应用统计典型例题

第一篇：应用统计典型例题

关于矩估计与极大似然估计的典型例题 例1，设总体X 具有分布律

231X~22(1)(1)2

其中01为未知参数。已经取得了样本值x11,x22,x31，试求参数的矩估计与极大似然估计。

解：（i）求矩估计量，列矩方程（只有一个未知参数）

E(X)222(1)3(1)232X 433X3x53 得 矩2226（ii）求极大似然估计，写出似然函数，即样本出现的概率

L()P(X1x1,X2x2,X3x3)

P(X11,X22,X31)

P(X11)P(X22)P(X31)22(1)225(1)

对数似然

lnL()ln25lnln(1)

dlnL()510 d1得极大似然估计为

5ˆ极 6

例2，某种电子元件的寿命（以

h记）X服从双参数指数分布，其概率密度为

1exp[(x)/],xf(x)

0,其他其中，0均为未知参数，自一批这种零件中随机抽取n件进行寿命试验，xx,,xn.设它们的失效时间分别为1,2（1）求（2）求，的最大似然估计量； ，的矩估计量。

n解：（1）似然函数，记样本的联合概率密度为

L(，)f(x1,x2,,xn;，)f(xi)

i1n1exp[(xi)/],x1,x2,,xni1 0,其他n1nexp((xin)/),x(1)i1 0,x(1)在求极大似然估计时，L(，)0肯定不是最大值的似然函数值，不考

n虑这部分，只考虑另一部分。

取另一部分的对数似然函数

lnL(,)nln(xin)/,x(1)

i1

nxinlnL(,)ni102 lnL(,)n0可知关于，的驻点不存在，但能判定单调性

lnL(,)n0知 由lnL(,)nln(xin)/,x(1)，i1n关于是增函数，故

ˆ极x(1)lnL(,)n将之代入到xnii1n20中得

ˆ极xx(1)

ˆˆx则极(1)，极xx(1)一定能使得似然函数达到最大，故，的极大似然估计为

ˆ极xx(1) ˆx极(1)

（2）列矩方程组（两个未知参数）

1E(X)xexp[(x)/]dxXn2112222E(X)xexp[(x)/]dx()Xini1解出

n12ˆ(XX)矩ini11nˆ2X(XX)i矩ni1 例3，设总体X~U[0,]，其中0为未知参数，X1,X2,,Xn为来自总体X的一组简单随机样本，12大似然估计。

解：似然函数，即样本的联合概率密度

nx,x,,xn为样本观察值，求未知参数的极

1n,0x1,x2,,xnL()f(x1,x2,,xn;)f(xi) i10,elseL()0肯定不是最大值，考虑另一部分的最大值，取对数似然

lnL()nln,x(n)

dlnL()n0 d知lnL()nln在x(n)内是单调递减的，故的极大似然估计值为

取x(n)能使得似然函数达到最大，则ˆx，极大似然估计量为ˆX (n)(n)极极

第二篇：匀变速直线运动规律典型例题应用

匀变速直线运动规律典型例题应用

1．匀变速直线运动中，加速度a、初速度VO、末速度Vt、时间t、位移x之间关

系正确的是()

A．xv0t12atB．x=V0t2

C．x1

2atD．x=（V0+Vt）t/2

222．汽车在平直的公路上以20m／s的速度行驶，当汽车以5m／s的加速度刹车时，刹车2s内与刹车6S内的位移之比为()

A．1：lB．3：4C．3：lD．4：3

3．一个作匀加速直线运动的物体，其位移和时间的关系是s=18t-6t2，则它的速度为零的时刻为()

A．1．5sB．3sC．6sD．18s

4．初速度为零的匀变速直线运动，第一秒、第二秒、第三秒的位移之比为()

A．1：2：3B．1：2：4C．1：3：5D．1：4：9

5．以下叙述正确的是（）

A．匀加速直线运动中，加速度一定与速度同向

B．匀减速直线运动中，加速度一定与速度反向

C．匀加速直线运动的加速度一定大于匀减速直线运动加速度

D．-5m/s2一定大于+3 m/s2

6．由静止开始作匀变速直线运动的物体，笫4s内平均速度为14m/s，则它 在第3s内的位移是_________m，第4s末的速度是_______m/s，它通过第三个2m所需时间为__________s。

7．某飞机的起飞速度是60m/s，在跑道上可能产生的最大加速度为4 m/s2，该飞机从静止到起飞成功需要跑道的最小长度为___________。

8．某市规定：卡车在市区内行驶速度不得超过40km／h，一次一辆市区路面紧急刹车后，经1．5s停止，量得刹车痕迹S=9m，问这车是否违章行驶?

9．一辆汽车，以36km／h的速度匀速行驶lOs，然后以lm／s2的加速度匀加速行驶10s，汽车在这20s内的位移是多大?平均速度是多大?汽车在加速的10s内平均速度是多大?

10．做匀加速直线运动的物体，速度从v增加到2v时通过的距离是30m，则当速度从3v增加到4v时，求物体通过的距离是多大?

第三篇：典型例题

【典型例题】She had a great ___ for the town where she grew up.A.affection

B.affectation

C.infection

D.affectionate 【试题详解】答案 A 她热爱她长大的那座小镇 have an affection for 对„„有感情

affectation n.矫揉造作 infection n.传染，感染 affectionate adj.深情的

【常用短语】have an affection for sbsth 【词汇补充】affect v.喜爱 affectionate adj.深爱的

【典型例题】How to talk to Martin is rather an____ question.A.advanced

B.absolute

C.accurate

D.academic 【试题详解】答案 D 如何让与火星人交谈是一个学术性很强的问题。academic question 学术问题;advanced 高级的accurate 准确的 absolute 绝对的

【词汇补充】academicals 博士服，硕士服 academic year 学年 academician 院士 academy 私立中学 academicism 墨守成规

【典型例题】When you __ big , believe big , and pray big , big things happen!A.affirm

B.know C.agree

D.ensure 【试题详解】答案是A。句意：当你确认伟大，相信你伟大，起到伟大，伟大的事情就会发生！

affirm肯定，断言；know知道；agree同意；ensure保证，确保。

【典型考题】

The _____ of the past week had left her exhausted.A anxieties

B concerns

C expectations

D anticipation 解析：由同意词辨析可知此题答案选 A 意为过去一个星期的担忧使她筋疲力尽。

【典型考题】: Now,let us come to item No.5 on the __.A.plan

B.program

C.agenda

D.project 解析：答案是C。句意：现在让我们讨论议事日程上的第五项。

agenda待议诸事一览表；program（行动）计划；project工程，项目；plan计划。

【典型考题】

Age affects the range of a person’s ______ A capacities B capabilities

C capacious D capable 解析：答案选B 此题考查易错词辨析。句意为年龄影响一个人能力的大小。Capacity 表示

容量容积明显不符合题意。后两个答案分别为他们的形容词形式。【典型考题】

He’s had no end of bad luck but he just seems to ______ every time.A.bounce back

B.recover

C.reverse

D.come to 解析：答案选A 句意：他总是遇到不如意的事，但是好像每次都能恢复过来。bounce back 指失意后恢复过来。【典型考题】

Everyone is encouraged to ____ food and clothing for the refugees.A attribute

B contribute

C stimulate

D distribute 解析：答案为B ,此题考查对形近词的区分。句意：鼓励每个人为难民捐助食品和衣物。contribute 表示“捐赠，出钱（力）”，因为本题是鼓励每个人，所以不可能是“分发”食品和衣物，只会是“捐赠”

【Derivative】

contributor n.捐助者，投稿者 ； contribution n.贡献，捐献物

contributive adj.有助的，促成的 ；contributory adj.促成的，捐助性的。【典型考题】

Everyone is encouraged to ____ food and clothing for the refugees.A attribute

B contribute

C stimulate

D distribute 解析：答案为B ,此题考查对形近词的区分。句意：鼓励每个人为难民捐助食品和衣物。contribute 表示“捐赠，出钱（力）”，因为本题是鼓励每个人，所以不可能是“分发”食品和衣物，只会是“捐赠”

Counsel// noun, verb  Noun 1.(formal)advice, especially given by older people or experts;a peiece of advice(尤指老年人或专家的)劝告，忠告，建议：Listen to the counsel of your elders.2 a lawyer or group of lawyers representing sb in a court of law 律师：the counsel for the defence/prosecution. Verb 1 to listen to and give support or professional advice to sb who needs help.为某人提供帮助：Therapists were brought in to counsel the bereaved.2 to advise sb to do sth 建议，劝告（做某事）Most experts counsel caution in such cases.【Common phrases】

a counsel of despair 知难而退的建议

； a counsel of perfection 听上去完美却难以实行的建议

； keep your own counsel 保留自己的意见。【Derivative】

counseling noun 咨询，辅导

； counselor noun 顾问，辅导顾问 【易错词】

Council;noun a group of people who are elected to govern an area such as a city or county.【典型考题】

The court then heard_____ for the dead woman’s father.A council

B councilor

C counsel

D counselor 解析：答案选C，句意为：法庭接着听取了已死女人的父亲所请律师的陈述。A项意为委员会 此题考查形近词。[典型考题]

That is Taoist pragmatistic ___and positivist___.a.crisp b.crisis c.crises d.criminate [试题分析] 答案为b.[详细解答] 这主要表现为道教的“实用主义危机”和“实证主义危机.a.crisp是钞票；c.crises是危险;d.criminate是指控，谴责的意思，均与原文不符。[典型考题]

I want an appointment for a___time and place.a.definitive b.definitely c.definite d.distinct [试题分析] 答案为c [详细解答] 句意：我要有确切的时间和地点的约会。表示“明确的，不可能引起误解的”；显然约会的时间和地点是不能含糊的，应该明确无误的。[典型考题] Believe in each child is own----potentiality.a.developmental b.experimental c.formative d.development [试题分析] 答案为a.[详细解答] 句意为 相信每一个儿童都有发展的潜能。b.experimental多用于表达实验(性)的, 试验(性)的；而c.formative是(影响)形成〔构成, 发展〕的，但developmental更贴近句意；d.development为名词，词性不符。

[典型考题]。

He could not give a ____explanation of his intention.A.distinct B.Obvious C.clear D.plain [试题分析] 答案为 A.[试题分析] 本题考查近义词的辨析问题。他不能清楚明白地解释他的意图。Distinct指人表达思想，概念清楚明白；指容易感受到或看到。本题的宾语是“解释他的意图”。Obvious指事物一目了然，含无可置疑之意。Clear范围较广，指事物清楚明白；plain注重作品等显而易见的，浅显易懂的。

[典型考题]：

I was most ____to hear the sad news for your father death.a.distressed b.distressing c.distressful d.distress [试题分析] 分析：答案为a.[试题详解] distressed我听到你父亲去世的消息，十分难过。Distressed使某人感动痛苦，难过。多用于修饰人。而b.distressing以形容事情令人痛苦为主；c.distressful与b.distressing 的用法相

同，多用于修饰事件；d.distress是动词，此处应为形容词，词性不符。

[典型考题] In most universities, males and females live in the same____.a.room b.flat c.chamber d.dorm [试题分析]

分析：答案为d.[试题详解] 在大部分高校，男生和女生住在相同的宿舍里。room指房间，显然与原句不合逻辑；flat强调一套房间，公寓套房；c.chamber是指会议厅，会所。所以只有d.dorm最符合原文。而且学生公寓一般均用dorm表示。典型考题That old professor is a walking____.A.book

B.encyclopedia C.novel

D.fiction 试题分析本题为词义辨析题。考查名词的辨义。

详细解答典型考题答案B。句意：那位老教授是一个活百科。book n.书本，书籍；encyclopedia n.百科全书；novel n.长篇故事，小说；fiction n.虚构的文学作品，小说。典型考题 His____ are limited, and scarcely fit him for his post.A.endorsement

B.engagement C.endowment

D.enlargement 试题分析本题是形近词辨析题。详细解答典型考题答案C。句意：他的天资很有限，不太适合担任这项职务。endorsement n.1.(公开的)赞同，支持，认可,2.(通常为名人在广告中为某一产品的)宣传，吹嘘；engagement n.预约，约会，订婚：enlargement n.扩大物（尤指照片），扩大，增大;endowment n.天资，天赋。典型考题 Is it____ to promote cigarettes through advertising? A.ethereal

B.ethnic C.ether

D.ethical 试题分析本题是形近词辨析题。

详细解答典型考题答案D。句意：通过广告推销香烟合乎道德吗？ethereal adj.轻飘的，灵气的；ethnic adj.种族的，民族的；ether n.乙醚，太空；ethical adj.合乎道德的典型考题Students of social problems investigate the home, social and moral_____(s)of different classes of people.A.surroundings

B.conditions C.environment

C.situation 试题分析本题为词义辨析题。考查名词的辨义。详细解答典型考题答案C。句意：研究社会问题的学者调查各阶层人民的家庭，社会和精神方面的生活环境。surrounding 多指 地理环境；condition 意为“情况，条件”；situation 指“情况，状况”；environment指“环境”。

典型考题The teacher____ the performance of each student.A.evacuated

B.evaluated

C.equated

D.evoked 试题分析本题是词义辨析题。详细解答典型考题答案B。句意：老师对每个学生的成绩进行评估。evacuate vt.撤退，疏散；equate vt.同等看待，使相等,与equal是同根；evoke vt.唤起，激起；evaluate vt.对某物进行评价，评估。

[典型考题]They complained about the ＿＿noise coming from the upstairs flat.A、overladen B、immoderate C、inordinate D、excessive ［试题分析］近义词辨析 答案为D ［详细解答］句意为他们抱怨楼上发出的噪音太大。A意为装货过多的;(房间)装饰[摆设]过多的;(工作)负担过多的。B意为无节制的,极端的C意为紊乱的;放肆的，无限制的, 无节制的D excessive noise 表示噪音的音量很大

［词形变换］exceed v.超过 excess n.超过，超越，过量，过度 excessively adv.极端地，过分地

［典型考题］America has suffered the ＿＿crisis.A、economic

B、economical C、financial

D、monetary ［试题分析］近义词辨析 答案为C ［详细解答］固定搭配 financial crisis 金融危机。A意为经济的, 经济学的

合算的, 有经济效益的B意为节约的, 节俭的, 经济的 D意为货币的;通货的;钱的;金融的;财政的

［词形变换］finances n、财力、财源、基金；finance n、财政、金融；financer n、财政家、金融家；financially adv、在财政上、在经济上

【典型例题】It's the music to ____ the dramatic effect.A.enhance

B.heighten

C.intensify

D.aggravate 【试题详解】答案 B

那是用于提高戏剧效果的配乐。

区别 enhanceheightenintensifyaggravate 这些动词均有“加强，增强”之意： enhance：侧重指增加价值，魅力或声望等使人或物具有超科寻常的吸引力。

heighten：通常指使某物的某种性质变得不同一般的显著或突出。intensify：指深化或强化某事或某物，尤指其特别之处。aggravate：指加剧令人不快或困难的形势。

【典型例题】She had no ___ about making her opinions known.A.fear

B.afraid

C.interest

D.inhibition 【试题详解】答案 D 她敢于公开地谈论自己的想法。

fear “害怕” 常用搭配“fear of for sth”

afraid “恐惧的” 常用搭配 “be afraid of sth” interest “兴趣”

常用搭配 “interest inon sth”

【词形变换】inhibit v.阻止；使拘束

inhibited adj.拘谨的 【典型考题】 He has ___his mother’s patience.A.inhabited

B.inhibited

C.inhered

D.inherited 【试题详解】答案 D 这种耐心是母亲遗传给他的。

inhabit v.居住

inhibit v.阻止；抑制

inhere v.存在于„„中；归属于 inherit v.继承

【常用短语】 inherit(sth)from sb 【典型例题】Perfume____ with the skin’s natural chemicals.A.communicate

B.influence

C.affect

D.interact 【试题详解】答案 D 香水和皮肤的天然化学物质相互作用。communicate with sb “与某人沟通”

influence 仅指单方面的影响，对„„起作用 affect 同上“influence”

【典型例题】There was a serious incident ___ a group of youths.A.including

B.revolving

C.involving

D.evolving 【试题详解】答案C 有一起严重的事件涉及一群年轻人。include v.包含，包括 revolve v.旋转，转动

evolve v.发展，演变

【常用短语】involve(sb)in sthdoing sth

beget involed in sth beget involed with sb 【词形变换】involved adj.有关联的；复杂的；关系密切的1)【典型考题】

The cherk of the House prepares the ___ of the House.A

journal B diary C

record 答案：A 解析：下议院的书记整理了下议院的议事录。Journal 在这里的是议事程的意思，diary 是指日记，不仅记录所发生之事，还强调包括个人情感与想法。

【典型考题】

As he reached ___ Bandit became more difficult to live with.A mature B ripe

C maturity

D matured 答案：D

解析：然而到了成年之后，邦就变得特别难相处。Reach

maturity 表示长大成熟，为固定搭配，ripe通常表示作物和时机成熟。

【典型考题】He likes to show off his ___ physique.A.male

B.masculine

C.manly

D.man 答案：B

解析：句意：他喜欢显示他强健的男子本色。Masculine指在心理上或身体上具有男子特征，本句中形容词所修饰的名词是physique(体魄)，所以，masculine 符合题意。

【典型考题】She has a deep ____of strangers, so she never lkes to talk to them.A.mistrust

B.distrust

C.trust

D.untrustworth 答案：A

解析:她对陌生人猜忌及深，她也从不喜欢跟陌生人搭讪。根据句意。C选项不符合题意，D为形容词，所填选项必须为名词，予以排除。distrust 和 mistrust 都有猜忌的意思，但差别很小。distrust 更为通用，语气稍强，确信某人不诚实或不可信常用distrust.表示并不信任则大概用mistrust.这里只是表示她对陌生人不信任所以选A.【典型考题】Have you listened to ___ this morning ? A newsagent B newspaper C newsdom D newscast 答案：D 解析：newsagent 意为报刊经销人，newspaper 不符合题意，newsdom 代表报界，固选D 代表新闻。

[典型考题] He ____ through themist，trying to find the right path.A.pecked B.peered C.peeped D.peeled [试题分析] 本题考查形近词的辨析。pecked 啄；peered 仔细看；peeped 偷窥；peeled 削皮；可知正确答案为B

[典型考题] I ___his commment as a challenge.A． feeled B.observed C.perceived D.comprehend [试题分析] 本题考查近义词辨析。perceive 的意思是interpret sth in a certain way，与as 搭配。选C 【典型考题】He was born in a ___ family.A single parent B single-parent C single-parents D single-parental 答案：B 解析：single-parent 为固定搭配意为“单亲家庭的”。他出身在一个单亲家庭。所填词应属形容词性质，B符合题意。

parental 本身就是形容词，所以D选项不符合题意，予以排除。

[典型考题] Mr.Smith had an unusual ___, he was first an office clerk, then a sailor, and ended up as a school teacher.A.profession B.occupation C.position D.carrer

[试题分析] 本题考查近义词辨析。A,B指所从事的职业，C 是指所在职位，D指职业生涯。正确答案为D。

[典型试题]

The next edition of the book is ___ for publication in March.A.projected B.propelled C.professed D.protected [试题分析] 本题考查形近词辨析。project是计划、规划的意思。propel是推动、迫使的意思。C 项 公开表明的。protect 保护。

[典型考题]

Few people will admit being racially ___.A.pride B.proud C.prejudiced D.pessimistic [试题分析] 本题考查形近词辨析。A、B项的意思是骄傲的，自豪的；C项是有偏见的、有歧视的；D项的意思是悲观的。根据句意，很少有人愿意承认他们有种族歧视，正确答案为C。

第四篇：典型例题

典型例题

一、填空题

1.教育是社会主义现代化建设的基础，国家保障教育事业优先发展。全社会应当关心和支持教育事业的发展。全社会应当尊重教师。

2.新课程的三维目标是 知识与技能目标、过程与方法目标和情感态度与价值观目标。

二、单项选择题（下列所给的选项中，只有一个最符合题目要求）

1.《基础教育课程改革纲要（试行）》中指出，国家课程标准（A）

A.是教学和命题的依据B.包括教学重点和难点

C.是大多数学生都能达到的最高要求D.是根据专家的意见编制的2.人们常说：“教学有法，而无定法”。这反映了教师劳动具有（B）

A.示范性B.创造性C.间接性D.主体性

三、判断题（请判断下列各题的观点是否正确，正确的打“√”，错误的打“”。

1.学生评教是促进教师发展过程中惟一客观的评价方式。（×）

2.新课程目标取向及精神内核就是以学生的发展为本。（√）

四、简单题

1.中小学教师的职业道德规范主要涉及哪些方面？

答：爱国守法、爱岗敬业、关爱学生、教书育人、为人师表、终身学习。

2.《中华人民共和国未成年人保护法》规定学校应尊重未成年学生的哪些权利？

答：学校应当尊重未成年学生受教育的权利，关心、爱护学生，对品行有缺点、学习有困难的学生，应当耐心教育、帮助，不得歧视，不得违反法律和国家规定开除未成年学生。

五、案例分析题

学校规定初三学生必须在6点钟到校参加早自修，作为任课教师第二天与学生一起参与早自修的我在班级中也强调了一下，可是第二天仍有许多学生迟到，我看到这一情况，下令让迟到的学生在走廊罚站。到了第三天，再也没有一个学生迟到。还有一次，初三（2）班的一位男同学老是不肯做一周一次的时政作业，每次问他为什么，总都有原因，上次他说忘了，这次又说要点评的报纸没买，下次他会说作业本没带。这样几个星期下来，我光火了，不仅让他在办公室反思了一刻钟，写下保证书，还对他说，“下次再不交作业，甭来上课”，他这才有所收敛。

请从有关师德要求分析“我”的做法，并提出合理解决此类问题的建议。

答：本案主要反映了案例中的“我”以罚代教的教育方法，这明显违反了新时期我国教师职业道德内容中关于“对待学生”的相应规定，违反了不准以任何借口体罚或变相体罚学生，不准因学生违反纪律而加罚与违反纪律无关的任务等。

这位教师的做法在我们的身边也有可能出现。面对那些顽皮学生，有的教师可能无计可施。只得用“罚站”、“威胁”来对付他们，取得的效果看似有效，其实学生并非真正地接受，这不是真正的教育。虽然教师的出发点是好的，但这位教师的处理方法与《中小学教师职业道德规范》背道而驰。

教师对学生严格要求，要耐心教导，不讽刺、挖苦、歧视学生，不体罚或变相体罚学生，保护学生的合法权益。教师应该采用“说理”教育来对待那些顽皮学生，教师以朋友的身份心平气和地找那些学生谈心，尊重学生的人格，平等、公正地对待学生，多付出一点爱，多花时间在他们身上，当他们感受到老师在关心他们时，相信他们会改正缺点，努力做的更好。

第五篇：牛顿运动定律的简单应用典型例题

牛顿运动定律的简单应用典型例题

【例1】一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东的恒力F，历时1s；随即把此力改为向西，大小不变，历时1s；接着又把此力改为向东，大小不变．历时1s；如此反复，只改变力的方向，共历时1min，在此1min内 [ ] A．物体时而向东运动，时而向西运动，在1min末静止于初始位置之东 B．物体时而向东运动，时而向西运动，在1min末静止于初始位置 C．物体时而向东运动，时而向西运动，在1min末继续向东运动 D．物体一直向东运动，从不向西运动，在1min末静止于初始位置之东 【分析】物体在第1s内受恒力作用向东作匀加速运动．在第2s内，受力向西，加速度方向向西，但速度方向仍向东，物体作向东的匀减速运动．由于力的大小不变，前、后两秒内物体的加速度大小不变，仅方向相反，所以至第2s末，物体向东运动的速度恰减为零，且第2s内的位移与第1s内的位移相同． 以后，力的方向又改为向东、继而向西„„如此往复，物体则相应地向东作匀加速运动、继而向东作匀减速运动，„„在1min内物体一直向东运动，至1min末恰静止． 【答】 D．

【说明】 物体运动的加速度方向必与受力方向相同，但不一定与速度方向相同．若以向东方向为速度的正方向，物体运动的v-t图如图所示，物体依次作着加速度大小相等、加速度方向相反的匀加速运动、匀减速运动，„„直到停止．整个1min内v＞0，表示物体一直向东运动．

【例2】汽车空载时的质量是4×103kg，它能运载的最大质量是3×103kg．要使汽车在空载时加速前进需要牵引力是2.5×104N，那么满载时以同样加速度前进，需要的牵引力是多少？

【分析】由空载时车的质量和牵引力算出加速度，然后根据加速度和满载时的总质量，再由牛顿第二定律算出牵引力．

空载时，m1=4×103kg，F1=2.5×104N，由牛顿第二定律得加速度： 满载时，总质量为m1+m2=7×103kg，同理由牛顿第二定律得牵引力：

F2=（m1+m2）a=7×103×6.25N=4.375×104N

【说明】根据牛顿第二定律F = ma可知，当加速度a相同时，物体所受的合外力与其质量成正比．因此可以不必先算出加速度的大小，直接由比例关系求解．即由

直接得

【例3】如图1所示，一根质量为m，长为L的均匀长木料受水平拉力F作用后在粗糙水平面上加速向右运动．在离拉力作用点x处作一断面，在这一断面处，左右两部分木料之间的相互作用力为多少？

【分析】 取整个木料和断面左端（或右端）为研究对象，由于它们的加速度相同，可根据它们所受合外力与质量成正比的关系得解．

【解】 设整个木料所受的摩擦力为f，断面两侧的相互作用力为T，作用在断面左端部分的摩擦力为

整个木料和断面左侧水平方向的受力情况如图2所示．根据加速度相同时力与质量的比例关系可知

【说明】本题由于利用了F∝m的关系，可以不必计算加速度，十分简捷．由解得结果可知，截面位置取得离拉力处越远，截面两侧的相互作用力越小，当x = L时，T=0，这是显然的结果．

如果木料受到水平推力作用，情况怎样？有兴趣的同学可自行研究．

【例4】物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图1所示．在A点物体开始与弹簧接触．到B点时，物体速度为零，然后被弹回，则以下说法正确的是 [ ]

A．物体从A下降和到B的过程中，速率不断变小 B．物体从B上升到A的过程中，速率不断变大

C．物体从A下降到B，以及从B上升到A的速程中，速率都是先增大，后减小

D．物体在B点时，所受合力为零

【分析】本题考察a与F合的对应关系，弹簧这种特殊模型的变化特点，以及由物体的受力情况判断物体的运动性质．对物体运动过程及状态分析清楚，同时对物体正确的受力分析，是解决本题思路所在． 【解】找出AB之间的C位置，此时F合=0 则（1）从A→C．由mg＞kx1，（2）在C位量mg = kxc，a=0，物体速度达最大（如图2乙）（3）从C→B，由于mg＜kx2，同理，当物体从B→A时，可以分析B→C做加速度越来越小的变加速直线运动；从C→A做加速度越来越大的减速直线运动．

【说明】由物体的受力情况判断物体的运动性质，是牛顿第二定律应用的重要部分，也是解综合问题的基础．

弹簧这种能使物体受力连续变化的模型，在物理问题（特别是定性判断）中经常应用．其应用特点是：找好初末两态，明确变化过程．

【例5】图中A为电磁铁，C为胶木秤盘，A和C（包括支架）的总质量为M，B为铁片，质量为m，整个装置用轻绳悬挂于O点．当电磁铁通电，铁片被吸引上升的过程中，轻绳上拉力F的大小为 [ ]

A．F = Mg B．Mg＜F＜（M＋m）g C．F=（M + m）g D．F＞（M + m）g

【分析】以铁片为研究对象，它被吸引上升过程中受到电磁铁对它的吸引力Q（变力）、重力mg．在每一时刻

Q-mg = ma，即Q＞mg．

根据牛顿第三定律，铁片也对电磁铁A（包括支架C）施加向下的吸引力，其大小Q′=Q．

以A和C为研究对象，它受到细线向上拉力F、A′和C的重力Mg、铁片吸引力Q′．由力平衡条件知

F = Mg + Q′ = Mg + Q，∴F＞（M + m）g．

【答】 D．

【说明】必须注意，铁片能吸引上升是一个加速过程，因此，Q＞mg．同时，不要疏忽铁片对磁铁的吸引力．

【例6】如图1所示，一只质量为m的猫抓住用绳吊在天花板上的一根质量为M的垂直杆子．当悬绳突然断裂时，小猫急速沿杆竖直向上爬，以保持它离地面的高度不变．则杆下降的加速度为 [ ]

【分析】 设猫急速上爬时对杆的作用力为f，方向向下，则杆对猫的作用力的大小也为f，方向向上，绳断裂后，猫和杆的受力情况如图2所示

由于猫急速上爬，保持对地面的高度不变，意味着在这个过程中，猫对地无加速度，处于力平衡状态，所以f = mg

杆仅受两个竖直向下的力作用，根据牛顿第二定律，得杆的加速度大小为

其方向竖直向下． 答 C．

说明 本题反映了牛顿第二定律的相对性，即加速度a必须是地面而言的．如果不理解这一点，本题就难以求解．

【例7】如图1所示，一木块从h=3.0m、长L=5.0m的固定斜面的顶端，由静止开始沿着斜面滑至底端．如果木块与斜面之间的动摩擦因数μ=0.30，求

（1）木块运动的加速度；

（2）木块从斜面顶端滑至底端所需的时间．

【分析】以木块为研究对象，它在下滑过程中受到三个力作用：重力mg、斜面支持力N、斜面的滑动摩擦力f（图2）由于这三个力不在同一直线上，可采用正交分解法，然后根据牛顿运动定律求出加速度，结合运动学公式可求出运动时间．

【解】（1）设斜面倾角为θ，由受力图2可知：沿斜面方向由牛顿第二定律得

mgsinθ-f = ma．

垂直斜面方向由力平衡条件得

N-mgcosθ=0．

又由摩擦力与正压力的关系得

f=μN．

联立上述三式可解得木块下滑的加速度为

a = g（sinθ-μcosθ）．

式中

∴a = g（sinθ-μcosθ）

=9.8（0.60-0.30×0.80）m／s2=3.60m／s2．

【说明】 这是属于已知力求运动的问题，通过加速度建立了力和运动的联系．题解中基本上遵循了牛顿第二定律应用的步骤。

【例8】 两重叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为θ的斜面上，如图1所示，滑块A、B的质量分别为M、m，A与斜面间的滑动摩擦因数为μ1，B与A之间的滑动摩擦因数为μ2，已知两滑块都从静止开始以相同的加速度从斜面滑下，滑块B受到的摩擦力 [ ]

A．等于零 B．方向沿斜面向上 C．大小等于μ1mgcosθ D．大小等于μ2mgcosθ

【分析】把A、B两滑块作为一个整体，设其下滑加速度为a．由牛顿第二定律（M + m）gsinθ-μ1（M + m）gcosθ=（M + m）a，得

a = g（sinθ-μ1cosθ）．

由于a＜gsinθ，可见B随A一起下滑过程中，必然受到A对它沿斜面向上的摩擦力，设力fB（图2）由牛顿第二定律

mgsinθ-fB = ma，得fB =mgsinθ-ma

= mgsinθ-mg（sinθ-μ1cosθ）=μ1mgcosθ． 【答】 B、C．

【说明】由于所求的摩擦力是未知力，如果不从加速度大小的比较先判定其方向，也可任意假设，若设B受到A对它的摩擦力沿斜面向下．则牛顿第二定律的表达式为

mgsinθ+fB = ma，得 fB = ma-mgsinθ

=mg（sinθ-μ1cosθ）-mgsinθ =-μ1mgcosθ．

式中负号表示所求摩擦力的方向与假设的方向相反，应为沿斜面向上．

【例9】 一个质量为m的物体放在水平地面上，设物体与地面间的摩擦系数为μ，对物体施以作用力F。问：

（1）若F是拉力，则F应沿怎样的方向拉，才能使物体获得最大的加速度？（2）若F是推力，则为了不产生加速度，F应朝什么方向推？ 【误解】

（1）当F沿着水平方向拉，物体才有最大的加速度。

（2）为了使物体不获得加速度F的方向必须与水平地面垂直。【正确解答】

（1）如图1所示，物体受重力mg、支持力N′、摩擦力f和拉力F作用。设F与竖直方向成α角，与水平方向成θ角。

在y轴方向有

N′=mg-Fcosα 则f=μ（mg-Fcosα）

在x轴方向上的物体的加速度为

令 μ=tgθ，则

在F是拉力情况下，当90°-α=θ时，也就是作用力F的方向与地面的夹角恰为θ=arctgμ时，物体能获得最大的加速度。很明显，若μ=0，则θ=0°，也就是α=90°时，物体能获得最大的加速度。

（2）如图所示，若F是推力，设推力与竖直方向的夹角为α，与水平地面的夹角为θ，则

f=μ（mg + Fcosα）

在x轴方向上物体的加速度为

推力使物体在x方向上获得加速度，即a＞0，所以

Fsinα-μ（mg + Fcosα）＞0 即 F（sinα-μcosα）-μmg＞0 当α角使

F（sinα-μcosα）-μmg≤0时，即 sinα-μcosα≤

sinα-μcosα≤0

来求解α角的范围。令μ = tgβ 则有

sinα-tgβcosα≤0

即

sin（α-β）≤0，在α、β均为锐角时得

α≤β=arctgμ

当用力推物体时，施力的方向与竖直方向的夹角α小于β，不论F多大都不能使物体获得加速度。

【错因分析与解题指导】[误解]的主要错因是没有注意摩擦力的影响，由于外力F的方向不同，会使摩擦力的大小发生变化。无论是滑动摩擦力还是最大静摩擦力，都和物体与地面间的正压力有关。当外力F以与地面成不同的角度来推、拉物体时，正压力就有不同的值，所以物体所受的合力就有不同的值。只有在正确分析物体的受力情况后，对问题才能作出正确的解答。

【例10】 质量为m=2kg的木块原来静止在粗糙水平地面上，现在第1，3，5„奇数秒内给物体施加方向向右、大小为F1=6N的水平推力，在第2，4，6„偶数秒内，给物体施加方向仍向右、大小为F2=2N的水平推力，已知物体与地面间的摩擦因数μ=0.1．取g=10m／s2，问：（1）木块在奇数秒和偶数秒内各做什么运动？（2）经过多长时间，木块位移的大小等于40.25m？

【分析】以木块为研究对象，它在竖直方向处于力平衡状态，水平方向仅受推力F1（或F2）和摩擦力f的作用．由牛顿第二定律可判断出木块在奇数秒和偶数秒的运动，结合运动学公式，即可求出运动时间． 【解】（1）木块在奇数秒内的加速度为

木块在偶数秒内的加速度为

所以，木块在奇数秒内做a = a1=2m／s2的匀加速直线运动，在偶数秒内做匀速直线运动．

（2）在第1s内木块向右的位移为

至第1s末木块的速度

v1=at=2×1m/s=2m/s．

在第2s内，木块以第1s末的速度向右做匀速运动，在第2s内木块的位移为

s2=v1t=2×1m=2m．

至第2s末木块的速度

v2=v1=2m/s．

在第3s内，木块向右做初速等于2m/s的匀加速运动，在第3s内的位移为

至第3s末木块的速度

v3=v2+at=2m/s+2×1m/s=4m/s．

在第4s内，木块以第3s末的速度向右做匀速运动，在第4s内木块的位移为

S4=v3t=4×1m=4m．

至第4s末木块的速度

v4=v3＝4m/s．

„„

由此可见，从第1s起，连续各秒内木块的位移是从1开始的一个自然数列．因此，在ns内的总位移为

当sn=40.25m时，n的值为8＜n＜9．取n=8，则8s内木块的位移共为

至第8s末，木块的速度为

v8=8m/s．

设第8s后，木块还需向右运动的时间为tx，对应的位移为

sx=40.25m-36m=4.25m，由

得合理解

tx=0.5s．

所以，木块的位移大小等于40.25m时需运动时间

T=8s+0.5s=8.5s．

【说明】木块运动的v-t图如下图所示．

因为v-t图线与t轴间的面积表示对应时间内的位移，所以每秒内位移成一等差数列，其公差等于划有斜线的小三角形面积，即

△s=s1=1m．

[例11]如图1所示，一细线的一端固定于倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球．当滑块以a=2g的加速度向左运动时，线中拉力T等于多少？

【分析】当小球贴着滑块一起向左运动时，小球受到三个力作用：重力mg、线中拉力T、滑块A的支持力N，如图2所示．小球在这三个力作用下产生向左的加速度．当滑块向左运动的加速度增大到一定值时，小球可能抛起，滑块的支持力变为零，小球仅受重力和拉力两个力作用．

由于题设加速度a=2g时，小球的受力情况未确定，因此可先找出使N=0时的临界加速度，然后将它与题设加速度a=2g相比较，确定受力情况后即可根据牛顿第二定律列式求解．

【解】根据小球贴着滑块运动时的受力情况，可列出水平方向和竖直方向的运动方程分别为

Tcos45°-Nsin45°=ma，（1）Tsin45°+Ncos45°=mg．（2）

联立两式，得

N=mgcos45°-masin45°．

当小球对滑块的压力等于零，即应使N=0，滑块的加速度至少应为

可见，当滑块以a=2g加速向左运动时，小球已脱离斜面飘起．此时小球仅受两个力作用：重力mg、线中拉力T′，（图3）设线与竖直方向间夹角为β．同理由牛顿第二定律得

T′sinβ=ma，T′cosβ=mg．

联立两式得

【说明】 如果没有对临界状态作出分析，直接由（1）、（2）两式联立得线中拉力

这就错了！

【例12】如图1质量为M的斜面体放在有摩擦的地面上，质量为m1的物体A与质量为m2的物体B之间有摩擦，但物体B与斜面间的摩擦不计，物体B的上表面水平．AB在加速下滑的过程中相对静止，斜面的倾角为θ，求：

①物体B对物体A的摩擦力和弹力 ②地面对斜面体的摩擦力和弹力

【分析】 本题考察整体和隔离法研究动力学问题，恰当的选取研究对象并正确受力分析是解题关键．

【解】（1）取A和B组成的系统为研究对象，受力如图2（a），沿斜面方向

（m1+m2）gsinθ=（m1+m2）a

∴ a=gsinθ（1）

再以A研究受力如图2（b）则 x方向

m1gsinθ+f1cosθ-N1sinθ=m1a（2）y方向

N1cosθ+f1sinθ=m1gcosθ（3）

由式（1）（2）（3）得

f1=m1gcosθ·sinθ 方向：水平向左 N1=m1gcos2θ方向：竖直向上

（2）对物体B受力分析如图2（c）沿y方向

N′2=m2gcosθ+N′1cosθ+f′1sinθ（4）

由牛顿第三定律知 N1=N′1（5）

f1= f′1（6）∴N′2=（m1+m2）gcosθ

对斜面体C分析受力如图2（d），则沿x方向：

N2sinθ-f2=0（7）

沿y方向：

N-Mg-N2cosθ=0（8）

有牛顿第三定律知 N=N′2（9）由式（7）（8）（9）得

f2=（m1+m2）gcosθsinθ 方向水平向左 N = Mg +（m1+m2）g·cos2θ 方向竖直向上

【说明】 本题研究对象很多，在分析各力时，力要清晰，且标好各自符号。题目考察综合分析能力．在运用牛顿第二定律解决问题的应用中，我们应当具备把一个复杂问题分解成若干简单问题的能力，找准它们之间的联系，这既是一种解题方法，也是解复杂题目的关键所在．

【例13】 如图1所示的三个物体质量分别为m1和m2和m3，带有滑轮的物体放在光滑水平面上，滑轮和所有接触面的摩擦以及绳子的质量均不计，为使三个物体无相对运动．水平推力F等于多少？

【分析】由于三个物体无相对运动，因此可看作一个整体，列出整体的牛顿第二定律方程．然后再隔离m1、m2，分别列出它们的运动方程． 【解】 由整体在水平方向的受力列出牛顿第二定律方程为

F=（m1+m2+m3）a．（1）

分别以m1、m2为研究对象作受力分析（图2）设绳张力为T． 对m1，在水平方向据牛顿第二定律得

T=m1a．（2）

对m2，在竖直方向由力平衡条件得

T-m2g=0．（3）

联立式（1）、（2）、（3），得水平推力

【说明】也可以全部用隔离法求解．设连接m1与m2的绳中张力为T，m2与m3之间相互作用力为N，滑轮两侧绳子张力形成对m3的合力为F′，画出各个物体的隔离体受力图如图3所示（m1、m3竖直方向的力省略）．

对于m1，由受力分析知

T=m1a．（4）

对于m2，由水平方向与竖直方向的受力情况，分别可得

N=m2a，（5）T-m2g=0．（6）

对于m3，设滑轮两侧绳中张力的合力为F′，其水平分力化都表示物体运动状态已发生了改变．（向左）等于T，因此

F-N-T=m3a．（7）

由（4）、（5）、（6）三式得

把它们代入式（7）得水平推力

显然，全部用隔离法求解时，不仅未知数和方程数多，还可能因疏漏滑轮两侧绳子拉力对m3的影响而造成错误．所以应注意灵活地有分有合，交替使用隔离法和整体法．

【例14】 在升降机地面上固定着一个倾角α=30°的光滑斜面，用一条平行于斜面的细绳拴住一个质量m=2kg的小球（图1）当升降机以加速度a=2m／s2竖直向上匀加速运动时，绳子对球的拉力和小球对斜面的压力分别为多少？（取g=10m／s2）

【分析】以小球为研究对象，它随升降机向上加速运动过程中受到三个力作用：重力mg、绳子拉力T、斜面支持力N．由于这三个力不在一直线上，可采用正交分解法，然后列出牛顿第二定律方程，即可求解．

【解】 根据小球的受力情况（图2），把各个力分解到竖直、水平两方向．在竖直方向上（取向上为正方向），根据牛顿第二定律得

Tsinα + Ncosα-mg = ma．（1）

在水平方向上（取向右为正方向），根据力平衡条件得

Tcosα-Nsinα=0．（2）

将（1）式乘以sinα，（2）式乘以cosα，两式相加得绳子对球的拉力为

将（1）式乘以cosα，（2）式乘以sinα，两式相减得斜面对球的支持力为

根据牛顿第三定律，球对斜面的压力

N′=-N=-20.8N，式中“-”号表示N′与N方向相反，即垂直斜面向下．

【说明】 本题是已知运动求力，解题基本步骤与例2相同．需注意题中求出的N是斜面对球的支持力，还必须用牛顿第三定律，得出球对斜面的压力．

【例15】如图所示，在一个盛水的容器中漂浮一个物体，这时水面到达物体的某一位置。如将这个容器放在升降机中，在升降机以加速度a由静止开始向上匀加速直线上升的过程中，物体浸入水中的深浅如何变化？

【误解】 设漂浮物体的密度为ρ，体积为V，浸入水中的体积为V′，水的密度为ρ水。当容器静止时

ρgV=ρ

水gV′

当容器以加速度a向上做匀加速直线运动时

F浮-mg = ma

∴ F浮=m（g+a）=ρV（g+a）设此时排开水的体积为V″，则有 ρ水V″g=ρV（g+a）

物体浸入深度将大些。

【正确解答】当容器处于静止状态时

当容器以加速度a向上运动时，则有 F浮-mg = ma 即 ρ水（g + a）V″-ρgV =ρaV

∴V″=V′ 物体浸入深度不变。

【错因分析与解题指导】当容器以加速度a竖直向上做匀加速运动时，容器中的漂浮物和水同样处于“超重”状态，因此，水对漂浮物的浮力应变成ρ水（g + a）V″而不是ρ水gV″，这也就是[误解]的根源之所在。

我们不妨再来考虑一种特殊情况：即当盛水容器放在自由下落的升降机上，物体浸入水中的深浅又如何变化呢？

全决定于自由下落前物体浸入水中的情况。由于下落前物体已静浮液在

结论。

[例16]一个质量m为3.0kg的物块，静置在水平面上，物块与水平面间的动摩擦因数为0.20，现在给物块施加一个大小为15N，方向向右的水平推力F，并持续作用6s，在6s末撤去F1，在撤去F1的同时给物块施加一个大小为12N，方向向左的水平推力F2，持续作用一段时间后又将它撤去，并立即给物块施加一个大小仍为12N、方向向右持续作用的水平推力F3，已知物块由静止开始运动，经历14s速度达到18m/s，方向向右，g取10m/s2，求物块在14s内发生的位移。[分析]本题是物块多次受不同恒力而运动的题目，显然研究对象是物块。物块的运动情况可分为三个阶段： 第一段：v10=0

物体向右做初速为零的匀加速运动，历时6s 第二段：v20=a1t1=3.0×6m/s=18m/s

物体将向右做匀减速运动，由于t2末知，t2秒末物体可能有向右速度，可能速度为零，可能有向左的速度。第三段：v3t=18m/s（向右）

由分析知道各段的速度和加速度情况，根据速度和加速度可画出v-t图象，用图象来求解。

第二段末尾速度是第三段初始速度，两段速度图线交点在横轴之上（即正值），且说明物体在第二段一直向右运动，t2=2sv2t=6m/s

[解]

解法一：用图象解

物体运动的v-t图线与横轴所围“面积”为位移大小，即

解法二：用牛顿定律和运动学公式解

v1t=a1t1=18m/s ②

v2t=v1-a2t2=18-6t2④

t3=t总-t1-t3=8-t2 ⑥

v3=v2t+a3t3=18-16t2+2(8-t2)=18 ⑦ 解得：

t2=2s t3=6s v2t=6m/s

解法二：用动量定律求解 对全程有

F1t1-F2t2+F3(t-t1-t2)-ft=mv

解得

t2=2s从而t3=6s 对第一段（F1-f）t1=mv1 v1=18m/s

对第二段

（F2+f）t2=mv2-mv1 v2=6m/s

∴ s=s1+s2+s3=150m [说明]

1.物体的运动性质由两个条件决定：一是运动的初始状态，即初速度，二是物体所受合外力的大小方向。

2.同一个物体做几个不同的运动时，前一过程的末速度，是后一过程的初速度。3.一题往往有几种不同的解法，注意各种解法的特点，正确运用物理公式求解。[例17]图为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4是四个喷气发动机，P1、P3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与y轴平行，每台发动机开始时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动，开始时，探测器以恒定的速率v0向正x方向平动，要使探测器改为向正x偏负y60°的方向以原来的速率v0平动，则可

A.．先开动P1适当时间，再开动P4适当时间 B．先开动P3适当时间，再开动P2适当时间 C．开动P4适当时间

D．先开动P3适当时间，再开动P4适当时间

[分析]每台发动机开动时，都能向探测器提供的是“推力”

最后探测器是向x偏负y60°的方向以原来的速度v0平动，对此速度进行分解

沿x正方向速率减小，要开动P1 , [解]正确答案为A。

[说明]判断物体的运动时，要考虑初速度和受力情况。速度分解时，由于合速度处于直角三角形的斜边所以合速度大小要大于水平分速度大小。