鸽巢问题(教案)

第一篇：鸽巢问题(教案)

鸽巢问题

教学内容：P68-70例

1、例2，“做一做”第1题及P71第1-2题。教学目标：

1、知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学生用此原理解决简单的实际问题。

2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

3、情感态度与价值观：通过用“鸽巢问题” 解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。

教学重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。教学难点：找出“鸽巢问题”的解决窍门进行反复推理。教学准备：课件、铅笔、笔筒。教学过程：

一、问题引入

师：任意13人中，至少有几个人的出生月份相同？任意的367人中，至少有几人在同一天过生日？

学生先独立思考，再分组讨论。

师：解决这一类问题的理论依据就是“鸽巢问题”。今天我们就一起来研究这一类问题。（板书课题：鸽巢问题）

二、探索新知

1、教学例1 思考：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢？“总有”和“至少”是什么意思？

（1）操作发现规律：通过把4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。

（2）理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。

（3）探究证明

方法一：用“枚举法”证明。

方法二：用“分解法”证明把4分解成3个数。方法三：用“假设法”证明。

小结：把4只铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总有1个笔筒至少放进2只铅笔。

（4）认识“鸽巢问题”

像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。在这里，4支铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的言语描述就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子。

这里“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有的方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。

小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。如果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2支铅笔；如果放的铅笔数比笔筒的数量多3，那么总有1个笔筒至少放2支……只要放的铅笔数比笔筒数量多，就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。

（5）归纳总结。

2、教学例2.思考：（1）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。为什么呢？（2）如果有8本书会怎样呢？10本书呢？

解决问题A：（1）探究证明：

方法一：用数的分解法证明。把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情况：由图可知，每种情况分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就是每种分法中最多的那个数是3，即有1个抽屉至少放进3本书。

方法二：用假设法证明。把7本书平均分成3份，7÷3=2（本）…1本，若每个抽屉放2本，则还剩1本。如果把剩下的这1本放进任意1个抽屉中，那么这个抽屉里就有3本书。

（2）得出结论：7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。

解决问题B：（1）用假设法分析。8÷3=2（本）…2本，剩下2本，分别放进其中2个抽屉中，使其中2个抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。10÷3=3（本）…1本，把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。

（3）归纳总结：要把a本书放进3个抽屉里，如果a÷3=b（本）…1本或a÷3=b（本）…2本，那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本书。

鸽巢原理

（二）：古国把多于kn个的物体任意分放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1）个物体。

三、巩固练习

P70“做一做”第1题、P71页第1-2题。

四、课堂总结

通过这节课的学习，你有什么收获？

五、作业

1、把8本书分给7位同学，至少有一位同学分得2本书，为什么？

2、某学校有30名学生是2月份出生的，那么其中至少有两名学生的生日是在同一天。为什么？

3、把17支铅笔放进4个文具盒里，至少有一个文具盒里放几支？

4、幼儿园里有80个小朋友，各种玩具共有330件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到5件或5件以上的玩具？

第二篇：六年级鸽巢问题

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教学辅导教案

学科

任课教师：

授课时间：

****年**月**日(星期)

鸽巢问题

基础知识点

1.鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此,也称为狭利克雷原理。把3个苹果放进2个抽屉里,一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。2.鸽巢原理

（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。

如：将4支铅笔放入3个笔筒，总有一个笔筒至少有2支铅笔，“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。

3.鸽巢原理

（二）：如果把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。

如：把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。

我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式

物体个数÷鸽巣个数=商„„余数

至少个数=商+1 摸同色球计算方法：①要保证摸出同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。

物体数＝颜色数×（相同颜色数－1）＋1

②极端思想（最坏打算）： 用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。

鸽巢问题的计算总结：

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二、例题讲解：

1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业

求证：这5名学生中,至少有两个人在做同一科作业。

2、班上有50名学生，将书分给大家,至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。

3、木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

4、把红、白、蓝三种颜色的球各10个放到一个袋子里，至少取多少个球，可以保证取到3个颜色相同的球。

5、证明：某班有52名学生，至少有5个人在同一个月出生？

6、一幅扑克牌除大小王有52张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？

最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的花色？

7、幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理。

8、学校图书馆里科普读物、故事书、连环画三种图书。每个学生从中任意借阅两本，那么至少要几个学生借阅才能保证其中一定有2人借阅的读书相同？

9、某班有学生49名，在这一次的英语期中考试中，除3人以外，分数都在85分以上，是否可以推断，至少有几人的分数会一样？

三、课堂练习1、6只鸡放进5个鸡笼，至少有几只鸡要放进同一个鸡笼里。

2、400人中至少有两个人的生日相同，请证明。

3、红、黄、蓝、白四色小球各10个，混合放在一个暗盒中，一次至少摸出多少个，才能保证有6个小球是同色的。

4、有一个晚上你的房间的电灯忽然间坏了，伸手不见五指，而你又要出去，于是你就摸床底下的袜子。你有三双分别为红、白、蓝颜色的袜子，可是你在黑暗中不能知道哪一双是颜色相同的。你想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成同颜色的一双。这最少数目应该是多少？

5、某班有42人开展读书活动，他们从学校图书馆借了212本图书，那么其中至少有一人借多少本书？

6、学校五(一)班40名学生中，年龄最大的是13岁，最小的是11岁，那么其中必有几名学生是同年同月出生的。

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四、巩固练习

1、今天参加数学竞赛的210名同学中至少有几名同学是同一个月出生的？

2、有红、黄、蓝、白四色小球各10个,混合放在一个暗盒里,一次至少摸出个,才能保证有2个小球是同色的.3、五年级某班有学员13人，请说明在这13名同学中一定有两个同学是同一星座。

4、盒子里放有三种不同颜色的筷子各若干根，最少摸几根，才能保证至少有3根筷子同色的。

5、在一间能容纳1500个座位的戏院里，证明如果戏院坐满人时，一定最少有五个观众是同月同日生。

6、在38个小朋友中，至少有几个小朋友同一个月出生的？

模拟试卷：

一、填空

1.箱子中有5个红球，4个白球，至少要取出（）个才能保证两种颜色的球都有，至少要取（）个才 能保证有2个白球。

2.“六一”儿童节那天，幼儿园买来了许多的苹果、桃子、桔子和香蕉，每个小朋友可以任意选择两种水果，那么至少要有（）个小朋友才能保证有两人选的水果是相同的；如果每位小朋友拿的两个水果可以是同一种，那么至少要有（）个小朋友才能保证两人拿的水果是相同的。

3.将红、黄、蓝三种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，要保证取出的帽子有两种颜色，至少应取出（）顶帽子；要保证三种颜色都有，则至少应取出（）顶；要保证取出的帽子中至少有两顶是同色的，则至少应取出（）顶。

4.张阿姨给孩子买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个孩子的颜色一样，她至少有（）孩子。

5.二、选择

1．把25枚棋子放入下图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（）枚。

A.6

B.7

C.8

D.9 2.某班有男生25人，女生18人，下面说法正确的是（）。

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A.至少有2名男生是在同一个月出生的 B.至少有2名女生是在同一个月出生的C.全班至少有5个人是在同一个月出生的 D.以上选项都有误

3.某班48名同学投票选一名班长（每人只许投一票），候选人是小华、小红和小明三人，计票一段时间后的统计结果如下：

规定得票最多的人当选，那么后面的计票中小华至少还要得（）票才能当选？

A.6

B.7

C.8

D.9 4.学校有若干个足球、篮球和排球，体育老师让二（2）班52名同学到体育器材室拿球，每人最多拿2个（可以一个都不拿），那么至少有（）名同学拿球的情况完全相同。

A.8

B.6

C.4

D.2 5.如图，在小方格里最多放入一个“☆”，要想使得同一行、同一列或对角线上的三个小方格都不同时出现三个“☆”，那么在这九个小方格里最多能放入（）个“☆”。

A.4

B.5

C.6

D.7

三、应用

1.4名运动员练习投篮，一共投进30个球，一定有一名运动员至少投进几个球？

2.某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到 4件以上的玩具？

3.有白、黑、灰三种颜色的袜子各50只混放在一个袋子里，如果闭上眼睛去摸。（同色两只为一双）（1）至少摸出多少只，可以配到一双袜子？（2）至少摸出多少只，才能保证有3只不同色的袜子？

（3）至少摸出多少只，可以保证摸出1双黑色的袜子？

（4）至少摸出多少只，可以配2双的袜子？

第三篇：数学广角鸽巢问题教案

黄岭子镇中心校赵春宇 《鸽巢问题》教学设计

数学广角——鸽巢问题

黄岭子中心校赵春宇

教学目标

1.经历“抽屉原理”(鸽巢原理)的探究过程,初步了解“抽屉原理”,理解“抽屉原理”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。

2.通过操作发展学生的归纳推理的能力,形成比较抽象的数学思维。

3.会用“抽屉原理”解决简单的实际问题,感受数学的魅力。重点难点

重点:经历“抽屉原理”(鸽巢原理)的探究过程,初步了解“抽屉原理”。

难点:理解“鸽巢问题”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。教学过程 第一学时 教学活动

活动1【导入】游戏导入

上课前,我们先来热身一下,做一个预测的游戏。

请各位同学在本子上任意写出三个自己喜爱的老师的名字，之后老师进行预测，如果预测准的话给老师五秒钟的掌声。其实在这个预测的游戏中还蕴含着一个有趣的数学原理,这节课我们就一起来研究.活动2【讲授】自主探究，初步感知

1、研究4枝笔放进3个笔筒。

(1)要把4枝笔放进3个笔筒 ,有几种放法?请同学们小组内摆一摆。

(2)反馈:四种放法(课件出示)(3)判断:4枝笔放进3个笔筒,不管怎么放,总有一个杯子里至少放进2支笔。这句话说的对吗?为什么?(4)“总有”什么意思?(一定有)(5)“至少”有2枝什么意思?(不少于2枝)(6)师:4枝笔放进3个笔筒,不管怎么放,总有一个杯子里至少放进几支笔?你是怎么知道的?(先找到每种摆法中笔数最多的杯子,然后再找到这些最多的杯子中最少的笔数)(7)师:实际就是多中找少

师:我们刚刚把所有摆放的方法都一一罗列出来,从而找到总有一个杯子里至少放进2支笔,这种方法叫枚举法。这种方法好不好?(评价:随着数据的扩大,摆放的方法一定会更多,甚至不能一一罗列)那么我们能不能找到一种更为直接的方法,也能得到这个结论呢?请同学们在小组内讨论讨论,怎么摆?

(每个杯子都先放进一枝,还剩一枝不管放进哪个杯子,总会有一个杯子至少有2枝笔)(你的方法果然简单)(8)这种方法我们可以称之为假设法,假设先在每个杯子里放1枝铅笔,这种放法其实也就是怎样分?(平均分)那剩下的1枝怎么处理?(放入任意一个杯子,那么这个杯子就有2枝铅笔了)(9)谁能用算式来表示这位同学的想法?(4÷3=1…1)商1表示什么?余数1表示什么?怎么办?

2、类推:把5枝笔放进4个笔筒,会有什么结果,为什么? 把6枝笔放进5个笔筒呢?为什么? 把7枝笔放进6个笔筒呢?为什么? 把1000枝笔放进999个杯子呢? 把(n+1)枝笔放进n个杯子呢?

3、从刚才我们的探究活动中,你有什么发现?(只要放的铅笔比杯子的数量多1,总有一个杯子里至少放进2枝铅笔。)

4、小结:从以上的学习中,你有什么发现? 师:这样的数学问题就叫做“鸽巢问题”或“抽屉原理”(板书课题)。一起看大屏幕(介绍鸽巢问题的相关知识)指名读。师:像刚才的问题中,并没有鸽巢、抽屉,其实鸽巢或抽屉就是一个模型。把谁看作“抽屉”?把谁看作“物体”? 生:笔筒相当于抽屉,铅笔相当于物体。(板书)师:用公式怎样表示这个原理(物体数÷抽屉数=商…..余数

至少数=商+1)活动4【练习】运用模型，解决问题

1、预测游戏是抽屉原理吗?解释为什么总有至少两个人的性别一样。

师:抽屉原理的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题

2:从大街上随意找13个人,至少有两人属相相同。3:从全校老师中任意找13人,至少有两人在同一个月过生日。

活动5【活动】课堂小结 总结这节课,你有什么收获?

第四篇：鸽巢问题_教学设计_教案

教学准备

1.教学目标

1.1 知识与技能：

1.初步了解“抽屉原理”，会运用“抽屉原理”解决简单的实际问题或解释相关的现象。2.通过操作、观察、比较、推理等数学活动，引导学生理解并掌握这一类“抽屉原理”的一般规律。

1.2过程与方法 ：

经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，体会比较的学习方法。1.3 情感态度与价值观 ：

感受数学的魅力，提高学习数学的兴趣和应用意识，培养学习数学的兴趣。

2.教学重点/难点

2.1 教学重点

经历抽屉原理的探究过程，理解抽屉原理，灵活运用抽屉原理解决生活中的简单问题。2.2 教学难点

理解“总有”、“至少”，构建“抽屉原理”的数学模型，并对一些简单的实际问题加以模型化。

3.教学用具

多媒体课件，铅笔，笔筒，一副扑克牌

4.标签

教学过程

一、开门见山，引入课题

师：课前老师表演了一个魔术，其实，这里面蕴含了一个重要的数学原理——抽屉原理（板书：抽屉原理）。看到这个课题，你有什么问题要问吗？

学生提出问题：什么是抽屉原理？怎样研究抽屉原理？抽屉原理有什么用？等等。师：同学们都很爱提问题，也很会提问题，这节课我们就带着这些问题来研究。

二、自主探究，构建模型

1.教学例1，初步感知，体验方法，概括规律。

师：我们先从简单的例子入手，请看，如果把4个小球放进3个抽屉里，我可以肯定地说，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球。

稍加停顿。

师： “总有”是什么意思？ 生：一定有。

师：“至少放2个小球”你是怎样理解的？ 生：最少放2个小球，也可以放3个、4个。师：2个或比2个多，我们就说“至少放2个小球”。

师：老师说的这句话对吗？我们得需要验证，怎么验证呢？华罗庚说过不懂就画图，下面请同学们用圆形代替小球，用长方形代替抽屉，画一画，看有几种不同的方法。也可以寻求其他的方法验证，听明白了吗？开始吧！

学生活动，教师巡视指导。汇报交流。

师：哪位同学愿意把你的方法分享给大家？ 一生上前汇报。

生1：可以在第一个抽屉里放4个小球，其他两个抽屉空着。师：这4个小球一定要放在第一个抽屉里吗？ 生：不一定，也可以放在其他两个抽屉里。

师：看来不管怎么放，总有一个抽屉里放进4个小球。这种放法可以简单的记作4,0,0。不好意思，接着介绍吧。

生：第二种方法是第一个抽屉里放3个小球，第二个抽屉里放1个，第三个抽屉空着，也就是3,1,0；第三种方法是2,2,0；第四种方法是2,1,1。（此环节可以先让一名学生汇报，其他学生补充、评价）师：他找到了4种不同的方法，谁来评一评？ 生2：他找的很全，并且排列的有序。

师：除了这4种放法，还有没有不同的放法？（没有）谢谢你的精彩展示，请回。看来，把4个小球放进3个抽屉里，就有这4种不同的方法。同学们真不简单，一下子就找到了4种放法。

出示课件，展示4种方法。

师：请同学们仔细观察、分析每一种放法，对照老师的猜测，我们凭什么就说“总有一个抽屉里至少放两个小球”呢？

生：第一种放法有一个抽屉里放4个，大于2，符合至少2个，第二种放法有一个抽屉里放3个，也大于2，符合至少2个，第三种放法有一个抽屉里放2个，符合至少2个，第四种放法有一个抽屉里放2个，符合至少2个。所以，总有一个抽屉里至少放两个小球。

师：说得有理有据。谁愿意再解释解释？（再找一名学生解释）

师：原来呀！这两位同学关注的都是每种方法当中放的最——多的抽屉，分别放了几个小球？（4个、3个、2个、2个）最少放了几个？（2个），最少2个，有的超过了2个，我们就说至少2个。确实，不管怎么放，我们都找到了这样的一个抽屉，里面至少放2个小球。看来，老师的猜测对不对？(对)是正确的！

师：刚才，同学们在研究的时候，采用了一一列举的方法（板书：列举法），列举法是我们研究问题时常用的方法，它非常的直观。除了像刚才这样，把所有的放法都一一列举出来，还有什么方法也能证明老师的猜测是正确的呢？有没有一种更直接的方法呢？

生1：把小球分散地放，每个抽屉里先放1个小球？剩下的1个小球任意放在其中的一个抽屉里，这样总有一个抽屉里至少放了两个小球。

生2：先把小球平均放，余下的1个小球不管放在哪个抽屉里，一定会出现总有一个抽屉里至少放了2个小球。

师：每个抽屉里先放1个小球，也就是我们以前学过的怎么分？ 生：平均分。师：为什么要先平均分？

生：先平均分，就能使每个抽屉里的小球放得均匀，都比较少，再把余下的1个小球任意放在其中的一个抽屉中，这样一定会出现“总有一个抽屉至少放了2个小球”。

课件演示。

师：假设每个抽屉先放1个小球，余下的1个小球可以任意放在其中的一个抽屉里，这样就会发现，不管怎么放，总有一个抽屉至少放2个小球。这种方法叫假设法。（板书：假设法）它体现了平均分的思想，你能不能把刚才平均分的过程用算式表示出来？

3＝1……1,1+1＝2。生：4÷3＝1……1,1+1＝2 教师随机板书：4÷师：这两个“1”表示的意思一样吗？

生：不一样，第一个“1”表示每个抽屉里分得的1个小球，第二个“1”表示剩下的那个小球，可以放在任意一个抽屉里。

师：第一个“1”就是先分得的1个小球，也就是除法中的商，第二个“1”是剩下的1个小球，可以任意放在其中的一个抽屉中。瞧，用算式来表示多么地简洁明了。

师：同学们真聪明，用列举法和假设法，都验证了老师的猜测是正确的。对比这两种方法，假设法出现的这种的情况，其实就是列举法当中第几种放法所出现的情况？

生：第四种放法出现的情况。

师：你认为用列举法和假设法进行验证，哪种方法比较简便？为什么？

生：假设法，列举法需要把所有的情况都一一列举出来，假设法只需要研究一种情况，并且可以用算式简明地表示出来。

师：请同学们根据刚才的研究经验和方法，想一想，如果把5个小球放进4个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放几个小球？

生：2个，先往每个抽屉里放一个小球，这样还剩下1个，剩下的1个小球任意放在一个其中的一个抽屉里，这样，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球。

4＝1……1,1+1＝2，总有一个抽屉至少放2个小球。生2：我是用算式表示的，5÷师：把6个小球放进5个抽屉里，总有一个抽屉里至少放几个小球呢？ 5＝1……1,1+1＝2，还是总有一个抽屉里至少放2个小球。生：6÷师：把7个小球放进6个抽屉里呢？ 生：总有一个抽屉里至少放2个小球。师：接着往后想，你能继续说吗？

生：把7个小球放进6个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球。生：把8个小球放进7个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球。师：咱们能说完吗？（不能）是不是有什么规律呢？你能概括地说一说吗？ 生1：小球个数和抽屉个数都依次增加1，总有一个抽屉里至少放的小球个数都是2.生2：当小球的个数比抽屉数多1时，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个小球。师：你们真善于概括总结！

2.教学例2，深入研究，提升思维，构建模型。

师：刚才我们研究了小球数比抽屉数多1时，总有一个抽屉至少放2个小球，当小球数比抽屉数多

2、多3，甚至更多，又会出现什么情况呢？想不想继续研究？（想）

师：我们在6个小球放进5个抽屉的基础上继续研究，抽屉数不变，小球的个数增加1，7个小球放进5个抽屉里，总有一个抽屉至少放几个小球？

5＝1……2，1+2＝3。生1： 7÷师：有不同意见吗？

5＝1……2，1+1＝2。生2： 7÷

5＝1……2，不同点是一位同学认师：出现了两种不同的声音，这两位同学都是用7÷为是1+1＝2，另一位同学认为是1+2＝3。到底哪种想法正确呢？你能谈谈自己的意见吗？

生3：我赞同1+1＝2。因为余下的2个还要分到不同的抽屉里，所以总有一个抽屉至少放2个小球。出示课件。

师：大家看，把7个小球放进5个抽屉，都同意每个抽屉先放1个是吗？余下的2个怎么放？是一块儿放到一个抽屉里，还是怎么放呀？

生：把其中的1个小球放到任意一个抽屉里，再把另1个小球放到和它不同的抽屉里。师：你的意思是说，把这两个小球怎样放？（分开放）为什么要分开放？

生：这样能使每个抽屉里的小球都尽可能地少，一定会出现“总有一个抽屉里至少放2个小球”。

师：是呀！由于我们找的是“总有一个抽屉里至少放几个小球”，所以应该把这2个小球分别放到不同的抽屉里，应该是什么？（1+1＝2。）看来呀，先把小球平均分，再把余下的小球分开放，这才是解决此类问题的关键。

师：感谢刚才三位同学，给我们的课堂带来了不同的声音，使我们的认识越来越深刻，掌声送给他们！

师：抽屉数不变，再增加小球的个数，会出现什么情况？ 5＝1……3，1+1＝2，“总有一个抽屉里至少放2个小球”。生：8÷师：小球数再增加1个。

5＝1……4，1+1＝2，也是“总有一个抽屉里至少放2个小球”。生：9÷师：总有一个抽屉里至少放的小球个数怎么还是3呀？

生：先往每个抽屉中放1个小球，再把余下的4个小球任意放在4个不同的抽屉里，这样“总有一个抽屉里至少放2个小球”，所以还是1+1＝2。

5＝2）还用加1吗？（不用）正好分完。师：小球数再增加1个，（10÷师：再增加1个。

5＝2……1，2+1＝3，总有一个抽屉里至少放3个小球。生：11÷师：刚才都是1+1，现在怎么变成2+1了？ 生：抽屉数不变，小球数增加了，导致商变了，商变了，总有一个抽屉里至少放的小球数也变了。

师：请同学们推想一下，小球个数是几的时候，总有一个抽屉里至少放的小球个数还是3？

生：13,14,15。

如果学生出现不同的数，教师及时纠正。

师：同学们太聪明了，这里面是不是有什么规律呢？请同学们认真观察思考，总有一个抽屉里至少放的小球个数，我们是怎么得到的？

生：用小球的个数除以抽屉数，如果有余数，用商加1，如果没有余数，总有一个抽屉至少放的小球个数等于商。

出示课件：把小球放进抽屉里，如果平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放“商+1”个；如果正好分完，总有一个抽屉里至少放的小球个数等于商。

师：其实，抽屉里不仅可以放小球，还可以放其他的物体呢？这句话就变成了：把物体放进抽屉里，如果平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放“商+1”个；如果正好分完，总有一个抽屉里至少放的小球个数等于商。我们一起自豪地读一读。

师：其实，我们发现的这个规律，就是这节课所要研究的“抽屉原理”。它最早是由19世纪德国数学家狄里克雷提出来的，所以这个原理又叫“狄里克雷原理”。

三、运用模型，解释应用 1.鸽巢问题，沟通联系。

师：刚才我们是借助抽屉和小球来研究的，在有的国家是借助用鸽子和鸽巢问题来研究的。

课件出示： 5只鸽子飞进3个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进几只鸽子？ 生：总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子。

师：同学们在解决这个问题的时候，自觉不自觉地就把5只鸽子看成了什么？（5个小球）5个小球也可以叫做5个待分的物体，把3个鸽巢看成了什么？（3个抽屉）。瞧，鸽巢原理诞生了。2.拓展应用，提升方法。

师：抽屉原理在生活中有着广泛的应用，这两个问题，你会解决吗？ 课件出示：

（1）把7支铅笔放进2个文具盒里，总有一个文具盒至少放几支铅笔？（2）把11枚硬币放进4个口袋里，总有一个口袋至少放几枚硬币？ 学生解决后，汇报交流。

师：刚才我们用抽屉原理解决了一些问题，这些问题统称为抽屉原理问题，解决该类问题的关键是找出什么是待分的物体，什么是抽屉。抽屉原理就是解决该类问题的一种方法或者叫做模型。

3.揭秘魔术，首尾照应。

师：还记得课前表演的魔术吗？你能利用抽屉原理揭秘课前的魔术吗？

4＝1……1，1+1＝2，生：把5张牌看作5个待分的物体，把4种花色看作4个抽屉，5÷所以，至少有2张牌是同一花色的。

师：你真会学习，利用抽屉原理帮助大家把课前的魔术揭秘了，其实，老师并不懂得什么魔术，只是应用了抽屉原理。

课堂小结

1、回顾小结

鸽巢问题就是运用了抽屉原理来解决问题的，是与生活息息相关的一类有趣的数学问题。实际上都是同学们运用以前的知识就可以解决的问题，遇到此类题目时我们可以从多个角度、多个方面去思考。

2、畅谈收获

师：不知不觉，一节课即将结束，你有哪些收获呢？

学生从知识、方法、情感等方面畅谈收获，教师给予积极评价。师：最后，老师给大家提个建议，回家以后，把今天学的抽屉原理讲给爸爸妈妈听！

板书

鸽巢问题（1）

（4,0,0）,(0,1,3),(2,2,0),(2,1,1)只要放进的小球数比抽屉的数量多1，总有一个抽屉至少放进2个小球 7÷3=2……1 2＋1=3 要把a个物体放进n个抽屉，如果a÷n=b……c(c≠0,且c＜n), 那么一定有一个抽屉至少可以放（b＋1）个物体。

第五篇：六年级下册 鸽巢问题教案

第1课时 鸽巢问题（1）

【教学内容】

最简单的鸽巢问题（教材第68页例1和第69页例2）。【教学目标】

1.理解简单的鸽巢问题及鸽巢问题的一般形式，引导学生采用操作的方法进行枚举及假设法探究“鸽巢问题”。

2.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的探究意识。【重点难点】

了解简单的鸽巢问题，理解“总有”和“至少”的含义。【教学准备】

实物投影，每组3个文具盒和4枝铅笔。

【情景导入】

教师：同学们，你们在一些公共场所或旅游景点见过电脑算命吗？“电脑算命”看起来很深奥，只要你报出自己的出生年月日和性别，一按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子。通过今天的学习，我们掌握了“鸽巢问题”之后，你就不难证明这种“电脑算命”是非常可笑和荒唐的，是不可相信的鬼把戏了。(板书课题：鸽巢问题)教师：通过学习，你想解决哪些问题？

根据学生回答，教师把学生提出的问题归结为：“鸽巢问题”是怎样的？这里的“鸽巢”是指什么？运用“鸽巢问题”能解决哪些问题？怎样运用“鸽巢问题”解决问题？

【新课讲授】

1.教师用投影仪展示例1的问题。

同学们手中都有铅笔和文具盒，现在分小组形式动手操作：把四支铅笔放进三个标有序号的文具盒中，看看能得出什么样的结论。

组织学生分组操作，并在小组中议一议，用铅笔在文具盒里放一放。教师指名汇报。

学生汇报时会说出：1号文具盒放4枝铅笔，2号、3号文具盒均放0枝铅笔。

教师：不妨将这种放法记为（4,0,0）。〔板书：（4,0,0）〕 教师提出：（4，0，0）（0，4，0）（0，0，4,）为一种放法。

教师：除了这种放法，还有其他的方法吗？教师再指名汇报。学生会有（4，0，0）（0，1，3）（2,2,0）（2,1,1）四种不同的方法。教师板书。

教师：还有不同的放法吗? 教师：通过刚才的操作，你能发现什么?（不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。）

教师:“总有”是什么意思?（一定有）

教师:“至少”有2枝什么意思?（不少于两只,可能是2枝,也可能是多于2枝）

教师：就是不能少于2枝。(通过操作让学生充分体验感受)教师进一步引导学生探究：把5枝铅笔放进4个文具盒，总有一个文具盒要放进几枝铅笔？指名学生说一说，并且说一说为什么？教师:把4枝笔放进3个盒子里,和把5枝笔放进4个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。这是我们通过实际操作发现的这个结论。那么,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论呢? 学生思考——组内交流——汇报

教师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下? 学生会说:我们发现如果每个盒子里放1枝铅笔,最多放3枝,剩下的1枝不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

教师:你能结合操作给大家演示一遍吗?(学生操作演示)教师:同学们自己说说看,同桌之间边演示边说一说好吗? 教师:这种分法,实际就是先怎么分的? 学生：平均分。

教师:为什么要先平均分?(组织学生讨论)学生汇报：要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有2枝”,先平均分,余下1枝,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2枝”。

这样分,只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了? 教师:同意吗?那么把5枝笔放进4个盒子里呢?(可以结合操作,说一说)教师:哪位同学能把你的想法汇报一下？

学生:(一边演示一边说)5枝铅笔放在4个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

师:把6枝笔放进5个盒子里呢?还用摆吗? 生:6枝铅笔放在5个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。师:把7枝笔放进6个盒子里呢?把8枝笔放进7个盒子里呢?把9枝笔放进8个盒子里呢?„„

教师：你发现什么? 学生：铅笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

教师:你们的发现和他一样吗?(一样)你们太了不起了!同桌互相说一遍。把100枝铅笔放进99个文具盒里会有什么结论？一起说。

巩固练习：教材第68页“做一做”。A组织学生在小组中交流解答。B指名学生汇报解答思路及过程。2.教学例2。

①出示题目:把7本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?请同学们小组合作探究。探究时，可以利用每组桌上的7本书。

活动要求：

a.每人限独立思考。b.把自己的想法和小组同学交流。c.如果需要动手操作，可以利用每桌上的7本书，要有分工，并要全面考虑问题。(谁分铅笔，谁当抽屉，谁记录等)d.在全班交流汇报。(师巡视了解各种情况)学生汇报。

哪个小组愿意说说你们的方法？把你们的发现和大家一起分享，学生可能会有以下方法：

a.动手操作列举法。学生：通过操作，我们把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进3本书。

b.数的分解法。

把7分解成三个数，有（7,0），（6,1），（5,2），（4,3）四种情况。在任何一种情况下，总有一个数不小于3。

教师：通过动手摆放及把数分解两种方法，我们知道把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进几本书?(3本)②教师质疑引出假设法。

教师：同学们通过以上两种方法，知道了把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进3本书，但随着书的本数越多，数据变大，如：要把155本书放进3个抽屉呢？用列举法、数的分解法会怎么样？（繁琐）我们能不能找到一种适用各种数据的方法呢？请同学们想想。

板书:7本3个2本„„余1本(总有一个抽屉里至少有3本书)8本3个2本„„余2本(总有一个抽屉里至少有3本书)10本3个3本„„余1本(总有一个抽屉里至少有4本书)师:2本、3本、4本是怎么得到的? 生：完成除法算式。7÷3=2本„„1本(商加1)8÷3=2本„„2本(商加1)10÷3=3本„„1本(商加1)师:观察板书你能发现什么? 学生：“总有一个抽屉里的至少有3本”，只要用“商+1”就可以得到。师:如果把5本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书? 学生:“总有一个抽屉里至少有3本”只要用5÷3=1本„„2本,用“商+2”就可以了。

学生有可能会说：不同意!先把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,还剩2本,这2本书再平均分,不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。师:到底是“商+1”还是“商+余数”呢?谁的结论对呢?在小组里进行研究、讨论、交流、说理活动。

可能有三种说法：a.我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。

b.把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,余下的2本可以在2个抽屉里再各放1本,结论是“总有一个抽屉里至少有2本书”。

c.我们组的结论是5本书平均分放到3个抽屉里,“总有一个抽屉里至少有2本书”用“商加1”就可以了,不是“商加2”。

教师:现在大家都明白了吧?那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢? 学生回答：如果书的本数是奇数,用书的本数除以抽屉数,再用所得的商加1,就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。

教师讲解：同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“抽屉原理”又称“鸽笼原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。

提问：尽量把书平均分给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，你们能用什么方式表示这一平均的过程呢？

学生在练习本上列式：7÷3=2„„1。

集体订正后提问：这个有余数的除法算式说明了什么问题？

生：把7本书平均放进3个抽屉，每个抽屉有两本书，还剩一本，把剩下的一本不管放进哪个抽屉，总有一个抽屉至少放三本书。

③引导学生归纳鸽巢问题的一般规律。

a.提问：如果把10本书放进3个抽屉会怎样？13本呢？ b.学生列式回答。

c.教师板书算式：10÷3=3„„1（总有一个抽屉至少放4本书）13÷3=4„„1（总有一个抽屉至少放5本书）④观察特点，寻找规律。提问：观察3组算式，你能发现什么规律？

引导学生总结归纳出：把某一数量（奇数）的书放进三个抽屉，只要用这个数除以3，总有一个抽屉至少放进书的本数比商多一。

⑤提问：如果把8本书放进3个抽屉里会怎样，为什么？ 8÷3=2„„2 学生汇报。可能出现两种情况：一种认为总有一个抽屉至少放3本书；一种认为总有一个抽屉至少放4本书。

学生讨论。讨论后，学生明白：不是商加余数2，而是商加1。因为剩下两本，也可能分别放进两个抽屉里，一个抽屉一本，相当于数的分解（3,3,2）。所以，总有一个抽屉至少放3本书。

⑥总结归纳鸽巢问题的一般规律。

要把a个物体放进n个抽屉里，如果a÷n=b„„c（c≠0），那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。

【课堂作业】

教材第69页“做一做”。

（1）组织学生在小组中交流解答。（2）指名学生汇报解答思路及过程。答案：

（1）∵11÷4=2（只）„„3（只）2+1=3(只)∴一定有一个鸽笼至少飞进3只鸽子。

（2）∵5÷4=1（人）„„1（人）1+1=2(人)∴一定有一把椅子上至少坐2人。【课堂小结】

通过这节课的学习，你有哪些收获？ 【课后作业】

完成练习册中本课时的练习。

第1课时鸽巢问题（1）

（4，0，0）（0，1，3）（2,2,0）（2,1,1）学生铅笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。5÷2=2„„1 7÷2=3„„1 9÷2=4„„1 要把a个物体放进n个抽屉里，如果a÷n=b„„c（c≠0），那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。

1.小组活动很容易抓住学生的注意力，让学生觉得这节课要探究的问题既好玩又有意义。

2.理解“鸽巢问题”对于学生来说有着一定的难度。3.大部分学生很难判断谁是物体，谁是抽屉。4.学生对“至少”理解不够，给建模带来一定的难度。

5.培养学生的问题意识，借助直观操作和假设法，将问题转化为“有余数的除法”的形式。可以使学生更好地理解“抽屉原理”的一般思路。

6.经历将具体问题“数学化”的过程，有利于培养学生的数学思维能力，让学生在运用新知识灵活巧妙地解决实际问题的过程中进一步体验数学的价值，感受数学的魅力，激发学习的兴趣。

第2课时 鸽巢问题（2）

【教学内容】

“鸽巢问题”的具体应用（教材第70页例3）。【教学目标】

1.在了解简单的“鸽巢问题”的基础上，使学生会用此原理解决简单的实际问题。

2.培养学生有根据、有条理的进行思考和推理的能力。

3.通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。【重点难点】

引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”，找出这里的“鸽巢”有几个，再利用“鸽巢问题”进行反向推理。

【教学准备】

课件，1个纸盒，红球、蓝球各4个。

【情景导入】

教师讲《月黑风高穿袜子》的故事。

一天晚上，毛毛房间的电灯突然坏了，伸手不见五指，这时他又要出去，于是他就摸床底下的袜子，他有蓝、白、灰色的袜子各一双，由于他平时做事随便，袜子乱丢，在黑暗中不知道哪些袜子颜色是相同的。毛毛想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成相同颜色的一双。你们知道最少拿几只袜子出去吗？

在学生猜测的基础上揭示课题。

教师：这节课我们利用鸽巢问题解决生活中的实际问题。板书：“鸽巢问题”的具体应用。【新课讲授】 1.教学例3。

盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出几个球？

（出示一个装了4个红球和4个蓝球的不透明盒子，晃动几下）师：同学们,猜一猜老师在盒子里放了什么?（请一个同学到盒子里摸一摸，并摸出一个给大家看）

师：如果这位同学再摸一个，可能是什么颜色的？要想这位同学摸出的球，一定有2个同色的，最少要摸出几个球？

请学生独立思考后，先在小组内交流自己的想法，验证各自的猜想。指名按猜测的不同情况逐一验证，说明理由。摸2个球可能出现的情况：1红1蓝；2红；2蓝

摸3个球可能出现的情况：2红1蓝；2蓝1红；3红；3蓝

摸4个球可能出现的情况：2红2蓝；1红3蓝；1蓝3红；4红；4蓝 摸5个球可能出现的情况：4红1蓝；3蓝2红；3红2蓝；4蓝1红；5红；5蓝

教师：通过验证，说说你们得出什么结论。

小结：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。想要摸出的球一定有2个同色的，最少要摸3个球。

2.引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题”。

教师：生活中像这样的例子很多，我们不能总是猜测或动手试验吧，能不能把这道题与前面所讲的“鸽巢问题”联系起来进行思考呢？

思考：

a.“摸球问题”与“鸽巢问题”有怎样的联系？

b.应该把什么看成“鸽巢”?有几个“鸽巢”?要分放的东西是什么？ c.得出什么结论？ 学生讨论，汇报。

教师讲解：因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个“鸽巢”，“同色”就意味着“同一个鸽巢”。这样，把“摸球问题”转化“鸽巢问题”，即“只要分的物体个数比鸽巢多，就能保证有一个鸽巢至少有两个球”。

从最特殊的情况想起，假设两种颜色的球各拿了1个，也就是在两个鸽巢里各拿了一个球，不管从哪个鸽巢里再拿一个球，都有两个球是同色，假设最少摸a个球，即（a）÷2=1„„（b）当b=1时，a就最小。所以一次至少应拿出1×2+1=3个球，就能保证有两个球同色。

结论：要保证摸出有两个同色的球，摸出的数量至少要比颜色种数多一。【课堂作业】

先完成第70页“做一做”的第2题，再完成第1题。（1）学生独立思考。

（提示：把什么看做鸽巢？有几个鸽巢？要分的东西是什么？）（2）同桌讨论。（3）汇报交流。

教师讲解：第2题：因为一共有红、黄、蓝、白四种颜色的球，可以把四种“颜色”看成四个“鸽巢”，“同色”就意味着“同一鸽巢”。把“摸球问题”转化成“鸽巢问题”，即“只要分的物体个数比鸽巢数多一，就能保证至少有一个鸽巢有两个球，摸出的球的数量至少比颜色的种数多一，所以至少取5个球，才能保证有两个同色球。

第1题：他们说的都对，因为一年中最多有366天，所以把366天看做366个鸽巢，把370名学生放进366个鸽巢里，人数大于鸽巢数，因此总有一个鸽巢里至少有两个人，即他们的生日是同一天。1年中有十二个月，如果把12个月看作是十二个鸽巢，把49名学生放进12个鸽巢里，49÷12=4„„1，因此总有一个鸽巢里至少有5（即4+1）个人，也就是至少有5个人的生日在同一个月。

教师：上课时老师讲的故事你们还记得吗？（课件出示故事）谁能说说在外面借街灯配成同颜色的一双袜子，最少应该拿几只出去？

【课堂小结】

本节课你有什么收获？ 【课后作业】

完成练习册中本课时的练习。

第2课时鸽巢问题（2）

要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色的种类多一。