第二十五章概率初步知识点及典型例题8k(用)（小编整理）

第一篇：第二十五章概率初步知识点及典型例题8k(用)

第二十五章 概率初步

知识点、题型归纳 实验中学 马贵荣

【知识梳理】

1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，4.下列事件中属于不可能的事件是（）

A.军训时某同学打靶击中靶心 B.对于有理数x，∣x∣≤0 其中，① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；

② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③ 如果A为不确定事件，那么0

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；

第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算。② 实验估算又分为如下两种情况：

第一种：利用实验的方法进行概率估算。要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率。

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算。如，利用计算器产生随机数来模拟实验。

综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率。

这里要引起注意的是，虽然我们可以利用公式计算概率，但在学习这部分知识时，更重要的是要体会概率的意义，而不只是强化练习套用公式进行计算。3．概率应用：

通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题。

【针对训练】

随机事件与概率： 一.选择题

1.下列事件必然发生的是（）A.一个普通正方体骰子掷三次和为19 B.一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数。C.今天下雨。

D.一个不透明的袋子里装有4个红球，2个白球，从中任取3个球，其中至少有2球同色。2.甲袋中装着1个红球9个白球，乙袋中装着9个红球1个白球，两个口袋中的球都已搅匀。想从两个口袋中摸出一个红球，那么选哪一个口袋成功的机会较大？（）A.甲袋 B.乙袋 C.两个都一样 D.两个都不行 3.下列事件中，属于确定事件的是（）

A.发射运载火箭成功 B.2008年，中国女足取得冠军 C.闪电、雷声出现时，先看到闪电，后听到雷声 D.掷骰子时，点数“6”朝上

C.一年中有365天 D.你将来长到4米高

5、一个袋子中放有红球、绿球若干个，黄球5个，如果袋子中任意摸出黄球的概率为0.25，那么袋子中共有球的个数为（）A.15 B.18 C.20 D.25 用列举法求概率： 填空题：

1、小华与父母一同从重庆乘火车到广安邓小平故居参观．火车车厢里每排有左、中、右三个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是。

2、初三

（一）星期二下午安排了数学、英语、生物各一节课，则把数学课安排在最后一节的概率_________________。

3、甲乙两人去某风景区游玩，每天某一时段开往风景区有三辆汽车（票价相同）。两人分别采取不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车；乙是观察后上车，当第一辆车开来时都不上，如果第二辆车比第一辆车好就上第二辆，第二辆车没第一辆好就等着上第三辆车，则甲坐上好车的概率为___________，乙坐上好车的概率为_____________.4、有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开其中一把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，则两把钥匙同时打开两把锁的概率___________。

5、三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖，突然停电，小伟只好把茶盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率________________.6、三张完全相同的贺卡分别送给三位同学，则三位同学都拿到的是送给自己那张贺卡的概率是_____________.7、在平面直角坐标系xOy中，直线yx3与两坐标轴围成一个△AOB。现将背面完全相

同，正面分别标有数1、2、3、112、3的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该

卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的概率为。

8、有四张正面分别标有数学－３，０，１，５的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程1ax21有正整数解的概率为。

x22x9、将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是

．

10、从3，0，－1，－2，－3这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y=(5－m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函数的图像经过第一、三象限，且方程有实数根的概率为________。

11、有七张正面分别标有数字-3，-2，-1, 0, 1, 2, 3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的方程x

2-2(a-1)x+a(a-3)=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的函数y=x2-(a+1)x-a+2的图像不经过点（1,0）的概率是__________________.第二十五章 概率初步

知识点、题型归纳 实验中学 马贵荣

12、m的值可以取0、1、2、3中的一个数，n可以取0、1、3中的一个数，则使方程mx-2=n(x+1|n)的解是正整数的概率____________.13、已知ai不等于0（i=1、2、3…….2012）满足 使直线y=ai+i(i=1、2、3……..2012)的图像经过一、二、四象限的ai概率________________.解答题：

1、减负提质“1+5”行动计划是我市教育改革的一项重要举措。某中学“阅读与演讲社团”为了了解本校学生的每周课外阅读时间，采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查结果分为“2小时内”、“2小时—3小时”、“3小时—4小时”、“4小时以上”四个等级，分别用A、B、C、D表示，根据调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中所给出的信息解答下列问题：

（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；

（2）在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人每周课外阅读时间都是4小时以上，现从中任选2人参加学校的知识抢答赛，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自同不同小组的概率。

2.随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通 高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施．某初级中学对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计，制成了如下两幅不完整的统计图：

（1）该校近四年保送生人数的极差是 _________ ．请将折线统计图补充完整；

（2）该校2009年指标到校保送生中只有1位女同学，学校打算从中随机选出2位同学了解他们进人高中阶段的学习情况．请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．

3．为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校结全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：

（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；

（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率。

第二十五章 概率初步

知识点、题型归纳 实验中学 马贵荣

4．在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如下两幅不完整的统计图：

概率的实际应用：

1、集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1－20号），另外袋中还有1只红球，而且这21只球除颜色外其余完全相同。规定：每次只摸一只球。摸前交1元钱且在1—20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元。

（1）求该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；（2）如果发了3条箴的同学中有两位同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学． 现要从发了3条箴和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

5、有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）。小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积。（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；

（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢。你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平。

（1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由。

（2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？

2、调查员希望了解某水库中鱼的养殖情况； ⑴怎样了解鱼的平均质量？ ⑵怎样了解鱼的总尾数？ 3

第二篇：浮力知识点及典型例题

(考查范围：浮力及其应用)

附:本章知识小结(一)本章词语解释

1.上升: 物体在液体中向液面运动的过程.2.下沉: 物体在液体中向容器底部运动的过程.3.漂浮: 物体独自静止地浮在液面上,有一部分体积在液面下为V排,有一部分体积在液面上为V露.4.悬浮: 物体独自静止地悬在液体中任何位置,此时V排＝V物.5.沉底: 物体在液体中沉到容器底,容器底对它有一个支持力.6.浸没: 物体全部浸在液体中,此时V排＝V物.7.浸入: 物体部分或全部浸在液体中.8.浮体: 凡是漂浮或悬浮在液体中的物体.(二)重难点分析

1.浮力的三要素

2.对阿基米德原理的理解(F浮＝G排或F浮＝ρ液gV排)A.原理中“浸入液体里的物体”指两种情况

B.能区分G物与G排；V物与V排；ρ物与ρ液的意义.C.明确此公式的适用条件:既用于液体也适用于气体.D.由此式理解决定浮力大小的因素.即:物体浸在液体中所受浮力的大小跟液体(气体)的密度和物体排开液体(气体)的体积有关,而跟物体本身的体积、密度、形状以及物体浸没在液体(气体)中的深度等无关.因此,在用F浮＝ρ液gV排计算或比较浮力大小时,关键是分析液体的密度ρ液和排开液体的体积V排的大小.3.怎样判断物体的浮沉及浮沉的应用

A.物体的浮沉条件 浸没在液体里的物体若只受重力和浮力的作用,由力运动的关系可知: 当F浮>G物(ρ液>ρ物)时,物体上浮→漂浮(F'浮＝G物).当F浮=G物(ρ液=ρ物)时,物体悬浮.当F浮

技术上为了实现浮沉总是设法改变重力与浮力的“力量对比”,来达到目的.若保持浮力不变,可改变自身的重力,实现沉浮；若保持重力不变,可改变排开液体(气体)的体积来实现沉浮.a 轮船采用”空心”办法,使它排开水的体积增大,达到增大浮力.b 潜水艇 浮力不变,通过改变“自重”来实现上浮、下沉的.c 气球与飞艇 用小于空气密度的氢气或氦气充入气球和飞艇中,通过改变气球和气囊的体积而改变浮力的大小,实现升降.d 密度计用来测定液体密度的仪器.它利用漂浮原理:G密度计＝F浮＝ρ液gV

排,即ρ液大,V排就小,密度计露出部分大而做成的.4.关于液面升降的问题.分析 其实质是比较变化前后的V排.例: 一块冰浮于水面,如图.那么当冰熔化前后,其水面将______(选填“升高”、“降低”或“不变”)解: 冰熔化前:

由于漂浮,F浮＝G物.则V排＝m冰g/ρ水g＝m冰/ρ水.冰熔化后:由于m水＝m冰,由ρ＝m/V得 V化水＝m水/ρ水＝m冰/ρ水 因 V排水＝V化水,即冰熔化成水后,刚好填满原来被冰排开的水的体积,因此,水面保持不变.扩展一

① 若上题中的冰包含有气泡,则冰熔化后液面将如何变?

② 若上题中的冰包有一小木块(ρ物<ρ水),则冰熔化后液面又将如何? ③ 若上题中的冰包含有一小石块(ρ物>ρ水),则冰熔化后又如何? 扩展二

如图甲,铁块A叠放在木块B上,然后放在水缸中当将铁块从木块上拿下,并放在水缸底部时,水面高度将()

A.上升 B.下降 C.不变 D.无法确定 5.如何用浮力知识来测固体或液体的密度.A.测固体的密度

例一 请利用弹簧测力计、水、烧杯测出一块小石头(ρ物>ρ水)的密度.① 实验原理 F浮＝G－F拉(称重法)② 步骤

a 用弹簧测力计先测出小石块在空气中的重力记为G石；

b 用弹簧测力计悬吊着小石块,使之浸没在水杯中,并记下此时弹簧测力计的示数为F拉；

c 由F浮＋F拉＝G可求得小石块浸没在水中受到的浮力为F浮＝G石－F拉； d 由F浮＝ρ液gV排和G＝mg＝ρ物gV物及V物＝V排得ρ石＝ ρ水

例二 利用量筒、水、细针测出不沉于水的蜡块(ρ物<ρ水)密度.① 实验原理 F浮＝G(漂浮法)② 步骤

a 先往量筒中倒入适量的水,记下水的体积为V0；

b 然后往量筒中放入小蜡块,待小蜡块静止后,记下水面现在所对应的刻度为V1,即蜡块漂浮时V排＝V1－V0；

c 用细针将蜡块全部按入水中,记下现在水面刻度为V2,此时蜡块的体积为V蜡＝V2－V0；

d 利用漂浮条件F浮＝G,即ρ水gV排＝ρ蜡gV蜡得出ρ蜡＝ρ水

B.测液体的密度 第一

原理 F浮＝G－F拉和F浮＝ρ液gV排.(称重法)器材 弹簧测力计、烧杯、适量的水、适量的待测液体和一个密度大于水和液体的物体.过程 用上述器材分别测出物体在水中和待测液体中的浮力,则有

即:ρ液＝

第二

原理 F浮＝G物(漂浮法)

器材 量筒、水和待测液体、一个密度比水和待测液体小的物体.过程 用上述器材分别测出物体在水中和待测液体中的V排即可,即:由G物＝F

浮水和G物＝F浮液可知

ρ水gV排水＝ρ液gV排液,也即ρ液＝

6.掌握计算浮力大小的四种方法.A.称重法.利用弹簧测力计两次读数不等来计算浮力.基本公式 F浮＝G－F拉(式中的G和F拉分别为称在空气中的物体和称在液体中的同一物体时弹簧测力计的读数)

适用范围 此式适用于液体中下沉的物体.常用于题中已知用弹簧测力计称物体重的情况.B.压力差法.利用浮力产生的原因来计算浮力.基本公式 F浮＝F向上－F向下.适用范围 此法用于判断物体是否受到浮力或计算浸没深度已知的规则物体所受的浮力.C.原理法.利用阿基米德原理来计算浮力.基本公式 F浮＝G排液或F浮＝ρ液gV排液.适用范围 普遍适用.D.平衡法.利用物体漂浮或悬浮的条件来计算浮力.基本公式 F浮＝G物、F浮＋N支＝G物、F浮＝G物＋F拉.适用范围 漂浮体、悬浮体、沉底、连接体等.其中称重法、原理法、平衡法是常用的计算浮力的方法.其它方法一般都要与原理法联合使用,才能顺利完成浮力问题的解答.7.求解浮力问题的一般步骤 a 明确研究对象

b 明确研究对象所处的运动状态.(漂浮、悬浮、沉底、上浮或下沉等)

c 对研究对象进行受力分析,并画出受力示意图.(除分析重力、浮力外,还要注意是否有其它相关联的物体对它有拉力、压力等)

d 列出物体处于平衡状态下的力的平衡方程(在展开方程时,应注意抓住题中的关键字“全浸”、“部分浸”、“漂浮”、“沉底”、“露出水面”等)e 解方程求出未知量.1、第二次世界大战时期，德国纳粹一潜水艇在下潜过程中，撞到海底被搁浅而不能浮起来，这是因为()A.有浮力，但浮力小于重力 B.有浮力，且浮力等于重力 C.潜水艇底部没有水进入，不产生浮力 D.机器坏了，不产生浮力

2．一艘轮船从东海驶入长江后，它所受到的浮力()A.变小 B.不变 C.变大 D.不能确定

3．甲、乙两物体的质量之比是3∶5,密度之比是3∶10,若把它们浸没在同种液体中,则它们所受的浮力之比是()A.3∶5 B.3∶10 C.1∶2 D.2∶1

4．如图所示，体积相同的甲、乙、丙三个物体浸没在水中。甲上浮、乙悬浮、丙下沉，在甲露出水面之前，关于它们所受浮力的说法正确的是()A.甲受到的浮力 B.乙受到的浮力大

C.丙受到的浮力大 D.甲、乙、丙受到的浮力一样大

7．如图所示，浸没在烧杯底部的鸡蛋所受水的浮力F1小于鸡蛋的重力，现将适量的浓盐水倒入烧杯中，鸡蛋所受的浮力为F2，则F1与F2的关系是()A.F1>F2 B.F1

9．潜水员从水下15m的地方上浮到距水面lm的地方，则潜水员所受的浮力和压强()A.压强和浮力都将变大 C.压强和浮力都将变小 B.压强减小，浮力不变 D.压强不变，浮力变小

10．一个边长为a的立方体铁块从图（甲）所示的实线位置（此时该立方体的下表面恰与水面齐平）下降至图中的虚线位置，则图（乙）中能正确反映铁块所受水的浮力的大小F和铁块下表面在水中的深度h关系的图像是()a F F F F 2a 水 0 a 2a h 0 a 2a h 0 a 2a h 0 a 2a A B C D 11．将质量相等的实心铁块、铝块和木块放入水中，静止时，比较它们受到的浮力(ρ铁=7.8g／cm3、ρ33铝=2.7g/cm、ρ木=0.4g/cm)()A.铁块受到的浮力最小 B.铝块受到的浮力最小

C.木块受到的浮力最小 D.铁块和铝块受到的浮力一样大

12．如图所示，是一位先生巧用物理知识将帽子送给楼上女士的情景。此

过程中应用的关键知识是()

A.气球受到重力 B.帽子质量大于气球质量 C.帽子密度大于气球密度 D.空气对物体有浮力作用

13．悬浮在水中的潜水艇排出水舱中的一部分水后，受到的浮力大于自身受到的重力，潜水艇将（）

A.下沉 B.上浮 C.悬浮在水中 D.先下降后上升

14．打捞江底的沉船，下面采取的措施，不合理的是()A.使沉船与水底淤泥尽量分离 B.使用费力的机械把沉船拉起来

C.清除船体中的泥沙，使船变轻 D.将浮筒与船绑在一起，再排出浮筒内的水

15．将一实心物体先后投入足量的水和酒精中，物体静止时，所受浮力分别为6N和5N，判定物体在水、酒精中的浮沉状态可能是（ρ3酒=0.8×10kg/m3）()A.在水中漂浮，在酒精中漂浮 B.在水中漂浮，在酒精中沉底 C.在水中悬浮，在酒精中漂浮 D.在水中沉底，在酒精中沉底

16．质量相等的木块和蜡块，漂浮在同一盆水中，它们所受浮力的大小关系是（）A.木块受浮力大 B.木块和蜡块受浮力相等 C.蜡块受浮力大 D.条件不足，无法比较

17．如图所示，质量相等的A．B．C三个小球，放在同一液体中，结果A球漂浮，B球悬浮，C球下沉到容器底部，下列说法中正确的是（）A．如果三个小球都是空心的，则它们的体积可能相等 B．如果三个小球的材料相同，则A．B两球一定是空心的

C．如果三个小球都是空心的，则它们所受浮力的大小关系为FA＞FB＞FC D．如果三个小球都是实心的，则它们密度的大小关系为ρA＞ρB＞ρC

18．如图所示,在三个相同的容器中分别盛有甲、乙、丙三种液体；将三个完全相同的铜球,分别沉入容器底部,当铜球静止时,容器底部受到铜球的压力大小关系是F甲>F乙>F丙,则液体密度相比较()

A.甲的最小 B.乙的最小 C.丙的最小 D.一样大 19．在弹簧测力计下挂一实心物体，弹簧测力计的示数是Ｆ，如果把物体浸没在水中央，物体静止时弹簧测力计的示数为F/5，则该物体的密度是（）A.1.0×103kg/mB.0.8×103kg/m3

C.1.5×103kg/m3

D.1.25×103kg/m3

20．如图所示，将两只同样盛满水的溢水杯放在天平的两盘时天平平衡。将一木块放在右盘的溢水杯中木块漂浮在水面上，并将溢出的水取走，此时天平()A.右边上移 B.保持平衡 C.右边下移 D.无法确定 21．用一个量筒、水、一根细针做实验来测木块的某些物理量，下列说法中正确的是()A.只能测木块的体积 B.只能测木块所受的浮力 C.只能测木块的体积，质量和密度 D.木块的体积，所受的浮力，质量和密度都能测量

三、填空题

22．潜水艇充满水时，可以悬浮在海水中静止不动．此时，它在竖直方向上受到_______ 力和_________力的作用，这两个力的合力是_________。

23．如图所示，卷成团的牙膏皮弄成空心后，立在水中受到的重力________，排开水的体积__________，受到的浮力_______(填“变大”、“变小”或“不变”)．

24．水下6米深处有一条体积为300厘米3的鱼，它受到的浮力为______牛，这条鱼若再向下游5米，则它受到的浮力将_______。(填“变大”、“变小”或“不变”)

25．一金属块在空气中称重27N，把它全部浸没在水中称弹簧秤读数为17N，则该金属块受到水对它的浮力是______N，浮力的方向是_________，物体的体积3为______m。

26．如图所示，重为3×105牛的飞艇静止在空中，飞艇受到的浮力大小为___________牛，方向竖直___________。

27．一个重5N的木块漂浮在水面上，它受到的浮力为 ___________ N，它排开水的体积为___________m3.28．一个质量、体积均可忽略不计的塑料袋(不漏水)装上1千克的水后再放入水中，它们受到水的浮力是_____N．(g=1ON／kg)29．如图所示，将两块相同的橡皮泥做成实心球形和碗形，分别放入相同的甲、乙两杯水中，静止时甲杯中橡皮泥所受的浮力___________乙杯中橡皮泥所受的浮力（选填“大于”、“小于”或“等于”），________杯中水面升高得多。

30．如图所示，物体浸没在水中时，所受到的浮力为______N；如果直接将该物体投入水中，该物体将______（填“上浮”、“悬浮”或“下沉”）；从图乙、丙可以看出浮力的大小与液体的_______有关.31．小明把一块地瓜放进杯中的水里，结果地瓜沉到杯底，如图所示，请参考表中数据判断，下面哪个办法能使地瓜浮出水面.32．一个物体所受的重力为10N，将其全部浸没在水中时，它所排开的水所受的重力为20N，此时它所受的浮力为_____________N，放手后物体将_____________（填“上浮”、“下沉”或“悬浮”），物体静止时所受浮力为______________N.33． “五·一”黄金周期间，小明与家人到我省大英县的“死海”游玩，这“死海”其实就

是咸水湖，当人完全浸没水中时，人受到的浮力_______________人受到的重力（选填“大于”、“小于”或“等于”），所以人就会自然向上浮起；当人漂浮在水面上静止不动时，人受到的浮力___________人受到的重力（选填“大于”、“小于”或“等于”）。

34．在如图所示的装有水的杯中漂浮着一块冰，冰块内有一实心小铁块．当

冰全部融化后，杯中的液面将会_________(填“升高”、“降低”或“不变”)

35．体积是125厘米3的正方体石块，浸没在水中某处时，受到的浮力大小是_______牛，如果此时正方体的上表面受到向下的压力是2.5牛，则下表面受到向上的压力是_______牛。(g=10牛/千克)

36．一只质量是790克的实心铁球放入水中受到的浮力是______牛，放入水银中静止后受到的浮力是______牛。(ρ=7.9×103千克/米3)

37．体积为50厘米，质量为48克的生橡胶块放入足够深的水中静止后，水对它的浮力是_________牛。(g＝10牛/千克)

38．将同一小石块分别浸没在水和某种液

体中，弹簧测力计的示数如图所示，则小石块的密度是________kg/m3,，这种液体的密度是__________ kg/m3.(g取10N/kg)

39．轮船进港卸下货物后，吃水深度减少0.5m，如果轮船在水平方向上的平均截面积约

为5400m，那么，卸下货物的质量大约是_________．

40．一艘轮船满载时的排水量是7500t，轮船受到的浮力是

N；满载时轮船排开水

3的体积是

m。在水面下3m深处，水对船体的压强是

Ｐa（轮船的排水量是指轮船排开水的质量）

41．将一个密度为0.9×103kg/m3的实心小球，先后放入水和酒精当中，则小球排开水的体积与排开酒精的体积之比为 ________；小球在水和酒精中所受浮力之比是______

(ρ酒=0.8 ×l0kg/m)

42．一个空心铜球质量为89g,它能漂浮在水中，且有1/3个球露在水面上，已知铜的密度为8.9×103 kg/m3，则此铜球的体积为________cm3,，其空心部分的体积为_______cm3．

第三篇：统计初步与概率初步知识点总结

第五章统计初步与概率初步

考点

一、平均数（3分）

1、平均数的概念

（1）平均数：一般地，如果有n个数x1,x2,,xn,那么，x

均数，x读作“x拔”。

（2）加权平均数：如果n个数中，1(x1x2xn)叫做这n个数的平nx1出现f1次，x2出现f2次，„，xk出现fk次（这里f1f2fkn），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为

xx1f1x2f2xkfk，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中f1,f2,,fk叫做权。n2、平均数的计算方法

（1）定义法

当所给数据x1,x2,,xn,比较分散时，一般选用定义公式：x

（2）加权平均数法： 当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：x1(x1x2xn)nx1f1x2f2xkfk，其中n

f1f2fkn。

（3）新数据法：

当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：xx'a。

其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x'1x1a，x'2x2a，„，x'nxna。x'1(x'1x'2x'n)是新数据的平均数（通常把x1,x2,,xn,叫做原数据，x'1,x'2,,x'n,叫做n

新数据）。

考点

二、统计学中的几个基本概念（4分）

1、总体

所有考察对象的全体叫做总体。

2、个体

总体中每一个考察对象叫做个体。

3、样本

从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。

4、样本容量

样本中个体的数目叫做样本容量。

5、样本平均数

样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。

6、总体平均数

总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。考点

三、众数、中位数（3~5分）

1、众数

在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

2、中位数

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

考点

四、方差（3分）

1、方差的概念

在一组数据x1,x2,,xn,中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“s2”表示，即

1s2[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]n2、方差的计算

（1）基本公式：

1s2[(x1x)2(x2x)2(xnx)2] n

（2）简化计算公式（Ⅰ）：

221212222[(x1x2xn)nx]也可写成s2[(x12x2xn)]x nns2

此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。

（3）简化计算公式（Ⅱ）：

2122s2[(x'1x'2x')nx'] 2nn

当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x'1x1a，x'2x2a，„，x'nxna，那么，2122s2[(x'1x'2x')]x' 2nn

此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。

（4）新数据法：

原数据x1,x2,,xn,的方差与新数据x'1x1a，x'2x2a，„，x'nxna的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x'1,x'2,,x'n,的方差就等于原数据的方差。

3、标准差

方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即

ss21[(x1x)2(x2x)2(xnx)2] n

考点

五、频率分布（6分）

1、频率分布的意义

在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。

2、研究频率分布的一般步骤及有关概念

（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：

①计算极差（最大值与最小值的差）

②决定组距与组数

③决定分点

④列频率分布表

⑤画频率分布直方图

（2）频率分布的有关概念

①极差：最大值与最小值的差

②频数：落在各个小组内的数据的个数

③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。

考点

六、确定事件和随机事件（3分）

1、确定事件

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。

不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。

2、随机事件：

在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。

考点

七、随机事件发生的可能性（3分）

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。考点

八、概率的意义与表示方法（5~6分）

1、概率的意义 n一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数pm就叫做事件A的概率。

2、事件和概率的表示方法

一般地，事件用英文大写字母A，B，C，„，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P

考点

九、确定事件和随机事件的概率之间的关系（3分）

1、确定事件概率

（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1

（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0

考点

十、古典概型（3分）

1、古典概型的定义

某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。

2、古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=m n

考点

十一、列表法求概率（10分）

1、列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

考点

十二、树状图法求概率（10分）

1、树状图法

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

2、运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

考点

十三、利用频率估计概率（8分）

1、利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

3、随机数

在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。

第四篇：经济法第一章知识点及典型例题

第一章 应知应会知识点

一、名词解释

1．法律规范（了解授权性法律规范、义务性法律规范、命令性法律规范、强行性法律规范任意性法律规范、确定性法律规范的含义并且能够根据定义判断给出的法律规范属于何种类型）2．法律渊源 3．法律体系 4．法律关系 5．权力能力 6．行为能力

7．权利的概念 义务的概念 8．法律事实 9．法律行为 10． 11． 12． 13． 14． 15．

二、意思表示 代理 代理权 无权代理 表见代理 诉讼时效 简单题

1．简述法的特征（四个特征）

2．简述法律规范的逻辑结构（能够分析某个具体的法律规范）。3．简述我国经济法的法律渊源的种类。4．我国法律体系中的法律部门有哪些？ 5．法律关系的要素有哪些？

6．我国民法通则规定的行为能力的种类有哪些？ 7．法律关系的客体有哪些？

8．简述法律关系变动的原因有哪些？ 9．法律行为有哪些特征？ 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17．

复习思考题（请以电子版方式提交给任课教师）

一、单选题

1．本人知道他人以本人名义实施民事行为而未做表示的（A）

A．属于有权代理

B．视为表见代理

C．属于无权代理

D．视为同意 ．对于出售质量不合格商品未声明的，适用的诉讼时效期间为（A）

A．1 年

B．2 年

C．4 年

D． 20 年

3．下列法的形式中，属于国务院制定的是（D）。A．中华人民共和国全国人民代表大会组织法 B．中华人民共和国立法法 C．治安管理处罚法 D．公司登记管理条例

3.我国公司法规定，“设立公司必须依照本法制定公司章程。”该条款的内容属于（D）。A.授权性法律规范 简述法律行为的有效要件 代理的法律特征

代理权滥用的行为有哪些？ 无权代理的情形有哪些？ 表见代理的构成要件 诉讼时效的种类有哪些？ 诉讼时效的中止事由有哪些？ 诉讼时效中断的法定事由有哪些？ B.禁止性法律规范 C.任意性法律规范 D.义务性法律规范

4.下列关于自然人与法人的民事权利能力与民事行为能力的表述中，正确的是（B）。

A．自然人的权利能力有完全权利能力、限制权利能力与无权利能力之分 B．自然人的权利能力与行为能力同时产生、同时消灭 C．所有法人的权利能力都是平等的 D．法人不能享有公民的某些权利能力

5.人的死亡能够引起民事主体资格的消灭，也可能导致继承法律关系的开始，人的死亡是法律事实类型中的（C）。A．法律行为

B．事实行为

C．事件

D．人的有意识的活动 6.时效期间不足2年的诉讼时效为（B）。

A．一般诉讼时效

B．短期诉讼时效 C．长期诉讼时效

D．最长诉讼时效 7.以下不符合法律关系客体条件对象的有（D）。A．大兴安岭某林地

B．公民的名誉 C．民间的歌谣

D．月球上的稀有金属 8.房屋买卖行为应该属于（C）。

A．无偿法律行为

B．单方法律行为 C．要式法律行为

D．从法律行为

9.代理人与第三人恶意串通，损害被代理人利益的，给被代理人造成损害的，其法律责任由（D）。

A.代理人承担

B.第三人承担

C.被代理人承担

D.第三人和代理人负连带责任 10.能够引起诉讼时效中止的法定事由有（A）。A.不可抗力

B.提起诉讼

C.当事人一方提出请求

D.义务人同意履行义务

二、多选题

1．下列各项中属于法律关系客体的有（AC）。A．经济管理行为

B．自然灾害 C．智力成果

D．战争

2．关于法律的法律地位的下列表述中，正确的有（ABD）。A．法律的地位次于宪法 B．法律的地位高于行政法规 C．法律的地位与地方性法规一样 D．法律的地位高于规章

3．下列各项中，属于无民事行为能力人的有（AB）。A．6周岁的陈小宝

B．8周岁的黄小兰 C．10周岁的张小凤

D．12周岁的刘小石

4．下列各项中，可能会引起法律关系发生、变更或消灭的有（ABC）。A．大雨引发泥石流

B．全国进入紧急状态 C．王某进行违法行为

D．杨某按约履行合同 5.下面属于表见代理情形的有（BC）。

A.被代理人对第三人表示已将代理权授予他人，而实际并未授权

B．被代理人将盖有公章的空白介绍信交给他人，他人以该种文件使第三人相信其有代理权并与之进行法律行为

C.无权代理人此前曾授予代理权，且代理期限尚未结束，但实施代理行为时代理权已经终止

D．代理人和第三人恶意串通，损害被代理人利益的的

三、案例分析题

1.甲乙结婚后，双方签订一份忠诚协议：男女双方不得相互背叛，若任何一方违背该协议，则无条件放弃二人所有财产，无权探视双方子女，另外赔偿对方30万元。请分析该忠诚协议是否属于法律行为？属于何种民事行为？请说明理由。不属于，因为根据我国《婚姻法》第36条规定：父母与子女间的关系，不因父母离婚而消除。离婚后，子女无论由父或母直接抚养，仍是父母双方的子女。离婚后，父母对于子女仍有抚养和教育的权利和义务。所以，协议约定放弃孩子的抚养权是无效的，同样，对孩子的探望权也不能通过约定加以剥夺或限制。但是我国法律对忠诚协议有所回避。所以与双方利益相关的协议可能会有效。

2.1987年，美国新泽西州的一位女士，Mary Beth Whitehead 接受了William and Elizabeth Stern 夫妻的委托，与其订立了代孕合同。Whitehead以1万美金的代价，提供卵子，使用Mr.Stern的精子进行人工受精后，再将受精卵植入Whitehead的子宫内孕育胎儿，替Stern夫妇产下了Baby M。但是，生产后的Whitehea欲反悔，拒绝接受1万美元的酬金，也不愿将Baby M 交出，Stern夫妇因而向新泽西地方法院起诉Whitehead女士，告她违约。对于此案，请分析以下几个问题： 你认为该代孕合同是否属民事法律行为？请说明理由。

答：是法律行为，因为代孕合同是双方共同签订的，多方共同参与的法律行为，而且是有偿的行为，理所当然合法。

（2）如果代理孕母Whitehead拒绝交出Baby M是否应向Stern 夫妇承担赔偿责任？为什么？

是，因为代孕合同具有法律效力一旦违约，根据合同法的相关规定，其需要赔偿违约责任。

（3）你认为本案的法官Harvey Sorkow 应如何判决？理由是什么？ 法官应按照合同法的相关规定将Baby M 判决给夫妻二人，根据人性，可以对代孕方追加除了1万美金以外的赔偿，和解处理。

3.陈章庆与张菊娥的丈夫杨为仁系战友。张菊娥系吴宁镇干部。1997年前，陈章庆为张菊娥家完成铝合金门窗120㎡，经结算195元／㎡，计工资2．34万元。陈章庆为在城里买屋基，将5．5万元人民币交杨为仁，托张菊娥帮忙。张菊娥将5．5万元连同应付陈章庆铝合金工资款2．34万元，共计7．84万元交给吴宁镇里托村张向晨帮忙，但未立字据。1997年7月21日，张菊娥在陈章庆拟定的结算借据上签了“借款人张菊娥”字样。后陈章庆、张菊娥多次向张向晨催要屋基款未果。因张向晨外出下落不明，陈章庆遂诉至法院，要求张菊娥归还7．84万元。

提问:（1）请分析本案涉及到的法律关系？ 委托代理关系

（2）陈章庆要求张菊娥归还7.84万元的诉讼请求是否能够得到法院的支持？为什么？

能得到法院的支持。因为陈章庆与张菊娥之间有借账关系，二者之间有借款票据纸质证明，且由代理者之间的三方关系以及委托代理的法律要求可知，张菊娥应该支付7.84万。4.原告：李二娇。

被告：张士辉。

第三人：张士琴。

南山区人民法院审理查明：原告李二娇的丈夫张亚罗，５０年代向深圳南头信用合作社投资认购股份二股（１元一股）。１９８７年深圳市发展银行成立时，将上述二股转为股票１８０股。１９９０年分红、扩股时，１８０股又增至２８８股。原认股人张亚罗于１９８８年去世，２８８股的股票由原告持有。以前，张亚罗曾委托被告张士辉到证券公司领取股息，办理扩股等手续。１９９０年４月，原告将股票交由被告，委托其代领股息。１９９０年４月２５日，被告通过证券公司以每股３．５６元的价格，将张亚罗名下的２８８股股票，过户到其妹妹、第三人张士琴的名下。事后，被告扣除税款和手续费后，托其母吴圆友将过户股票的股息及卖股票款９８０元交给原告。同年８月２５日，原告将票据交给女婿看后，发现２８８股发展银行的股票已被被告过户到张士琴的名下。原告向被告索要股票，被告予以拒绝，遂于１９９１年４月向法院提起诉讼。

提问：

（1）请分析本案涉及的代理关系？说明是何种代理？该种代理产生的依据是什么？

答：被代理人：李二娇；代理人：张士辉；第三人：证券公司。委托代理依据：意思表示发生的合法行为。案列中李二娇委托张士辉到证券公司办理领取股息，扩股等手续。属于委托的代理关系。

（2）你认为本案应如何处理？理由是什么？

答： 李二桥得到原股票。李二娇只是委托张士辉代领股息，张士辉在李二桥不知情下转让股票不合法。而且转让于自己亲属可能会使代理人蒙受损失，所以法院应该将股票判还给被代理人李二娇。

5.原告，侯某，北京市通县个体工商户

被告，北京市某电脑公司。

原告经人介绍在经销商郑某处购买计算机11台（组装机），用于个体经营网吧。因所购计算机质量上存在严重缺陷，经多次维修仍然不能正常使用，故诉至法院请求判决被告承担退货并赔偿损失的法律责任。经法庭调查，被告出示的一份代理《协议》，《协议》的签定人是郑某与被告北京市某电脑公司，郑某是以自然人的身份签定该经营协议。《协议》规定“使用‘金某某’的名义，从事一切有关销售‘金某某电脑’的商业活动”。具体地说，协议许可郑某销售“金某某”牌电脑，但是，原告所购买的计算机不是被告生产的品牌机“金某某”牌电脑，因此被告认为，原告购买的组装机和被告无关。被告不应承担赔偿责任。

而原告认为郑某是被告的代理人，基于以下行为：一是包括郑某交给原告的印有“分公司”字样的名片、在收款单上加盖的分公司的印章、告知原告：维修找总公司、提供保修单和在解决组装机故障中的一些语言，等等。二是被原告的一系列行为，包括被告总经理给原告的名片（该名片的纸张材料、印刷内容、格式与郑某的名片完全相同），接受了原告对组装机质量的投诉，接受了郑某出具的保修单，派员为原告进行维修，多次更换组装机的硬盘、主板、鼠标、风扇、内存、键盘、网卡等种类繁多的部件，派员到原告的住所维修组装机，将组装机拉回被原告处进行处理等等。在这一系列行为中，原告出于尽快正常经营的迫切心情，恳求被原告积极处理故障，彻底检查处理组装机的所有问题，被告从来没有拒绝，其员工的服务态度是良好的，是值得称道的。因此，原告认为，被告应该承担赔偿责任。

提问：

（1）本案中郑某的销售行为是个人行为还是该品牌电脑公司的行为？为什么？

答：郑某的额销售行为属于个人行为；组装电脑与完整机有区别，组装机不属于商品，但其所卖商品虽然不是品牌电脑，但是也是买方受益，所以属于个人行为。

由郑某承担责任。

因为侯某是从郑某这购买的电脑，使用后发现是劣质品，所以应该由买家郑某承担损失。郑某代理人超职权 行为责任不属于公司，因此应该郑某承担责任。

第五篇：高考数学复习概率统计典型例题

高考数学复习概率统计典型例题

例1 下列命题：

(1)3，3，4，4，5，5，5的众数是5；

(2)3，3，4，4，5，5，5的中位数是4.5；

(3)频率分布直方图中每一个小长方形的面积等于该组的频率；

(4)频率分布表中各小组的频数之和等于1

以上各题中正确命题的个数是 [ ]．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

分析：回忆统计初步中众数、中位数、频数、频率等概念，认真分析每个命题的真假．

解：(1)数据3，3，4，4，5，5，5中5出现次数最多3次，5是众数，是真命题．

(2)数据3，3，4，4，5，5，5有七个数据，中间数据是4不是4.5，是假命题．

(3)由频率分布直方图中的结构知，是真命题．

(4)频率分布表中各小组的频数之和是这组数据的个数而不是1，是假命题．

所以正确命题的个数是2个，应选B．

例2 选择题：

(1)甲、乙两个样本，甲的样本方差是0.4，乙的样本方差是0.2，那么 [ ]

A．甲的波动比乙的波动大；

B．乙的波动比甲的波动大；

C．甲、乙的波动大小一样；

D．甲、乙的波动大小关系不能确定．

(2)在频率直方图中，每个小长方形的面积等于 [ ]

A．组距 B．组数

C．每小组的频数 D．每小组的频率

分析：用样本方差来衡量一个样本波动大小，样本方差越大说明样本的波动越大．

用心 爱心 专心

122号编辑

解：(1)∵0.4＞0.2，∴甲的波动比乙的波动大，选A．

例3 为了了解中年人在科技队伍中的比例，对某科研单位全体科技人员的年龄进行登记，结果如下(单位：岁)

44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，45，28．

列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．

解：按五个步骤进行：

(1)求数据最大值和最小值：

已知数据的最大值是67，最小值是28

∴最大值与最小值之差为67-28=39

(2)求组距与组数：

组距为5(岁)，分为8组．

(3)决定分点

(4)列频分布表

用心 爱心 专心

122号编辑

(5)绘频率分布直方图：

例4 某校抽检64名学生的体重如下(单位：千克)．

列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．

分析：对这组数据进行适当整理，一步步按规定步骤进行．

解：(1)计算最大值与最小值的差：48-29=19(千克)

(2)决定组距与组数

样本容量是64，最大值与最小值的差是19千克，如果取组距为2千克，19÷2=9.5，分10组比较合适．

(3)决定分点，使分点比数据多取一位小数，第一组起点数定为28.5，其它分点见下表．

(4)列频率分布表．

用心 爱心 专心

122号编辑

(5)画频率分布直方图(见图3-1)

说明：

长方形的高与频数成正比，如果设频数为1的小长方形的高为h，频数为4时，相应的小长方形的高就应该是4h．

例5 有一个容量为60的样本，(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表：

(1)填出表中所剩的空格；

(2)画出频率分布直方图．

分析：

用心 爱心 专心

122号编辑

各组频数之和为60

各组频率之和为1

解：

因为各小组频率之和=1

所以第4小组频率=1-0.05-0.1-0.2-0.3=0.35

所以第4小组频数=0.35×60=第5小组频数=0.3×60=18

(2)

例6 某班学生一次数学考试成绩的频率分布直方图，其中纵轴表示学生数，观察图形，回答：

(1)全班有多少学生？

用心 爱心 专心

122号编辑

(2)此次考试平均成绩大概是多少？

(3)不及格的人数有多少？占全班多大比例？

(4)如果80分以上的成绩算优良，那么这个班的优良率是多少？

分析：根据直方图的表示意义认真分析求解．

解：(1)29～39分1人，39～49分2人，49～59分3人，59～69分8人，69～79分10人，79～89分14人，89～99分6人．

共计 1+2+3+8+10+14+6=44(人)

(2)取中间值计算

(3)前三个小组中有1+2+3=6人不及格占全班比例为13.6%．

(4)优良的人数为14+6=20，20÷44=45.5%．

即优良率为45.5%．

说明：频率分布表比较确切，但直方图比较直观，这里给出了直方图，从图也可以估计出一些数量的近似值，要学会认识图形．

例7 回答下列问题：

用心 爱心 专心

122号编辑

总是成立吗？

(2)一组数据据的方差一定是正数吗？

总是成立吗？

(4)为什么全部频率的累积等于1？

解：(1)证明恒等式的办法之一，是变形，从较繁的一边变到较简单的一边．这

可见，总是成立．

顺水推舟，我们用类似的方法证明(3)；注意

那么有

(2)对任一组数x1，x2，„，xn，方差

这是因为自然数n＞0，而若干个实数的平方和为非负，那么S2是有可对等于0的

从而x1=x2=„=xn，就是说，除了由完全相同的数构成的数组以外，任何数组的方差定为正数．

用心 爱心 专心

122号编辑

(4)设一个数组或样本的容量为n，共分为m个组，其频数分别为a1，a2，„，am，按规定，有

a1+a2+„+am=n，而各组的频率分别a1／n，a2／n，„，am／n，因此，有

说明：在同一个问题里，我们处理了同一组数据x1，„，xn有关的两个数组f1，f2，„，fk和a1，a2，„，am，前者是说：在这组数中，不同的只有k个，而每个出现的次数分别为f1，„，fk；后者则说明这组数所占的整个范围被分成了m个等长的区间，出现在各个区间中的xi的个数分别为a1，„，am，可见，a1，„，an是f1，„fk的推广，而前面说过的众数，不过是其fi最大的那个数．

弄清研究数组x1，„，xn的有关数和概念间的联系与区别，是很重要的．

例8 回答下列问题：

(1)什么是总体？个体？样本？有哪些抽样方法？

(2)反映样本(或数据)数量水平的标志值有哪几个？意义是什么？怎样求？

(3)反映样本(或数据)波动(偏差)大小的标志值有哪几个？怎样求？有什么区别？

(4)反映样本(或数据)分布规律的数量指标和几何对象是什么？获得的一般步骤是什么？

解：这是一组概念题，我们简略回答：

(1)在统计学里，把要考查对象的全体叫做总体；其中每个考查对象叫个体；从总体中抽出的一部分个体叫做总体的一个样本；样本中个体的数目，叫做样本的容量．

应指出的是，这里的个体，是指反映某事物性质的数量指标，也就是数据，而不是事物本身，因此，总体的样本，也都是数的集合．

抽样方法通常有三种：随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，基本原则是：力求排除主观因素的影响，使样本具有较强的代表性．

(2)反映样本(或数据)数量水平或集中趋势的标志值有三个，即平均数、众数和中位数．

有时写成代换形式；

用心 爱心 专心

122号编辑

有时写成加权平均的形式：

其中，又有总体平均数(总体中所有个体的平均数)和样本平均数(样本中所有个体的平均数)两种，通常，我们是用样本平均数去估计总体平均数．且一般说来，样本容量越大，对总体的估计也就越精确．

(ii)众数，就是在一组数据中，出现次数最多的数．通常采用爬山法或计票画“正”法去寻找．(爬山法是：看第一个数出现次数，再看第二、三、„„有出现次数比它多的，有，则“爬到”这个数，再往后看„„)．

(iii)中位数是当把数据按大小顺序排列时，居于中间位置的一个数或两个数的平均，它与数据的排列顺序有关．

此外，还有去尾平均(去掉一个最高和一个最低的，然后平均)、总和等，也能反映总体水平．

(3)反映样本(数据)偏差或波动大小的标志值有两个：

(ii)标准差：一组数据方差的平方根：

标准差有两个优点，一是其度量单位与原数据一致；二是缓解S2过大或过小的现象．方差也可用代换式简化计算：

(4)反映数据分布规律的是频率分布和它的直方图，一般步骤是：

(i)计算极差=最大数-最小数；

用心 爱心 专心

122号编辑

(iii)决定分点(可用比数据多一位小数的办法)；

(v)画频率分布直方图．

其中，分布表比较确切，直方图比较直观．

说明：此例很“大”，但是必要的，因为，当前大多数的中考题，很重视基本内容的表述，通过“填空”和“选择”加以考查，我们要予以扎实．而更为重要的，这些概念和方法，正是通过偶然认识必然，通过无序把握有序，通过部分估计整体的统计思想在数学中的实现．

用心 爱心 专心

122号编辑