高等数学概率统计基础部分典型例题解析（5篇模版）

第一篇：高等数学概率统计基础部分典型例题解析

高等数学（2）概率统计基础部分典型例题解析

第1章 随机事件与概率

例1 填空题

（1）设A与B是两个事件，则P(A)P(AB)+。

（2）若P(A)0.4,P(AB)0.3，则P(AB)。

（3）设A,B互不相容，且P(A)0，则P(BA)

。解：（1）因为 AABAB，且AB与AB互斥 所以 P(A)P(AB)+P(AB)应该填写： P(AB)（2）因为 AABAB，P(AB)P(A)P(AB)0.40.30.1

P(B)P(AB)P(AB)0.10.30.4

所以

P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.40.40.10.7 应该填写：0.7（3）因为A,B互不相容，即P(AB)0 所以 P(BA)应该填写： 0

例2 单项选择题

（1）事件AB又可表示为（）.A.AB

B.AB

C.AAB

D.ABAB

（2）掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（）A.***P(AB)P(A)0

B.C.D.（3）若等式（）成立，则事件A,B相互独立。

A.P(AB)P(A)P(B)

B.P(AB)P(A)P(BA)

C.P(B)P(BA)

D.P(A)1P(B)

（4）设A与B是相互独立的两个事件，且P(A)A.1212,P(B)13，则P(AB)（）

B.56

C.23

D.34

解：（1）依定义，事件AB表示A发生但B不发生，因此AB也可以表示为AAB.应该选择：C（2）基本事件总数为36，点数之和为3的事件有（1，2）和（2，1），即事件数为2，故“点数之和为3”的概率是

236118。

应该选择：B（3）因为当式子P(B)P(BA)时，由乘法公式P(AB)P(A)P(BA)，得

P(AB)P(A)P(B)

所以事件A,B相互独立。应该选择：C（4）因为A与B是相互独立，所以由加法公式

P(AB)P(A)P(B)121356。

应该选择：B 例3 A,B为两事件，已知P(A)P(AB)，P(AB)。

12,P(B)13,P(BA)12，求P(AB)，解 P(AB)P(A)P(BA)12121412

1314712P(AB)P(A)P(B)P(AB)

1P(AB)P(AB)34 1P(B)43例4 已知两个事件A，B相互独立，且已知P(A)0.6，P(B)0.3，求P(AB)． 解

由P(B)0.3，得 P(B)1P(B)10.30.7

所以 P(AB)P(A)P(B)P(AB)

P(A)P(B)P(A)P(B)

0.60.70.60.70.88

例5 设P(A)0.5，P(AB)0.3，求P(BA)．

解

因为P(BA)

P(AB)P(A)

AA(BB)ABAB

P(A)P(AB)P(AB)

P(AB)P(A)P(AB)

0.50.30.2 P(AB)0.2所以 P(BA)0.4

P(A)0.5

例6 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮4次，⑴ 求投中篮框不少于3次的概率； ⑵ 求至少投中篮框1次的概率。

解 设Ai{第i次投中}的事件，i1,2,3,4，P(Ai)0.8，P(Ai)0.2相互独立（1）投中篮框不少于3次的事件可表为 A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4

其概率为

P(A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4A1A2A3A4)

=P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

=(0.8)440.2(0.8)30.8192（2）因为，投篮4次均未投中的概率为

P(A1A2A3A4)(0.2)40.0016

所以，至少投中篮框1次的概率为

1P(A1A2A3A4)10.00160.9984

第二篇：高考数学复习概率统计典型例题

高考数学复习概率统计典型例题

例1 下列命题：

(1)3，3，4，4，5，5，5的众数是5；

(2)3，3，4，4，5，5，5的中位数是4.5；

(3)频率分布直方图中每一个小长方形的面积等于该组的频率；

(4)频率分布表中各小组的频数之和等于1

以上各题中正确命题的个数是 [ ]．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

分析：回忆统计初步中众数、中位数、频数、频率等概念，认真分析每个命题的真假．

解：(1)数据3，3，4，4，5，5，5中5出现次数最多3次，5是众数，是真命题．

(2)数据3，3，4，4，5，5，5有七个数据，中间数据是4不是4.5，是假命题．

(3)由频率分布直方图中的结构知，是真命题．

(4)频率分布表中各小组的频数之和是这组数据的个数而不是1，是假命题．

所以正确命题的个数是2个，应选B．

例2 选择题：

(1)甲、乙两个样本，甲的样本方差是0.4，乙的样本方差是0.2，那么 [ ]

A．甲的波动比乙的波动大；

B．乙的波动比甲的波动大；

C．甲、乙的波动大小一样；

D．甲、乙的波动大小关系不能确定．

(2)在频率直方图中，每个小长方形的面积等于 [ ]

A．组距 B．组数

C．每小组的频数 D．每小组的频率

分析：用样本方差来衡量一个样本波动大小，样本方差越大说明样本的波动越大．

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解：(1)∵0.4＞0.2，∴甲的波动比乙的波动大，选A．

例3 为了了解中年人在科技队伍中的比例，对某科研单位全体科技人员的年龄进行登记，结果如下(单位：岁)

44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，45，28．

列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．

解：按五个步骤进行：

(1)求数据最大值和最小值：

已知数据的最大值是67，最小值是28

∴最大值与最小值之差为67-28=39

(2)求组距与组数：

组距为5(岁)，分为8组．

(3)决定分点

(4)列频分布表

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(5)绘频率分布直方图：

例4 某校抽检64名学生的体重如下(单位：千克)．

列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．

分析：对这组数据进行适当整理，一步步按规定步骤进行．

解：(1)计算最大值与最小值的差：48-29=19(千克)

(2)决定组距与组数

样本容量是64，最大值与最小值的差是19千克，如果取组距为2千克，19÷2=9.5，分10组比较合适．

(3)决定分点，使分点比数据多取一位小数，第一组起点数定为28.5，其它分点见下表．

(4)列频率分布表．

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(5)画频率分布直方图(见图3-1)

说明：

长方形的高与频数成正比，如果设频数为1的小长方形的高为h，频数为4时，相应的小长方形的高就应该是4h．

例5 有一个容量为60的样本，(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表：

(1)填出表中所剩的空格；

(2)画出频率分布直方图．

分析：

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各组频数之和为60

各组频率之和为1

解：

因为各小组频率之和=1

所以第4小组频率=1-0.05-0.1-0.2-0.3=0.35

所以第4小组频数=0.35×60=第5小组频数=0.3×60=18

(2)

例6 某班学生一次数学考试成绩的频率分布直方图，其中纵轴表示学生数，观察图形，回答：

(1)全班有多少学生？

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(2)此次考试平均成绩大概是多少？

(3)不及格的人数有多少？占全班多大比例？

(4)如果80分以上的成绩算优良，那么这个班的优良率是多少？

分析：根据直方图的表示意义认真分析求解．

解：(1)29～39分1人，39～49分2人，49～59分3人，59～69分8人，69～79分10人，79～89分14人，89～99分6人．

共计 1+2+3+8+10+14+6=44(人)

(2)取中间值计算

(3)前三个小组中有1+2+3=6人不及格占全班比例为13.6%．

(4)优良的人数为14+6=20，20÷44=45.5%．

即优良率为45.5%．

说明：频率分布表比较确切，但直方图比较直观，这里给出了直方图，从图也可以估计出一些数量的近似值，要学会认识图形．

例7 回答下列问题：

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总是成立吗？

(2)一组数据据的方差一定是正数吗？

总是成立吗？

(4)为什么全部频率的累积等于1？

解：(1)证明恒等式的办法之一，是变形，从较繁的一边变到较简单的一边．这

可见，总是成立．

顺水推舟，我们用类似的方法证明(3)；注意

那么有

(2)对任一组数x1，x2，„，xn，方差

这是因为自然数n＞0，而若干个实数的平方和为非负，那么S2是有可对等于0的

从而x1=x2=„=xn，就是说，除了由完全相同的数构成的数组以外，任何数组的方差定为正数．

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(4)设一个数组或样本的容量为n，共分为m个组，其频数分别为a1，a2，„，am，按规定，有

a1+a2+„+am=n，而各组的频率分别a1／n，a2／n，„，am／n，因此，有

说明：在同一个问题里，我们处理了同一组数据x1，„，xn有关的两个数组f1，f2，„，fk和a1，a2，„，am，前者是说：在这组数中，不同的只有k个，而每个出现的次数分别为f1，„，fk；后者则说明这组数所占的整个范围被分成了m个等长的区间，出现在各个区间中的xi的个数分别为a1，„，am，可见，a1，„，an是f1，„fk的推广，而前面说过的众数，不过是其fi最大的那个数．

弄清研究数组x1，„，xn的有关数和概念间的联系与区别，是很重要的．

例8 回答下列问题：

(1)什么是总体？个体？样本？有哪些抽样方法？

(2)反映样本(或数据)数量水平的标志值有哪几个？意义是什么？怎样求？

(3)反映样本(或数据)波动(偏差)大小的标志值有哪几个？怎样求？有什么区别？

(4)反映样本(或数据)分布规律的数量指标和几何对象是什么？获得的一般步骤是什么？

解：这是一组概念题，我们简略回答：

(1)在统计学里，把要考查对象的全体叫做总体；其中每个考查对象叫个体；从总体中抽出的一部分个体叫做总体的一个样本；样本中个体的数目，叫做样本的容量．

应指出的是，这里的个体，是指反映某事物性质的数量指标，也就是数据，而不是事物本身，因此，总体的样本，也都是数的集合．

抽样方法通常有三种：随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，基本原则是：力求排除主观因素的影响，使样本具有较强的代表性．

(2)反映样本(或数据)数量水平或集中趋势的标志值有三个，即平均数、众数和中位数．

有时写成代换形式；

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有时写成加权平均的形式：

其中，又有总体平均数(总体中所有个体的平均数)和样本平均数(样本中所有个体的平均数)两种，通常，我们是用样本平均数去估计总体平均数．且一般说来，样本容量越大，对总体的估计也就越精确．

(ii)众数，就是在一组数据中，出现次数最多的数．通常采用爬山法或计票画“正”法去寻找．(爬山法是：看第一个数出现次数，再看第二、三、„„有出现次数比它多的，有，则“爬到”这个数，再往后看„„)．

(iii)中位数是当把数据按大小顺序排列时，居于中间位置的一个数或两个数的平均，它与数据的排列顺序有关．

此外，还有去尾平均(去掉一个最高和一个最低的，然后平均)、总和等，也能反映总体水平．

(3)反映样本(数据)偏差或波动大小的标志值有两个：

(ii)标准差：一组数据方差的平方根：

标准差有两个优点，一是其度量单位与原数据一致；二是缓解S2过大或过小的现象．方差也可用代换式简化计算：

(4)反映数据分布规律的是频率分布和它的直方图，一般步骤是：

(i)计算极差=最大数-最小数；

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(iii)决定分点(可用比数据多一位小数的办法)；

(v)画频率分布直方图．

其中，分布表比较确切，直方图比较直观．

说明：此例很“大”，但是必要的，因为，当前大多数的中考题，很重视基本内容的表述，通过“填空”和“选择”加以考查，我们要予以扎实．而更为重要的，这些概念和方法，正是通过偶然认识必然，通过无序把握有序，通过部分估计整体的统计思想在数学中的实现．

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第三篇：高等数学经典方法与典型例题归纳

2014年山东省普通高等教育专升本考试

2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义

高职高专类

高等数学

经典方法及典型例题归纳

—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程

2013年5月17日星期五

曲天尧

编写

一、求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

x41例1：求极限lim

x1x1【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。

(x1)(x1)(x21)lim(x1)(x21)6=4 【解】limx1x1x12．分子分母同除求极限

x3x2例2：求极限lim

x3x31【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。11x3x21x【解】lim limx3x31x313x3【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；

0nn1axan1xa0

(2)limnmm1xbxbb0amm1xnbnmnmn mn3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限lim(x3x2x21)

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】lim(x3x2x1)lim2(x23x21)(x23x21)x3x122x

lim2x3x122x0

例4：求极限limx01tanx1sinx 3x2 【解】limx01tanx1sinxtanxsinx limx03x3x1tanx1sinx1limlimx0tanxsinx1tanxsinx1lim 33x0x024xx1tanx1sinx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 ．．．．．．．．．．．4．应用两个重要极限求极限

sinx111和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，两个重要极限是lim第一个x0xnx0xxn重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

x1x1例5：求极限lim

xx1【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑1，最后凑指数部分。X2x11xx22122x12lim1lim11e【解】lim x1xx1xxx1x121x2a例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。

xxxxaxx5．用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

1x)~e1, 当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1cosx~12bx,1ax1~abx； 2x(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。．．．．．xln(1x)

x01cosxxln(1x)xx【解】 limlim2.x01cosxx012x2sinxx例8：求极限lim

x0tan3x例7：求极限lim

21sinxxsinxxcosx112x【解】lim limlimlim322x0tan3xx0x0x06x3x3x6．用洛必达法则求极限

lncos2xln(1sin2x)例9：求极限lim 2x0x0或型的极限,可通过罗必塔法则来求。02sin2xsin2x2lncos2xln(1sin2x)cos2x1sinx 【解】limlim2x0x0x2x【说明】limsin2x213 2x02xcos2x1sinx【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解

例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限limx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dt.【解】 由于x0f(xt)dtxtu0xf(u)(du)f(u)du,于是

0xx00xlimx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dtxlimx0xf(t)dttf(t)dtxf(u)du0x

=limx00f(t)dtxf(x)xf(x)x=limx0x0x0f(t)dt

0f(u)duxf(x)xf(u)duxf(x)=limx00f(t)dtxxf(x)=x0f(u)duf(0)1.f(0)f(0)27．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限

例11：极限lim[1ln(1x)]

x02x2ln[1ln(1x)]x2x【解】 lim[1ln(1x)]=limex0x0=e4

2ln[1ln(1x)]x0xlime2ln(1x)x0xlime2.【注】对于1型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式

limf(x)g(x)(1)=elim(f(x)1)g(x)

因为

limf(x)g(x)elimg(x)ln(f(x))elimg(x)ln(1f(x)1)elim(f(x)1)g(x)

1例12：求极限lim3x0x2cosxx1.32cosxxln3【解1】 原式limx0ex32cosxln13 limx0x21（sinx）l（n2cox）sln32coxs

lim lim2x0x0x2x11sixn1

lim2x02coxsx6e2cosxxln3【解2】 原式limx0x32cosxln13 lim2x0xln（1

limx0cosx1）cosx113lim x03x26x28．利用Taylor公式求极限

axax2,(a0).例13 求极限 lim2x0xx221xlnalna(x2)，2【解】 aexxlna

axx221xlnalna(x2);

2x

aax2x2ln2a(x2).5 axax2x2ln2a(x2)2limlna.

lim22x0x0xx例14 求极限limx0【解】 limx011(cotx).xx111sinxxcosx(cotx)lim x0xxxxsinxx3x23x(x)x[1(x2)]3!2!lim 3x0x113)x(x3)1lim2!3!3x0x3.(9．数列极限转化成函数极限求解

例15：极限limnsinn1 nn2【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

1【解】考虑辅助极限limxsinxxx2limex1x2xsin1xlimey011siny12yye

161所以，limnsinnnn2e

1610．n项和数列极限问题

n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.111例16：极限lim22nn222n2n2n1 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f(x)看成［0,1］定积分。6 11limfnnn2fn1nff(x)dx 0n1111【解】原式＝lim222nn12n111nnn 10121 dxln22211x 1111例17：极限lim2nn22n2nn1【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成lim因而用两边夹法则求解；

11fnnn2fnn的形式，fn

(2)两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】lim1112nn22n2nn1 因为 nnn2n1n121n2nn1221nn2nn12

又

limnnn2limn1

＝１ 111所以 lim2nn22n2nn111．单调有界数列的极限问题

例18：设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n1,2,)（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n1xn1xn2（Ⅱ）计算lim.nxn

【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.7 【详解】

（Ⅰ）因为0x1，则0x2sinx11.可推得 0xn1sinxn1,n1,2,，则数列xn有界.于是 xn1sinxnsinxx）（因当x0时，则有xn1xn，可见数列xn单1，xnxnn调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.设limxnl，在xn1sinxn两边令n，得 lsinl，解得l0，即limxn0.nn11x（Ⅱ）因 limn1nxn122xnsinxnxn2，由（Ⅰ）知该极限为1型，limnxn11sinx12xxsinxx21xlimsinxelimx0xx01limex0x3e

(使用了洛必达法则)

16x故 limn1nxn2xn1sinxnxn2lime6.nxn1

二、常见不定积分的求解方法的讨论

0.引言

不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如

1sinx2xdxdxedx221ksinx（其中0k1）x；；；lnx等。dx这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。

1.不定积分的概念

定义：在某区间I上的函数的全体原函数记为

称它是函数

f(x)，若存在原函数，则称f(x)为可积函数，并将f(x)f(x)dx，为积分符号，ff(x)在区间I内的不定积分，其中(x)称为被积函数，x称为积分变量。

若F(x)为f(x)的原函数，则：

f(x)dx=F(x)+C(C为积分常数)。

在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：

d(f(x)dx)和 dxf(x)dx

是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。性质：

1.微分运算与积分运算时互逆的。

注：积分和微分连在一起运算时：

d——————>完全抵消。

d ——————>抵消后差一常数。

[f(x)g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx。2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：

kf(x)dx=kf(x)dx(k≠0)。

在这里，给出两个重要定理：

(1)导数为0的函数是常函数。

(2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。

上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。

2.直接积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法)。

下面先给出基本求导公式：

1()'x(1)(kx)'k

(2)x(3)(5)

11(lnx)'

(4)(arctanx)'1x2 x11(arcsinx)'(x)'(6)logaxlna1x

(7)(9)(11)(ex)'ex

(8)(sinx)'cosx

(cosx)'sinx

(10)(tanx)'sec2x

(cotx)'csc2x。

根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表：

10(1)xdxkdxkxC(k是常数)

(2)x11C(1)

(3)

1dxxlnxC

(4)1x2dxarctanxC

1(5)1x2xdxarcsinxC

(6)

axadxlnaC

x(7)xdxeC

(8)cosxdxsinxC

e2sinxdxcosxC

(10)secxdxtanxC

2cscxdxcotxC。(9)

(11)下面举例子加以说明：

2(3x4x1)dx 例2.1：

求解

原式=

=

23xdx4xdxdx

3x2dx4xdxdx

32xx3()4(C2)(xC3)C

1=

=32x2xxC

注意：这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数。所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。

例2.2：

求xdx 2x12dx(x21)1dx=dx2解

原式= 2x1x1

=xarctanxC

注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1减1”法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体 11 讲解。

直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。

3.第一类换元法(凑微法)利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如

sinxcosxdx

2就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。

如果不定积分

作变量代换uf(x)dx用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为

f(x)g[(x)](x)，(x)，并注意到(x)dxd(x)，则可将关于变量x的积分转化为关于u的积分，于是有

f(x)dxg[(x)](x)dxg(u)du.如果g(u)du可以求出，不定积分f(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类

(x)u，最后一个等号表示回代换元法(凑微分法)。

注：上述公式中，第一个等号表示换元u(x).下面具体举例题加以讨论

10dx.(2x1)例3.1：求110(2x1)dx(2x1)解

原式=2110d(2x1)(2x1)

=2

1101u111duC(2x1)C 2x1u u u2x1

22221111对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程。

1d(x).例3.2：求2x8x25解

原式111d(x)d(x)222x43(x4)9()1131x4d()23x4()13

1x4arctanC 33 dx例3.3：求1x211111()解

 21x(1x)(1x)21x1x11d(1x)d(1x)[]

21x21x1x

1[ln1xln1x]C 2

11xlnC 21x3

dx在这里做一个小结，当遇到形如：ax2bxc的不定积分，可分为以下中情况：

ax2bxc的：

①大于0时。可将原式化为(xx1)(xx2)，2a其中，x、x为xbxc0的两个解，则原不定积分为： 113 dx1d(xx1)d(xx2)(xx1)(xx2)(x2x1)[(xx1)(xx2)]

1xx1lnC

(x2x1)xx2

②等于0时。可利用完全平方公式，然后可化成(xk)2d(xk)。然后根据小于0时。形如例4，可先给分母进行配方。然后可根据基本积分公式(4)便可求基本微分公式(2)便可求解。

③解。例3.4： 求secxdx

dxcosxdxdsinx1sin2x 2cosxcosx解

原式

dsinx(1sinx)(1sinx)

1dsinxdsinx[]

2(1sinx)(1sinx)

11sinxlnC 21sinx2

该题也可利用三角函数之间的关系求解：

xsecxtanxsecdx

原式secxtanx

1d(secxtanx)secxtanx

lnsecxtanxC.虽然两种解法的结果不同，但经验证均为secx的原函数，这也就体现了不定积分的2xdx.cos例3.5：求解法以及结果的不唯一性。

解

1cos2x1cosxdx2dx2(dxcos2xdx)2

11dxcos2xd(2x)24xsin2xC 24例3.6：求6secxdx.6解

22xdxsecsec(secx)xdx(1tan2x)d(tanx)

24(12tanxtanx)d(tanx)

2315tanxtanxtanxC

35注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑微，剩余的偶次用半角公式降幂后再计算。

xdx.100例3.7：求(x1)x11dx解

原式(x1)100 22x11[]dx

99100

(x1)(x1)x121[]dx

99100

(x1)(x1)121[]d(x1)9898100(x1)(x1)(x1)15 1119798(x1)(x1)(x1)99C 974999注：这里也就是类似例2所说的方法，此处是“减1加1”法。

4.第二类换元法

如果不定积分替换f(x)dx用直接积分法或第一类换元法不易求得，但作适当的变量x(t)后，所得到的关于新积分变量t的不定积分

f[(t)](t)dt

可以求得，则可解决设函数f(x)dx的计算问题，这就是所谓的第二类换元(积分)法。

x(t)是单调、可导函数，且(t)0，又设f[(t)](t)具有原F(t)，则

f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)CF[(x)]C，其中(x)是x(t)的反函数。

注：由此可见，第二类换元积分法的换元与回代过程与第一类换元积分法的正好相反。例4.1：求不定积分

22axdx(a0).解

令2xasint，则dxacostdt，t(2,2)，所以

22a(1cos2t)dt 2221aa(tsin2t)C(tsintcots)C

222为将变量t还原回原来的积分变量x，由xasint作直角三角形，可知axdxacostacostdtcost22ax，代入上式，得 a

xxa22arcsinC axdxax2a22216

2a t 22ax x 注：对本题，若令xacost，同样可计算。

例4.2：求不定积分

1xa22dx(a0).2xatantdxatt(2,2)，所以 解

令，则sectd，12dxatdtsectdt sec22asectxa lnsecttantC1

22lnxxaC

例4.3：求不定积分

122xadx(a0).解

令xasect，则dxasecttantdt，t(0,2)，所以

1asecttantdxdtsectdt 22atantxa

lnsecttantC1

22lnxC xa

注：以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下：若果被积函数中含有函数中含有

22ax时，可令xasint，t(2,2)；如果被积22xa，可令xatant，t(2,2)；如果被积函数中含有22xa；可令xasect，t(0,2).dx例4.4：求不定积分xxeex

dtdx解

令te(t0)，则xlnt，所以，t。

dxexex

11tdtdt

211tttarctatnC

xarctaC.en

例4.5：求不定积分

xdx23x2.解

1dx22223x23x2xdx(变形).222t222tdt 令t23x(t0)， x.dx3311112223dt(tdt)xC 原式32t33关于第二类换元法，就举些例子说明，具体要多做大量的习题，这样才能找到该怎么样换元的感觉，才能更好的掌握这种方法。

5.分部积分法

前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分，如xxedx、xcosxdx等，利用换元法就无法求解.接下来要介绍另一种基本积分法——分部积分法.设函数uu(x)和vv(x)具有连续导数，则d(uv)vduudv移项得到udvd(uv)vdu，所以有

udvuvvdu，或

uvdxuvuvd.上面两个式子称为分部积分公式.利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分

f(x)dx化成udv的形式，使它更容易计算.所采用的主要方法就是凑微分法，例如，xxxxxxexdxxxdxdxxC(x1)Ceeeeee

利用分部积分法计算不定积分，选择好u,v非常关键，选择不当将会使积分的计算变得更加复杂。下面将通过例题介绍分部积分法的应用。

例5.1：求不定积分解

令

xcosxdx.ux，cosxdxdsinxdv，则

xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxC

有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法。

例5.2：求不定积分

x2edx.xx2dvu解

令edx，则 x和

xxxd2xdxeedx.xe2x对后面的不定积分再用分部积分法，xxxxxdxC xdxeeee(运算熟练后，式子中不再指出u和v了)，代入前式即得

2xdx(2x2)C.xexe2x注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积，可设幂函数为u，而将其余部分凑微分进入微分符号，使得应用分部积分公式后，幂函数的幂次降低一次(幂指相碰幂为u)。

例5.3：求不定积分

xarctan2xdx2.xxdxdn，解

令uarctax2,则

2xarctanxdx

xarctanxxd(arctanx)22211xarctanx(1)dx

2221x21xarctaxn(xarctax)nC

2注：若被积函数是幂指函数与对数函数或反三角函数的乘积,可设对数函数或反三角函数为u，而将幂函数凑微分进入微分号，使得应用分部积分公式后，对数函数或反三角函数消失(幂对角(反三角函数)，对角u).xsinxdx.e例5.4：求不定积分xsinxdxsinxde(取三角函数为u)ex解

exsinxexd(sinx)exsinxexcosxdx

exsinxcosxdex(再取三角函数为u)exsinx(excosxexdcosx)ex(sinxcosx)exsinxdx

x

解得

exesinxdx2(sinxcosx)C

注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积时，u,dv可随意选取，但在两次分部积分中，必须选用同类型的u，以便经过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积分 20(指正余，随意选).下面将分部积分法关于u,dv的选择总结成一个表，以便于更好学习，如下：

分类 I

II

III 不定积分类型 u和的选择

p(x)sinxdx

nupn(x),sinx

upn(x),cosx p(x)cosxdx

n

xp(x)edx n

upn(x),ex

p(x)lnxdx

nulnx,pn(x)uarcsinx,pn(x)p(x)arcsinxdx

np(x)arccosxdx

nuarccosx,pn(x)

uarctanx,pn(x)p(x)arctannxdx

xesinxdx xecosxdx

usinx,ex或uex,sinx ucosx,ex或uex,cosx

6.结论

上面所介绍的都是常见不定积分的求解方法，根据不同的题的特点采取上述不同的方法，好多题要经过适当变形后才能应用上述方法，有的题经过不同的变形，应用不同的方法，计算结果就会不同。因此，不定积分的计算灵活性很强，必须熟练掌握上述方法，而这就与做大量的练习是密不可分了，题做得多了，自己也就会积累更多的经验，这样解起题来才能得心应手，才能熟练自如的应用，而且，定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的各种问题也能迎刃而解。

曲天尧

2013年5月17日于济南

山东财经大学（燕山校区）

第四篇：应用统计典型例题

关于矩估计与极大似然估计的典型例题 例1，设总体X 具有分布律

231X~22(1)(1)2

其中01为未知参数。已经取得了样本值x11,x22,x31，试求参数的矩估计与极大似然估计。

解：（i）求矩估计量，列矩方程（只有一个未知参数）

E(X)222(1)3(1)232X 433X3x53 得 矩2226（ii）求极大似然估计，写出似然函数，即样本出现的概率

L()P(X1x1,X2x2,X3x3)

P(X11,X22,X31)

P(X11)P(X22)P(X31)22(1)225(1)

对数似然

lnL()ln25lnln(1)

dlnL()510 d1得极大似然估计为

5ˆ极 6

例2，某种电子元件的寿命（以

h记）X服从双参数指数分布，其概率密度为

1exp[(x)/],xf(x)

0,其他其中，0均为未知参数，自一批这种零件中随机抽取n件进行寿命试验，xx,,xn.设它们的失效时间分别为1,2（1）求（2）求，的最大似然估计量； ，的矩估计量。

n解：（1）似然函数，记样本的联合概率密度为

L(，)f(x1,x2,,xn;，)f(xi)

i1n1exp[(xi)/],x1,x2,,xni1 0,其他n1nexp((xin)/),x(1)i1 0,x(1)在求极大似然估计时，L(，)0肯定不是最大值的似然函数值，不考

n虑这部分，只考虑另一部分。

取另一部分的对数似然函数

lnL(,)nln(xin)/,x(1)

i1

nxinlnL(,)ni102 lnL(,)n0可知关于，的驻点不存在，但能判定单调性

lnL(,)n0知 由lnL(,)nln(xin)/,x(1)，i1n关于是增函数，故

ˆ极x(1)lnL(,)n将之代入到xnii1n20中得

ˆ极xx(1)

ˆˆx则极(1)，极xx(1)一定能使得似然函数达到最大，故，的极大似然估计为

ˆ极xx(1) ˆx极(1)

（2）列矩方程组（两个未知参数）

1E(X)xexp[(x)/]dxXn2112222E(X)xexp[(x)/]dx()Xini1解出

n12ˆ(XX)矩ini11nˆ2X(XX)i矩ni1 例3，设总体X~U[0,]，其中0为未知参数，X1,X2,,Xn为来自总体X的一组简单随机样本，12大似然估计。

解：似然函数，即样本的联合概率密度

nx,x,,xn为样本观察值，求未知参数的极

1n,0x1,x2,,xnL()f(x1,x2,,xn;)f(xi) i10,elseL()0肯定不是最大值，考虑另一部分的最大值，取对数似然

lnL()nln,x(n)

dlnL()n0 d知lnL()nln在x(n)内是单调递减的，故的极大似然估计值为

取x(n)能使得似然函数达到最大，则ˆx，极大似然估计量为ˆX (n)(n)极极

第五篇：比热容 典型例题解析

比热容

典型例题解析

【例1】下列说法正确的是

[

] A．质量相同的水和煤油，吸收相同的热量后，煤油温度升高的比水大

B．一杯水倒出一半后其质量减小为原来的小为原来的1212，则其比热容也减

C．质量相同，温度相同，吸收热量多的物质比热容大 D．比热容大的物质吸收的热量一定多

解析：根据比热容是物质的一种性质，与物质的种类、物态有关，而与质量、体积、温度的变化及吸收或放出热量的多少无关，所以选项B和C都不对．又根据比热的物理意义可知，在质量相同、温度升高的度数相同时，比热容大的物质吸收的热量较多，而D选项中缺少条件，所以D不正确．由于水的比热大于煤油的比热容，根据上面分析可知A正确．

【例2】冬天，暖气系统中往往用热水慢慢地流过散热器，利用水温度降低时放出的热来取暖，其中选用热水而不选用其他液体的主要原因是

[

] A．水比其他液体流动性大 B．水比其他液体价格便宜 C．水比其他液体的比热容大

D．水比其他液体来源广、无污染

解析：水的比热容是比较大的，其他液体的比热容都比水的比热容小．如果水的质量和其他液体质量相同，温度变化相同时，比热容较大的水放出的热量多，取暖效果好．

【例3】0℃的水全部凝固成0℃的冰，则

[

] A．冰的热量少

B．0℃的冰比0℃的水温度低 C．水的热量少

D．冰的比热容比水小

点拨：一般在物质发生物态变化时，由于物质的内部结构发生了改变，物质的比热容特性、密度特性也会相应地变化．

参考答案：D 【例4】在夏日阳光照射下，游泳池中的水较清凉，而池边的水泥地却被晒得烫人，其中一个重要原因是

[

] A．水泥地比较大 B．水的比热容较大 C．水的比热容较小 D．水泥地的热量多

点拨：水的比热容较大，质量初温相同的水和水泥地面在吸收相同的热量后，水的温度升高较小．

参考答案：B

跟踪反馈

1．关于比热容，下列说法正确的是

A．物质的比热容跟它吸收的热量有关 B．物质的比热容跟湿度有关

C．物质的比热容跟它放出的热量有关 D．物质的比热容是物质本身的一种特性

2．沙漠地区为什么会有“早穿皮袄午披纱”的奇特现象．参考答案

1．D 2．沙石的比热容小

[

]