第一篇：复数与几何教案
复数与几何·教案
教学目标
1．掌握复平面、向量等有关概念；弄清复数集C与复平面内所有的点组成的集合之间一一对应关系，以及复数与从原点出发的向量之间的一一对应关系；弄清复数模的几何意义．
2．通过数形结合研究复数，提高学生的数形结合能力，突出比较与类比的研究方法．
3．感受到为真理执着追求的精神．进行辩证唯物主义教育． 教学重点与难点
重点：复数与点与向量的对应关系以及复数的模．
难点：自由向量与位置向量的区别，以及它们与复数的对应关系． 教学过程设计
师：我们已经学习了复数的概念．什么是复数？ 生：形如a＋bi的数叫复数．（学生有不同意见，小声议论）师：谁有补充？
生：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数．（教师给予肯定）
师：a，b∈R的条件很重要，实际上我们是用实数来定义的复数，虽然我们知道了复数的定义，但是复数对于我们来说，总感到摸不着抓不住，不像实数，任何一个实数，都可以在数轴上找到一个点与它对应，那么复数到底在哪里呢？我们能不能像实数那样来表示复数呢？
生：数轴上的点不能表示虚数，只能表示实数．
师：那么用什么可以表示复数呢？注意复数是由a，b两个实数决定的，可以大胆设想一下，我们可以利用什么来表示复数？
生：可以用直角坐标系里的点来表示吗？ 师：××提出了一个想法，用直角坐标系内的点来表示复数．这种想法行不行呢？
（在黑板上画出直角坐标系，任取一点（a，b））师：能不能用点来表示复数呢？
生：可以．因为有一个复数a＋bi（a，b∈R），就有一个点（a，b），而有一个点（a，b），就有一个复数a＋bi．
师：他刚才所说的实际想说明一点复数集与坐标系中的点构成的集合是一一对应的．的确，由复数相等的概念，我们知道一个复数a＋bi由一个有序实数对（a，b）唯一确定，而有序实数对与直角坐标系中的点是一一对应的．因此我们完全可以建立复数集与点集之间的一一对应．看来，用点来表示复数是完全可以的．为了区别表示复数的点与其它的点，我们把这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．那么在这个坐标系中x轴上的点与y轴上的点所表示的复数分别具有什么特点呢？
生：x轴上的点的纵坐标为0，即复数的虚部为0，因此x轴上的点代表实数．
师：既然x轴上的点代表了所有实数，我们就把复平面中的x轴叫实轴．那么y轴上的点代表什么样的复数呢？
生：由于y轴上的点的横坐标都是零，因此y轴上的点表示的是纯虚数． 师：同学们认为他说得对吗？
（大多数同学认为他说得对，少数人有疑惑）
生：原点也在y轴上，但0不是纯虚数，而是实数．所以y轴上的点除原点外表示的都是纯虚数．
师：他说得很对．y轴上只有这个原点捣乱，不然就可以表示所有的纯虚数．因此，我们把去掉原点后的y轴叫虚轴．这样虚轴上所有的点都表示纯虚数．那么，直角坐标平面与复平面有什么区别？
生：直角坐标平面中的x轴与y轴交于原点，而复平面中的实轴与虚轴没有交点．
师：我们通过建立复平面，将复数集与复平面上的点建立了一一对应的关系，这样复数对我们来说，也就不显得那样遥远了．但对于复数的认可，在19世纪可没那么简单．第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”，几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位．后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他也感到它的作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数a＋bi，使复数有了立足之地，人们才最终承认了它．看来复数从发现到最终被人们承认，的确经过了一个漫长坎坷的过程，可最终使人们接受他的还是它的几何表示，用点表示复数后，人们才觉得复数的存在．
（学生对数学史方面的知识很感兴趣，因为他们感到数学的发展是那样神秘，可以凭空造出数来，学生听得聚精会神，当最后得知是用点来表示复数这一理论使复数得以被人承认后，甚至还有些成就感）
师：用点表示复数后，我们还要介绍一种表示复数的方法，连接坐标原点O与点Z，得到一个具有长度且有方向的线段，这种既有大小又有方向的线段叫有向线段，而有向线段表示的量就叫向量．那么什么叫向量呢？
生：既有大小又有方向的量叫向量． 师：能不能举出一些向量的例子？
生：物理中的力、速度、加速度等都是又有大小又有方向的量，它们都是向量．
师：现在的问题是我们能不能用向量来表示复数？我们一般将起点为O，终点为Z的向量记作
．
生：当然可以．因为有一个向量就对应一个点，而有一个点就对应一个向量，而点与复数有一一对应的关系，因此可用向量表示复数．
（学生议论纷纷，看起来有不同意见）生：那我在复平面内任意画一个有向线段（大家在思考）
师：这个问题提得很好．实际上，大家可以想一想，刚才××同学说一个向量对应一个点，一个点对应一个向量，对不对？怎么样改一下就对了？ 生：应改为起点为原点的向量对应一个点，也就是起点为原点的向量与点构成一一对应．
师：既然这样，我们就知道，起点为原点的向量与复数是一一对应的．那其它向量怎么办？它们对应什么复数？能不能将他们移到原点来？，这个向量表示哪个复数呢？
生：只要它们的长度和方向与合的位置上．
相同，就可以平移到起点为原点，与 重师：实际上，我们把长度相等方向相同的向量叫做相等的向量，其实，我们只要规定相等的向量对应同一个复数，我们就可以用向量来表示复数了．对那些起点不在原点的向量，我们只要怎么做就可以知道它所对应的复数了呢？ 生：只要将它们平移到起点与原点重合，这时向量终点所确定的复数就是那些起点不在原点的向量所表示的复数．
（教师给予肯定）
师：在这个正六边形中有多少对向量相等，它们分别对应着哪些复数？
师：这样我们完成了今天我们要讨论的第二个问题：复数与向量．我们弄清楚了向量可以来表示复数，相等的向量对应着同一个复数．一个复数所对应的向量唯一吗？
生：一个复数实际上可以对应无数个长度相等、方向相同的向量，只是这些向量的位置不同．
师：现在我们知道复数可以用点和向量来表示，它们之间的对应关系可以用下图来表示．
有了这种一一对应关系后，我们常把复数z=a＋bi说成点Z（a，b），或说成向量 ．
师：在用有向线段表示向量时，有向线段的长度我们定义为向量的模，即线段OZ的长度为向量 的模．那么
可以表示复数z=a＋bi，那么 的模可以表示复数的哪个量呢？在实数集中，一个数的绝对值的几何意义就是数轴上的点到原点的距离．在复数集中呢？
生：向量 的模就是复数的绝对值．
师：他的意思说出来了，但在复数中，我们一般不叫绝对值，叫复数的模．因此 的模就叫复数的模，只有复数为实数时，我们叫绝对值．那么复数的模具有什么样的几何意义？
生：复数的模的几何意义是表示复数的点到原点的距离．
（教师给予肯定，并指出复数模的几何意义与实数的绝对值的几何意义是统一的．）
师：复数的模用什么表示呢？
生：用实数集中绝对值的符号表示，z的模，记作|z|． 师：复数z=a+bi，（a，b∈R），那么|z|=？
（学生板演）
师：我们知道复数一般不能比较大小，而复数的模是实数，可以比较大小．（将z1，z2所表示的点画在复平面上，再将它们所表示的向量画出来，强调这三者的转化）
例2 设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）|z|=4；（2）2≤|z|＜4． 生：（1）表示到原点距离为4的点． 师：这样的点构成一个什么图形？ 生：是原点为圆心，半径为4的圆． 师：是圆面还是只有边界的圆？为什么？
生：应该是表示只有边界的圆．因为与复数z对应的点Z，由|z|=4，知道|OZ|=4，即点Z到原点的距离为4．所以z表示的点Z构成一个半径为4的圆． 生：（2）表示一个圆环．由于|z|的几何意义是点Z到原点的距离，所以2≤|z|＜4表示到原点距离大于等于2，小于4的点所构成的图形．
师：准确地说这个图形应当是半径为2与半径为4的圆构成的圆环内容及内边界．包不包括边界，主要是由原不等式中的等与不等决定的．
例3 用复数表示下图中的阴影部分．
生甲：|z|＜3且虚部＜-1．由于图中所示的点在半径为3的圆中，且纵坐标小于-1．
师：这种表示是否正确？（学生小声议论）
生：是两条直线．
师：夹在这两条直线中间又满足|z|＜3的点显然不仅仅是阴影部
（学生到黑板画出图）
师：因此刚才乙同学的想法是好在不满足于用一种方法表示，肯思考，但这个题无法用实部来表示．
（下面提问第2小题）生：|z|≥3，且实部≤-1．
生：不对．
师：看来用实部还是虚部表示，一定要全盘考虑，表示出来后，还要反过来检查一下是否符合题设条件．
（教师小结）
师：这节课我们共同探寻了复数的几何表示方法以及复数模的几何意义．要特别重视数与点与向量之间的对应关系，在研究的过程中要特别注意与实数的联系与区别．
补充作业
1．判断下列命题的真假，并说明理由：
2．已知|x+yi|=2，求表示复数x+yi的点的轨迹．
4．设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）|z|=3；（2）|z|＜3；（3）3＜|z|≤5；（4）实部＞0，虚部＞0且|z|＜4．
作业答案或提示
1．①√；②×；③√；④×；⑤√；⑥×． 2．x2+y2=4．3．略．
4．（1）以原点为圆心，半径为3的圆；
（2）以原点为圆心，半径为3的圆面，不包括边界；
（3）以原点为圆心，半径为3和5的圆构成的圆环内部，包括外边界；（4）以原点为圆心，半径为4的圆在第一象限的部分，不包括边界． 课堂教学设计说明
本节课是一节内容较为简单的概念课，但所涉及的知识内容，非常重要，它是学习复数的重要一环．
本设计着重突出主体性教学的原则，尽量做到让学生来发现复数的几何表示法，由实数自然地过渡到复数．本节课还将复数的点的表示与向量的表示集中在一节课处理，笔者认为这样有利于学生对复数几何意义的整体把握． 在教学中还注意通过数学史的故事，激发学生的学习兴趣，增强学生的自信心，并自然地将思想教育渗透到教学中．
第二篇：复数·复数的乘法及其几何意义
复数·复数的乘法及其几何意义·教案
教学目标
1．掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程． 2．掌握复数乘法的几何意义．
3．让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法． 4．培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力． 教学重点与难点
重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算． 难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握． 教学过程设计
师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5分钟的时间，完成以下两道题的演算．（利用投影仪出示）
1．（1-2i）（2+i）（4+3i）；
想出算法后，请大家在笔记本上演算，允许同学之间交换意见．
（教师在教室里巡视，稍过几分钟，请一位已经做完的同学在黑板上写出推导过程）学生板演：
z1·z2=r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=（r1cosθ1+ir1sinθ1）·（r2cosθ2+ir2sinθ2）
=（r1r2cosθ1cosθ2-r1r2sinθ1sinθ2）+i（r1r2sinθ1cosθ2+r1r2cosθ1sinθ2）=r1r2[（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2] =r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]． 师：很好，你是怎样想出来的？为什么这样想？
生：我们已经学过复数的代数形式运算，因此把三角形式化为代数形式，按着代数形式的乘法运算法则就可以完成运算．根据数学求简的原则，运用三角公式把结果化简． 在已知的基础上发展和探索未知的东西，解题时，把未知转化成已知，这是重要的思想方法．我是根据这个思想才想出来的．
师：观察这个问题的已知和结论，同学们能发现有什么规律吗？
生：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的复角等于各复数的辐角的和． 师：利用这个结论，请同学们计算：
这就是复数的三角形式乘法运算公式．
三角形式是由模和辐角两个量确定的，进行乘法运算时要清楚模怎样算？辐角怎样算？ 使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式，辐角不要求一定是主值．
同学们已经了解，复数通过几何表示，把复数与复平面内的点或从原点出发的向量建立起一一对应后，复数不仅取得了实际的解释，而且确实逐步展示了它的广泛应用．我们已经研究了复数加、减法的几何意义，并感觉到了它的用途，请大家讨论一下，学习了复数的三角形式运算对复数乘法的几何意义有什么启发呢？
（同学分组讨论，请小组代表发言．如果条件允许，在学生发言同时，用多媒体辅助教学，演示模伸缩情况，辐角终边的旋转）
生：复数的乘法对应的向量，就是由对应于被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角θ2（θ2＞0，如果θ2＜0，按顺时针方向旋转一个角|θ2|，再把其模变为原来的r2倍（r2＞1，应伸长；0＜r2＜1，应缩短；r2=1，模长不变），所得的向量就表示积z1·z2．这是复数乘法的几何意义．
师：解此题复数是否一定化成三角形式？
生：复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系，无论是代数形式还是三角形式都表示同一个复数和向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式，应根据需要来选择．
师：说得好，请同学们写一下解题过程．（找一名同学到黑板板演）
解：所求的复数就是-1+i乘以一个复数z0的积，这个复数z0的模是1，辐角的主值是120°．所求的复数是：（-1+i）·1·（cos 120°+isin 120°）
师：为什么？
生丙：乘数sin30°+icos 30°不是复数三角形式的标准式，应化为cos 60°＋isin 60°，这样才能应用复数乘法的几何意义来解题．
师：同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的，而辐角的大小又是由复数的三角形式的标准式来确定．
同学们开始讨论解决：
生庚：复数运算的几何意义是在复平面内实施的，因此要建立直角坐标系． 师：你分析得正确，如图8－13，建立坐标系．取正方形的边长为单位长1．
生辛：∠B1Ox=∠1，∠B2Ox=∠2，∠B3Ox=∠3，这样，∠1+∠2+∠3=∠B1Ox+∠B2Ox+∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分别看作B1，B2，B3三个点对应复数的辐角主值，下面应考虑B1，B2，B3对应复数是什么？
按着老师规定的单位长，B1，B2，B3三点对应的复数分别为1＋i，2＋i，3＋i． 师：好，你先谈到这里，如果单位长度有新的规定，例如边长为2，则三点对应复数分别为2＋2i，4＋2i，6＋2i，并未影响复数的辐角主值的大小，不过计算要繁一些．同学们继续讨论．
生壬：2＋i，3＋i的辐角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，误差较大．根据复数乘法的几何意义，积的辐角等于两个乘数辐角之和，可以先作乘法，看乘积是什么？假若其辐角主值也不是特殊角，但只取一次近似值． 师：你分析得很好，请你计算一下：
师：今天这节课，从知识上要掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则和乘法的几何意义及其推导过程．从思考方法上要善于从未知与已知、数与形以及复数的各种形式互相转换角度上考虑问题．现在布置作业：
第三篇：复数·复数的减法及其几何意义
复数·复数的减法及其几何意义·教案
教学目标
1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．
2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力． 3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）． 教学重点和难点 重点：复数减法法则．
难点：对复数减法几何意义理解和应用． 教学过程设计
（一）引入新课
师：上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．
（板书课题：复数减法及其几何意义）
（二）复数减法
师：首先规定，复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板书）1．复数减法法则
（1）规定：复数减法是加法逆运算；
（2）法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）． 如何推导这个法则呢？
生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．（学生口述，教师板书）
（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i． 师：说一下这样推导的想法和依据是什么？
生：把减法运算转化为加法运算，利用乘法分配律和复数加法法则．
师：转化的想法很好．但复数和乘法分配律在这里作为依据不合适，因为复数乘法还没有学，逻辑上出现一些问题． 生：我觉得可以利用复数减法是加法逆运算的规定来推导．（学生口述，教师板书）
推导：设（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差．由规定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依据加法法则，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依据复数相等定义，得
故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i． 师：这样推导每一步都有合理依据．
我们得到了复数减法法则，那么两个复数的差是什么数？ 生：仍是复数．
师：两个复数相减所得差的结果会不会是不同的复数？ 生：不会． 师：这说明什么？
生：两个复数的差是唯一确定的复数．
师：复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．
（三）复数减法几何意义
师：我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？（板书：2．复数减法几何意义）生：用向量表示两个做减法的复数．（学生口述，教师板书）设z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），对应向量分别
师：我们应该如何认识这个方程？（学生困惑，教师引导）
师：我们先看方程左式，右式分别表示什么？
生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模． 师：有什么几何意义吗？
生：是动点Z与定点（1，1）间的距离．（学生活跃起来，纷纷举手回答）
生：方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．（2）|z+i|+|z-i|=4；（学生议论后，举手回答）
生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．
师：这个动点轨迹是什么曲线呢？（学生稍有迟疑，有些同学小声议论）生：是椭圆吧．
师：似乎回答的不够肯定，不妨回忆一下椭圆的定义．
（学生在教师的提示下一起回答）生：在平面内，与两个定点F1，F2距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆． 师：满足这个方程的动点轨迹是不是椭圆呢？
生：是．因为点Z到两个定点的距离和是常数4，并且大于两点（0，-1），（0，1）间的距离2，所以满足方程的动点轨迹是椭圆．（3）|z+2|-|z-2|=1．（3）|z+2|-|z-2|=1．（学生议论后，举手回答）
生：这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线． 师：说的再准确些． 生：是双曲线右支．
师：很好．由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．
例4 设动点Z与复数z=x+yi对应，定点P与复数p=a+bi对应．求（1）复平面内圆的方程；（学生口述，教师板书）
解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．
师：利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．
（五）小结
师：我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．
（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9． 课堂教学设计说明
1．复数加法法则是规定的，而复数减法法则需要推导．推导过程要求每一步都要有合理依据，渗透转化思想，培养学生严谨思维品质．复数减法几何意义是教学难点，主要由于学生对复数及其几何表示还不很熟悉，在复数加法几何意义学习基础上，引导学生自己得到复数减法几何意义，有利于学生对复数几何意义以及复数减法几何意义理解． 2．对复数减法几何意义应分三个层次．
例1主要训练学生对复数减法几何意义应用，并通过此例题使学生对复数减法几何意义有具体认识，进一步使学生理解向量与向量终点表示复数的区别与联系，并体会两个相等向量表示两个复数差的各自方便之处．
例2是对复平面内两点间距离公式的推导，这既是对复数减法几何意义再次应用，同时也为对复数方程的认识打下基础．
例3和例4是在例2公式基础上将复数几何意义应用推广到用复数研究解析几何某些曲线、不等式等问题，使学生进一步体会复数减法几何意义的重要性．
第四篇：复数 复数与方程 教案
复数·复数与方程·教案
教学目标
1．掌握在复数集内解一元二次方程的方法；使学生掌握含有未知数 的解法．
2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维．
3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点．
教学重点与难点
个复数相等的充分必要条件的运用． 教学过程设计
师：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？ 生：因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}． 师：对．那么方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？ 生1：当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为
师：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？
生3：无意义．此时方程的解集为
师：对．实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为：当Δ≥0时有实根；当Δ＜0时，有一对共轭的虚根．
例1 若关于x的方程x2+5x+m=0的两个虚数根x1，x2满足|x1-x2|=3，求实数m的值．
生2：因为|x1-x2|=3，|（x1-x2）2|=9；则|（x1＋x2）2-4x1x2|=9，即|25-4m|=9．
例2 已知实系数一元二次方程2x2＋rx＋s=0的一个根为2i-3，求r，s的值． 生：2x2＋rx＋s=0一根为2i-3，另一根为-3-2i．由韦达定理知： s=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25，r=2i-3+（-2i-3）=-6．
师：我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？
例3 求方程x2-2ix-5=0的解．
生1：将方程左端配方，得（x-i）2-4=0，即（x-i）2=4．解得x-i=±2，即x1=2+i，x2=-2+i．
师：通过这个例子大家想一想对于方程ax2＋bx＋c=0（a≠0，a，b，c至少有一个虚数）解是什么？ 生1：对原方程左端配方，得
师：b2-4ac一定是解负实数吗？
生2：不一定．a，b，c中至少有一个是虚数，所以b2-4ac∈C． 师：那么这个方程的解应该怎样表示．
生3：先求b2-4ac的平方根．设b2-4ac的平方根为z1，z2∈C．那么
师：对．一元二次方程的求根公式此时仍然适用．再提一个问题，当b2-4ac≥0时，方程的解都是实数吗？ 生1：是．
师：请问由此得出怎样的结论．
生3：当一元二次方程的系数中至少有一个虚数时，求根公式仍然适用，但判别式不再适用． 师：还有吗？
生4：韦达定理仍然适用． 师：系数不全为实数的一元二次方程中，判别式不再适用，说明“世界上的任何事物都是相对的而不是绝对的”这一辩证唯物主义观点．求解系数不全为实数的一元二次方程的步骤：
（1）求出Δ=b2-4ac的平方根z1，z2；
练习解方程：x2＋（1＋i）x＋5i=0． 生：Δ=[-（1＋i）]2-4×5i=-18i，因为-18i=（3-3i）2，则-18i的平方根为3-3i，-3＋3i． 所以 x1=1-2i，x2=2＋i为原方程解． 例4 解方程|z|+2z=2+4i．
师：解这个方程能用求根公式吗？
生1：不可以．此方程不是一元二次方程． 师：这类方程如何解呢？ 生：……
师：观察方程等号左端和左端．左端是一个虚数，实部、虚部都是已知的，右端是复数．两个复数相等的充要条件是什么？
生2：两个复数相等的充要条件是：实部与实部相等，虚部与虚部相等． 师：这个方程左端能分离实部虚部吗？
师：怎样求z？
生4：求出a，b即可．
众生：不对！师：为什么？
师：含有|z|的复数方程，转化为无理方程组时，所求出方程组的解一定要代回原方程组验根． 例5 方程x2+（m+2i）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m的值和这方程的解． 生1：方程有实根，判别式Δ≥0，从而解出m．
生2：这是一个系数不全为实数的一元二次方程，根的判别式已不再适用． 师：对．那么方程有实根这一条件应如何用呢？ 生：……
师：设实根为x0，想到什么呢？ 生：分离复数的实部和虚部．
综上所述：
生1：设x=a＋bi．原方程转化为： a2＋b2＋2a＋2bi=4＋2i．
所以 原方程的解为：x1=-3＋i或x2=1-i． 师：这位同学解题过程有问题吗？ 生2：设x=a＋bi（a，b∈R）．没有“a，b∈R”这一条件，上面的解法就无依据了． 师：我们一定要注意思维的严谨性．
师：形如anxn＋a0=0（a0，an∈C且an≠0，n∈N+，n≥3）的方程叫做二项方程．任何一个二项高次方程都可以化成xn=a（a∈C）的形式．因此都可以通过复数开方求根，在复数集内有且仅有n个复数根．
例6 在复数集内解方程： x4＋x2＋x2＋x＋1=0．
师：这个方程与二项方程有关系吗？
生：方程左端是等比数列．由等比数列前n项和公式得到x4＋x3＋
师：现在把原方程的求解问题转化为x5=1的求解问题，这就是数学中转化的思想．把未知问题向已知问题转化，从而使未知问题得到解决．
师：这个方程能转化为二项方程吗？ 生：……
师：|z|能计算出来吗？
生：由z5=|z|2，知|z|=0或|z|=1． 当|z|=0时，z4=z．解为z=0．
师：这节课我们研究了几类方程的解法？
生：这节课是研究在复数范围内解方程．主要类型有：（1）实系数一元二次方程；（2）系数不全为实数的一元二次方程；（3）含有|z|，师：解这几类方程应注意些什么？
生1：对于实系数一元二次方程：当Δ＞0时，方程有两个相异的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ＜0时，方程有两个共
生2：对于系数不全为实数的一元二次方程，根的判别式不再适用，但求根公式，韦达定理仍然适用．在使用求根公式时，需先计算出Δ=b2-4ac的平方根．
法，根据复数相等的充要条件，转化为方程组，从而求出z．特别注意，在解无理方程时，一定要验根．另外，若方程有实根时，解决问题的方法类似．
生4：对于高次方程的解法，通常要转化为二项方程．在复数范围内解方程时，n次方程一定有n个根． 师：这节课通过复数范围内方程的求解过程，我们要进一步体会数学转化的思想、方程的思想的运用． 作业
1．P214：2，4；P217：16（1），（3），（5）；P218：20（2），（4）． 2．补充题：
（2）解方程：x2-4ix+5=0；
（3）已知方程x2+mx+1+2i=0（m∈C）有实根，求|m|的最小值． 补充题答案
（1）设z=a＋bi，a，b∈R．a2+b2-3ai-3b=1+3i，则
（2）Δ=（-4i）2-4×5=-16-20=-36．-36的平方根为6i，-6i．
课堂教学设计说明
法．为了保持本教案的完整性将可化为二项方程的高次方程的解法也列入本教案，教学中可根据情况酌情处理．
本教案中学生答错的地方，带有一定的普遍性，应给予足够的重视．
本教案特别强调展示学生的思维过程，在教师的逐步引导下，诱导学生得出正确的结论，使学生有水到渠成的感觉．
第五篇：复数教案
2014年10月16日教案
教学课程
复数的有关概念
教学目标
（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．
教学内容
1、复数的有关概念，由x^2+1=0，引进概念虚数 正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系
2、分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下。
3、复数相等的充要条件，对于复数 数 时，一定有，实部是，虚部是 ．注意在说复，否则，不能说实部是，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。用复数相等的条件要注意：
①化为复数的标准形式
②实部、虚部中的字母为实数，即
4、复数的几何表示，①任何一个复数 都可以由一个有序实数对()唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对（）叫做复数的．
②复数 而不是(用复平面内的点Z()表示．复平面内的点Z的坐标是()，)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者 就是纵轴的单位长度．
③当
(时，对任何，时，是纯虚数，所以纵轴上的点())都是表示纯虚数．但当 是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．
复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．
由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．
5、共轭复数的概念．要学生注意可以提一下当
于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当 轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行． 随即写几个例子
时的特殊情况，即实轴上的点关
时，与
互为共
6、“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意： 根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么
．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．
命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：
(i)对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；
(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；
(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；
(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)
教学重难点
1．要注意知识的连续性：复数因而注意与平面解析几何的联系．
2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．
是二维数，其几何意义是一个点，3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．
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