专题三
分式、二次根式
一、单选题
1.已知y＝
＋
－3，则2xy的值为（）
A.－15 B.15 C.－
D.2.（2019·江川模拟）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）
A.﹣2a-b B.2a﹣b C.﹣b D.b
3.（2020九下·重庆月考）如果2x-y=，那么代数式的值为（）
A.-
B.C.2 D.-2
4.（2019·北京模拟）如果a+b＝2，那么代数式的值是（）
A.B.1 C.D.2
5.若x＜2，化简
＋|3－x|的正确结果是（）
A.－1 B.1 C.2x－5 D.5－2x
6.乐陵市某中学八年级教师为鼓励学生合作学习设计了一个接力游戏——用合作的方式完成分式化简.规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的情况是（）
A.只有甲出错 B.甲和乙 C.乙和丙 D.丙和丁
7.（2019·东台模拟）使
有意义的x的取值范围是（）
A.x＞
B.x＞-
C.x≥
D.x≥-
8.（2020·长春模拟）若使
有意义，由x的取值范围是（）
A.x>3 B.x>-3 C.x≥3． D.x≥-3
9.（2019·双柏模拟）下列运算正确的是（）
A.4a2÷2a2＝2 B.﹣a2•a3＝a6 C.D.10.（2020九上·郑州期末）下列计算正确的是（）
A.2007
＝0 B.5
＝﹣15 C.a
÷a
＝a
D.﹣8x
y
÷4xy
＝﹣2xy
11.一个三角形的三边长分别为1，k，4，化简|2k－5|－的结果是（）
A.3k－11 B.k＋1 C.1 D.11－3k
12.（2020·百色模拟）成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克.数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）
A.46×10﹣7 B.4.6×10﹣7 C.4.6×10﹣6 D.0.46×10﹣5
13.把代数式(a－1)的a－1移到根号内，那么这个代数式等于（）
A.－
B.C.D.－
14.下列计算错误的有（）
①(－)－3＝8；②（－π)0＝1；③39÷3－3＝3－3；④9a－3·4a5＝36a2；⑤5x2÷(3x)×
＝5x2.A.①③④ B.②③④ C.①②③ D.①③⑤
15.（2017·大理模拟）下列运算正确的是（）
A.sin60°=
B.a6÷a2=a3 C.（﹣2）0=2 D.（2a2b）3=8a6b3
16.（2020·北京模拟）已知：，，则
A.B.C.D.17.下列运算正确的是（）
A.（2x3y）2=4x6y2 B.=× C.a6÷a3=a2 D.a4+a2=a6
18.（2019·蒙自模拟）下列各式中，运算正确的是（）
A.a6÷a3＝a2 B.C.D.19.（2019·上海模拟）方程的解为（）
A.x＝4 B.x＝7 C.x＝8 D.x＝10．
20.已知a＋
＝，则a－的值为（）
A.±2
B.8 C.D.±
二、填空题
21.（2019·乌鲁木齐模拟）式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是________.22.（2018九上·恩阳期中）最简二次根式
与
可以合并，则的值是________
23.（2020九下·下陆月考）函数
中自变量x的取值范围是________.24.（2017·莱芜）（﹣）﹣3﹣2cos45°+（3.14﹣π）0+
=________．
25.（2020九上·郑州期末）要使分式
有意义，则x的取值范围是________.26.（2019·五华模拟）工匠绝技，精益求精，中国船舶重工的钳工顾秋亮凭着精到丝级的手艺，为海底探索者7000米级潜水器“蛟龙号”安装观察窗玻璃，成功地将玻璃与金属窗座之间的缝隙控制在0.2丝米以下已知1丝米＝0.0001，0.2丝米＝0.00002米，则用科学记数表示数据0.00002为________.27.（2019·青浦模拟）方程的根是________．
28.若
＋
＝
＋|2c－6|，则bc＋a的值为________．
29.（2020·北京模拟）当
________时，分式的值为0．
30.（2019·黄陂模拟）如果，那么代数式的值是________.三、解答题
31.（2019·朝阳模拟）先化简：
;再在不等式组的整数解中选取一个合适的解作为a的取值，代入求值.32.（2020九下·镇平月考）先化简，再求值：，其中整数x与2、3构成△ABC的三条边长.33.化简，并求值，其中a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数．
34.（2019九上·新蔡期中）如图，面积为48cm2的正方形，四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积.35.（2020·玉林模拟）化简分式，并选取一个你认为合适的整数a代入求值．
36.（2019九上·灌云月考）已知9+
与9﹣的小数部分分别为a和b，求ab﹣3a+4b+10的值．
37.（2020·郑州模拟）先化简，再求值：
÷（﹣x+1），其中x=sin30°+2﹣1+
．
38.（2019九下·宁都期中）
（1）计算：﹣14﹣2×（﹣3）2+
÷（﹣）
（2）如图，小林将矩形纸片ABCD沿折痕EF翻折，使点C、D分别落在点M、N的位置，发现∠EFM=2∠BFM，求∠EFC的度数．
39.（2019·红塔模拟）观察下面的变形规律：；
；
；….解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想
＝________；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：
+
+
+…+
.40.（2019九上·海门期末）
（1）计算：；
（2）先化简，再求代数式的值：，其中
.41.（2019·增城模拟）已知
．
（1）化简；
（2）如果、是方程的两个根，求的值．
42.（2019·朝阳模拟）某学生在化简求值：，其中x＝
时出现不符合题意，解答过程如下，原式＝
（第一步）
＝
（第二步）
＝
（第三步）
当x＝
是，原式＝
（第四步）
（1）该学生解答过程从第________步开始出错的，其不符合题意原因是________．
（2）写出此题的符合题意解答过程．
43.（2019·盘龙模拟）设M＝
（1）化简M；
（2）当a＝1时，记此时M的值为f（1）＝；
当a＝2时，记此时M的值为f（2）＝；
当a＝3时，记此时M的值为f（3）＝
……
当a＝n时，记此时M的值为f（n）＝________；则f（1）+f（2）+…+f（n）＝________；
（3）解关于x的不等式组：
≤f（1）+f（2）+f（3）并将解集在数轴上表示出来.44.（2019·越秀模拟）已知
（1）化简T；
（2）若x满足，求T的值．
45.（2019·南京模拟）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如：，则
是“和谐分式”.（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是________(填序号)；
①
；②
；③
；④；
（2）将“和谐分式”
化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：
＝________(要写出变形过程)；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数.答案解析部分
一、单选题
1.A
【解答】解：由题意可得：,解得
x=,将x=代入方程
y＝ ＋ －3
得出y=-3,∴2xy=2×=-15.故答案为：A.【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，求解得出x的值，将x的值代入方程即可算出y的值，从而即可解决问题.2.A
【解答】解：由图可知：，∴，∴
.故答案为：A.【分析】观察数轴可知a＜0＜b，|a|＞|b|，由此可得到a+b＜0，然后利用二次根式的性质及绝对值的意义进行化简。
3.A
【解答】解：原式=
∵2x-y=
∴-2x+y=-
故答案为：A.【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分式的除法转化为乘法运算，再约分化简，然后代入求值。
4.A
【解答】解：
＝
＝
＝，当a+b＝2时，原式＝，故答案为：A．
【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将a+b＝2代入化简后的式子即可解答本题．
5.D
【解答】解：∵x<2，∴|x-2|=2-x，|3-x|=3-x，原式=|x-2|+|3-x|=2-x+3-x=5-2x.故答案为：D.【分析】根据二次根式的性质，绝对值的性质，先化简代数式，再合并同类项即可.6.B
【解答】解：由教师到甲：，故甲错误；
由甲到乙：，故乙错误；
由乙到丙：，故丙正确；
由丙到丁：，故丁正确.故答案为：B.【分析】看整式看成分母为1的式子，通分计算出老师所给的题即可判断甲；然后将甲的题利用同分母分式的减法法则进行计算即可判断乙；丙做乙给的题的时候只需要将分子合并同类项，进而丁将丙所给的题的分子利用加法的交换律，从而即可一一判断得出答案.7.C
【解答】由题意得：3x－1≥0，解得x≥
.故答案为：C.【分析】使二次根式有意义，即是使被开方数为非负数，据此解答即可.8.C
【解答】解：∵二次根式有意义
∴x-3≥0
∴x≥3.故答案为：C.【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数不为0，即可得到关于x的不等式，得到x的取值范围。
9.A
【解答】解：A、4a2÷2a2＝2，故原题计算正确；
B、﹣a2•a3＝﹣a6，故原题计算错误；
C、不能化简，故原题计算错误；
D、﹣
＝2
﹣
＝，故原题计算错误；
故答案为：A.【分析】根据单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根；二次根式相加减，先化简，后合并分别进行计算.10.D
【解答】A、20070＝1，故A错误；
B、5﹣3＝
＝，故B错误；
C、a6÷a3＝a3，故C错误；
D、﹣8x2y5÷4xy4＝﹣2xy，故D正确，故答案为：D.【分析】根据任何不等于0的零次幂都等于1，可对A作出判断；利用负整数指数幂的计算方法，可对B作出判断；根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对C作出判断；然后利用单项式除以单项式的法则，可对D作出判断。
11.A
【解答】解：∵三角形的三边长分别为1、k、4，∴4-1＜k＜1+4，即3＜k＜5，∴，2k−5＞0，k−6＜0，∴|2k−5|−
=2k−5−=2k−5−=2k−5−[−（k−6）]＝3k−11．
故答案为：A.【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可列出不等式组，求解得出k的取值范围，再根据k的取值范围及二次根式的性质绝对值的意义对代数式进行化简．
12.C
【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6.故答案为：C.【分析】绝对值小于1的正数可以用科学计数法的表示，一般形式为a×10-n的形式。其中1≤|a|＜10，-n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数。
13.A
【解答】解：==.故答案为：A.【分析】根据二次根式的概念和性质进行化简即可.正确理解二次根式的性质和化简及准确运用是解题关键.14.D
【解答】解：①，故①错误；
②，故②正确；
③39÷3-3=39-（-3）=312，故③错误；
④
9a－3·4a5＝36a2；
故④正确；
⑤原式=5x2×，故⑤错误.计算错误的序号为：①③⑤
故答案为：
①③⑤.【分析】利用负整数指数幂的意义可对①作出判断；任何不等于0的数的零次幂都等于1，可对②作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对③作出判断；利用整式乘法和除法法则进行计算，可对④⑤作出判断，继而可得计算错误的序号。
15.D
【解答】解：∵sin60°=，∴选项A不符合题意；
∵a6÷a2=a4，∴选项B不符合题意；
∵（﹣2）0=1，∴选项C不符合题意；
∵（2a2b）3=8a6b3，∴选项D符合题意．
故选：D．
【分析】根据同底数幂的除法，零指数幂的运算方法，特殊角的三角函数值，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．
16.B
【解答】解：设，化简得：，①
将①代入
得，解得：
或，当
时，代入①得分母为负值，分子
为正，与，矛盾，故舍掉．
故答案为：B．
【分析】设，将x用y表示出来，进而将其代入原式得到关于t的方程，求解得到t的值，再根据x>0，y>0进行验证.17.A
【解答】解：A、原式=4x6y2，正确；
B、原式=，错误；
C、原式=a3，错误；
D、原式不能合并，错误，故选A
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
18.C
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故本选项错误；
B、＝2，故本选项错误；
C、1÷（）﹣1＝1÷
＝，故本选项正确；
D、（a3b）2＝
a6b2，故本选项错误.故答案为：C.【分析】根据同底数幂的除法、算术平方根的意义、负整数指数幂的意义、积的乘方逐项计算
19.D
【解答】将方程两边平方得x﹣1＝9
解得：x＝10
经检验：x＝10是原无理方程的解
故答案为：D
．
【分析】将等式两边同时平方得到一元一次方程x﹣1＝9，解方程并检验即可解题.20.D
【解答】解：∵，∴==.故答案为：D.【分析】根据完全平方公式的变形将化成的形式，再将已知代入即可.解题的关键是掌握完全平方公式的几种变形形式.二、填空题
21.x≤2
【解答】解：依题意，得
2﹣x≥0，解得，x≤2.故答案是：x≤2.【分析】二次根式的被开方数是非负数.22.3
【解答】∵最简二次根式
与
可以合并，∴最简二次根式
与
是同类二次根式，∴16−3m=4m−5，解得m=3.故答案为：3.【分析】若两个二次根式可以合并，那么其为同类二次根式，即被开方数相同，求出m的值即可。
23.且
【解答】由开方数的非负性、分式的分母不能为0得
解得
故答案为：
且
.【分析】根据开方数的非负性、分式的分母不能为0列出式子求解即可.24.﹣7+
【解答】解：原式=﹣8﹣
+1+2
=﹣7+，故答案为：﹣7+
【分析】根据实数的运算法则先算乘方，再算乘除，后算加减，逐步计算；需注意2cos45°=，把化简为2，零指数幂为1，再化简为最简二次根式.25.x≠2
【解答】根据题意得，2﹣x≠0，解得x≠2.故答案为：x≠2.【分析】根据分式有意义的条件是分母≠0，据此建立关于x的不等式，再解不等式。
26.2×10﹣5
【解答】解：0.000
02＝2×10﹣5.故答案为：2×10﹣5.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.27.x＝±
【解答】
经检验
x＝±
是原方程的根，∴x＝±
．
故答案为x＝±
．
【分析】二次根式的值为非负数，被开方数也为非负数．
28.－3
【解答】解：由题干知：a-5≥0，且5-a≥0，∴a=5，∴，∴b+2=0，2c-6=0，解得：b=-2，c=3，∴bc+a=(-2)3+5=-3.故答案为：-3.【分析】根据二次根式的意义：被开方数是非负数，则a-5≥0，且5-a≥0，进而求得a的值，再化简题干中的式子为，再根据二次根式及绝对值的非负性，只能是b+2=0，2c-6=0，进而求得b、c的值，代入计算即可.29.-3
【解答】解：由题意可知：
解得：，故答案为：.【分析】分式的值为0，则分式的分子为0，且分母不为零，联立求解即可得到m的值.30.【解答】∵，∴m=
n，∴
·(2m＋n)
=
=
=
=，故答案为：
.【分析】由
可得m=
n，所求式子经过化简后将m=
n代入进行计算即可得.三、解答题
31.解：原式=
﹣
=1﹣
=
﹣
=﹣
解不等式3﹣（a+1）＞0，得：a＜2，解不等式2a+2≥0，得：a≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤a＜2，其整数解有﹣1、0、1.∵a≠±1，∴a=0，则原式=1.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式的解集，在其解集范围内选取合适的a的值代入分式进行计算即可.32.解：原式＝
＝
＝，∵整数x与2、3构成△ABC的三条边长，∴1＜x＜5，即x＝2，3，4，∵，∴x≠2，当x＝3时，原式＝
＝1.当x＝4时，原式=
.【分析】根据题意，先把分式进行化简，得到最简分式，然后结合三角形的三边关系，求出x的值，再代入计算，即可得到答案.33.解：原式＝
＝
＝
＝，∵a与2，3构成△ABC的三边，∴1＜a＜5，且a为整数，∴a＝2，3，4，又∵a≠2且a≠3，∴a＝4，当a＝4时，原式＝1．
【分析】将分子分母中能分解因式的先分解因式，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简，再利用分式的加法运算可得结果；然后利用三角形的三边关系定理及分式有意义的条件，求出符合题意的a的值，将a的值代入代数式计算即可。
34.12
cm3
【解答】解：∵大正方形面积为48cm2，∴边长为
=4
cm，∵小正方形面积为3cm2，∴边长为
cm，∴长方体盒子的体积=（4
-2）2•
=12
cm3.【分析】由大正方形的面积可求出边长，再由小正方形面积求出边长，然后由底面积乘以高得到盒子体积.35.解：原式=
=
﹣1=，当a=1时，原式=2．
【分析】原式第一项利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后计算得到最简结果，将a=1代入计算即可求出值．
36.解：∵3＜
＜4，∴12＜9+
＜13，5＜9﹣
＜6，∴9+的小数部分为：a＝9+
﹣12＝
﹣3，9﹣的小数部分为：b＝9﹣
﹣5＝4﹣，∴ab﹣3a+4b+10
＝（﹣3）（4﹣）﹣3（﹣3）+4（4﹣）+10
＝
－13－12＋
－
＋9＋16－
＋10
＝（＋
－
－）＋（﹣13－12＋9＋16）＋10
＝10．
【分析】首先利用夹逼法得出的取值范围，再得出a，b的值，再根据二次根式的混合运算法则计算即可得出答案．
37.解：当x=sin30°+2﹣1+
时，∴x=
+
+2=3，原式=
÷
=
=﹣5.【分析】根据分式的运算法则以及实数的运算法则即可求出答案．
四、综合题
38.（1）解：原式=﹣1﹣18+9=﹣10
（2）解：由折叠得：∠EFM=∠EFC，∵∠EFM=2∠BFM，∴设∠EFM=∠EFC=x，则有∠BFM=
x，∵∠MFB+∠MFE+∠EFC=180°，∴x+x+
x=180°，解得：x=72°，则∠EFC=72°．
【分析】(1)原式利用乘方的意义，立方根定义，乘除法则及家减法法则计算即可;(2)根据折叠的性质得到一对角相等,再由已知角的关系求出结果即可.39.（1）
（2）解：
（3）解：
＝
＝1﹣
＝
.【解答】解：（1）由，…则：；
【分析】（1）观察规律可得：
；（2）根据分式加减法的运算法则求解即可证得结论的正确性；（3）利用上面的结论，首先原式可化为：
继而可求得答案.40.（1）解：原式＝
＝
＝5；
（2）解：原式＝
＝
＝
＝，当a＝
时，原式＝
.【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得.41.（1）解：
（2）解：∵、是方程，∴，∴
【分析】（1）先通分，再进行同分母的减法运算，然后约分得到原式
（2）利用根与系数的关系得到
然后利用整体代入的方法计算．
42.（1）一；分式的基本性质用错
（2）解：
＝
＝
＝，当x＝
时，原式＝
【解答】解：（1）由题目中的式子可知，该学生解答过程从第一步开始出错，其不符合题意原因是分式的基本性质用错，故答案为：一，分式的基本性质用错；
【分析】（1）根据题目中的式子和分式的基本性质可以解答本题；（2）根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
43.（1）解：M＝
＝
＝
（2）；＝
（3）解：原不等式组化为
解不等式①得：x≤3，解不等式②得
x＞﹣1，∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤3，在数轴上表示如下：
【解答】（2）解：由题意可得，＝1﹣
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案；（2）根据题意得到规律，再进行化简f(1）+f（2）……+f（n），(3)
根据一元一次不等式组即可求出答案.44.（1）解：
（2）解：由，得到，解得：
或
舍去，则当
时，．
【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；（2）把已知等式变形后代入计算即可求出T的值．
45.（1）①③④
（2）解：
（3）解：原式=
∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数
此时x=0或﹣2或1或﹣3
又∵分式有意义时x≠0、1、﹣1、﹣2，∴x=﹣3.【解答】解：（1）①，是和谐分式；③，是和谐分式；④，是和谐分式；
故答案为：①③④；
【分析】（1）由“和谐分式”的定义对①③④变形即可得；（2）由原式=
可得；（3）将原式变形为，据此得出x+1=±1或x+1=±2，即x=0或-2或1或-3，又x≠0、1、-1、-2，据此可得答案.
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