杨春晖—数学思维——巧妙求和教学设计

第一篇：杨春晖—数学思维——巧妙求和教学设计

巧妙求和

（二）教学内容：

书第16周 巧妙求和

（二）例

1、例

2、例

3、例4及练习教学目标：

1、理解掌握将某些问题转化成若干个数的和。

2、帮助学生理解解决问题中是否可以用等差数列求和公式

3、教会学生在解决自然数的数字问题时，根据题目的具体特点，将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对。

教学重点：

理解并掌握求和公式及应用。

教学难点：

在解决问题中灵活运用等差数列的和。

教学过程：

【例题1】 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？

【例题分析】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、„„

57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）

想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？ 练习1：

1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？ 3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？

【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？ 【例题分析】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次„„等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋„＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。

练习2：

1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？ 2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？

3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？ 【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？

【例题分析】假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：

50＋49＋48＋„＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）.练习3：

1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？

2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？

3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？

【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？

【例题分析】假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：

50＋49＋48＋„＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）.练习3： 1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？

2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？

3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？

【例题4】求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。【例题分析】首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和，而不是求这99个数之和。为了能方便地解决问题，我们不妨把0算进来（它不影响我们计算数字之和）计算0～99这100个数的数字之和。这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是9+9=18，一共有100÷2=50对，所以，1～99这99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。

练习4：

1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。2.2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。3.3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。

第二篇：配对求和教学设计

配对求和教学设计

教学目标：

1、通过学习，初步建立配对求和的逻辑推理，简便计算的能力。

2、培养学生的观察和思考的能力。

3、学习本课知识有助于养成全面地，由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯。

教学重点:用配对求和的简便方法解决问题。教学难点：寻找简便方法。教学准备：课件 教学过程：

一、激趣引入

师：同学们，你们会计算1+2+3+4+…+99+100吗？

被成为“数学王子”的德国著名数学家高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好的算出它的结果。小高斯是用什么办法算得这么快了?你们想学习这种方法吗？

原来，他用了一种简便的方法叫：先配对再求和。出示课题：配对求和

二、新授

1、出示教学例1 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（）（1）学生读题，独立思考。（2）小组交流想法。（3）教师组织交流讲解。

思路:我们可以把10个数字分成5组，每组两个数相加的和是11。（4）练习。

2、教学例2 出示教学例2 5+10+15+20+25+30+35+40+45+50（1）学生读题，独立思考。（2）小组交流想法。（3）教师组织交流讲解。

思路:我们把数列的第一项称为首项，最后一个数叫做末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，计算等差数列可用： 等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 则本题可以等于:(5+50)×10÷2

三、巩固练习。出示练习题。

学生独立完成，教师组织全班讲解。

四、课时总结

通过今天的学习，你学会了什么？

五、作业

选用课时作业设计

第三篇：《数列求和》教学设计

《数列求和》教学设计

一、教学目标：

1、知识与技能

让学生掌握数列求和的几种常用方法，能熟练运用这些方法解决问题。

2、过程与方法

培养学生分析解决问题的能力，归纳总结能力，联想、转化、化归能力，探究创新能力。

3、情感,态度,价值观

通过教学，让学生认识到事物是普遍联系，发展变化的。

二、教学重点：

非等差,等比数列的求和方法的正确选择

三、教学难点：

非等差,等比数列的求和如何化归为等差,等比数列的求和

四、教学过程：

求数列的前n项和Sn基本方法：

1.直接由等差、等比数列的求和公式求和，等比数列求和时注意分q=

1、q≠1的讨论； 2.分组求和法：把数列的每一项分成几项，使转化为几个等差、等比数列，再求和； 3.裂项相消法：把数列的通项拆成几项之差,使在求和时能出现隔项相消(正负相消),剩下（首尾）若干项求和.如:

设计意图：

让学生回顾旧知，由此导入新课。

[教师过渡]：今天我们学习《数列求和》第一课时，课标要求和学习内容如下:(多媒体课件展示)导入新课：

[情境创设](课件展示): 例1：求数列 112,214,318,,101210,,n1n,2 的前n项和。

[问题生成]：请同学们观察否是等差数列或等比数列？

设问：既然不是等差数列，也不是等比数列，那么就不能直接用等差，等比数列的求和公 式，请同学们仔细观察一下此数列有何特征

111111，3，5，7，9，的前项和。2481632n 练习1.求数列

22n-1 练习2.求数列1，1+2，1+2+2，···，1+2+2+···+2，···.的前n项和。

例2：求数列1111，…的前n项和。，,......122334n(n1)[教师过渡]：对于通项形如an裂项相消求和方法

练习3.求和

练习4..求和sn1（其中数列bn为等差数列）求和时，我们采取

bbbn11121231nn1

[特别警示] 利用裂项相消求和方法时，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，才能使裂开的两项差与原通项公式相同。

五、方法总结：

公式求和：对于等差数列和等比数列a的前n项和可直接用求和公式.分组求和：利用转化的思想,将数列拆分、重组转化为等差或等比数列求和.裂项相消：对于通项型如an1（其中数列bn为等差数列）的数列,在求和时

bbbn1将每项分裂成两项之差的形式,一般除首末两项或附近几项外,其余各项先后抵消,可较易求出前n项和。

六、作业布置：

第四篇：等比数列求和教学设计

等比数列的前n项和

甘天威

一：教学背景

1.面向学生： 中学 学科： 数学 2.课时： 2个课时 3.学生课前准备：（1）预习书本内容

（2）收集等比数列求和相关实际问题。

二：教学课题

教养方面：

1了解等比数列求和问题，感受数学问题的趣味性。

2尝试用不同的方法解决等比数列求和问题，体会错位相减法的应用 3 能准确地解决等比说列求和有关的实际问题。教育方面：

1培养学生积极探索解决问题的良好习惯。

2感受到我国数学文化历史的悠久与魅力，增强民族自豪感，激发学生努力学习数学的热情

发展方面：

培养学生的逻辑推理能力、分析问题能力、解决问题能力。

三：教材分析 教学目标

知识目标：理解等比数列的前n项和公式及简单应用,掌握等比数列前n项和公式的推导方法。

能力目标：培养学生观察、思考和解决问题的能力；加强特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想的培养。

情感目标：培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质；以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

教学重点、难点

教学重点：公式的推导和公式的运用．

教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用． 公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

教学方法：

对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系．在教学中，我采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．

四：教学过程

学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学 生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，设计了如下的教学过程： 1.创设情境，提出问题

引导学生写出麦粒总数 1+2+22+23++263．带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定．

设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔.2.师生互动，探究问题

在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，„，263是什么数列？有何特征？ 应归结为什么数学问题呢？

一般的这就是一个等比数列前n项求和的问题，那么一个等比数列

如何求前n项和sn？公比为q，类似等差数列前n项和的表示，等比数列前n项和能否用a1,q,n,an来表示呢？此时要引导学生发现需要构造一个新的等式包含Sn，并且与第一个等式有许多相同的项，从而引导学生发现并利用错位相减法求出Sn。

sn=a1+a1q+a1q2+

qs=aq+aq2+n11

a1-a1qnn 在学生推导完成后,我再问:由(1-q)sn=a1-a1q 得sn=1-q

对不对？这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？（这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．）

再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用． 3.公式运用，加深认识 例1在等比数列an中，11已知a4,q,求S10;12 2已知a11,ak243,q3,求Sk.例2在等比数列an中,S37,S663,求an.变式训练： 1：在上题中，已知S3=7,S663求S9.+a1qn-1+a1qn-1a1qn2:已知a24,a532，求S102

首先，学生独立思考，自主解题，然后师生共同进行总结．

设计意图：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．

4.例题讲解，形成技能

例3：求和 1+a+a2+a3++an-1.设计意图：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想． 联系实际

5.总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结．

设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力． 6.故事结束，首尾呼应

最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺．

设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维．

7.课后作业，分层练习

必做： P129练习1、2、3、4 思考题(1):求和 x+2x2+3x3++nxn.选作：

2）若数列{an}是等比数列,Sn是前n项的和，那么S3,S6S3,S9S6成等比数列吗？设k∈N*那么Sk,S2kSk,S3kS2k成等比数列吗？

设计意图：作业分为两种形式，体现作业的巩固性和发展性原则。阅读作业中的问题思考是后续课堂的铺垫，而弹性作业不作统一要求，供学有余力的学生课后研究。同时，它也是新课标里研究性学习的一部分。

第五篇：巧妙的结构教学设计

《巧妙的结构》教学设计

廊坊经济技术开发区大官地小学

张普友

一、教学目标

1、能设计出多种分类标准，对建筑物进行分类；

2、能用实验的方法探究自己对建筑物结构与力的关系方面感兴趣的问题；

3、能从选材或结构的角度分析出增加建筑物承受力的道理；

4、能从周围环境中找到各种巧妙自然的结构；

5、能从多个角度分析同类事物的不同特点；

6、能举例说明建筑结构有哪些基本类型；

7、能举例说明建筑结构与功能相适应；

8、能分析出各种建筑结构与哪些自然结构有相似之处；

9、能对仿生建筑感兴趣并大胆设计。

二、微机室、三角形具有稳定性的教具、鸡蛋、贝壳、细铁管、铁棍、小木棒100根、橡皮筋、16开白纸。

三、教学过程

1、导入

师：在我们学校操场南面的杨树上有一个喜鹊窝，据门卫老爷爷说，喜鹊窝非常结实，不管刮多大风，它都不会掉下来。根据喜鹊窝的结构，我国建成了一个奇妙的建筑——鸟巢。出示课件“鸟巢”，它的结构非常巧妙。今天，我们就来研究各种建筑物巧妙的结构。板书课题。

2、常见建筑物的结构

（1）师生交流：说一说我们学校周围建筑物或你看到的建筑物的形状和结构（不要求使用科学术语），教师补充开发区的一些特殊建筑：手机信号塔、大学城的凯旋门、中国银行圆形屋顶、塔吊等。

（2）出示课件“建筑结构、筒体结构……折板结构”讲授建筑物的结构

教师强调建筑结构不止这些。

（3）根据建筑结构对学校周围建筑物或你看到的建筑物进行分类。

3、探究建筑物结构与力的关系

（1）、选择课本中一个或两个问题进行研究。（2）将自己的研究方案和结果与同学交流。

（3）分析某种建筑物的选材和结构有什么科学道理。（4）出示课件“汶川地震、汶川可怜的孩子”

（5）出示课件“血的事实告诉我们，校舍的建筑结构形式再也不能采用砖混结构”

4、各具特色的形状和结构

（1）我们周围还有许多的物体的结构非常巧妙，让我们一起来发现吧！

（2）阅读课本第11页内容；（3）思考交流周围物体的巧妙结构；

（4）讨论交流建筑物的结构与这些物体的结构有哪些相似之处？举出实例并加以分析。（5）学习科学在线“仿生建筑”；（6）在百度中搜索“仿生建筑”资料；

（7）发挥我们的创造力，做一名小小仿生建筑师吧！