比推理14种典型例题解析+强化练习题

第一篇：比推理14种典型例题解析+强化练习题

比推理14种典型例题解析+强化练习题

华图网校论坛类比推理专项辅导系列： 1.首先搞清题干所给的两个词之间的关系。

2.注意各种关系之间的细微差别。词与词之间的关系是各种各样的（在下面将有所叙述），其中有些关系是非常相近的，容易混淆，应注意区别。例如，对于整体与部分的关系和一般与特殊的关系，有些考生常常分辨不清。另外，一般来说，关系都是有顺序的，整体与部分的关系就不可能是部分与整体的关系（参

见例题中“整体与其构成部分”）。

3.看完全题再答题。不少考生认为类比推理题比较简单，往往题目还没有看完，就匆忙选择答案，这是不可取的（参见例题中“同一类属性的两个相互并列的概念部分”）。

典型例题解析

考生在做此种题目时，应该首先搞清题干所给的两个词之间的关系，常见的有：因果关系、工具与作用关系、工作与作用对象关系、物体与其运动空间关系、特定环境与专门人员的关系、整体与部分的关系、特殊与一般的关系等等。

1.原因与结果 【例题】努力：成功 正确选项为（）。

A.生根：发芽

B.耕耘：收获 C.城市：乡村

D.原告：被告

解析：答案为B。该题题干中的两个词具有某种条件（或因果）关系，即只有努力才能成功或者说努力是成功必不可少的原因之一。弄清了这一关系，就很容易找出正确答案。

2.工具与作用 【例题】汽车：运输 正确选项为（）。

A.鱼网：编织

B.编织：鱼网 C.捕鱼：鱼网

D.鱼网：捕鱼

解析：答案为D。鱼网的作用是捕鱼。“编织”与“鱼网”两者的关系并不是“工具与作用”的关系。

3.物体与其运动空间 【例题】轮船：海洋 正确选项为（）。

A.飞机：海洋

B.海洋：鲸鱼 C.海鸥：天空

D.河流：芦苇

解析：答案为C。轮船航行于海洋之上是物体与其运动空间的关系，选项只有海鸥和天空是物体与其运动

空间的关系，故选C。

4.特定环境与专门人员 【例题】山野：猎手 正确选项为（）。

A.生猪：工厂

B.教室：学生 C.农民：阡陌

D.野兽：旷野

解析：答案为B。山野和猎手是特定环境与专门人员的关系，选项只有教室与学生是特定环境与专门人员的关系，故选B。

5.整体与其构成部分 【例题】水果：苹果

正确选项为（）。

A.香梨：黄梨

B.树木：树枝 C.家具：桌子

D.天山：高山

解析：该题题干中“水果：苹果”两个词之间是一般和特殊的关系，所以答案为选项C。选项B的两个词之间的关系是整体与部分的关系，选项D的两个词之间的关系是特殊与一般的关系。

6.同一类属性的两个相互并列的概念

【例题】绿豆：豌豆 正确选项为（）。

A.家具：灯具

B.猴子：树木 C.鲨鱼：鲸鱼

D.香瓜：西瓜

解析：答案为D。对于此题，考生常常是看到哪里就选到哪里，尤其是选项C，其中的鲸鱼其实不是鱼，而

是哺乳动物。

7.同一事物的两个不同称谓

【例题】芙蕖：荷花 正确选项为（）。

A.兔子：月亮

B.住宅：府第 C.伽蓝：寺庙

D.映山红：杜蘅

解析：答案为C。因为芙蕖是荷花的书面别称，而伽蓝是寺庙的书面别称。

8.事物的出处与事物 【例题】稻谷：大米 正确选项为（）。

A.核桃：桃仁

B.棉花：棉子 C.西瓜：瓜子

D.枪：子弹

解析：答案为B。因为稻谷是大米的惟一来源，而棉花是棉子的惟一来源。

9.工具与作用对象 【例题】剪刀：布匹 正确选项为（）。

A.玻璃：门窗

B.锯子：木头 C.衣服：缝纫机

D.门窗：玻璃

解析：答案为B。剪刀和布匹是工具与作用对象之间的关系，四个选项仅B项符合。

10.作者与作品

【例题】罗贯中：三国演义 正确选项为（）。

A.宋江：水浒传

B.鲁迅：少年闰土 C.王勃：长恨歌

D.吴承恩：西游记

解析：答案为D。罗贯中和《三国演义》是作者与作品之间的关系，宋江是《水浒传》中人物，少年闰土是鲁迅小说中的人物，《长恨歌》是白居易作品，故仅D项符合。

11.物品与制作材料 【例题】书籍：纸张 正确选项为（）。

A.毛笔：宣纸

B.文具：文具盒 C.菜肴：萝卜

D.飞机：大炮

解析：答案为C。

12.专业人员与其面对的对象

【例题】作家：读者 正确选项为（）。

A.售货员：顾客

B.校长：教师

C.官员：改革

D.经理：营业员

解析：答案为A。作家与读者是专业人员与其面对的对象之间的关系。选项中仅A符合。

13.作品中的人物与作品 【例题】猪八戒：西游记 正确选项为（）。

A.水浒传：林冲

B.蒲松龄：聊斋志异 C.黄飞虎：封神演义

D.红楼梦：林黛玉

解析：答案为C。猪八戒与西游记是作品中的人物与作品之间的对应关系，四个选项中，A、D次序颠倒，B

项《聊斋志异》是蒲松龄的作品。

14.特殊与一般 【例题】馒头：食物 正确选项为（）。

A.食品：饼干

B.头：身体 C.手：食指

D.钢铁：金属

解析：答案为D。馒头与食物是特殊与一般的关系，四个选项仅D符合。

强化练习题

1.图书馆∶读者

A.发布会∶记者 B.钢铁∶刀剑 C.联想∶方正 D.文件∶大纲

2.餐椅∶坐

A.孔子∶圣人 B.胶水∶粘贴 C.社会∶平均 D.兴奋∶脸红

3.《说岳全传》∶岳飞

A.《骆驼祥子》∶周朴园 B.《理想国》∶柏拉图 C.《暴风骤雨》∶郭全海 D.《国富论》∶亚当?斯密

4.宇航员∶飞船

A.朋友∶同事 B.法官∶法院 C.运输∶司机 D.编辑∶文稿

5.钱钟书∶《管锥篇》

A.小仲马∶《巴黎圣母院》 B.欧?亨利∶《麦琪的礼物》

C.《女神》∶郭沫若 D.闰土∶《故乡》

6.平型关大捷∶抗日战争时期

A.台儿庄战役∶第二次国内革命战争时期 B.汀泗桥战役∶第一次国内革命战争时期

C.四渡赤水∶国民大革命时期 D.孟良崮战役∶第二次世界大战时期

7.曹雪芹∶晴雯

A.金庸∶李沉舟 B.老舍∶秀秀 C.张爱玲∶莎菲 D.曾朴∶大刀王五

8.禾苗∶田野

A.学生∶教室 B.大学∶硕士 C.皮肤∶神经元 D.医院∶大夫

9.英国∶日本

A.中国∶韩国 B.德国∶荷兰 C.美国∶法国 D.葡萄牙∶西班牙

10.割草机∶草

A.电脑∶数据 B.坩埚∶石墨 C.酒精灯∶炸药 D.天平∶砝码

11.温度计∶煤油

A.发动机∶柴油 B.暖气片∶水 C.衣服∶扣子 D.蓄电池∶硫酸

12.纸∶草

A.火药∶硝石 B.磁石∶石头 C.树皮∶细胞 D.酱油∶蚕豆

13.壁画∶装饰

A.羽毛球∶球拍 B.钢笔∶写字 C.草坪∶踢足球 D.书籍∶阅读

14.压迫∶反抗

A.杀人∶坐牢 B.发烧∶生病 C.伤心∶悲哀 D.贸易∶倾销

15.楼梯∶电梯

A.客轮∶渔船 B.汽车∶卡车 C.山道∶索道 D.筷子∶刀叉

16.森林∶群众

A.头∶身体 B.花∶梅花 C.书籍∶服装 D.星星∶眼睛

17.窑∶陶瓷

A.唯物主义∶唯心主义 B.整数∶负整数

C.青年∶少年 D.烤箱∶面包

18.美国∶旧金山

A.地球∶恒星 B.印度∶仰光 C.香港∶世界贸易组织 D.中国∶淮河

19.丝线∶刺绣

A.中国∶国家 B.瓷砖∶镶嵌 C.纸∶书 D.书∶书籍

20.紫竹∶植物学家

A.金属∶工程师 B.直接经验∶间接经验 C.动物∶饲养员 D.蝴蝶∶昆虫学家

1．林冲：《水浒传》 正确选项为（）。

A．鲁达：《三国演义》 B．崔莺莺：《红楼梦》 C．祥林嫂：《阿Q正传》 D．孙悟空：《西游记》

2．飞行员：女飞行员 正确选项为（）。

A．运动员：足球运动员 B．动产：财产 C．弯刀：刀 D．串肉扦：钳子

3．下雨：路滑 正确选项为（）。

A．晴天：太阳 B．伤心：痛苦 C．失望：高兴 D．播种：收获

4．心地：善良 正确选项为（）。

A．干净：皮肤 B．手指：多少 C．毛衣：丝绸 D．胸怀：宽广

5．射击：手枪 正确选项为（）。

A．匕首：刺伤 B．子弹：受伤 C．投掷：石头 D．失败：逃避

6．手表：时针自行车： 正确选项为（）。

A．车轮 B．汽车 C．道路 D．骑

7．电灯：照明 正确选项为（）。

A．劳动：手 B．走路：拐杖 C．吃饭：镘头 D．铅笔：写字

8．河鲈：鳕 正确选项为（）。

A．酱油：食盐 B．树栖动物：两栖动物

C．双轮马车：手推车 D．房间：大厅

9．相信：信任 正确选项为（）。

A．真诚：诚恳 B．罪犯：犯罪 C．游戏：电视 D．语言：说话

10．兄：弟 正确选项为（）。

A．姐：妹 B．父：子 C．祖：孙 D．侄子：叔父

1.发奋：成功

A.啤酒：粮食

B.饮料：矿泉水 C.动物：猴子

D.自满：失败

2.火车：铁路

A.飞机：航班

B.大桥：河流 C.汽车：公路

D.电话：通信

3.鸟：蛋

A.鱼：卵

B.橡树：杨树 C.芜菁：萝卜

D.山楂：柿子

4.石家庄:乌鲁木齐重庆：

A.河北

B.上海 C.印度

D.武汉

A.细菌：生物

C.粮食：玉米

5.马：动物

苹果：桃子 山羊：玩具

B.D.

第二篇：比热容 典型例题解析

比热容

典型例题解析

【例1】下列说法正确的是

[

] A．质量相同的水和煤油，吸收相同的热量后，煤油温度升高的比水大

B．一杯水倒出一半后其质量减小为原来的小为原来的1212，则其比热容也减

C．质量相同，温度相同，吸收热量多的物质比热容大 D．比热容大的物质吸收的热量一定多

解析：根据比热容是物质的一种性质，与物质的种类、物态有关，而与质量、体积、温度的变化及吸收或放出热量的多少无关，所以选项B和C都不对．又根据比热的物理意义可知，在质量相同、温度升高的度数相同时，比热容大的物质吸收的热量较多，而D选项中缺少条件，所以D不正确．由于水的比热大于煤油的比热容，根据上面分析可知A正确．

【例2】冬天，暖气系统中往往用热水慢慢地流过散热器，利用水温度降低时放出的热来取暖，其中选用热水而不选用其他液体的主要原因是

[

] A．水比其他液体流动性大 B．水比其他液体价格便宜 C．水比其他液体的比热容大

D．水比其他液体来源广、无污染

解析：水的比热容是比较大的，其他液体的比热容都比水的比热容小．如果水的质量和其他液体质量相同，温度变化相同时，比热容较大的水放出的热量多，取暖效果好．

【例3】0℃的水全部凝固成0℃的冰，则

[

] A．冰的热量少

B．0℃的冰比0℃的水温度低 C．水的热量少

D．冰的比热容比水小

点拨：一般在物质发生物态变化时，由于物质的内部结构发生了改变，物质的比热容特性、密度特性也会相应地变化．

参考答案：D 【例4】在夏日阳光照射下，游泳池中的水较清凉，而池边的水泥地却被晒得烫人，其中一个重要原因是

[

] A．水泥地比较大 B．水的比热容较大 C．水的比热容较小 D．水泥地的热量多

点拨：水的比热容较大，质量初温相同的水和水泥地面在吸收相同的热量后，水的温度升高较小．

参考答案：B

跟踪反馈

1．关于比热容，下列说法正确的是

A．物质的比热容跟它吸收的热量有关 B．物质的比热容跟湿度有关

C．物质的比热容跟它放出的热量有关 D．物质的比热容是物质本身的一种特性

2．沙漠地区为什么会有“早穿皮袄午披纱”的奇特现象．参考答案

1．D 2．沙石的比热容小

[

]

第三篇：电磁感应现象典型例题解析

电磁感应现象·典型例题解析

【例1】

如图17－1所示，P为一个闭合的金属弹簧圆圈，在它的中间插有一根条形磁铁，现用力从四周拉弹簧圆圈，使圆圈的面积增大，则穿过弹簧圆圈面的磁通量的变化情况________，环内是否有感应电流________．

解析：本题中条形磁铁磁感线的分布如图所示(从上向下看)．磁通量是穿过一个面的磁感线的多少，由于进去和出来的磁感线要抵消一部分，当弹簧圆圈的面积扩大时，进去的磁感条数增加，而出来的磁感线条数是一定的，故穿过这个面的磁通量减小，回路中将产生感应电流．

点拨：会判定合磁通量的变化是解决此类问题的关键． 【例2】

如图17－2所示，线圈面积为S，空间有一垂直于水平面的匀强磁场，磁感强度为B特斯拉，若线圈从图示水平位置顺时针旋转到与水平位置成θ角处(以OO’为轴)，线圈中磁通量的变化量应是________Wb，若旋转180°，则磁通量的变化量又为________Wb．

解析：开始位置，磁感线垂直向上穿过线圈，Φ＝BS，转过θ时，由B．S关系有Φ2＝BScosθ，故ΔΦ＝BS(1－cosθ)当转过180°时，此时，Φ2＝BS，不过磁感线是从线圈另一面穿过∴ΔΦ＝2BS 点拨：有相反方向的磁场穿过某一回路时，计算磁通量必须考虑磁通量的正负．

【例3】

如图17－3所示，开始时矩形线圈与磁场垂直，且一半在匀强磁场内，一半在匀强磁场外．若要线圈产生感应电流，下列方法可行的是

[

] A．将线圈向左平移一小段距离 B．将线圈向上平移

C．以ad为轴转动(小于90°)D．以ab为轴转动(小于60°)E．以dc为轴转动(小于60°)点拨：线圈内磁通量变化是产生感应电流的条件 参考答案：ACD 【例4】

如图17－4所示装置，在下列各种情况中，能使悬挂在螺线管附近的铜质闭合线圈A中产生感应电流的是

[

] A．开关S接通的瞬间

B．开关S接通后，电路中电流稳定时

C．开关S接通后，滑线变阻器触头滑动的瞬间 D．开关S断开的瞬间

点拨：电流变化时能引起它产生的磁场变化． 参考答案：ACD

跟踪反馈

1．一个十分灵敏的电流表和一个线圈组成闭合电路，当把它们移近一个正在发光的电灯泡时，灵敏电流表的指针是否运动？

2．宇航员来到一个不熟悉的星球上，他想用已知灵敏电流计和一个线圈探测一个行星上是否有磁场，应该怎么做？ 3．如图17－5所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，有两条平行导轨MN、PQ，它们的一端接有一个电阻R，其间还有一个闭合导线框abcd且MN、PQ与abcd均在同一平面内，都与磁场方向垂直，当abcd向右滑动时(框与轨接触良好)(1)在abcd中有无闭合的电流？(2)ad、bc有无感应电流？(3)有无电流通过电阻R，为什么？

4．在地球附近的磁感应强度大约为0.5×10-4T，将一个2m2的线框放在地面上，通过它的磁通量可能为

[

] A．1.0×10-4Wb B．0 C．0.5×10-4Wb D．2.0×10-4Wb

参考答案

1．摆动；2．将线圈与灵敏电流计构成回路，然后将线圈向各个方向来回摆动．若灵敏电流计指针摆动，则有磁场；3．(1)无；(2)有；(3)有；(4)ABC．

第四篇：排列典型例题解析(一)

排列典型例题解析

（一）【例1】写出从4个不同元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列，并指出有多少种不同的排列.分析：列举法是解排列组合题的常用方法.解：abc acb bca bac cab cba abd adb bad bda dab dba acd adc cad cda dac dca bcd bdc cbd cdb dbc dcb共24种.说明：只有当元素完全相同，并且排列顺序也完全相同时，才是同一排列，元素完全不同或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一排列.【例2】计算下列各题.（1）A;(2)A;(3)21566An-1 An-mAn-1n-1m-1nm;(4)1!+2·2!+3·3!+„+n·n!;(5)

12!23!34!n1n!.分析：准确掌握好排列数公式是顺利进行计算的关键.2解：（1）A15=15×14=210.(2)A6=6×5×4×3×2×1=720.6(3)原式==(n1)!(nm)!(n1)![n1(m1)]!·(n－m)!·

11(n1)!

·(n－m)!·

(n1)!=1.(4)原式=(2!－1!)+(3!－2!)+(4!－3!)+„+ [(n+1)!－n!]=(n+1)!－1!.(5)n1n!11!=nn!－+1n!12!=

1(n1)!－

1n!1，+„+

1(n1)!原式=－12!－

13!+

13!－

4!－

1n!=1－

1n!.说明：本题（4）、（5）相当于数列求和问题，要根据通项灵活拆项，灵活运用下列公式： n!=n(n－1)!，n·n!=(n+1)!－n!，3【例3】解方程：A42x1=140Ax.n1n!=

1(n1)!－

1n!，可以使问题解决得简单快捷.分析：利用排列数公式将方程转化为关于x的代数方程即可求解.解：根据原方程，x(x∈N*)应满足根据排列数公式，原方程化为

（2x+1)·2x·(2x－1)(2x－2)=140x·(x－1)·(x－2).∵x≥3，两边同除以4x(x－1)，得（2x+1)(2x－1)=35(x－2)，即4x2－35x+69=0.解得x=3或x=5∴原方程的解为x=3.说明：定义域是灵魂，对于排列数Amn要注意n、m∈N*，m≤n.342x14,x3.解得x≥3.（因x为整数，应舍去）.xx2【例４】解不等式：A9>6A9.分析：利用排列数公式将不等式转化为关于x的不等式即可求解.解：原不等式即9!(9x)!>

269!(9x2)!，其中2≤x≤9，x∈N*，即(11－x)(10－x)>6，∴x－21x+104>0.∴(x－8)(x－13)>0.∴x<8或x>13.但2≤x≤9，x∈N*，2≤x<8，x∈N*，故x=2，3，4，5，6，7.说明：有关以排列、组合（下一节将学到）公式形式给出的方程、不等式，应根据有关公式转化为一般方程、不等式，再求解.但应注意其中的字母都必须是满足条件的自然数，不要忽视这一点.【例5】6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（）A.30种

B.360种

C.720种

D.1440种 分析：本题是排列问题，表面上看似乎带有附加条件，但实际上这和六个人站成一排照相一共有多少种不同排法的问题完全相同.解：不同的排法总数为A6=6×5×４×3×2×1=720(种）.6说明：我们要从事件的本质入手，抓住模型本质，不能只看表象.【例6】a，b，c，d，e，f六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法.对这个题目，A、B、C、D四位同学各自给出了一种算式： A的算式是121111144A66；B的算式是（A1+A2+A3+A4+A5）A4；C的算式是A6；D的算式是15A44.上面四个算式是否正确？正确的加以解释；不正确的说明理由.分析：解答排列题往往是一人一法，我们要从多角度思考，从不同角度分析问题.解：A中很明显，“a在b前的六人纵队”的排队数目与“b在a前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和.这表明A的算式正确.B中把六人排队这件事划分为a占位，b占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到“占位的状况决定了b占位的方法数，第一阶段，当a占据第一个位置时，b占位的方法数是A15，当a占据第2个位置时，b占位的方法数是A14，„„当a占据第5个位置时，b占位的方法数是A1b占位后，再排其他四人，他们有A41，当a、4种排法，可见B的算式是正确的.4C中的A6可理解为从6个位置中选4个位置让c，d，e，f占据.这时，剩下的两个位置依前后顺序应是a，b的.因此C的算式也正确.D中把6个位置先圈定两个位置的方法数为C6；这两个位置让a、b占据，显然，a、b占据这两个圈定的位置的方法只有一种（a要在b的前面），这时，再排其余四人，又有A44种排法.可见，D的算式是对的.（下一节组合学完后，可回过头来学习D的解法）上面四个算式都正确.说明：解答排列、组合题要注意一题多解的练习.【例7】八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？

分析：对于排列问题我们往往直接考虑“甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排”，也可以间接考虑其反面.解法一：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙坐在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙、丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：A2A1A5+A2A1A5=8640（种）.425445解法二：采取“总方法数减去不合题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法数，看成“总方法数”，这个数目是A1A7；在这种前提下，不合题意的方法是“甲47坐第一排，且乙、丙分坐两排的八人坐法”.这个数目是A1C1A13A1A5.其中第一个因数4245A1表示甲坐在第一排的方法数，C1表示从乙、丙中任选一人的方法数，A13表示把选出的42这个人安排在第一排的方法数，下一个A14则表示乙、丙中尚未安排的那个人坐在第二排的方法数，A55就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为

711115A14A7－A4C2A3A4A5=8640（种）.说明:直接法与间接法是我们考虑问题的两种常见思维方式，我们要根据情况合理选择.【例8】某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同排课程表的方法？

分析：对于“第一节不排体育，最后一节不排数学”这一限制条件，正难则反，适合用间接法考虑.解法一：6门课总的排法是A6其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有A56，5种排法，如图10－2－4中Ⅰ；数学排在最后一节有A55种排法，如图10－2－4中Ⅱ，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，如图10－2－4中Ⅲ，这种情况有A44种

54排法.因此符合条件的排法应是A66－2A5+A4=504（种）.Ⅰ ⅢⅡ 图10－2－4 说明：解答排列、组合题用间接法要注意不重复也不遗漏.【例9】三个女生和五个男生排成一排，（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？

（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

分析：解决排列、组合（组合下一节将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置.有两个以上约束条件，往往先考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件.若以元素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他的元素.解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A6种不同排法.对于其中的每一种排法，6三个女生之间又都有A3种不同的排法，因此共有A6·A3=4320种不同的排法.363（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空挡，这样共有4个空挡，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有A5种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置553中选出三个来让三个女生插入都有A36种方法，因此共有A5·A6=14400种不同的排法.（3）法一：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的22个，有A5种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A66种排法，所以共有2A5·A66=14400种不同的排法.法二：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有A8从中扣除女生排8种不同的排法，17在首位的A13A77种排法和女生排在末位的A3A7种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来.由于两端都是女生有A262A13A77+A3A6=14400种不同的排法.23A

66种不同的排法，所以共有A

88－法三：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有A36种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A55种不同的排法，所以共有5A36A5=14400种不同的排法.（4）法一：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条

1件限制了，这样可有A15A77种不同的排法；如果首位排女生，有A3种排法，这时末位就只

17116能排男生，这样可有A13A15A66种不同的排法，因此共有A5A7+A3A5A6=36000种不同的排法.2法二：3个女生和5个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生的排法A3A6862种，就能得到两端不都是女生的排法种数A8－A3A6=36000种不同的排法.86说明：间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题简单、明快.捆绑法、插入法对于有的问题确是适当的好方法，要认真搞清在什么条件下使用，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法.【例10】排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 分析：本题有限制条件，是“不相邻”，可以采用插空法.解：（1）先排歌唱节目有A5种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放544入舞蹈节目，共有A6种方法，所以任两个舞蹈节目不相邻的排法有A5·A6=43200种方5法.（2）先排舞蹈节目有A44种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供

545个歌唱节目放入有A55种方法，所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A4·A5=2880种方法.说明：对于“不相邻”排列问题，我们往往先排无限制条件元素，再让有限制元素插空排列.否则，若先排有限制元素，再让无限制条件元素插空排时，往往有限制元素有相邻情

4况.如本题（2）中，若先排歌唱节目有A55，再排舞蹈节目有A6，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求.【例11】用0到9这十个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8.从限制条件入手，可划分如下：

如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶数；个位数是2、4、6、8的四位偶数.这是因为零不能放在千位数上，由此得解法一和解法二.如果从千位数入手，四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三.如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位奇数的个数，用排除法，得解法四.解法一：当个位数上排“0”时，千位、百位、十位上可以从余下的九个数字中任选三个来排列，故有A39个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任意选

12一个，百位、十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按分步计数原理有A14A8A8个.112没有重复数字的四位偶数有A39+A4A8A8=504+1792=2296（个）.解法二：当个位数字排0时，同解法一有A3个；当个位数字是2、4、6、8之一时，9千位、百位、十位上可从余下的九个数字中任选三个的排列中减去千位数是“0”的排列数，2得A1（A3－A8）个.492没有重复数字的四位偶数有A3+A1（A3－A8）=504+1792=2296（个）.949解法三：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一

2个，百位、十位上从余下的八个数字中任选两个作排列，有A15A15A8个；

千位数上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任选一个（包括0

2在内），百位、十位上从余下的八个数字中任意选两个作排列，有A1A1A8个.4422没有重复数字的四位偶数有A15A15A8+A1A1A8=2296（个）.44解法四：将没有重复数字的四位数划分为两类：四位奇数和四位偶数.没有重复数字的4四位数有A10－A3个.92411其中四位奇数有A15（A13－A8）个，没有重复数字的四位偶数有A10－A39－A5（A32－A8）=2296（个）.说明：这是典型的简单具有条件的排列问题，上述四种解法是最基本、常见的解法，要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用.【例12】在3000与8000之间，（1）有多少个没有数字重复且能被5整除的奇数？（2）有多少个没有数字重复的奇数？

分析：本题关键是按所求条件进行准确分类.解：（1）能被5整除的奇数，个位上只能是5，按条件千位上可以是3、4、6、7中的2任意一个，其余两个数字可以是余下数字中的任意两个，共有4×A8=224（个）.（2）法一：按题目要求，个位可以是1、3、5、7、9中的任意一个，千位上可以是3、4、5、6、7中的任意一个.因为个位数字与千位数字不能重复，所以可分以下两类：

2第一类：个位是1、9，千位可以是3、4、5、6、7中的任意一个，这样的奇数有5A8A12=560（个）；

第二类：个位是3、5、7，千位是4、6或3、5、7中与个位不重复的数字中的任意一

2个，满足上述条件的奇数有3A12A8=672（个）.212由分步计数原理，知所求奇数为5A8A12+3 A2A8=560+672=1232.法二：按千位数字分类：第一类：千位是4、6中的一个，那么个位可以是1、3、5、7、129中的任一个，这样的奇数有A1； 4A5A8=560（个）第二类：千位是3、5、7中的任意一个，个位可以是1、3、5、7、9中与千位数字不重

2复的四个数中的一个，这样的奇数有A13A1A8=672（个）.422满足条件的奇数个数为A1A15A8+ A13A1A8 =560+672=1232（个）.44说明：在解答排列、组合问题时，确定不同的分类标准，就会有不同的分类方法，不管怎样分类，要尽量做到不重不漏.【例13】 一条铁路原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了m个车站(m>1)，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现有多少个车站？

分析：首先由题意列出方程，再根据m、n为整数求出即可.解：原有车站n个，原有客运车票A2种，又现有(n+m)个车站，现有客运车票A2种.nmn∵A2－A2=62，∴(n+m)(n+m－1)－n(n－1)=62.nmn∴n=31m－212(m－1)>0，2即62>m－m，∴m－m－62<0.又m>1，从而得出1

12249.∴1

当m=3、4、5、6、7、8时，n均不为整数.故只有n=15时，m=2，即原有15个车站，现有17个车站.说明：上题虽是常用解法，但运算量较大，应根据m、n为整数利用整除性来解决.∵(n+m)(n+m－1)－n(n－1)=62，∴m2+2mn－m=62.∴m（m+2n－1)=62.把62分解为1×62（舍去），2×31，由题意知m2,m2n131或m31,m2n12.解得m2,m31,（舍去）.n15,n14【例14】用0、1、2、3、4五个数字组成没有重复数字的五位数，并把它们从小到大排列.问23140是第几个数？

分析：把这些五位数从小到大排列，可先求出比23140小的万位与千位为1×、20、21的入手，再排万位与千位为23的.解：分以下几类：

3①1××××型的五位数有A44=24个;②20×××型的五位数有A3=6个;③21×××型的五位数有A33=6个.这样，这三类数共36个.在型如23×××的数中，按从小到大的顺序分别是：23014、23041、23104、„，可见23140在这一类中，位居第4位.故从小到大算23140是第40个数.说明：本题是一个计数问题，需要按要求细心排列.【例15】用数字0、1、2、3、4、5，（1）可以组成多少个数字不重复的六位数？

（2）试求这些六位数的和.分析：本题关键是如何合理安排程序求出这些六位数的和.解：（1）因为0不能作首位，故分两步，得5A5=600（个），或A6－A5=720－120=600565（个）（即六个元素的全排列，再减去首位是0余下五个元素的全排列）.（2）求这些六位数的和，当然不能把600个数一个一个写出，再求它们的和，应该像小学生做竖式加法一样，先个位相加，再十位相加，等等.个位是1的数有4×A4个； 4个位是2的数有4×A4个； 4与上同样，个位是3、4、5的数均有4×A4个;4个位为0的数有A5个； 5„„

个位数字之和为（1+2+3+4+5）·4·A4与上同样，十位之和为（1+2+3+4+5）·4·A4 4，4，百位数字之和为（1+2+3+4+5）·4·A44，5最高位（十万位）各数字之和为（1+2+3+4+5）·A55=15·A5.这些六位数的和为

15·A5100000+（1+2+3+4+5）·4·A4=15·A5100000+15 5·4（1+10+100+1000+10000）5··4A44·11111.说明：数字排列是一类典型排列，多掌握些数字排列问题，对其他排列就容易理解了.【例16】从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实数根的有几个？

分析：（1）二次方程要求a不为0，故a只能在1，3，5，7中选，b、c没有限制.（2）二次方程要有实数根，需Δ=b2－4ac≥0，再对c分类讨论.2解：a只能在1，3，5，7中选一个有A14种，b、c可在余下的4个中任取2个，有A42种，故可组成二次方程的个数为A14·A4=48个，方程要有实根，需Δ=b2－4ac≥0，c=0，a，b可在1，3，5，7中任取2个，有A24种；c≠0，b只能取5、7，b取5时，a、c只能

2取1、3，共有A22个；b取7时，a、c可取1、3或1、5，有2A2个，故有实根的二次方程22共有A24+A2+2A2=18个.说明：本题第（1）问要注意一元二次方程中二次项系数不为零的限制.本题第（2）问要分c=0和c≠0进行讨论，c≠0时，再对b的取值进行二级讨论，多次分类讨论是排列问题中较高的能力要求.【例17】（2004年辽宁）有两排座位，前排11个座位，后排 12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）A.234

B.346

C.350 分析：本题考查有限制条件的排列组合问题.D.363 解：前后两排共23个座位，有3个座位不能坐，故共有20个座位两人可以坐，包括两人相邻的情况，共有A2种排法；考虑两人左右相邻的情况，若两人均坐后排，采用捆绑法，20把两人看成一体，共有11A2种坐法;若两人坐前排，因中间3个座位不能坐，故只能坐左边24个或右边4个座位，共有2×3×A2种坐法.故题目所求的排法种数共有A2－11A2－2×20223×A2=346(种).2答案:B

第五篇：硬水与软水典型例题解析

硬水与软水典型例题解析

山东张春莲

例

1、硬水和软水的本质区别是（）

A．硬水浑浊，软水澄清

B．硬水含杂质多，软水含杂质少

C．硬水是不纯净水，软水是纯净水

D．硬水含有较多的可溶钙、镁化合物，软水不含或含较少的可溶性钙镁化合物 解析：硬水是含有较多可溶性钙、镁化合物的水；软水是不含或含较少可溶性钙、镁化合物的水。二者的根本区别是可溶性钙、镁化合物的含量。

答案：D

例

2、纯水清澈透明、不含杂质，而硬水含较多可溶性钙和镁的化合物。现有两瓶无色液体，分别为纯水和硬水，请你参与小雯同学对水的探究，并回答有关问题：

⑴利用吸附、沉淀、过滤和蒸馏等方法可净化水，其中能降低水的硬度的是⑵区别纯水和硬水的方法有多种。小雯采用的方法是：分别取样于蒸发皿中，加热蒸干，有固体析出的是硬水。请您设计另一种方法（简述步骤、现象和结论）。

⑶小雯在做实验时，发现硬水在加热的过程中，产生了少量气体并得到一种难溶性的固体。

【提出猜想】产生气体可能是二氧化碳；难溶性的固体可能是碳酸钙。

【设计实验】

①将生成的气体通入____________中，观察到____________的现象，证明产生的气体是二氧化碳；写出发生的化学式表达式。

②向这种难溶性的固体中滴入____________，观察到有大量的气泡产生，则这种固体可能是碳酸钙；若这种固体是碳酸钙，写出该反应的化学式表达式__________；

【反思】人们在生产、生活中不宜使用硬水，请举一例说明使用硬水能造成的危害。【反馈与应用】通过上述实验得到启发：在工厂里可用除去锅炉内壁上的水垢。

解析：⑴硬水变软水即减少水中的可溶性钙、镁化合物，其方法有煮沸、暴晒、蒸馏。⑵硬水中的钙、镁化合物多，加热蒸发时会析出较多的固体杂质；同时加肥皂水时也不易起泡。所以，可以用加热蒸发比较析出固体的多少来区分硬水和软水，也可以用加肥皂水比较泡沫多少来区分硬水和软水。①检验二氧化碳的方法是将气体通入澄清石灰水中，若澄清石灰水变浑浊则证明是二氧化碳。②检验碳酸根时可加入稀盐酸观察是否有气泡产生，若有再通入澄清石灰水中，若石灰水变浑浊则证明含碳酸根，否则不含。

【反思】硬水中含有较多的钙、镁盐，在加热时易形成沉淀物，所以水壶底部易结水垢，工石锅炉若结过多的水垢有发生爆炸的危险；用硬水洗过的衣服会发硬。【反馈与应用】由上述实验知，水垢的成分中有碳酸盐，可用稀盐酸除去。食醋含有醋酸，能和碳酸盐发生反应，所以家用水壶的水垢可以用食醋浸泡除去。

答案：⑴蒸馏

⑵分别取样各少量于烧杯中，分别加入少量肥皂水，产生泡沫较多的是纯水，无或气泡较少的是硬水。

⑶ ①澄清石灰水变浑浊CO2+Ca(OH)2→CaCO3+H2O

②稀盐酸 CaCO3+HCl → CaCl2+H2O+CO2

【反思】：水壶底部的水垢、工厂锅炉发生爆炸、用硬水洗过的衣服发硬等。

【反馈与应用】：稀盐酸

例

3、肥皂的主要成分为硬脂酸钠（C17H35COONa），它与水中的Ca2＋、Mg2＋起反应生

成硬脂酸钙和硬脂酸镁沉淀而不能起泡。现有肥皂水溶液和四种等体积的待测溶液：

①蒸馏水；②0.1% CaCl2溶液；③1% CaCl2溶液；④1% MgCl2溶液。试回答：检验

这四种溶液应选用的方法是

解析：依据题目提示，若溶液中的Ca2＋、Mg2＋多，则需消耗较多的肥皂才能产生气泡，若不含或含较少的Ca2＋、Mg2＋则产生气泡时消耗的肥皂少。

答案：将肥皂水分别逐滴滴入这四种待测溶液并振荡，根据肥皂水滴入后开始产生泡沫时的不同滴数来区分。