第十二章
富里埃级数
§1
富里埃级数
一
富里埃（Fourier）级数的引进
定义：设是上以为周期的函数，且在上绝对可积，称形如的函数项级数为的Fourier级数(的Fourier展开式)，其中，称为的Fourier系数，记为
说明
1）在未讨论收敛性，证明一致收敛到之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示是的Fourier级数，或者说的Fourier级数是。
2)
要求上的Fourier级数，只须求出Fourier系数。
二
富里埃级数收敛性的判别
1.Riemann（黎曼）引理
设在（有界或无界）区间上绝对可积，则，.推论
在上绝对可积函数的Fourier系数；
2.Fourier级数收敛的充要条件
定理1
和,使得当时成立
其中.3.Fourier级数收敛的Dini判别法
推论:
设在上除去有限点外存在有界导数,则的Fourier级数点点收敛,且
特别地,是的连续点时，即
例:
设是以为周期的函数，其在上可表示为,判定的Fourier级数的收敛性.例：设是以为周期的函数,其在上等于,判定的Fourier级数的收敛性
例：
4.Jordan判别法
设在上单调(或有界变差)，则。
例：设是以为周期的函数，其在上可表示为,求的Fourier展开式。
计算的Fourier系数的积分也可以沿别的长度为的区间来积.如，例：
设是以为周期的函数,其在上等于,求的Fourier级数.如果仅定义在长为的区间上,例如定义在上,此时不是周期函数,从而不能按上述方法展开为Fourier级数.但可对在外补充定义,使其以为周期,如定义,它有下述性质:
a)
时,；
b)
以为周期.例
:
三
正弦级数和余弦级数
定义
形如的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如的三角级数（函数项级数）称为余弦级数.2
如果是以为周期的函数,在上绝对可积,若是奇函数,则有；若是偶函数,则有.3设仅在上有定义,如果按奇函数的要求,补充定义,然后再作周期延拓,必得奇函数,所得Fourier级数必为正弦级数.对应地,补充定义后,再作周期延拓,必得偶函数,所得Fourier级数必为余弦级数。
例:),将展开成余弦函数。
例：将在上展开为余弦级数。
四
一般周期函数的Fourier级数
设是周期为的函数,且在上绝对可积,则有,其中，例:
求的Fourier展开式.五
Fourier级数的复数表示形式
设,则其复数表示形式为,其中,复的Fourier系数.§2
富里埃变换
一
富里埃变换的概念
设在内绝对可积。
定义1
称是的富里埃变换，并把它记为或。即。
富里埃变换的性质
（i）是内的连续函数；
（ii）。
定义2
称是的富里埃逆变换。又称
是的富里埃变换积分公式。
例：
求衰减函数的富里埃变换。
例：
求函数的富里埃变换和富里埃变换积分公式。
二
富里埃变换的一些性质
富里埃变换有一些简单的性质，这些性质在偏微分方程和概率论等课程中有着很重要的应用。
性质1（线性），其中是两个任意给定的常数。
性质2（平移）对任何，设，那么。
性质3（导数）设，则。
性质4。
第十三章
多元函数的极限和连续性
§1、平面点集
一
邻域、点列的极限
定义1
在平面上固定一点，凡是与的距离小于的那些点组成的平面点集，叫做的邻域，记为。
定义2
设。如果对的任何一个邻域，总存在正整数，当时，有。就称点列收敛，并且收敛于，记为或。
性质：（1）。
（2）若收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。
二
开集、闭集、区域
设是一个平面点集。
1．内点：设，如果存在的一个邻域，使得，就称是的内点。
2．外点：设，若存在的一个邻域，使，就称是的外点。
3．边界点：设是平面上一点，它可以属于，也可以不属于，如果对的任何邻域，其中既有的点，又有非中的点，就称是的边界点。的边界点全体叫做的边界。
4．开集：如果的点都是的内点，就称是开集。
5．聚点：设是平面上的一点，它可以属于，也可以不属于，如果对的任何邻域，至少含有中一个（不等于的）点，就称是的聚点。
性质：设是的聚点，则在中存在一个点列以为极限。
6．闭集：设的所有聚点都在内，就称是闭集。
7．区域：设是一个开集，并且中任何两点和之间都可以用有限条直线段所组成的折线连接起
来，而这条折线全部含在中，就称是区域。一个区域加上它的边界就是一个闭区域。
三
平面点集的几个基本定理
1．矩形套定理：设是矩形序列，其中每一个矩形都含在前一个矩形中，并且，那么存在唯一的点属于所有的矩形。
2.致密性定理：如果序列有界，那么从其中必能选取收敛的子列。
3.有限覆盖定理：若一开矩形集合覆盖一有界闭区域。那么从
里，必可选出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。
4．收敛原理：平面点列有极限的充分必要条件是：对任何给定的，总存在正整数，当时，有。
§2
多元函数的极限和连续
一
多元函数的概念
不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，而是由多个因素决定。例如平行四边行的面积由它的相邻两边的长和宽以及夹角所确定,即;圆柱体体积由底半径和高所决定,即。这些都是多元函数的例子。
一般地，有下面定义：
定义1
设是的一个子集，是实数集，是一个规律，如果对中的每一点，通过规律，在中有唯一的一个与此对应，则称是定义在上的一个二元函数，它在点的函数值是，并记此值为，即。
有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。例如，二元函数就是一个上半球面，球心在原点，半径为，此函数定义域为满足关系式的，全体，即。又如，是马鞍面。
二
多元函数的极限
定义2
设是的一个开集，是一个常数，二元函数在点附近有定义．如果，当时，有，就称是二元函数在点的极限。记为或。
定义的等价叙述1
设是的一个开集，是一个常数，二元函数在点
附近有定义．如果，当时，有，就称是二元函数在点的极限。记为或。
定义的等价叙述2
设是的一个开集，是一个常数，二元函数在点
附近有定义．如果，当且时，有，就称是二元函数在点的极限。记为或。
注：（1）和一元函数的情形一样，如果，则当以任何点列及任何方式趋于时，的极限是；反之，以任何方式及任何点列趋于时，的极限是。但若在某一点列或沿某一曲线时，的极限为，还不能肯定在的极限是。所以说，这里的“或”要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。
例：设二元函数，讨论在点的的二重极限。
例：设二元函数，讨论在点的二重极限是否存在。
例：，讨论该函数的二重极限是否存在。
二元函数的极限较一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。
例：。
例：① ② ③
例：求在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为
（注意：在时为０，此时无界）。
例：（极坐标法再举例）：设二元函数，讨论在点的二重极限．
证明二元极限不存在的方法．
基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路径的极限不存在；２）或某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法说明极限与辐角有关．
例：在的二重极限不存在．
三
二元函数的连续性
定义3
设在点有定义，如果，则称在点连续．
“语言”描述：，有。
如果在开集内每一点连续，则称在内连续，或称是内的连续函数。
例：求函数的不连续点。
四
有界闭区域上连续函数的性质
有界性定理
若再有界闭区域上连续，则它在上有界。
一致连续性定理
若再有界闭区域上连续，则它在上一致连续。
最大值最小值定理
若再有界闭区域上连续，则它在上必有最大值和最小值。
零点存在定理
设是中的一个区域，和是内任意两点，是内的连续函数，如果，则在内任何一条连结的折线上，至少存在一点，使。
五
二重极限和二次极限
在极限中，两个自变量同时以任何方式趋于，这种极限也叫做重极限（二重极限）．此外，我们还要讨论当先后相继地趋于与时的极限．这种极限称为累次极限（二次极限），其定义如下：
若对任一固定的，当时，的极限存在：,而在时的极限也存在并等于，亦即，那么称为先对，再对的二次极限，记为
．
同样可定义先后的二次极限：．
上述两类极限统称为累次极限。
注意：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。
例：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设
由 得（两边夹）;不存在知的累次极限不存在。
例：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。设，由知两个二次极限存在且相等。但由前面知
不存在。
例：（两个二次极限存在，但不相等）。设，则，;
（不可交换）
上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的关系。但在某些条件下，它们之间会有一些联系。
定理1 设（1）二重极限；（2）。则。
（定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。但并不意味着另一累次极限存在）。
推论1
设（1）
；（2），存在；（3），存在；则，都存在，并且等于二重极限。
推论2
若累次极限与存在但不相等，则重极限必不存在（可用于否定重极限的存在性）。
例：求函数在的二次极限和二重极限。
第十四章
多元函数微分学
§1
偏导数和全微分的概念
一
偏导数的定义
1．偏导数定义
定义1
设是一个二元函数，定义在内某一个开集内，点（，）
D，在中固定,那么是一个变元的函数，如果在点可导，即如果
(1)
存在，则称此极限值为二元函数在点（,）关于的偏导数。
记为。
类似地可定义。
2．偏导数的计算
例:
设，求偏导数。
例：，求和。
例：U=++yz
求。
3.偏导数和连续
若在点关于（或）可导，则在关于（或）连续。但不能推出关于两个变量是连续的。见下面的例子。
例：
。
4.偏导数的几何意义
就是曲线在的切向量。
就是曲线在的切向量。
二
全微分的定义
二元函数微分的定义
定义2
若函数的全改变量可表示为
=(+,+)=++()
且其中与，无关而仅与有关，则称函数在点可微，并称为在点的全微分，记为，即。
性质1
如果在点（,）可微，则。
注：若在点可微，则。
性质2
若在点（，）可微，则f在点（，）连续。
例：设
证明在点不可微。
定理1
设函数的两个偏导数，在点（，）存在而且都连续，则在点（，）可微。
例：设，求。
三
高阶偏导数与高阶全微分
类似于一元函数的高阶导数，可以定义高阶偏导数。
例：设，求，；，。
注：一般情况下，未必有。
例：
设，可求得。
定理2
设二元函数的两个混合偏导数，在(，)连续，则有(,)=(,)。
§2
求复合函数求导的链式法则
一
复合函数求导的链式法则
定理1（链式法则）设，此时在点可微，又和都在点
关于的偏导数存在，则
说明：(1)
几种特殊情形：定理1显然讲的是2个中间变量，2个自变量的情形，但其思想方法完全适用与其它情形：
1）
则。
2）设则
例：又设。求
（2）
计算复合函数的两阶及两阶以上偏导数，只要重复运用链式法则即可。
(3)有时记。
例：。
例：
（4）链式法则链式法则中的条件是充分的，并非必要的。在使用链式法则时，要注意的可微性条件，如果不满足这一条件，链式法则不一定成立。
二
一阶微分形式不变性
一阶微分有个很重要性质——形式不变性。在二元函数中也有类似的性质。
设是二元可微函数，如果是自变量，则：
（各自独立变量）（1）
如果不是自变量而是中间变量，又设都可微，并且可以构成复合函数，那么：
（2）
由（1），（2）的可知一阶微分形式的不变性。
注意（1）两阶微分没有这一性质，如下例。
例：设
则
如果二阶微分只有形式不变性，则有：
但
（2）利用一阶微分形式不变性求偏导数
例：设利用微分形式不变性求
并求出
（3）高阶微分不具有形式不变性。
§3
由方程（组）所确定的函数的求导法
在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如
这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数。
本节将介绍由一个方程所确定的隐函数求导法以及由方程组所确定的隐函数求导法。
一．
一个方程的情形
对
说明：（1）
求需要假定，这一假设是很重要的；（2）
这里只用到了“链式法则”；（3）
对求导，只在假定的函数的情况下，求导数，如何确定。
例：
设。
例：
设二阶可微，求。
二
方程组的情形
设由方程组
确定了：并且它们具有对各个变元的连续偏导数，如何求偏导数？
解决方案：
求完全相同。
例：设。
例：设。
例：设，，变换方程。
§4
空间曲线的切线与法平面
本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。
参数方程的情形
设空间曲线的参数方程为
其中的参数。又设都在连续，并且对每一不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。通过曲线上任一点的切线定义为割线的极限位置，由此就可写出曲线在任一点的切线方程为：。
法平面：过点可以作无穷多条切线与切线垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线在点处的法平面，其方程为：。
例：求螺旋线：，（其中为常数）在点（，0，0）的切线方程和法平面方程。
如果曲线方程由下式表示：。则过点的切线方程为，过点的法平面方程为。
空间曲线是用两个曲面的交线表示：。
又设，关于有连续的偏导数，；
例：求两柱面的交线在点的切线方程和法平面方程。
§5
曲面的切平面与法线
1、设光滑曲面的方程，为曲面上一点，过点的切平面方程为：。
过点并与切线平面垂直的直线，称为曲线在点的法线，方程为：。
2、若曲面方程为，则曲面过的切平面方称为
法线方程：。
3、曲面方程由方程组给出：，给出，其中是参数。则曲面过的切平面方称为。
法线方程为：
例：求曲面在点（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法线方程和切平面方程。
例：证明对任何常数，球面和锥面正交。
§6
方向导数和梯度
一
方向导数
在许多实际问题中，常常需要知道函数在一点沿任何方向或某个方向的变化率。
定义1
设是中的一个区域，是D内一个函数，是一个方向向量，令，如果
存在，则称此极限是在点沿方向的方向导数，记为。它表示在点沿方向的变化率。
定理1
设函数在点可微，则在点沿任何方向的方向导数存在，并且有
其中是方向的方向余弦。
例：设，求在点（1，0，2）沿方向（2，1，-1）的方向导数。
设是中的一个区域，是内的一个二元可微函数，那么在内每一点，沿单位向量的方向导数是，其中是轴正向（即轴上单位向量）和向量之间的夹角。
二
梯度
1、引言
在一个数量场中，在给定点沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是：沿哪一个方向其方向导数最大？其最大值是多少？为此引进一个很重要的概念——梯度。
2、梯度的定义
定义2
设定义于某个三维区域内，又设函数具有关于各个多元的连续偏导数，称向量
是在点的梯度，记为，即
。它的长度为。
注：它是一个向量，是由数量场产生的向量。
3、的性质：
设可微，则
（1）；（是常数）。
（2）；
（3）
（）
（4）
（在可微）
例：设在空间原点处有一个点电荷，在真空中产生一个静电场，在空间任一点处的电位是：，则。
4、的意义：的方向表示数量场沿此方向的方向导数达到最大；的根长就是这个最大的方向导数。
例：求数量函数在的梯度及其大小。
§7
泰勒公式
定理1
设函数在点内对及具有直到阶连续偏导数。对D内任意一点，设，则，这里。
二元函数的中值公式，其中。
例：写出在点附近函数的泰勒公式。
例：按及的乘幂展开函数到三项为止。
第十五章
极值和条件极值
§1.极值和最小二乘法
一
极值
定义1 设在的邻域内成立不等式，则称函数在点取到极大值，点称为函数的极大点，若在的邻域内成立不等式，则称函数在点取到极小值，点称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。
定义2
设是内的一个区域，是的一个内点，如果，则称是的一个驻点。
根据费玛定理，可知
定理1
二元函数的极值点必为的点或至少有一个偏导数不存在的点。
注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。
例：在点。
例：在点。
怎样进一步判断是否有极值？
定理2
设在点的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点是的一个驻点，，，则：（1）若，则在点有极小值；（2）若，则在点有极大值；（3）若，则在点没有极值；（4）若，则须进一步判断。
例：求的极值。
例：求的极值。
多元函数的最大（小）值问题
设函数在某一有界闭区域中连续且可导，必在上达到最大（小）值。若这样的点位于区域内部，则在这点显然函数有极大（小）值。因此，在这种情形函数取到最大（小）值的点必是极值点之一。然而函数的最大（小）值最可能在区域的边界上达到。因此，为找出函数在区域上的最大（小）值，必须找出一切有极值的内点，算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数值相比较，这些数值中最大数（或最小数）就是函数在闭区域上的最大（小）值。通常可根据问题的实际意义来判断。
例：有一块宽24cm的矩形薄铁皮，把两边折起来，做成一个梯形水槽，问和各自为何值时，水槽的流量是最大？
例：试在轴，轴与直线围成的三角形区域上求函数的最大值。
二
.最小二乘法
例：已知，…服从线性关系：
问：如何根据这组数据来合理地确定系数和？
解：总偏差为，确定系数，使总偏差最小。这种确定系数的方法叫做最小二乘法。令，即可解得。
几个疑问：1）如果怎么办？2）这样求出的就是达到极小值的点？
3）在选取
时，为什么不取各个偏差的代数和作为总偏差？
例：已知，现测得一组数据，利用最小二乘法，求系数所满足的三元一次方程组。
§2
条件极值
一
何谓条件极值
在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点到一曲面的最短距离问题，就是这种情形。我们知道点到点的距离为。现在的问题是要求出曲面上的点使F为最小。即，问题归化为求函数在条件下的最小值问题。
又如在总和为C的几个正数的数组中，求一数组，使函数值为最小，这是在条件的限制下，求函数的极小值问题。这类问题叫做条件极值问题。
二
条件极值的必要条件
为了方便起见，同时又不不失一般性，我们仅讨论以下情形。
前提：设函数具有对各个变元的连续偏导数，而这些变元之间又受到以下条件的限制：
其中和都具有对各个变元的连续偏导数，并且它们的行列式。
目标：我们要求函数在限制条件下的极值的必要条件。
定理1（限制极值的必要条件）在限制条件下于点取得极值，那么必存在常数，使得在该点有：
称，是乘数（待定乘数）。
这一结果可推广到元函数。
三
条件极值的求法
在具体解题时，例如在限制条件下求的极值，可如下进行：
1．引入函数（函数）：。
2．求的极值（视为独立变量）：由，，。
解得可能的极值点。
3.求的二阶全微分。若，则取得极小值；若，则取得极大值。
例：求空间内一点到平面的距离。
例：要制造一容积为16的无盖长方形水箱，问水箱长、宽、高为多少时，所用材料最省？
第十六章
隐函数存在定理、函数相关
§1
隐函数存在定理
一
一个方程的情形
在前面，我们是在假定从方程中可以确定的前提下，给出求导数的方法。然而需要指出的是：并不是任一方程都能确定出隐函数。因此，我们必须知道方程在什么情况下才能确定隐函数？
例：设有方程，问在点，，的附近是否确定为的函数？
定理1
（隐函数存在定理）
设二元函数满足下列条件：
注：
(1)定理的几何意义：条件(1)表明曲面是光滑的；条件（2）表明曲面和坐标平面有一个交点，条件（3）（不妨设）表明在的附近，对固定的，设为正向，曲面是单调增加的。定理的结论是：在点的附近曲面和有一条唯一的光滑交线.（2）定理的结论是局部性的，即在点的某个邻域内由方程可以唯一确定一个可微的隐函数。例如：
在点(0,1)的某个邻域内由方程可以确定唯一的。在点(0,-1)的某个邻域内由方程可确定唯一的（3）
定理的条件是充分的，非必要的。如上例中的函数：在（-1，0）和（1，0）两点，破坏了定理中的条件（3），从而定理失效。从图中可以看出，对于一在右邻域或左邻域内的任何一个值，将获得两个值：，唯一性条件破坏。
定理1中的方程是含有两个变量和的，对于3个变量，甚至于多个变量，也有类似的结果。
二
多变量及方程组的情形
定理2
满足：的一个邻域内对各个变元有连续的偏导数；
（2）
（3）
F，G关于的Jacobi矩阵
则：（1）存在点的一个邻域，在此邻域内由方程组
可以确定唯一的函数：满足：
（2）在内连续；
（3）在内有关于和的连续偏导数。
例：。问：（1）由方程确定的是关于和的可微函数？
（2）由方程确定的都是关于和的可微函数？
例：函数在那些点近旁可唯一地确定胆汁连续，且又连续导数的函数？
§2
函数行列式的性质、函数相关
一
函数行列式的性质
函数行列式不仅在隐含数存在定理中起着重要作用，而且在其它分析问题和应用中，也是经常出现的，它有以下主要性质：
性质1
设函数
定义于某一维区域中，且有关于一切变元的连续偏导数。又设
定义于某一维区域中，且有关于一切变元的连续偏导数。设的值域包含在中。则有。
注：这个性质可看成复合函数求导公式的拓广。
性质2
设函数
定义于某一维区域中，且有关于一切变元的连续偏导数，并且它们的反函数
存在，且有关于一切变元的连续偏导数。则有。
第十七章
含参变量的积分
设函数在矩形上连续。定义含参积分
和.含参积分提供了表达函数的又一手段。我们称由含参积分表达的函数为含参积分。这种形式的函数在理论上和应用上都有重要作用，有很多很有用的特殊函数就是这种形式的函数。
下面讨论这种由积分所确定的函数的连续性，可微性与可积性。
定理1
若函数在矩形上连续,则函数在上连续.注：在定理的条件下，有，即极限运算可以通过积分号。
例：求。
定理2
若函数及其偏导数都在矩形上连续,则，也就是微分运算可以通过积分号。
例：当时，能否利用定理2计算的导数？
定理3
若函数及其偏导数在矩形域上连续,函数和在上连续，并且，则函数在上连续。
例：求。
定理4
设函数函数及其偏导数在矩形域上连续，函数和在上存在，并且，则。
例：设，求。
定理5若函数在矩形上连续，则
.注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序。
例：求。
例：
研究函数的连续性，其中是上连续且为正的函数。
解：
令，则在连续，其中。从而在连续。
当时，当时，记，则
若存在，则
故在不连续。
或用定积分中值定理，当时，使
若存在，则,故在不连续。
问题1
上面最后一个式子能否写为。
事实上，是依赖于的，极限的存在性还难以确定。
例：设在连续，求证
:
（其中）
满足微分方程。
证：令，则，它们都在上连续，则
例：设为连续函数，,求。
解：令，则
第一项中令，第二项中令，则。
第十八章
含参变量的广义积分一、一致收敛的定义
定义1
设函数定义在上，称含参变量的无穷积分。
定义2设函数定义在上，若,当时,对一切，成立
或。
就称含参无穷积分关于一致收敛。
定义3设对于上的每一值，以为奇点的积分存在。若,当时，对一切，成立
或，就称含参无穷积分关于一致收敛。
二、一致收敛积分的判别法
以下假定积分收敛。
定理1（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数，使得
如果积分收敛，那么关于一致收敛。
例：证明含参无穷积分在内一致收敛。
三、一致收敛积分的性质
1.连续性定理
定理2
设函数在上连续，关于一致收敛，那么是上的连续函数。
注：在定理的条件下，有，即极限运算可以通过积分号。
2.积分顺序交换定理.定理3设函数在上连续，关于一致收敛，那么。
注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序。
例：计算积分。
3.积分号下求导定理.定理4
设函数，在上连续，存在，关于一致收敛。那么，也就是微分运算可以通过积分号。
例：计算积分。
例：证明含参量非正常积分在上一致收敛，其中。但在区间内非一致收敛。
4.含参无穷积分与函数项级数的关系
定理5
积分在上一致收敛对任一数列,↗,函数项级数在上一致收敛。
四、欧拉（Euler）积分
介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即和.它们统称为Euler积分.在积分计算等方面,它们是很有用的两个特殊函数
1.Beta函数
（1）
Beta函数及其连续性：
称(含有两个参数的)含参积分为Beta函数。当和中至少有一个小于1
时,该积分为瑕积分。下证对,该积分收敛。由于时点和均为瑕点，故把积分分成和考虑。
:
时为正常积分;
当时,点为瑕点。由被积函数非负,和,（由Cauchy判法)
积分收敛.（易见时积分发散).:
时为正常积分;
当时,点为瑕点.由被积函数非负,和,（由Cauchy判法)
积分收敛.（易见时积分发散).综上,当时积分收敛.设D,于是,积分定义了D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数,记为,即
=
不难验证,函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续,因此,函数是D内的二元连续函数.（2）函数的对称性:
.由于函数的两个变元是对称的,因此,其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有.2．Gamma函数
（1）Gamma函数
考虑无穷限含参积分,当时,点还是该积分的瑕点.因此我们把该积分分为
来讨论其敛散性
.:
时为正常积分.时,.利用非负函数积的Cauchy判别法,注意到当时积分收敛.(易见当时,仍用Cauchy判别法判得积分发散).因此,时积分收敛.:
对R成立,.因此积分对R收敛.综上,时积分收敛.称该积分为Euler第二型积分.Euler第二型积分定义了内的一个函数,称该函数为Gamma函数,记为,即
=,.函数是一个很有用的特殊函数.（2）函数的连续性和可导性:
在区间内非一致收敛.这是因为时积分发散.这里利用了下面的结果:
若含参广义积分在内收敛,但在点发散,则积分在内非一致收敛.但在区间内闭一致收敛.即在任何上,一致收敛.因为时,对积分,有,而积分收敛.对积分，而积分收敛.由M—判法,它们都一致收敛,积分在区间上一致收敛.作类似地讨论,可得积分也在区间内闭一致收敛.于是可得如下结论:的连续性:
在区间内连续.的可导性:
在区间内可导,且
.同理可得:
在区间内任意阶可导,且
.（3）的递推公式，函数表的递推公式
:
.证
..于是,利用递推公式得:，,…………，一般地有
.可见,在上,正是正整数阶乘的表达式.倘定义,易见对,该定义是有意义的.因此,可视为内实数的阶乘.这样一来,我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了内的所有实数上,于是,自然就有,可见在初等数学中规定
是很合理的.例：计算积分。
第十九章
积分（二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质
§1
二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念
1.二重积分、三重积分，第一类曲线积分、第一类曲面积分都可看成已知物体的密度，求物体的质量。
但要看物体的几何形状。
2.几何体上的黎曼积分的定义。
定义1
设为一块几何形体，这个几何形体是可以度量的，在这个几何形体上定义了一个函数。将这几何形体分为若干可以度量的小块，…。既然每一小块都可度量，故它们皆有度量大小可言，把他们的度量大小仍记为。并令，在每一块中任取一点，做下列和式：
如果这个和式不论对于的怎样分划以及在上如何取法，只要当时恒有同一极限，则称此极限为在几何形体上的黎曼积分，记为：
.也就是，这个极限是与分法和取法无关的。
叙述：如果对任意及一定数，总存在一个数，对于任意的分法，只要时，不管点在上如何选取，恒有，则称为在上的黎曼积分，记为：，这时，也称在上可积。
根据几何形体的不同形态，进一步给出上积分的具体表示式及名称。
（1）如果几何体是一块可求面积的平面图形，那么上的积分就称为二重积分，在直角坐标下记为。
（2）如果几何体是一块可求体积的空间几何体，那么上的积分就称为三重积分，在直角坐标下记为。
（3）如果几何体是一块可求长的空间曲线段，那么上的积分称为第一类曲线积分，在直角坐标下记为。
（4）如果几何体是一块可求面积的曲面片，那么上的积分称为第一类曲面积分，在直角坐标下记为。
3．性质
（1）。
（2）若在上可积，则在上有界。
§2
积分的性质
性质1
若函数在上可积，为常数，则在上也可积，且。
即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）。
性质2
若函数、都在上可积，则在上也可积，且有。
性质3
若函数在上可积，且，则在和上都可积，且。
反之，若在和上都可积，则在上可积，且上述等式成立。
性质4
若函数和都在上可积，且在上成立，则。
性质5
若函数在上可积，则在上可积，且。
注：若在上可积，不能推出在上可积。
例：
在上不可积，但可积。
性质6（积分第一中值定理）若函数在上可积，则存在常数，使得。
推论
若函数在上连续，则在上至少存在一点，使。
例：若函数在上连续，但不恒等于0，则。
第二十章
重积分
§1二重积分的计算
一
化二重积分为二次计分
1.关于体积的计算
2.矩形上的二重积分可以化为二次积分进行计算
简单地说，形如的积分称为一个先后的二次积分。确切地说，设函数在上有定义，如果任意确定，则是自变量为的一元函数，设，有意义，其值是的函数，记为，又得体积为
同样，可以先后的二次积分：=
在此例中，先后的二次积分等于先后的二次积分，即两个二次积分相等，这个现象包含在下面的定理中。
3．一般性化二重积分为二次积分
在平面区域中，有两类特殊的区域是最具代表性的。所示区域用集合可表示为：
型区域
其特点是，则直线至多与区域的边界交于两点；所示区域用集合可表示为：
型区域
其特点是，则直线至多与区域的边界交于两点。
为什么说这两类区域常用到（最具代表性），因为许多常见的区域都可分割为有限个无分类点的型区域和型区域。因而，解决了型区域和型区域上二重积分的计算方法后，一般区域上的二重积分的计算问题也就得到解决。
如何计算型区域和型区域上的二重积分呢？
最基本的想法还是化二重积分为二次积分（累次积分）。问题是化为什么样的二次积分呢？有下面的结果：
定理1
设，则
=。
例：化二重积分为二次积分，其中是由直线，抛物线所围的平面区域。
例：求由和，，所围空间区域的体积V。
例：求二次积分
注意：最外层积分的积分限一定是常数。
二
用极坐标计算二重积分
也有一种情形，函数f在上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。
例：，=
在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用。对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数。
作极坐标变换：。
在变换下，函数，区域。二重积分化为。
说明：①注意，虽经极坐标交换，但又变成极坐标系下二重积分，这是如何计算极坐标系下二重积分，在极坐标下，二重积分一样可以化为二次积分来计算，下面分情况讨论之：
情形1
若=，为[，]上的连续函数，则称之为型区域。这时，可将之化为下面形式：
=
情形2
若=，其中，C[，]（型区域），此时有
=
情形3
若极点O是积分区域的内点，则交换后的区域为：=
此处=是的边界曲线，=
情形4
若积分区域的边界曲线=通过极点O时，应先求出极径，继使=0的两个角度，此时有：=。
②何时使用极坐标变换？当积分区域是圆域或是圆域的部分或被积函数的形式为时，采用极坐标交换来计算往往简便得多。
例：，=。
例：求。
三
二重积分的一般变量替换
计算二重积分，除了引用上面讲的极坐标这一特殊交换外,有时还要取一般的变量替换。
定理2
设是平面的闭区域上的连续函数，又设，（*）。
在上有关于和的连续偏导数，通过（*）把变为，并且变换（*）是一对一的，又设，则
=。
注：（1）在定理中，假设，但有时会遇到这种情形。变换行列式在区域内个别点上等于0。
或只在一小区域上等于0而在其他点上非0，此时上述结论能成立。
（2）特例：，此时=，根据①，有
=。
（3）在具体问题中，选择变换公式的依据有两条：（i）使交换的函数容易积分；（ii）使得积分限容易安排。
例：求椭球体的体积。
例:
求出由抛物线，以及双曲线，所围区域的面积。
§2
三重积分的计算
一
化三重积分为三次积分
设是中的（闭）长方体，是定义在上的有界函数。那么在上的三重积分可以化为先对，后对的积分：
=，或的积分
=
。等等（共6种），并且此时（连续时），各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。
1.计算（化为逐次积分）
●设，则有=，如果，则=。
●设，==。
2.三重积分的直接计算方法（举例）
例：，：有平面所围成区域。
例：，：锥面，平面所围（）成区域。
例：，：的内部区域。
二
三重积分的变量替换
设作变量替换：,且满足下列条件：
（1）
建立了之间的一一对应；
（2）在内有关于的连续偏导数，并且其变换：在内有关于的连续偏导数；
（3）
Jacohi行列式
在内无零点，则
=
注：和二重积分类似，当J点在内个别点上为零时，上述公式仍成立。
最常用的坐标变换
1.柱坐标代换
令，则三重积分的柱坐标换元公式为
=。
注：柱坐标变换适用于型被积函数或积分区域。
注：用柱坐标计算三重积分，通常是找出在平面上的投影区域，那当时，=
先对积分，再计算上的三重积分，其中二重积分能用极坐标来计算（极坐标系下的二重积分）。
例：，D由上半球面和抛物面所围的区域。
2．球面坐标变换
球面坐标：设空间一点在平面上的投影为，是有向线段与轴的正向之间的交角（），是两平面与的交角（），则叫做点M的球面坐标。
在球面坐标中，有三族坐标平面：=常数，以原点为中心的球面；=常数，以原点为顶点，轴为轴的圆锥面；=常数，过轴的柱面（两两正交是正交坐标系）。有时，取作为，这时点的直角坐标与它的球面坐标的点系为：，而。
令，则
=。
例：求球面和锥面所围区域的体积，其中锥面是以轴为轴，顶角为的锥面。
§3
积分在物理上的应用
一
质心
设为一块可以度量的几何体，它的密度函数是。又假设为上的连续函数。则几何体的质心的坐标为：。
具体地说，如果几何体是一块空间体积，那么这块体积的质心坐标应为：。
例：求密度均匀的上半椭球体的质心.二
矩
设为一块可度量的几何形体，它的密度函数为，并设在上连续。分别称，为物体关于坐标平面，坐标平面，坐标平面的阶矩。当时称为零阶矩，表示物体的质量。当时称为静矩。当时称为转动惯量。
例：计算由平面，，所围成的均匀物体（设）对于坐标平面的转动惯量。
例：求密度均匀的圆环对于圆环面中心轴的转动惯量.例：求密度均匀的圆盘对于其直径的转动惯量.例：设某球体的密度与球心的距离成正比,求它对于切平面的转动惯量.三
引力
设为一块可以度量的几何体，它的密度函数是，为上的连续函数。为外一点，质点具有单位质量。则几何体对质点的引力在三个坐标轴上的分量，分别为:，其中为引力常数。
例：设球体具有均匀的密度,求对球外一点(质量为1)的引力。
§4
广义重积分
对于重积分，也可以作两方面的拓广：无界区域上的积分和无界函数的积分。
定义1
设是平面上一无界区域，函数在上各点有定义，用任意光滑曲线在中划出有限区域.设二重积分存在，当曲线连续变动时，使所划出的区域无限扩展而趋于区域时，如果不论的形状如何，也不论扩展的过程怎样，而
常有同一极限值，就称是函数在无界区域上的二重积分，记为,这时也称函数在上的积分收敛。否则，称积分是发散的。
柯西判别法
设在无界区域上的任意有界区域上二重积分存在，如果在内相当远处满足
。其中为正的常数，是到原点的距离，且，那么积分收敛。
例：计算广义重积分。
例：讨论广义重积分的收敛性。
定义2
设在有界区域上有奇点或奇线（函数在这些点或线的附近无界）。以中的光滑曲线来隔开奇点或奇线，所围成的区域记为.如果在区域收缩到奇点或奇线时，这些积分的极限值存在且与的取法和收缩的方式无关，则称这极限值是上的无界函数的广义二重积分，记为。并称函数在上的积分收敛。否则，称积分是发散的。
柯西判别法
设在内有奇点，如果对于和充分邻近的点，有。
其中为正的常数，是与点的距离，且，那么积分收敛。
例：计算广义重积分。
例：讨论广义重积分的收敛性。
第21章
曲线积分和曲面积分的计算
§1
第一类曲线积分的计算
设函数在光滑曲线上有定义且连续，的方程为
则。
特别地，如果曲线为一条光滑的平面曲线，它的方程为，那么有。
例：设是半圆周,。求。
例：设是曲线上从点到点的一段，计算第一类曲线积分。
例：计算积分，其中是球面被平面截得的圆周。
例：求，此处为连接三点，的直线段。
§2
第一类曲面积分的计算
一
曲面的面积
（1）设有一曲面块，它的方程为
。具有对和的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影为可求面积的。则该曲面块的面积为。
（2）若曲面的方程为,令，，则该曲面块的面积为。
例：求球面含在柱面内部的面积。
例：求球面含在柱面内部的面积。
二
化第一类曲面积分为二重积分
（1）设函数为定义在曲面上的连续函数。曲面的方程为。具有对和的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影为可求面积的。则。
（2）设函数为定义在曲面上的连续函数。若曲面的方程为
令，，则。
例：计算，是球面。
例：计算，其中为螺旋面的一部分：。
注：第一类曲面积分通过一个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。
例：I=，是球面，球心在原点，半径为。
§3
第二类曲线积分
一
变力做功和第二类曲线积分的定义
1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功。先用微元法，再用定义积分的方法讨论这一问题，得。
2.第二型曲线积分的定义
定义1
设是一条光滑或逐段光滑曲线，且设是定义在上的有界函数，将沿确定方向从起点开始用分点分成个有向弧段，直至终点。且设。在每一弧段
上任取一点，作和式：。
其中为起点，为终点。设，这里表示有向线段的长度。若当时，和有极限，且它与的分法无关，也与点的选择无关，则称为沿曲线按所述方向的第二类曲线积分，记作
或。
注：如果向量，则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为。
注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。
注：在平面情况下，若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方，则这个方向就算作正向，否则就算作负向。这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位置无关的。
二
第二类曲线积分的计算
设曲线自身不相交，其参数方程为：
。且设是光滑的。设当参数从调地增加到时，曲线从点按一定方向连续地变到点。设函数定义在曲线上，且设它在上连续。则。
（*）
注：（*）积分下限必须对应积分所沿曲线的起点，上限必须对应终点。
注：如果向量，则向量沿曲线按一定方向的第二类曲线积分为
例：计算积分,L的两个端点为A（1,1),B（2,3).积分从点A到点B或闭合,路径为
（1）直线段AB；
（2）抛物线；
（3）折线闭合路径A（1,1)D（2,1)
B（2,3)
A（1,1)。.例：计算积分,这里L
:
（1）沿抛物线从点O（0,0)到点B（1,2)；
（2）沿直线从点O（0,0)到点B（1,2)；
（3）沿折线封闭路径O(0,0)
A(1,0)
B(1,2)
O(0,0).例：计算第二型曲线积分I
=,其中L是螺旋线，从到的一段。
三
两类曲线积分的联系
第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的，由于都是沿曲线的积分，两者之间又有密切联系。两者之间的联系式为
例：证明：对于曲线积分的估计式为
。利用这个不等式估计：,并证明。
例：设平面区域由一连续闭曲线所围成，区域面积设为，推导用曲线积分计算面积的公式为：。
§4
第二类曲面积分
一
曲面的侧的概念
1．单侧曲面与双侧曲面
在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的，牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子。
2．曲面的上侧和下侧，外侧和内侧
双侧曲面的定向:
曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧.设法向量为,则上侧法线方向对应第三个分量,即选“+”号时，应有，亦即法线方向与轴正向成锐角.类似确定其余各侧的法线方向.封闭曲面分内侧和外侧.二
第二类曲面积分的定义
先讨论由显式方程
表示的无重点的光滑曲面,并设在平面上的投影为边界由逐段光滑曲线所围成的区域。设选定了曲面的一侧，从而也确定了它的定向。
现在将有向曲面以任何方法分割为小块。设为在平面上的投影，从而也得到区域的一个相应分割。如果取的是上侧，这时所有算作正的。如取下侧，这时所有算作负的。设有界函数定义在上，在每一小块任取一点，作和式
其中表示的面积。由上述所见，是带有符号的，它们的符号是由所选的侧来决定的。设为的致敬，记。若当时，有确定的极限，且与曲面分割的方法无关，也点的选择无关，则称为沿曲面的所选定的一侧上的第二类曲面积分，记为。
注：有时也会碰到几个积分连在一起的情形，例如：。
注：如果沿曲面的另一侧积分，则所得的值应当变号。
三
两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算
第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系
设为曲面的指定法向,则
.定理1
设是定义在光滑曲面D上的连续函数,以的上侧为正侧(即),则有
.类似地,对光滑曲面D,在其前侧上的积分
.对光滑曲面
D,在其右侧上的积分
.计算积分时,通常分开来计算三个积分，.为此,分别把曲面投影到YZ平面,ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面的定向决定.推论
设，是定义在光滑曲面D上的连续函数,则
=
曲面的方向为上侧,则等式前取“＋”号;
曲面的方向为下侧,则等式前取“－”号.例：计算积分,其中是球面
在部分取外侧。
例：计算积分，为球面取外侧.解：
对积分,分别用和记前半球面和后半球面的外侧,则有
:
;
:
.因此,=+
.对积分,分别用和记右半球面和左半球面的外侧,则有
:
;
:
.因此,+
.对积分,分别用和记上半球面和下半球面的外侧,则有
:
;
:
.因此,=+
.综上,=.第二十二章
各种积分间的联系和场论初步
§1
各种积分间的联系
一
Green公式
定义1
一个平面区域，如果全落在此区域内的任一条封闭曲线都可以不经过以外的点而连续地收缩为一点，则称此区域为单连通的，否则称为复连通的。
定理1
设是以光滑曲线为边界的平面单连通区域，设函数，在及上连续并具有关于自变量和的连续偏导数，则有：
这里右端积分路径的方向是和区域正相联系的，既当一人沿着曲线行走时区域恒在他的左边。
注：Green公式同时揭示了平面上某区域内的二维积分与该边界上的一个特定的第二类曲线积分之间的关系；
注：常用于第二类曲线积分，有时用来计算二重积分在Green公式中。
例：求第二类曲线积分I=,是上半圆周：
方向从。
例：设函数，有其二阶连续偏导数，记，证明
(i)；
(ii)
；(3)。
例：（用Green公式求曲面的面积）求曲线所围图形的面积。
注：在使用Green公式时，应注意“助线法”的使用。
二
Gauss公式
定理2
设空间二维单连通有界闭区域的边界曲面是光滑的，又设函数，在及上具有关于的连续偏导数，则有：,为曲面的外法线方向，第二个积分沿曲面的外侧。
注：①Gauss公式揭示了中的某区域内的三重积分和这一区域的边界上的特定曲面积分之间的关系；
②与
Green公式一样，由Gauss公式可计算某些空间立体积分：。
例：求积分
I=，:
沿外侧。
例：求积分
其中是锥面。
注：在使用Gauss公式时，应注意“助面法”的使用。
三
Stokes公式
定理3（Stokes）设光滑曲面的边界为光滑曲线，设函数，在曲面
及曲线上具有关于的连续偏导数，则有：,曲线积分的方向和曲面的侧按右手法则联系。
注：右端积分是一个第二类曲面积分，左端的积分是一个第二类曲线积分。所以Stokes公式是第二类曲面积分和第二类曲线积分的一个纽带。
例：求曲线积分，其中是柱面x和平面的交线,其方向从轴正向望去，已知方向是逆时针。
§2
曲线积分和路径的无关性
引言
第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关，而且也与所沿的积分路径有关。对同一个起点和同一个重点，沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面中情形来讨论这个问题。
定理1
若函数，在区域上有连续的偏导数，是单连通区域，则下列命题等价：
⑴
对D内任意一条闭曲线，有。
⑵
对
内任意一条闭曲线，曲线积分,与路径无关（只依赖曲线的端点）。
⑶存在可微函数，使得内成立；
⑷在D内处处成立。
定义1
当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件时，如令点固定而点为区域内任意一点，那么在内连续并且单值。这个函数称为的原函数。
原函数的求法：
（1）；或
（2）。
例：求原函数:
（1）;
（2）。
定义2
只绕奇点一周的闭路上的积分值叫做区域的循环常数，记为。于是，对内任一闭路，这里为沿逆时针方向绕的圈数。
例：证明关于奇点的循环常数是，从而积分与路径无关。
§3
场论初步
一
场的概念
物理量在空间或一部分空间上的分布就称为场。场分为不定常场和定常场。
二
向量场的散度和旋度
设有一向量场，为一闭曲面所包围的空间区域，为曲面上向外法线，由高斯公式得。
定义1
量称为向量的散度，它形成一个数量场，记为。
利用散度的定义，高斯公式可写为，这是高斯公式向量形式。它说明：向量通过闭曲面的流量等于这个向量的散度在所包围的区域上的三重积分。
定义2
称向量为向量的旋度，记为：。
利用的定义，Stokes公式可改写为向量形式如下：。
它说明：向量沿闭曲线的环流量等于它的旋度通过以为边界所张的任意曲面的流量。
散度和旋度的定义。
例：求在点的散度和旋度。
例：证明。
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