(人教版)初中数学因式分解教案（5篇）

第一篇：(人教版)初中数学因式分解教案

1,教学目标

【课前预习】:知识回顾

1、单项式乘单项式的法则是把之积作为积的系数，相同字母的作为积里这个字母的指数，只在一个单项式中含有的字母，则连同其指数作为积的一个。

2、单项式与多项式相乘，就是根据乘法律，用单项式乘多项式的，再把所得的。

3、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的乘另一个多项式的再把所得的。

4、写出完全平方公式

写出平方差公式。

5、叫多项式的因式分解。

6、因式分解与整式乘法的关系怎样？

7、填空: m(a+b+c)=(a+b)(c+d)=(a+b)(c+d)=(a+b)2=(a-b)2= 2，例题

例

1、已知a＋b=－3, ab=2, 求a2＋b2;(a－b)2 的值。

例

2、先化简，后求值：2x2(x2-x+1)-x(2x3-10x2+2x), 其中x=0.25

例3.计算:(1)(a＋9)(a＋1)(2)(5－2x+y)(2x＋5-y)(3)(2x3y)2(2x3y)

2例4: 分解因式

(1)x41(2)49(a－b)2-6(a＋b)2(3)x4y4－8x2y2＋16 3，作业

一、耐心填一填（每小题２分，共18分）

1、计算：510310________；（用科学记数法表示）42aabbab=_____________．

2、⑴·3ab2c—24a3b5c； ⑵—a—b2a22abb2

3、．多项式—3x2y3z9x3y3z—6x4yz2的公因式是___________； 分解因式a3—4ab2=．

4、用一张包装纸包一本长、宽、厚如图所示的书（单位：cm），如果将封面和封底每一边都包进去3cm．则需长方形的包装

纸cm2．

5、若a—b=2，3a+2b=3，则3a(a—b)+2b(a—b)=．

二、精心选一选

6、下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是：（）A．a1a—1a2—1； B.x—ym—ny—xn—m； C.ab—a—b1a—1b—1； D.m23—2m—3mm—2—．

m

7、计算3ab3ab等于：

（）A．9a26abb2 B．—b26ab9a2 C．b29a2 D．9a2b2

12、下列多项式, 在有理数范围内不能用平方差公式分解的是：（）

A．—x2y2 B．4a2—ab2 C． a2—8b2 D． x2y2—1

13、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的

代数恒等式是：

（）A．a—b2a2—2abb2 B．ab2a22abb2

C．2aab2a22ab D．aba—ba2—b2

14、如果多项式x2mx16能分解为一个二项式的平方的形式，那么m的值为：（）

A．4 B．8 C．—8 D．±8

215、xmx1x2的积中x的二次项系数为零，则m的值是：

A．1

B．–1 C．–2

D．2

三、用心做一做 1．计算：

（1）2x3y2y3x3xy（2）(x＋y)(x2＋y2)(x－y)(x4y4)

（３）．(a－2b＋3)(a＋2b－3)

（4）．[(x－y)2＋(x＋y)2](x2－y2)

22211、先化简，再求值：a——aa3，其中22a= —2

3、分解因式：

（1）4x3y＋4x2y2＋xy3；

（3）x3－25x（4）4x4－4x3＋x2；（5）ab＋a＋b＋1

４、已知ab27，a—b24，求a2b2和ab的值．

5、阅读解答题：

（2）（a＋b）2＋2（a＋b）＋1 有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过 程，再解答后面的问题．

例：（2004年河北省初中数学竞赛题）若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，试比较x、y的大小． 解：设123456788=a，那么x=a1a—2a2—a—2，y=aa—1a2—a ∵x—ya∴x＜y 看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！问题：计算 1.3450.3452.69—1.3452

—1.3450.3452 2用这种方法不仅可比大小，也能解计算题哟！

—a—2—a2—a—2＜0 

第二篇：初中数学因式分解练习题

1．（2014•黔南州）下列计算错误的是（）A．a•a2=a3 C．2m+3n=5mn

A．a2+4a-21=a（a+4）-21 C．（a-3）（a+7）=a2+4a-21 A．a2+1 A．-3

B．a2-6a+9 B．-1

B．a2b-ab2=ab（a-b）D．（x2）3=x6

B．a2+4a-21=（a-3）（a+7）D．a2+4a-21=（a+2）2-25 C．x2+5y C．1

D．x2-5y D．3

16．（2014•攀枝花）因式分解a2b-b的正确结果是（）A．b（a+1）（a-1）A．x（x2-9）A．a（x-6）（x+2）A．x2+y2

A．（x+y）2=x2+y2 C．x2y+xy2=（xy）3 A．（a2+1）2 A．（x+2）（x-2）A．（x-2）2 A．m2+n2=（m+n）2

D．（a-2）（a+1）

C．（a-b）2=a2-2ab+b2 A．（x2）3=x6 C．x2-2xy+y2=（x-y）2 A．x2+2x-1=（x-1）2 C．（x+1）2=x2+2x+1 A．x2-xy A．x（x2-4）A．y（x-y）2 A．a2（a-2）+a

D．y（x+y）（x-y）D．2（x+9）（x-9）

A．x2+2x-1=（x-1）2 C．x3-4x=x（x+2）（x-2）

B．x2+xy

B．x（x+4）（x-4）B．y（x+y）（x-y）B．a（a2-2a）B．（a2-1）2 B．（x+2）2 B．x2

B．a（b+1）（b-1）B．x（x-3）2 B．a（x-3）（x+4）B．x2-y

C．b（a2-1）C．x（x+3）2 C．a（x2-4x-12）C．x2+x+1 B．x2y2=（xy）4 D．x4÷x2=x2 C．a2（a2-2）C．（x-4）2 C．（x-1）2

D．（a+1）2（a-1）2 D．（x-2）2 D．x（x-2）D．b（a-1）2 D．x（x+3）（x-3）D．a（x+6）（x-2）D．x2-2x+1

17．（2014•广东）把x3-9x分解因式，结果正确的是（）18．（2014•怀化）多项式ax2-4ax-12a因式分解正确的是（）19．（2014•玉林）下面的多项式在实数范围内能因式分解的是（）21．（2014•官渡区一模）下列运算正确的是（）

2．（2014•海南）下列式子从左到右变形是因式分解的是（）

3．（2014•安徽）下列四个多项式中，能因式分解的是（）

4．（2014•台湾）若x2-4x+3与x2+2x-3的公因式为x-c，则c之值为何？（）

5．（2014•台湾）（3x+2）（-x6+3x5）+（3x+2）（-2x6+x5）+（x+1）（3x6-4x5）与下列哪一个式子相同？（）A．（3x-4x）（2x+1）C．-（3x6-4x5）（2x+1）A．x2-1 A．-1 A．a（a-1）

22．（2014•下城区一模）分解因式a4-2a2+1的结果是（）

23．（2014•衡阳二模）把代数式x2-4x+4分解因式，下列结果中正确的是（）24．（2014•滨湖区二模）分解因式（x-1）2-1的结果是（）25．（2014•上城区二模）下列因式分解正确的是（）

B．m2-4n2=（m-2n）（m+2n）D．a2-3a+1=a（a-3）+1 B．x2•x3=x5 D．3x-2x=1

B．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）D．x2-4x=x（x+2）（x-2）C．x2+y2

C．x（x+2）（x-2）C．y（x+y）2 C．a（a-1）2

D．x2-y2

D．（x+2）（x-2）D．y（x2-2xy+y2）D．a（a+1）（a-1）

B．（3x-4x）（2x+3）D．-（3x6-4x5）（2x+3）C．x2-2x+1 C．1

C．（a-2）（a-1）B．（x-4）x=x-4x D．m2-2mn+n2=（m+n）2

6．（2014•威海）将下列多项式分解因式，结果中不含因式x-1的是（）

B．x（x-2）+（2-x）B．0 B．a（a-2）

D．x2+2x+1 D．2

7．（2014•漳州）若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（）8．（2014•仙桃）将（a-1）2-1分解因式，结果正确的是（）9．（2014•常德）下面分解因式正确的是（）A．x+2x+1=x（x+2）+1 C．ax+bx=（a+b）x

10．（2014•河北）计算：852-152=（）A．70

A．x2-y2=（x-y）2 C．xy-x=x（y-1）

B．700

C．4900

B．a2+a+1=（a+1）2 D．2x+y=2（x+y）

D．7000

11．（2014•岳阳）下列因式分解正确的是（）

26．（2014•郯城县模拟）下列运算错误的是（）

27．（2014•路北区二模）下列各因式分解正确的是（）

29．（2014•长清区一模）下列多项式中，能运用公式法因式分解的是（）30．（2014•天桥区二模）把多项式x3-4x分解因式所得的结果是（）

31．（2014•朝阳区一模）把多项式x2y-2xy2+y3分解因式，正确的结果是（）32．（2014•邢台一模）分解因式：a3-2a2+a=（）33．（2014•南充模拟）下列各因式分解正确的是（）

12．（2014•衡阳）下列因式分解中，正确的个数为（）

①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③-x2+y2=（x+y）（x-y）A．3个

B．2个

C．1个

B．x2+2x-1=（x-1）2 D．x-x+2=x（x-1）+2

B．y（x-y）B．2（x-3）2

D．0个

13．（2014•毕节地区）下列因式分解正确的是（）A．2x2-2=2（x+1）（x-1）C．x+1=（x+1）A．y（x+y）A．2（x2-9）

14．（2014•泉州）分解因式x2y-y3结果正确的是（）

C．y（x-y）C．2（x+3）（x-3）

B．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）D．（x+1）2=x2+2x+1

15．（2014•义乌市）把代数式2x2-18分解因式，结果正确的是（）

第三篇：初中数学因式分解(练习题)

初中因式分解的常用方法

例

1、分解因式：amanbmbn

例

2、分解因式：2ax10ay5bybx

练习：分解因式

1、a2abacbc2、xyxy1例

3、分解因式：x2y2axay

例

4、分解因式：a22abb2c2

练习：分解因式

3、x2x9y23y4、x2y2z22yz综合练习：（1）x3x2yxy2y3（2）ax2bx2bxaxab

（3）x26xy9y216a28a1（4）a26ab12b9b24a

（5）a42a3a29（6）4a2x4a2yb2xb2y

（7）x22xyxzyzy2（8）a22ab22b2ab1

（9）y(y2)(m1)(m1)（10）(ac)(ac)b(b2a)

（11）a2(bc)b2(ac)c2(ab)2abc（12）a3b3c33abc例

5、分解因式：x25x6

例

6、分解因式：x27x6

练习

5、分解因式(1)x214x24(2)a215a36(3)x24x5练习

6、分解因式(1)x2x2(2)y22y15(3)x210x24

例

7、分解因式：3x211x10

练习

7、分解因式：（1）5x27x6（2）3x27x2

（3）10x217x3（4）6y211y10

例

8、分解因式：a28ab128b2

练习

8、分解因式(1)x23xy2y2(2)m26mn8n2(3)a2ab6b2

例9、2x27xy6y2例

10、x2y23xy2

练习

9、分解因式：（1）15x27xy4y2（2）a2x26ax8综合练习

10、（1）8x67x31（2）12x211xy15y2

（3）(xy)23(xy)10（4）(ab)24a4b3

（5）x2y25x2y6x2（6）m24mn4n23m6n2

（7）x24xy4y22x4y3（8）5(ab)223(a2b2)10(ab)2

（9）4x24xy6x3yy210（10）12(xy)211(x2y2)2(xy)2思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)xabc

例

11、分解因式：x23xy10y2x9y2

练习

11、分解因式(1)x2y24x6y5(2)x2xy2y2x7y6

(3)x2xy6y2x13y6(4)a2ab6b25a35b36例

12、分解因式（1）x23xy10y2x9y2

（2）x2xy6y2x13y6

练习

12、分解因式（1）x2xy2y2x7y6（2）6x27xy3y2xz7yz2z2

第四篇：【初中数学】复习资料--因式分解常用技巧总结

因式分解常用技巧总结

基本的四种技巧：

一．提取公因式法：mambmcm(abc)；

例：6xy29x2yy3

二．公式法：a2b2(ab)(ab),a22abb2(ab)2

推广：a3b3(ab)(a2abb2)；

anbn(ab)(an1an2ban3babn2bn1)

anbn(ab)(an1an2ban3babn2bn1)

（n为奇数）

例：8x3127y3

变式1：x8x6x4x21

答案：(x4x3x2x1)(x4x3x2x1)

三．十字相乘法：x(ab)xab(xa)(xb)

推广：a1a2x(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)，（a1a2≠０）

xyaxbyab(xb)(ya)

22例：6m7mn20n

变式1：xxy6yx13y6

四．分组分解法：分组以后能提公因式或利用公式分解，从而把原多项式因式分解

例：9a6a2bb

254x8xy4y22222222

推广：（1）拆项法：把多项式里的某一项拆成两项或多项，使其能进行分组分解

例：x47x21 答案：(x23x1)(x23x1)（2）添项法：在多项式中适当地添上一些项，使其能转化为可进行分组分解 例：3x6x121 答案：(x3x61)(x3x61)变式1：x39x8 变式2：x44

其他重要的因式分解技巧：

1．换元法：换元法是在分解因式时，通过将原式的代数式用字母代替后，达到简化原式结构的目的

例1：(x1)(x2)(x3)(x6)x2

提示：令 mx26，原式=(x26x6)2 例2：xy(xy1)(xy3)2(xy答案：(x1)(y1)(x1)(y1)

变式1：(x1)(x2)(x3)(x4)24 变式2：(x4x1)(x3x1)10x

2．主元法：主元法就是将多元（多个字母）中某个元作为主要字母，视其他元为常数，重新按主元排列多项式，排除非主元字母的干扰，从而简化问题。例： 2xxz4xy2xyz2xy32224242412)(xy1)

2yz

2提示：按y为主元重新排列，答案：(2xz)(xy)

变式1：x2xyxy2xy2xy2y1

变式2：20y3+6ax2-8axy-15xy2

（以a为主元）

变式3：a(bc)b(ca)c(ab)（以a为主元）33344422222

3．待定系数法：待定系数法是数学常用方法，用途十分广泛。在因式分解中，就是首先设出几个含有待定系数的因式，然后根据多项式恒等和方程（组）来确定待定系数，从而分解因式。例：若x3ax2bx8有两个因式x+1和x+2, 求（a+b）的值

4．配方法：配方法是把一个式子的一部分配成完全平方式或几个完全平方式的和（差）的形式，在此基础上分解因式

例：x4x22ax1a2（提示：x22x2x2）

变式：4x24xy24y3

5．综合法：在分解因式的过程中，往往要将几个分解因式的方法结合起来才能解决一个因式分解的问题，对上述方法要灵活的运用。

例：(x2)3(y2)3(xy)3

提示：令m=x-2,n=y-2，m-n=x-y，在换元的基础上，通过分组、公式、提公因式等多种方法来完成分解因式，答案：3(x-2)(y-2)(x-y)

【巩固练习】

一、选择题

1．将x(x-y)-y(y-x)因式分解的结果是（）

(A)(x-y)2(x2+y2)

(B)(x-y)2(x2-y2)(C)(x-y)2(x-y)(x+y)(D)(x-y)3(x+y)2．下列多项式中能运用公式法因式分解的是（）(A)–a3-b

3(B)a2-ab+b(C)a2+b2

(D)–a-b 3．用分组分解法把多项式ab-c+b-ac分解因式，分组的方法有（）(A)4种

（B）3种

（C）2种（D）1种

4．用分组分解法分解多项式a2-b2-c2+2bc时，分组正确的是()

(A)(a-c)+(2bc-b)

(B)(a-b-c)+2bc

(C)(a-b)-(c-2bc)

(D)a+(2bc-b-c）5．已知多项式2x3-x2-13x+m有一个因式是2x+1，则m的值是()

（A）0

（B）6

（C）-1

（D）-6 6．下列多项式按下面的分组不能分解的是（）

（A）(2ax-10ay)+(5by-bx)

(B)(5by-10ay)+(2ax-bx)(C)(x2-y2)+(ax+ay)

(D)(x2+ax)-(y2-ay)

二、填空题 22

222

2222

27．利用公式填空（1）14m22mn()=()

4422

366(2)多项式x-y, x+2xy+y, xy+xy, x+y的公因式是————（3）9x2+（）+16y2=（）2

(4)将-m+mn因式分解的结果是___________(5)分解因式8x3-12x2y+6xy2-y3适当分组的方法是_________ 8．在下列多项式a-4b-a+2b, ab-4ab+4-c, 4a-9b+24bc-16c, a-4b+4b-1, 2216a-16b+8a+1中用分组分解法时，能够分成三项一组和一项一组的多项式有_____个。

三、解答题

9．把xy-xy分解因式

10．把16(x+y)-24(x+y)+9分解因式 11．把(x+y)-4xy分解因式 12．x6n+2+2x3n+2+x2

13．9(a+1)2(a-1)2-6(a2-1)(b2-1)+(b+1)2(b-1)2 14．142a 342

***222215．把16x2-8x-y2+2y分解因式 16．把x3+2x2-4x-8因式分解

17．把下列各式分解因式

（1）x2-y2-z2-2yz

(2)a3+a2+b3+b2+2ab

(3)16-x2n-100y2+20xny(4)ab(c-d)-cd(a-b)(5)x-x-x-y+y+y

(6)4x+1 18．使多项式2x3-x2-2x+1的值等于0的x值为_______ 19．已知x+y=1,求x3+3xy+y3的值

【参考答案】

一、1．D；2．A； 3．C； 4．D； 5．D；6．D

二、7．（1）2n、222

412m2n

（2）(x+y)

(3)(3x+4y)

2222

(4)–m(m+n)(m-n)

(5)(8x-y)-(12xy-6xy)

8．3

三、解答题

9．xy(x+y)(x-y)

10．(4x+4y-3)2

11．(x-y)2(x+y)2

12．x2(xn+1)2(x2n-xn+1)2 13．(3a2-b2-2)2

14．(12a)(12a4a)

15．(4x-y)(4x+y-2)16．(x+2)2(x-2)

21417．(1)(x+y+z)(x-y-z);

(2)(a+b)(a2-ab+b2+a+b)

(3)(4+xn-10y)(4-xn+10y)

(4)(ac+bd)(bc-ad)

(5)(x-y)(x+xy+y-x-y-1)

(6)(2x+2x+1)(2x-2x+1)18．12, 1,-1 提示：将2x-x-2x+1因式分解

219． 1

提示：将x3+y2因式分解，再将已知条件中代入

第五篇：初中数学因式分解(含答案)竞赛题精选1

初中数学因式分解(一)

因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具．是掌握因式分解对于培养学生解题技能，思维能力，有独特作用．

1．运用公式法

整式乘法公式，反向使用，即为因式分解

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

几个常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．

分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2x

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；(4)a-ab+ab-b．

2752

575n-1nnnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-1nnn-1n-2n-32

n-2

n-133322

2222

23322332222222y+4x3n-1n+2y-2xy；(2)x-8y-z-6xyz； n-1n+4333

333例2 分解因式：a+b+c-3abc．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

1514132

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4 分解因式：x-9x+8．

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；(4)ab-ab+a+b+1．

422

322963223

3．换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

例7 分解因式：(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

例8 分解因式：(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

22222

例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．

例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2

+y2)．

1．分解因式：

(2)x10+x5-2；

(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．

练习一

2．分解因式：

(1)x+3x-4；

(2)x-11xy+y；

(3)x+9x+26x+24；

(4)x-12x+323．

3．分解因式：

(1)(2x-3x+1)-22x+33x-1；(2)x+7x+14x+7x+1；

(3)(x+y)+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x-1)(x+5)-20． 3

2222

232432422

2初中数学因式分解(一)答案

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

1．运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1)a-b=(a+b)(a-b)；

(2)a±2ab+b=(a±b)；

(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；

(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．

下面再补充几个常用的公式：

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数；

(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数；

(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例1 分解因式：

(1)-2xy+4x3335n-1n3n-1nnn-1n-

2n-

32n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1nnn-1n-2

n-3

n-2

n-1333

2222

23322332222222y-2xy； n+2n-1n+

4(2)x-8y-z-6xyz；

(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；

(4)a-ab+ab-b．

解(1)原式=-2xy(xn-2xny+y)

=-2xy[(xn)-2xny+(y)]

=-2xy(xn-y)

=-2xy(x-y)(x+y)．

(2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz-2yz)．

(3)原式=(a-2ab+b)+(-2bc+2ca)+c

＝(a-b)+2c(a-b)+c

=(a-b+c)．

本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：

原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b)22222

222

2333n-1nn

n

2n-1n2

22n-1n2

22n-1n4

4752257222

=(a-b+c)

(4)原式=(a-ab)+(ab-b)

=a(a-b)+b(a-b)

=(a-b)(a+b)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a-ab+ab-ab+b)

=(a+b)(a-b)(a-ab+ab-ab+b)

例2 分解因式：a+b+c-3abc．

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．

分析我们已经知道公式

(a+b)=a+3ab+3ab+b 的正确性，现将此公式变形为

a+b=(a+b)-3ab(a+b)．

这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

333

324

4225552252

27522

572

解原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc

=［(a+b)3+c］-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)．

说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为

a+b+c-3abc 33322

显然，当a+b+c=0时，则a+b+c=3abc；当a+b+c＞0时，则a+b+c-3abc≥0，即a+b+c≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

如果令x=a≥0，y=b≥0，z=c≥0，则有 33

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．

分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a-b来分解．

解因为

x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1)，所以 16151413

2nn

151514

说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

2．拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4 分解因式：x-9x+8．

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

解法1 将常数项8拆成-1+9．

原式=x-9x-1+9

=(x-1)-9x+9

=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．

原式=x-x-8x+8

=(x-x)+(-8x+8)

=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法3 将三次项x拆成9x-8x．

原式=9x-8x-9x+8

=(9x-9x)+(-8x+8)

=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1)

=(x-1)(x+x-8)．

解法4 添加两项-x+x．

原式=x-9x+8

=x-x+x-9x+8

=x(x-1)+(x-8)(x-1)

=(x-1)(x+x-8)．

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 22322322

223333

33323322333

例5 分解因式：

(1)x+x+x-3；

(2)(m-1)(n-1)+4mn；

(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；

(4)ab-ab+a+b+1．

解(1)将-3拆成-1-1-1．

原式=x+x+x-1-1-1

=(x-1)+(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)

=(x-1)(x6+2x3+3)

=(x-1)(x+x+1)(x+2x+3)．

(2)将4mn拆成2mn+2mn．

原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn

=mn-m-n+1+2mn+2mn

=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)

=(mn+1)-(m-n)

=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．

(3)将(x-1)拆成2(x-1)-(x-1)．

原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1)

=［(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1)

=［(x+1)+(x-1)]-(x-1)

=(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3)．

(4)添加两项+ab-ab．

原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab

=(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)

=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b+1)

=[a(a-b)+1](ab+b+1)

=(a-ab+1)(b+ab+1)．

说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．

3．换元法 222

2332

233222222

2222

242

2422

4222

222222

222222226

33363

39639633322422

422963

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

解设x+x=y，则

原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5)

=(x-1)(x+2)(x+x+5)．

说明本题也可将x+x+1看作一个整体，比如今x+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

例7 分解因式：

(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．

解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

=(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90．

令y=2x+5x+2，则

原式=y(y+1)-90=y+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x+5x+12)(2x+5x-7)

=(2x+5x+12)(2x+7)(x-1)．

说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．

例8 分解因式：

(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．

解设x+4x+8=y，则

原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x)

=(x+6x+8)(x+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x+5x+8)．

说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．

例9分解因式：6x+7x-36x-7x+6．

解法1 原式=6(x+1)＋7x(x-1)-36x

=6［(x-2x+1)+2x］+7x(x-1)-36x 42

243

2222222

2222222

222

222

=6[(x-1)2+2x]+7x(x-1)-36x

=6(x-1)+7x(x-1)-24x

=[2(x-1)-3x］［3(x-1)+8x]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．

说明本解法实际上是将x-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．

解法2

222

22222

原式=x[6(t+2)+7t-36]

=x(6t+7t-24)=x(2t-3)(3t+8)

=x[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

=(2x-3x-2)(3x+8x-3)

=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)． 22222222

例10 分解因式：(x+xy+y)-4xy(x+y)．

分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．

解原式=[(x+y)-xy]-4xy[(x+y)-2xy]．令x+y=u，xy=v，则

原式=(u-v)-4v(u-2v)

=u-6uv+9v

=(u-3v)

=(x+2xy+y-3xy)

=(x-xy+y)．

***2

22222