2021中考
临考专题训练：等腰三角形
一、选择题
1.如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=
()
A.50°
B.100°
C.120°
D.130°
2.（2020·临沂）如图，在中，，则（）
A.40°
B.50°
C.60°.D.70°
3.如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为
()
A.(1，1)
B.(1，)
C.(，1)
D.()
4.(2020·青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）
A．55°，55°
B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40°
D．55°，55°或70°，40°
5.（2020·铜仁）已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（）
A．2
B．3
C．4
D．4
6.如K19-6，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为
()
A.35°
B.40°
C.45°
D.50°
7.△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是()
A.120°
B.125°
C.135°
D.150°
8.（2020·烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（）
A．B．
C．
D．
二、填空题
9.已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为.10.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)
①∠BAD＝∠ACD
②∠BAD＝∠CAD
③
AB＋BD＝AC＋CD
④
AB－BD＝AC－CD
11.（2020·宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）.测得的相关数据为：∠ABC=
60°，∠ACB=
60°，BC=
48米，则AC=
米．
12.(2019•怀化)若等腰三角形的一个底角为，则这个等腰三角形的顶角为__________．
13.（2020·湖北孝感）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为________米．（结果保留根号）
14.如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．
15.（2020·营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为
．
16.(2019•哈尔滨)在中，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为__________．
三、解答题
17.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数;
(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.18.已知：如图，B，E，F，C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C.求证：OA＝OD.19.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.20.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;
(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.21.如图，已知、分别为中、的平分线，于，于，求证：．
22.(2020·荆门)如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．
(1)若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
(2)若AD＝DC＝2，求AF的长．
F
D
E
C
A
B
23.如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC2＝CD·CA，＝，BE交AC于点F.(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)判断△BCF的形状并说明理由；
(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求的长度(结果保留π).24.（12分）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
2021中考
临考专题训练：等腰三角形-答案
一、选择题
1.【答案】B
2.【答案】D
【解析】
根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且，可得：；然后根据两直线平行内错角相等且可得：，所以选D．
3.【答案】B [解析]过点B作BH⊥AO于点H，∵△OAB是等边三角形，∴OH=1，BH=，∴点B的坐标为(1，).4.【答案】D
【解析】(1)当70°是顶角时，另两个角相等，都等于×(180°－70°)＝55°；(2)当70°是底角时，另一个底角也是70°，顶角＝180°－70°×2＝40°．因此另外两个内角的底数分别是55°，55°或70°，40°．故选D．
5.【答案】C
【解析】设等边三角形的边长为2x，过等边三角形的一个顶点作对边的高，由等边三角形“三线合一”的性质得直角三角形的一条直角边为x，由勾股定理得x2＋（2）2=（2x）2，解得x=4，因此本题选C．
6.【答案】C [解析]因为BD平分∠ABC，AE⊥BD，BF=BF，所以△ABF≌△EBF，易得BD是线段AE的垂直平分线，∠BAF=∠BEF，所以AD=ED，所以∠DEA=∠DAE，所以∠BAD=∠BED=180°-35°-50°=95°，所以∠CDE=∠BED-∠C=95°-50°=45°，故选C.7.【答案】C 【解析】由CD为腰上的高，I为△ACD的内心，则∠IAC＋∠ICA＝(∠DAC＋∠DCA)＝(180°－∠ADC)＝(180°－90°)＝45°，所以∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)＝180°－45°＝135°.又可证△AIB≌△AIC，得∠AIB＝∠AIC＝135°.8.【答案】最小的等腰直角三角形的面积42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则
A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；
B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；
C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；
D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．
故选：D．
二、填空题
9.【答案】50°或80° [解析]当等腰三角形顶角的外角为130°时，顶角为180°-130°=50°;
当等腰三角形底角的外角为130°时，顶角为180°-2×(180°-130°)=80°.故答案为50°或80°.10.【答案】②③④ 【解析】
序号
正误
逐项分析
①
×
△BAD与△ACD中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的角和边，所以不能判定两三角形全等，因而也就不能得出AB＝AC
②
√
∠BAD＝∠CAD结合AD是△ABC的边BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形
③
√
由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD，得AB－BD＝AC－CD，两式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形
④
√
由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD，得AB＋BD＝AC＋CD，两式相加得2AB＝2AC，所以AB＝AC，得△ABC是等腰三角形
11.【答案】48
【解析】
∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，∴∠A=180°－60°－60°=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∵BC=48，∴AC=48
12.【答案】36°
【解析】∵等腰三角形的一个底角为，∴等腰三角形的顶角，故答案为：．
13.【答案】（-1.6）．
【解析】如图，过点A作AMCM于M，则CM=5m，在Rt△BCM中，∠BCM＝30°,所以BM=CMtan30°=.由题意可知△DCN是等腰直角三角形，所以CN=CD=3.4m,所以MN=5-3.4=1.6(m),因为△AMN是等腰直角三角形，所以MN=AM=1.6m，所以AB=BM-AM=（-1.6）m.故答案为（-1.6）．
14.【答案】16 [解析]
如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝AC＝4，∴S△ABC＝AB·DC＝×8×4＝16.15.【答案】
【解析】如图1，根据两点之间线段最短，可得CE+EF≥CF，又根据垂线段最短可得，当CF⊥AB时，CF有最小值，此时CF与AD的交点即为点E（如图2），在Rt△AFC中，AC=6，∠AFC=90°，∠FAC=60°，∴FC=AC·sin60°=6×=．
图1
图2
16.【答案】或
【解析】分两种情况：
①如图1，当时，∵，∴；
②如图2，当时，∵，∴，∴，综上，则的度数为或．故答案为：或．
三、解答题
17.【答案】
解:(1)(方法一):∵AB=AC，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-42°=96°.∵AD⊥BC，∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°.(方法二):∵AB=AC，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°.∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-42°=48°.(2)证明:∵EF∥AC，∴∠CAF=∠F，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AE=FE.18.【答案】
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE.∴AF＝DE，∠AFB＝∠DEC.∴OF＝OE.∴AF－OF＝DE－OE，即OA＝OD.19.【答案】
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝90°，(3分)
∵BE⊥AC,∴∠CBE＋∠C＝90°，∴∠CBE＝∠BAD.(5分)
20.【答案】
解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.21.【答案】
延长、交于点、．
由等腰三角形三线合一可得、再由三角形中位线可得．
22.【答案】
解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝×(180°－40°)＝70°．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝×70°＝35°．
∵AF⊥AB，∴∠BAF＝90°．
∴∠AFE＝∠BAF＋∠ABD＝90°＋35°＝125°．
(2)∵BD平分∠ABC，BD＝BD，AD＝CD，∴△BDA≌△BDC．∴AB＝BC．
又AB＝AC，∴AB＝BC＝AC．
∴△ABC为等边三角形．∴∠ABC＝60°，∠ABD＝30°．
∵AD＝DC＝2，∴AB＝4．
在Rt△ABF中，AF＝AB·tan30°＝4×＝．
说明：此题中的条件AE∥BC是多余的．
【解析】(1)由“等边对等角”求出∠ABC，由角平分线的定义求出∠ABD，∠AFE是△ABF的外角，因此∠AFE＝∠BAF＋∠ABD；
(2)由BD既是△ABC的角平分线又是中线可知AB＝BC，从而推出△ABC是边长为2的等边三角形．在Rt△ABF中可解出AF．
23.【答案】
(1)证明：∵BC2＝CD·CA，∴＝，∵∠C＝∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠CBD＝∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠BAC＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°，即AB⊥BC，又∵AB为⊙O的直径，∴BC为⊙O的切线；
(2)解：△BCF为等腰三角形．
证明如下：∵＝，∴∠DAE＝∠BAC，又∵△CBD∽△CAB，∴∠BAC＝∠CBD，∴∠CBD＝∠DAE，∵∠DAE＝∠DBF，∴∠DBF＝∠CBD，∵∠BDF＝90°，∴∠BDC＝∠BDF＝90°，∵BD＝BD，∴△BDF≌△BDC，∴BF＝BC，∴△BCF为等腰三角形；
(3)解：由(1)知，BC为⊙O的切线，∴∠ABC＝90°
∵BC2＝CD·CA，∴AC＝＝＝25，由勾股定理得AB＝＝＝20，∴⊙O的半径为r＝＝10，∵∠BAC＝36°，∴所对圆心角为72°.则＝＝4π.24.【答案】
【问题解决】在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；
【类比探究】过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；
【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
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