等差数列的求和公式教学设计

第一篇：等差数列的求和公式教学设计

等差数列前n项和

教学案例：

一、教学设计思想

本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。

本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化，让学生在探究中展现个性，在合作中促进学生的个性发展。

在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

二、学生情况与教材分析

1、学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了通项公式，会运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾上一节课的知识就可引入新课；

2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程，应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。

三、教学目标

1、知识目标

（1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。

2、能力目标

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

3、情感目标

通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

四、教学重点、难点

1、等差数列前n项和公式是重点。

2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

教学过程：

1、引入新课（1）复习

师：上一节课中，我们学习了等差数列的定义及通项公式，知道了“公差d=，通项公式an=”（见黑板）

生：（回答黑板上的问题）

（2）故事引入

师：那等差数列的前n项和怎样求？今天，我们主要探讨等差数列的前n项和公式。古算书《张邱建算经》中卷有一道题：

今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？ 师生共同读题

师：题目当中我们可以得到哪些信息？要解决的问题是什么？

生1：第一人给1钱，第二人给2钱，第三人给3钱，以后每个人都比前一个人多给一钱，共有100人，问共给了多少钱？

师：很好，问题已经呈现出来了，你能用数学符号语言表示吗？

生2：用an表示第n个人所得的钱数，则由题意得： a11,a22,a33,„，a100100

只要求出1+2+3+„+100=？ 师：你能求出这个式子的值吗？

生2：（犹豫片刻）1+100=101，2+99=101，3+98=101„50+51=101，所求的和为101×

1002=5050.师：对于这个算法，著名的数学家高斯10岁时曾很快就想出来了.高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，第2项与倒数第2项的和：2+99=101，第3项与倒数第3项的和：3+98=101，„„

第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是101×

1002=5050 上面的问题可以看成是求等差数列1，2，3，„，n, „的前100项的和.在上面解决问题的过程中,我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，从中你有何启发？我们如何去求一般等差数列的前n项和？

设计意图：通过情景引入活动、任务，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用得过程，其作用就在于提升学生的经验，使之连续地向形式的、抽象的数学知识的转变.构筑在学生已有生活经验与生命体验基础之上的数学课程大大激发了学生“做数学”的热情，数学课变得更生动、更活泼，更能引发学生的兴趣.新教材中增添了一些数学史的知识，从课改的一些举措上我感到在数学教学过程中，应适时掀起数学史的教学盖头。向同学们介绍了《张邱建算经》和高斯及他的算法，讲课的过程中适当插入数学史，为数学教学输入了新鲜血液.培养学生的数学文化，营造浓郁的“人文”氛围.师：设等差数列an的前n项和为Sn，则Sna1a2„an? 生3：（直接给出公式）由刚才问题的结果可知Snn(a1an)2

师：非常好，由具体的推广到一般，这也是研究数学的一种思想方法由特殊到一般，但是这种方法是猜想、推测，是不完全归纳.数学公式的得出需要严谨的推理过程和相关的理论依据.你能否推导这个公式？

生4：Sn(a1an)(a2an1)„+？（遇到困惑，最后一组怎样表示？是剩一项还是两项？）

师：我们再回顾一下刚才解决的问题，共有100项，两两分组正好分为50组，如果1+2+3+„+101=？n项时又应如何分组？最后一组应怎样表示？ 生4（继续回答）：1+101=102，2+100=102，3+99=102„50+52=102，51=

共有50组多出第51项

n分奇偶性讨论，n为偶数时正好分成n21022(1101)2

组，n为奇数时分成n12组还多一项

∴当n为偶数时，Sn(a1an)(a2an1)„(anan)

22=

n(a1an)2

当n为奇数时，Sn(a1an)(a2an1)„(an1an1)an1

22221

(a1an)(a2an1)„(an1an1)222(a1an)2

=

n(a1an)2

师：好通过分类讨论我们得出了等差数列an的前n项和Sn公式，从所得的结果看无论n是奇数还是偶数Sn的公式一样.那么我们是否可以避开讨论n的奇偶性去推导呢？怎样出现首末两项的和？

师：下面我们从一个稍稍简单一点的等差数列来推导探讨（学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆钢管。）

师：如何求？

（课件演示：引导学生设想，如果将钢管倒置，能得到什么启示）

生：每一层都和上一层是一样多的。一共有8层，所以为8×（4+11），但一共有两堆，所以为

师：那如果如下图所示共有n层，第一层为a1，第n层为an，请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和sn等于多少？

生：

师：所以我们还可以如何求等差数列通项公式？ 生5：Sna1a2„an

Snanan1„a1

将上面两式左右两边分别相加得2Sn(a1an)(a2an1)„(ana1)

=n(a1an)∴Snn(a1an)2

师：此种方法简洁明了，且避开讨论n的奇偶性，我们将这种方法称为“逆序相加法”，在以后解决数列问题是也经常运用“逆序相加法”，主要运用了等差数列下标等距性质.（有学生举手）

生6：我用另外一种方法得出的结果不一样

Sna1a2„ana1da12d„a1(n1)d

=na1123„(n1)d

=na1n(n1)2d

师：这个结果对否？为何会有两个公式？它们之间有联系吗？ 大家一起发现Snn(a1an)2na1a1(n1)d2n(a1an)2na1n(n1)2d

∴等差数列an前n项和公式：Snna1n(n1)2d

师(总结)：我们得到了两个计算等差数列前n项和的公式.由公式可知，只要知道a1,n,an,d

这四个量中的三个就可以求出等差数列前n项和Sn.设计意图：新课标指出“学生的学习过程就是在教师指导下的再创造的过程”在教学的过程中，教师要指导学法，把教与学的过程很好地统一起来，想方法鼓励学生积极参与，大胆设疑、质疑、释疑、辨错、修正，突出过程教学.教师同通过问题情境或学习情境以诱发他们进行探索与问题的解决活动.应用举例

例1等差数列―10,―6,―2, 2„前多少项的和是54?

0,d6(10)4解：设题中的等差数列为an，前n项和为Sn，则a11Sn54，由题意得10n(n1)2454

∴n26n270

解得n19,n23（舍）

∴前9项的和为54.师(总结)：已知量a1,d,Sn，求n，合理选用公式.思想方法：方程思想.设计意图：学以致用,直接运用公式加深对公式的认识和理解.主要通过方程的思想进行基本量的运算.注意解题格式和规范.例2求集合Mmm7n,nN,m100中元素的个数，并求这些元素的和.解：由7n100,得n1007,即n1427，由于满足不等式的正整数n共有14个，所以集合M中的元素共有14个，将他们从小到大列出，得7，7×2，7×3，„，7×14，这个数列是等差数列，记为an，其中a17,a1498 ∴S1414(798)2735

答：集合M中的元素共有14个元素，它们的和等于735.变式1：Mmm7n,nN,n100

分析：∵n<100,∴M中有99个元素，分别为7，7×2，7×3，„，7×99，变式2：在1到100中被7除余1的正整数共有多少个？它们的和是多少？ 分析：设m是满足条件的数，则m=7n+1,且m<100,nN

或m=7n-6,且m<100,nN

设计意图：高中数学课程倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方法，这要求我们转变教学观念，丰富教学形式，改进学生的学习方式，加大课堂教学的研究性、开放性和自主性，在开展探究活动中培养学生的基本技能，将变式训练与引导学生感悟反思放到同样的高度，进而培养学生的数学能力.练习课本P118 ex 1（板演），2,3,4 小结：（1）了解等差数列an的前n项和公式的推导思想（逆序相加法、分组配对法）.（2）掌握等差数列前n项和的两个公式并能灵活运用解决相关问题.（3）研究问题的方法：由特殊到一般.（4）方程思想：基本量的运算.课后作业： P118

1（2）（4），2，4，5

第二篇：等差数列求和教案

一、教学目标：

等差数列求和教案

知识与能力：通理解等差数列的前 项和定义，理解倒序相加的原理，记忆两种等差数列求和公式。

过程和方法：让学生学会自主学习和合作学习，体会特殊到一般的数学方法。情感态度与价值观：形成严谨的逻辑推理能力，引导对数学的兴趣。

二、教学重点：教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，已知其中三个量，求另两个值。

教学难点：获得公式推导的思路

三、教学过程 1.新课引入

故事提出问题：泰姬陵是世界七大建筑奇迹之一，位于印度，是国王为他心爱的妃子而建，传说泰姬陵中有一个三角形图案，以相同大小圆宝石镶嵌而成，共有100层，你知道这个图案一共有多少颗宝石吗？

（板书）“

2.讲解新课

（板书）等差数列前 项和 公式推导（板书）

问题1“S=1+2+3+4+、、、、+n（倒序相加法）分小组讨论

问题2：

”，两式左右分别相加，得，，于是.于是得到了两个公式： 和

3、知识巩固：（1）；

（2）

4、课堂小结

1.等差数列前 项和公式；

（结果用 表示）

2.倒序相加法和分类讨论法的数学思想

第三篇：等差数列求和教案

课题：等比数列前 项和的公式

教学目标

（1）通过教学使学生掌握等比数列前 项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前 项和.（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.教学重点，难点

教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.教学方法

引导发现法.教学过程

一、新课引入：

（问题见教材第26页）提出问题：1222…229=?

二、新课讲解：

记s1222229，式中有3项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有29项是对应相等的，作差可以相互抵消.即s1222229，①

2s222229230, ②

②－①得 2ss2301,即s2301;由此对于一般的等比数列，其前n项和sna1a1qa1q2a1q3a1qn1，如何化简？

等比数列前项n和公式

仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比q，即

sna1a1qa1q2a1q3a1qn1 ③, 两端同乘以q，得

2sna1qa1q2a1q3a1qn1a1qn

④, ③－④得（提问学生如何处理，适时提醒学生注意 的（1-q）sna1a1qn ⑤，取值）

当q1时，由③可得snna1,（不必导出④，但当时设想不到）当q1时，由⑤得

a1(1qn)。

sn1q反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.（板书）例题：求和：

s1234n 234n22222设, 其中n为等差数列，为2n等比数列，公比为1，利用错位相减法求和.2解：

s11111223344nn22222

两端同乘以1，得 2111111 s2233445nn1222222两式相减得

111111ns234nn12222222

于是，所以1n11s2n1n(1n)1222ns2n112212

说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.三、小结：

1.等比数列前n项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；

2.用错位相减法求一些数列的前n项和.

第四篇：等差数列求和教案

等差数列求和

教学目标

1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想.教学重点，难点

教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路.教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

讲授法.教学过程 一.新课引入

提出问题（播放媒体资料）：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？（课件设计见课件展示）二.讲解新课

（板书）等差数列前 项和公式 1.公式推导（板书）

问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为，公差为，由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.思路一：运用基本量思想，将各项用 和 表示，得，有以下等式，问题是一共有多少个，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.思路二：

上面的等式其实就是，为回避个数问题，做一个改写，两

式左右分别相加，得，于是有：.这就是倒序相加法.思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得，于是

.于是得到了两个公式（投影片）： 和.2.公式记忆

用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.3.公式的应用

公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.例1.求和：（1）；

（2）（结果用 表示）

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.例2.等差数列 中前多少项的和是9900？

本题实质是反用公式，解一个关于 的一元二次函数，注意得到的项数 必须是正整数.三.小结

1.推导等差数列前 项和公式的思路；

2.公式的应用中的数学思想.

第五篇：等差数列求和练习题

入门题：

1、有一个数列，4、10、16、22 …… 52，这个数列有多少项？

2、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少？

3、求等差数列1、4、7、10 ……，这个等差数列的第30项是多少？ 4、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝（）5、2＋6＋10＋14＋ …… ＋122＋126＝（）

6、已知数列2、5、8、11、14 ……，47应该是其中的第几项？

7、有一个数列：6、10、14、18、22 ……，这个数列前100项的和是多少？ 练习题： 1、3个连续整数的和是120，求这3个数。2、4个连续整数的和是94，求这4个数。

3、在6个连续偶数中，第一个数和最后一个数的和是78，求这6个连续偶数各是多少？

4、丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词？

5、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？

6、某班有51个同学，毕业时每人都要和其他同学握一次手，那么这个班共握了多少次手？