初三第一学期数学期中考试（1）

初三第一学期数学期中考试（1）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．sin60°的值是

（▲）

A．

B．

C．

D．

2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是

（▲）

A．x2+2x=x2-3

B．ax2+bx+c=0

C．

2x(x+1)=-3

D．x2+2y2-1=0

3．已知圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径R=6，若d是方程x2-x-6=0的一个根，则直线l与圆O的位置关系为

（▲）

A．相切

B．相交

C．相离

D．不能确定

4．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是

（▲）

A．

B．

C．

D．

5．已知下列关于x的方程的两根为，则满足的方程为

（▲）

A．

B．

C．

D．

A

D

E

B

C

第4题图

第8题图

第9题图

第10题图

F

C

A

B

D

E

6．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20

cm，则它的宽约为

（▲)

A．12．36

cm

B．13．6

cm

C．32．36

cm

D．7．64

cm

7．下列说法正确的是

（▲）

A．等弧所对的圆心角相等

B．优弧一定大于劣弧

C．经过三点可以作一个圆

D．相等的圆心角所对的弧相等

8．如图，在⊙O中，＝，点D在⊙O上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝

（▲)

A．45°

B．50°

C．55°

D．60°

9．如图，在△ABC中，AC＝5，∠C＝60°，点D、E分别在BC、AC上，且CD＝CE＝2，将△CDE沿DE所在的直线折叠得到△FDE（点F在四边形ABDE内），连接AF，则AF的长为

（▲）

A．

B．

C．

D．

－0.5

10．如图，已知半径为5的⊙A经过点E、B、C、O，且点A的纵坐标为4，O（0，0），则cos∠OBC的值为

（▲）

A．

B．

C．

D．

二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分

11．比例尺为1∶50000的地图上,量得两地相距4厘米，则两地的实际距离为

▲

米．

12．若，则的值为

▲

.13．已知关于的一元二次方程(k－1)x2－2x+1=0有实数根，则的取值范围是

▲

.14．已知：点O是△ABC的外心，∠OAB=40°，则∠ACB的大小为

▲

．

15．某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1∶，堤坝高BC=50m，则AB=

▲

m．

16．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，点G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E．若BC=6cm，则GE=

▲

cm．

17．如图，数轴上半径为2的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向左运动，同时距原点右边7个单位有一点P以每秒5个单位的速度向左运动，经过

▲

秒，点P在⊙O上．

第15题图

第16题图

第17题图

第18题图

18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1－a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以

D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是

▲

．

三、解答题：本大题共10小题，共84分

19．（本题满分4分）计算

20．（本题满分12分，每小题4分）

解方程：（1）x2＝3x

（2）

3y（y－1）＝2（y－1）

（3）（x－1）（x+2）＝70

21．（本题满分6分）关于x的一元二次方程x2－（k+3）x+2k+2=0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．

22．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．

（1）∠A的正弦值是

▲；

（2）△ABC外接圆的半径是

▲；

（3）已知△ABC与△DEF（点D、E、F都是格点）

成位似图形，则位似中心M的坐标是

▲；

（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A1B1C1，使

△A1B1C1∽△ABC，且相似比为∶1．

23．（本题满分7分）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方米处的点C出发,沿斜面坡度的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米.已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC,AB//DE.求旗杆AB的高度.（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈.计算结果保留根号）

24．（本题满分8分）如图，已知矩形

.（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：

①以点为圆心，以的长为半径画弧交边于点，连接；

②在线段

上作一点，使得∠EFC＝∠BEA；

③连接．

（2）在（1）作出的图形中，若，求tan∠DAF的值.25．（本题满分9分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：∠DAC=∠DBA；

（2）求证：P是线段AF的中点；

（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求DE的长.26．（本题满分10分）为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，舒华公司有两种型号的健身器可供选择.（1）舒华公司2016年每套型健身器的售价为万元，经过连续两年降价，2018年每套售价为

万元，求每套型健身器年平均下降率；

（2）2018年市政府经过招标，决定年内采购并安装舒华公司两种型号的健身器材共套，采购专项费总计不超过万元，采购合同规定：每套型健身器售价为万元，每套型健身器售价为

万元.①型健身器最多可购买多少套？

②安装完成后，若每套型和型健身器一年的养护费分别是购买价的和.市政府计划支出

万元进行养护.问该计划支出能否满足一年的养护需要？

27．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，P是射线AB上一动点，设AP＝a，以AP为直径作⊙C.（1）求cos∠ABO的值；

（2）当a为何值时，⊙C与坐标轴恰有3个公共点；

（3）过P作PM⊥x轴于M，与⊙C交于点D，连接OD交AB于点N，若∠ABO=∠AOD，求a的值.C

A

B

O

x

y

P

C

A

B

O

x

y

P

D

M

N

28．（本题满分10分）如图，已知△ABC,CO⊥AB于O,且CO=8，AB=22，sinA=,点D为AC的中点，点E为射线OC上任意一点，连结DE，以DE为边在DE的右侧按顺时针方向作正方形DEFG，设OE=x．

（1）求AD的长；

（2）记正方形DEFG的面积为y，①

求y关于x的函数关系式；

②

当DF∥AB时，求y的值；

（3）是否存在x的值，使正方形的顶点F或G落在△ABC的边上？

若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，说明理由.江阴市第一初级中学2018—2019学年度

第一学期

期中考试

初三数学参考答案

2018.11

一、选择题（本大题共8小题．每小题3分．共24分）

1．D

2．C

3．B

4．C

5．C

6．A

7．A

8．B

9．C

10．B

二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)

11．2000；

12．；

13．k≤2且k≠1；

14．50°或130°；

15．100；

16．2

；17．；

18．6

三、认真答一答

(本大题共8小题．共60分)

19．(本题4分)

解：原式＝

………3分

＝…………4分

20．（本题满分12分，每小题4分）

（1）

x1＝0，x2＝3

（2）

y1＝1，y2＝

（3）

x1＝―9，x2＝8

（关键步骤正确2分，结果正确再得2分）

21．（本题满分6分）

（1）证明：∵△＝[-(k+3)]2-4(2k+2)=k2-2k+1=(k-1)2≥0

∴方程总有两个实数根.…………………………………………………………………………………3分

（2）由原方程变形得：，∴，；………5分

∵方程有一根小于1，∴，∴，即k的取值范围为………6分

A1

B1

C1

22．（本题满分8分）

(1)

⑵

（3）(3，6)

⑷如图所示

（评分标准：每个正确得2分）

23．（本题满分7分）

解：延长ED交BC的延长线于F，过E作EG⊥AB于G

∵Rt△DCF中i=tan∠DCF=

∴∠DCF=30°

又∵CD=4

∴DF=，∴CF=……………………2分

又∵BC=

∴EG=BF=，BG=EF=3.5……3分

∵Rt△AEG中

∴

∴AG=……5分

∴AB=AG+BG=3+3.5，………………………………………………6分

故旗杆AB的高度为（3+3.5）米．…………………………………7分

24．（本题满分8分）

（1）作图正确每个得2分，……4分

（2）求得DF＝5………………6分

求得……8分

25．（本题满分9分）

（1）证明：如图，∵BD平分∠ABC

∴∠5=∠DBC

又∵∠2=∠DBC

∴∠5=∠2

即∠DAC=∠DBA………2分

⑵证明：∵AB为⊙O直径

∴∠ADB=90°……………………………3分

∵DE⊥AB

∴∠AED=90°

∴∠1+∠DAE=∠DAE+∠5=90°

∴∠1=∠5

又∵∠5=∠2

∴∠1=∠2

∴AP=DP……………………………………………………5分

∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2

∴∠3=∠4

∴DP=PF

∴AP=PF

∴P为AF的中点…………………………………………6分

（3）解：连接CD

∵∠DCA=∠5，∠5=∠2

∴∠DCA＝∠2

∴AD=CD=3…………………………………………8分

又∵∠ADB=90°，BD=4

∴AB=

又∵

∴DE＝2.4………………9分

26．（本题满分10分）

解：（1）由题意得：，∴n1＝0.2，n2＝1.8（不合题意，舍去）．……………………………………………………………………2分

答：每套A型健身器材年平均下降率n为20%；……………………………………3分

（2）①设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买（80－m）套，依题意得：1.6m+1.5×（1－20%）×（80－m）≤112，……5分

∴1.6m+96－1.2m≤1.2，∴m≤40，即A型健身器材最多可购买40套；………6分

②设总的养护费用是y元，则

y＝1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×10%×（80－m），∴y＝－0.04m+9.6．……………………………………………………………………8分

∵k＝﹣0.04＜0，∴y随m的增大而减小，…………………………………………9分

∴m＝40时，＝8（万元）．

又∵8万元＜10万元，∴该计划支出能满足养护的需要．…………………………10分

27．（本题满分10分）

解：(1)∵直线

∴A（0，5），B（12，0），；……………………………2分

(2)∵⊙C与坐标轴恰有3个公共点时，⊙C过原点O或⊙C与x轴相切，当⊙C过原点O时易知P与A重合；……3分

当

⊙C与x轴相切时，作CH⊥x轴于H，则CH＝,∵易得△CHB∽△AOB，……4分

综上所述：；………………………………5分

(3)如图2，连接AD，∵AP是⊙O直径,∴∠ADP＝90°，,轴，.又∵∠AOB＝90°

∴四边形AOMD为矩形…………………………………………6分

∴∠OAD＝90°，AD∥OB

∴∠DAP＝∠ABO

∴cos∠DAP＝cos∠ABO＝

∵∠ABO＝∠AOD，∵在Rt△ADO中，…………………8分

∵在Rt△ADP中，∴AP＝

即a的值为……10分

图2

图1

图3

28．（本题满分10分）

解：（1）AD＝5

…………………………………………2分

（2）①如图1，过点D作DH⊥OC于H，∴y＝DE2=

EH2

+DH2＝（x－4）2+9

＝…………………………4分

②当DF∥AB时，点H即为正方形DEFG的中心

∴EH＝DH＝3

∴x＝4+3＝7

∴y=（7－4）2+9＝18

………………………………6分

（3）①当点F落在BC边上时，如图2，易得△DEM≌△EFN

得x=

…………………………………………7分

②当点G落在BC边上时，如图3，易得△DEM≌△GDN

得x＝21

………………………………………………8分

③当点F落在AB边上时，如图4，由①同理可得△DEM≌△EFO

即x=3

………………………………………………9分

④当点G落在AC边上时，如图5，由△DCE∽△OCA

得x＝

………………………………………………10分

图4

图5