆锥的侧面积的全面积. 3.展示提升

如图,玩具厂生产一种圣诞老人的帽子,其帽身是圆锥形,母线SB=15 cm,底面半径OB=5 cm,要生产这种帽身10000个,你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗?(取3.142)

【知识点】圆锥侧面积在生活问题中的应用 【数学思想】数形结合

【解题过程】解:∵母线SB=15 cm,底面半径OB=5 cm ∴一顶圣诞帽需要的材料是51575cm²

∴生产这种帽身10000个,需要7510000750000cm²=75m²≈235.65 m². ∴玩具厂至少需235.65平方米的材料

【思路点拨】已知底面半径和母线长,可以直接套用圆锥侧面积公式即可,但实际问题需要注意单位问题. 【答案】235.65m2

四、课堂巩固

1、在Rt△ABC中,∠ACB=90o,AC=8,BC=6,将△ABC绕AC

所在的直线k旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体的侧面积为()

A.30π

B.40π

C.50π

D.60π

2、已知圆锥的底面半径为3,母线为4,则它的侧面积是_______,全面积是________.【知识点】圆锥侧面积的计算

【解题过程】解:∵母线l=4,底面半径r=3 ∴由圆锥侧面积计算公式得:S侧rl=3412 由圆锥全面积计算公式得:S全r(lr)=3(34)21

【思路点拨】已知底面半径和母线长,可以直接套用圆锥侧面积和全面积计算公式求得. 【答案】12

21 练

3、已知圆锥的底面半径为3,高为4,则它的侧面积是_______,全面积是_______.4、已知圆锥的母线长是5cm,侧面积是20cm²,则这个圆锥的底面半径是________. 【知识点】圆锥侧面积计算公式的逆用

【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积,可以逆用圆锥侧面积的计算公式求得圆锥底面半径,实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥侧面积三者中可以“知二求一”. 【解题过程】解:∵母线长l=5cm,圆锥侧面积S侧20cm2 ∴圆锥侧面积计算公式:S侧rlr520 解得:r4 ∴底面半径为4cm 【答案】4cm

5、圆锥的底面半径是4,母线长是12,则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______. 【知识点】圆锥侧面积的计算,扇形面积的计算

【解题过程】解法一:∵圆锥的底面半径是4,母线长是12 ∴圆锥侧面积=S侧rl41248 设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n 所以展开图的面积还可以表示为:∴

n122 360n122=48

解得:n=120 3604 ∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°. 解法二:∵圆锥的底面半径是4 ∴底面周长=248

设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n ∵圆锥的母线长是12 ∴侧面展开图的弧长=∴8=n12 180n12

解得:n=120 180∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°.

【思路点拨】圆锥侧面展开图的面积一方面可以通过母线和底面半径来求,即Srl;另一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求,即S解这个方程即可得到圆锥侧面展开图的圆心角nnnl2,这样就得到rl=l2,360360360r,其中r表示圆锥底面半径,l表示圆lnnl,这样就得到l=180180锥母线.还可以根据圆锥侧面展开图的弧长来建立等量关系,一方面圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长2r;另一方面圆锥侧面展开图的弧长等于2r,同样可以得到圆锥侧面展开图的圆心角n360r. l【答案】120° 五.课堂小结

(1)连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线,圆锥有无数条母线,它们的长度都相等,每条母线l=h2r2(h表示圆锥的高,r表示底面半径).(2)设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,则该圆锥的侧面展开图的面积是12rlrl.2(3)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积,设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为S侧r,则S全S侧S底=rlr2r(lr).

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