2020届山东师范大学附属中学高三第三次月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，若（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据一元二次不等式求得集合A，从而可求得.【详解】
由得，又，故选：D.【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，集合间的交集运算，属于基础题.2．已知命题“”，则命题（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】试题分析：因为命题“”的否定为：，因此命题“”的否定为：，选A.【考点】命题的否定
3．为了得函数的图象，只需把函数的图象（）
A．向左平移个单位
B．向左平移单位
C．向右平移个单位
D．向右平移个单位
【答案】A
【解析】将函数的图象按图像变换规律逐步变到函数的图象．
【详解】
不妨设函数的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数的图象．
于是，函数平移个单位后得到函数，即，所以有，取，．答案为A．
【点睛】
由函数的图像经过变换得到的图像，在具体问题中，可先平移后伸缩变换，也可以先伸缩后平移变换，但要注意水平方向上的伸缩和平移变换都是针对x值而言，故先伸缩后平移时要把x
前面的系数变为1．
4．已知数列满足且，则（）
A．-3
B．3
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知可得数列是以2为公差的等差数列，再，代入可得选项.【详解】,∴数列是以2为公差的等差数列，，，故选：B.【点睛】
本题考查等差数列的定义，等差数列的项的关系，属于基础题.5．函数是增函数的一个充分不必要条件是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据对数函数的单调性和命题的充分条件、必要条件的判断可得选项.【详解】
∵时，是增函数，∴函数是增函数的一个充分不必要条件是的一个子集，又，故选：D.【点睛】
本题考查对数函数的单调性和命题的充分必要条件的定义和判断，属于基础.6．函数的零点所在区间为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据零点存在原理求出每个区间端点的函数值即可选出正确答案.【详解】，，，由.故选：C
【点睛】
本题考查了零点存在原理，考查了数学运算能力.7．若，，则的最小值为（）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】A
【解析】由对数的运算性质可得，再构造出，根据基本不等式可得最小值.【详解】
∵，∴，∴，当且仅当“”时取等号，∴的最小值为9.故选：A.【点睛】
本题考查对数的运算性质和基本不等式的运用，关键在于“1”的巧妙运用，构造出基本不等式所需的形式，属于中档题.8．已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对函数求导函数，由已知条件得其导函数在上有零点，建立不等式组可得范围.【详解】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点。所以，解得.故选：D.【点睛】
本题主要考查导函数的极值问题，关键在于得出导函数在所给的区间上有零点，转化为求解不等式组的问题，属于基础题,9．泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点A向北偏东前进100
m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为（）
A．50
m
B．100
m
C．120
m
D．150
m
【答案】A
【解析】理解方位角、仰角的含义,画出图形,确定中的边与角,利用余弦定理,即可求得结论.【详解】
如图,为“泉标”高度,设高为米，由题意,平面,米,，．
在中，在中，在中,，,，,由余弦定理可得，解得或
(舍去),故选：B.【点睛】
本题考查利用数学知识解决实际问题,考查余弦定理的运用,解题的关键是确定三角形的边与角,属于中档题.10．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意设，则求导函数分析的正负，得函数在上的单调性，再根据的奇偶性，得的奇偶性，将所求解的不等式转化为，根据分析出的单调性和奇偶性可得不等式的解集.【详解】
根据题意设，则，又当时，则有，所以在上单调递减，又在上是偶函数，所以，所以是偶函数，所以，又为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，解得
或，即不等式的解集为，故选：B.【点睛】
本题以函数和导函数为背景,考查函数的导数与函数单调性的关系,考查逻辑思维、转化与化归思想.创新意识.推理运算能力,考查逻辑推理，数学抽象.数学运算素养.二、多选题
11．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】对每一个选项中的函数分别从是否满足,根据常见的初等函数的单调性判断在上是否单调递增，可得出选项.【详解】
本题主要考查函数的单调性和函数的奇偶性.A项，对于函数，因为，所以函数不是偶函数。故A项不符合题意。
B项，对于函数，因为当时，当，所以函数在区间上不是单调递增的。故B项不符合题意.C项，对于函数，因为定义域为，所以函数为偶函数，因为函数，当时，而，函数在上单调递增，所以函数在区间上为增函数。故C项符合题意.D项，对于函数，因为函数，所以函数是偶函数。而在上单调递增，在上单调递增，所以函数在上单调递增。故D项符合题意.故选：CD.【点睛】
本题考查函数的奇偶性的判断，和一些常见的初等函数的单调性的判断，属于基础题.12．在平面直角坐标系中，角顶点在原点，以正半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于0的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】根据角终边经过点，结合三角函数的定义可以判断角的正弦、余弦、正切的正负性，对四个选项逐一判断即可选出正确答案.【详解】
由题意知，.选项A；
选项B，；
选项C，；
选项D，符号不确定.故选：AB.【点睛】
本题考查了三角函数的定义，属于基础题.13．已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】求导数,利用零点存在定理,可判断A,B;,可判断C，D.【详解】
函数，∵是函数的极值点，∴，即，，,即A选项正确,B选项不正确;,即C正确,D不正确.故答案为:AC.【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的计算能力,属于中档题.三、填空题
14．已知，则的值为________．
【答案】
【解析】利用二倍角公式,和同角三角函数的关系，运用弦化切，代入可求得值.【详解】
原式,又∵，∴原式，故答案为：.【点睛】
本题考查同角三角函数的关系，和运用二倍角公式化简求值问题，关键在于将齐次式转化为正切的式子，属于基础题.15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】根据已知条件得函数是定义在上的减函数，再根据函数是定义在上的奇函数，化简不等式得，解之可得范围.【详解】
根据已知条件：当时，有恒成立，得函数是定义在上的减函数，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，故等价于，所以，即。
故答案为：。
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，关键在于将不等式转化为是两个函数值的不等关系，运用单调性的定义可得所求的范围，属于中档题。
16．设等差数列前n项和为．若，则________，的最大值为________．
【答案】4
【解析】根据等差数列的前n项和公式，可求得，从而可求得数列的公差，得到数列的通项公式和前n项和公式，可求得所需求的值.【详解】
∵数列是等差数列，∵，∴，又，，,∴当或时，有最大值42.故答案为：（1）4；（2）42.【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，和根据二次函数的求得前n项和的最大值，运用是需注意数列的项数应是自然数，属于基础题.17．已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由在同一坐标系中画出函数的图象与函数的图象，利用数形结合，可求出满足条件实数a的取值范围．
【详解】
函数的图象如下图所示，作出直线l：，平移直线l至与之间时，方程有三个不同的实根，而由得，当时，即（舍去）时，得直线，当直线l：，过点时，得直线，此时，所以要使方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是：，故答案为：.【点睛】
本题考查学生综合运用函数和方程的能力，以及让学生掌握数形结合的数学思想，属于中档题．
四、解答题
18．设等差数列前项和为，满足，.（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的通项公式
【答案】(1)
．(2)
【解析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，进而求得数列的通项公式.（2）利用“退作差法”求得的表达式，进而求得数列的通项公式.【详解】
（1）设等差数列首项为，公差为．
由已知得，解得．
于是．
（2）当时，．
当时，当时上式也成立．
于是．
故．
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的计算，考查“退作差法”求数列的通项公式，属于基础题.19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）根据正弦定理，对进行边角互化．再由正弦定理可得，可得的值；
（2）由可知．而，运用余弦定理可求得，进而求得角，运用三角形的面积公式可求得面积．
【详解】
（1）由正弦定理，可化为，也就是．
由中可得．
即．由正弦定理可得，故．
（2）由可知．而，由余弦定理可知．
又，于是．
．
【点睛】
本题考查解三角形的正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，关键在于选择合适的定理进行边角互化，属于中档题.20．设函数.（1）设方程在内有两个零点，求的值；
（2）若把函数的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位，得函数图象，求函数在上的最值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为
【解析】(1)先利用三角诱导公式将函数表达式化简,再由余弦函数图像可得或根据范围可得.(2)根据图像平移得到,由正弦曲线可得最值.【详解】
解：（1）由题设知，或
得或，（2）图像向左平移个单位，得
再向下平移2个单位得
当时，在的最大值为，最小值为.【点睛】
本题考查了三角诱导公式,三角函数图像平移与性质,基础题.21．设函数.（Ⅰ）当，时，恒成立，求的范围；
（Ⅱ）若在处的切线为，且方程恰有两解，求实数的取值范围.【答案】（I）
（II）
【解析】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值大于等于0即可；（2）根据切线得到，方程有两解，可得，所以有两解，令，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数y=m，和有两个交点即可.解析：
由，当时，得.当时，且当时，此时.所以，即在上单调递増，所以，由恒成立，得，所以.（2）由得，且.由题意得，所以.又在切线上.所以.所以.所以.即方程有两解，可得，所以.令，则，当时，所以在上是减函数.当时，所以在上是减函数.所以.又当时，；且有.数形结合易知：.点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.22．已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为元时，生产件产品的销售收入是（元），为每天生产件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件元进货后又以每件元销售，其中为最高限价，为销售乐观系数，据市场调查，是由当是，的比例中项时来确定.（1）每天生产量为多少时，平均利润取得最大值？并求的最大值；
（2）求乐观系数的值；
（3）若，当厂家平均利润最大时，求与的值.【答案】（1）400,200；（2）；（3），.【解析】试题分析：（1）先求出总利润＝，依据（平均利润＝总利润/总产量）可得，利用均值不等式得最大利润；（2）由已知得，结合比例中项的概念可得，两边同时除以将等式化为的方程，解出方程即可；（3）利用平均成本平均利润，结合厂家平均利润最大时（由（1）的结果）可得的值，利用可得的值.试题解析：（1）依题意总利润＝，＝，,此时，即，每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元
.（2）由得，是的比例中项，两边除以得，解得.（3）厂家平均利润最大，元，每件产品的毛利为，元，（元），元.23．已知函数．
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围；
（3）已知，证明．
【答案】（1）在区间单调递增，单调递减
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1）当时，分析出的正负，从而得的单调区间；
（2）由已知分离变量得恒成立．设，则，对
求导，分析出的正负，从而得的单调区间和最值，可得a的取值范围；
（3）欲证，两边取对数，转化为，由（2）可知的单调性，可得证．
【详解】
由题意可知，函数的定义域为：且，（1）当时，若，则；若，则，所以函数在区间单调递增，单调递减．
（2）若恒成立，则恒成立．
又因为，所以分离变量得恒成立．
设，则，所以．
当时，；当时，即函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，函数取最大值，所以.（3）欲证，两边取对数，可得，由（2）可知在上单调递增，且所以，命题得证．
【点睛】
本题考查运用导函数研究函数的单调性，解决不等式恒成立的问题，证明不等式，解决问题的关键在于实行参变分离，构造合适的函数，对其求导，分析导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，从而得出函数的极值、最值，使问题得以解决，属于常考题，难度题.
点击咨询