A Level 物理有效数字问题

第一篇：A Level 物理有效数字问题

A Level 物理有效数字问题

(by: Dr.Yu)笔者：Dr.喻麟佑，华南国际预科中心，学术副校长，美国亚利桑那大学物理学博士

一、前言：

很多教师都感觉得到，有效数字(significant figures, 或简写成 s.f.)，无论是在剑桥（Cambridge CIE）或者是爱得思（Edexcel）的A Level 物理考试里面，总是令人有点担心的，尤其是剑桥的A Level 物理。笔者有鉴于此，特撰写此文，以减低种种不必要的误会或困扰，请各界多加指教。

为什么会有“有效数字”的需要呢？为什么比小数点几位数更重要呢？这个有效数字的真意，老师们如果切实领悟了，就会发觉其重要性与必要性。否则，虽然知道怎么按照规定来使用，但不明白它真正的用意，却还是不究竟的了。

二、有效数字的基本概念与含义

来描述有效数字的基本概念，就让笔者举一个最简单的例子来出发吧。我们用直尺来量物体的长度。大家都明白，一个直尺的精密度（最小刻度），大概是1mm（1毫米），也就是0.1 cm(0.1厘米)。好了，我们用这支尺来测量一支牙签的长度，我们得到了测量值：

牙签的长度 = 6.4 cm

这是一个有效数字为2的数值。那么，如果有一位同学说，我测到的是：

牙签的长度 = 6.43 cm

这位同学，很可能是言过其实了，他或她怎么能够确定那0.03 cm是可靠的呢？其中猜测的成分就比较高的了，也就是说，那多出来的一位数是“无效的”了。然而，我们说，牙签的长度 = 6.4 cm，可以相当明确的、肯定的说：那不是6.3 cm 或6.5 cm，而是6.4 cm，这6.4 cm的两位数字，则都是“有效的”了。再说，牙签的长度 = 6.4 cm, 这种描述，应该是令人满意的了，毕竟只是一支牙签。如果有些物体，精确度非常重要，而必须测量出更精确的数值，那么，就必须考虑使用更精密的仪器来测量，而不能凭猜测的。

我们再举一个例子，还是用直尺，但是用来量度一条水库鱼的长度（笔者喜欢去吃农家菜），如果，我们得到：

水库鱼长度 = 64.3 cm（很大的一条鱼）

那么，这回是一个有效数字为3的数值了。有效数字多出了一位，其中的含义是什么呢？ 事实上，这条水库鱼，即使我们我们用了2个有效数字来描述，说是64 cm，大部分的人也是能够接受的，如果有人要求高些，也可以按要求，给出3个有效数字：64.3 cm。

我们现在来看看有效数字的含义：

先看牙签的长度：

牙签的长度 = 6.4 cm, 测量的误差最多为加减0.1 cm，或说 1 mm（也就是最差的情况，一般不太可能那么差），那么最大的百分误差是多少呢？我们来算算： 0.1/6.4 = 0.016 = 1.6 % 所以说，最大的百分误差应该是加减1.6 %；百分之1.6，误差不大，一般用途，可以接受。

再看看水库鱼长度：

水库鱼长度 = 64.3 cm，误差最多也为加减 0.1 cm（亦即1 mm）那么最大的百分误差可计算如下 0.1/64.3= 0.0016 = 0.16 % 最大的百分误差误差则是 0.16%，也就是千分之1.6了，精密度也就是更大了，精密了10倍。所以说，有效数字，可直接反映出百分误差的大小。

再举一个例子，比如说，我们用一个卷尺（也具有1 mm的刻度），来测量一段道路的长度，发现数值为

64.327米（或6432.7 cm）

这是一个有效数字为5的数值，其最大百分误差为

0.001/64.327或0.1/6432.7 = 0.000016 = 十万分之1.6（注：1 mm = 0.001 m）

十万分之1.6的精密度，实在是不小，重点是，有没有那个必要？或者，在某些用途中，十万分之1.6的精密度，有没有实际意义在？比如说，吾人报告此段道路的长度为64.3米（三位有效，3 s.f.），甚至说64米（两位有效，2 s.f.），一般来说，是令人满意的了，如果说是64.327米，可能有人会觉得很没必要那么说，甚至于很可笑了，因为开车时、或走路时，那0.001米，对大家来说，是没太大意义的。即使说64.3米，其误差也只有千分之1.6了，因为，即使最大误差为10厘米（0.1米）那么多，我们可以确定道路长度，在最大的误差之下，则可能会是64.2米或64.4米（事实上不可能差那么多），则最大百分误差为 0.1米/64.3米 = 0.0016 = 0.16%，也就是千分之1.6了，针对一般用途来说，已经是非常精确的了。

所以，以一般用途而言，2个有效数字（2 s.f.）往往隐含着百分之几的误差；而3个有效数字（3 s.f.），往往隐含着千分之几的误差。至于更多的有效数字，往往是用在非常特别的领域之中，有其非常特别的需求与用意在。

三、有效数字的表达方法

谈到有效数字的表达方法，科学记数法(scientific notation)，可以说是一种表达有效数字特别有用的方法，尤其是针对于特别大的数、或特别小的数，特别有帮助，例如

 地球的质量为：5.981024kg  电子的质量为：9.111031kg  光速在真空中为：3.00108 m/s  质子的电量为：1.601019 C

以上相当重要的物理数值，在大学教科书的数值表中，一般是给出三位有效数字为主。在大学物理中，如果没有特别要求，一般的计算的结果，大多是以三位有效数字以内来表达，除非有特别要求，必须使用高于三位有效数字，才使用之。

但是，有时，科学记数法，并非最佳的表达法，很多时候，没有必要来用，例如，20头羊，偏要写成2.00101头羊，反而显得过分了些，比较没有必要。

我们再多看一些例子：

 0.0207，前面的两个0不是有效数字，后面的2、0、7均为有效数字，所以0.0207是一个有3个有效数字的数值，也可以写成 2.07102，也是有3位有效数字。 4.307106，4、3、0、7均为有效数字，后面的10的6次方不是有效数字，所以4.307106是一个有4个有效数字的数值。

 2.60 有3个有效数字，小数点前后的2、6、0均为有效数字。

 0.01300，前面的两个0不是有效数字，但是，最后的四位数1、3、0、0均为有效数字（最后的两个0也算）。所以这是一个有4个有效数字的数值。

 200.340 有6位有效数字。

 2.998108，若写成3个有效数字的数值，则为3.00108。以上表达有效数字的原则比较没有问题，然而, 我们来看以下一个问题：

Find the weight(in Newton)of a 325 kg object on the surface of the Earth.(g = 9.8 N/kg)

我们可以计算在地球表面的重力：

Weight = mg =325kg9.8N/kg3185N

要写成2位有效数字的答案（因为9.8乃2位有效数字），则可以写成 Weight = 3200 N，或者也可以写成3.2103N，也就是说，在这里3200，是一个正确的2位有效数字的表达，这是完全没有问题的，在A Level物理考题的Mark Scheme里面，是普遍表明的、使用的，读者不可不察。

因此把3185写成2位有效数字的答案，并非一定要写成3.2103。

如果坚持要说3200是一个4位有效数字的数值，就不应该了。

因此，给与一个整数形式的表达，后面的零算不算是有效数字，是要看问题本身的实际状况，以及整个计算过程的状况而定，比如说以上题为例，不可直接把3200定为4位有效数字的表达了。像这种例子，在A Level物理考题的Mark Scheme里面表达的非常之多，尤其是答案是三位数、四位数，往往不用科学记数法来写，以免反而变麻烦了。先举一个例子，在2011年六月爱得思A Level物理Unit 5 第16题的Mark Scheme里，表明如下：

其中计算出来的温度T = 971 K，然而答案则写为970 K，显然是一个2位有效数字的答案，这是合理的，因为在计算中，我们可以看出3.2 W只有两位有效数字。再多举几个例子：

2012年夏季，爱得思A Level物理Unit 5的Mark Scheme里：

以上的答案，很明显，Energy = 780 J，与Temperature = 180 K，虽然没有用科学记数法来写，但都是以二位有效数字来表达的（不能说是有3位有效数字了，后面的0，不能称为有效数字），这是合理的，因为在计算中，最低的有效数字有两位的。

2012年一月（春季），爱得思A Level物理Unit 5的Mark Scheme里：

显然，Time = 1100 s，虽然没有用科学记数法来写，还是以二位有效数字来表达的（不能说是有4位有效数字了，后面的0，实在是不能称为有效数字的），这是合理的，因为观察计算过程，就完全可以明白了。诸如此类的例子，比比皆是，不甚枚举。

四、使用有效数字的一些法则

使用有效数字，有许多默认的法则，比如说有关  四舍五入的原则， 不同有效数字运算在一起的原则， 甚至于，与对数计算有关的

等等原则，相信读者大多有所了解，限于篇幅，本短文不加以赘述了。

五、结语

A Level物理对于有效数字的表达，有某种程度的强调，在实验部分的考卷里，会更加地重视，甚至于因此而扣分，也是完全可能的。即使不是实验考题，若在有效数字方面，表达的不好（给太多无意义的有效数字，或没按要求，给的太少），会给改考官一个不太好的印象，甚至于遭到扣分，也是可能的。剑桥的物理A Level，就更加的讲究了，请各位老师及同学多加注意。祝 身体健康

~Dr.Yu 谨识

2014/1/6，于广州，华南国际预科中心

第二篇：有效数字

一、有效数字

1.在分析工作中实际能测量到的数字就称为有效数字。

2.在记录有效数字时，规定只允许数的末位欠准，而且只能上下差1。

二、有效数字修约规则

用“四舍六入五成双”规则舍去过多的数字。

即当尾数≤4时，则舍；尾数≥6时，则入；尾数等于5时，若5前面为偶数则舍，为奇数时则入。当5后面还有不是零的任何数时，无论5前面是偶或奇皆入。例如：将下面左边的数字修约为三位有效数字

2.324→2.32 2.325→2.32 2.326→2.33 2.335→2.34 2.32501→2.33

三、有效数字运算法则

1.在加减法运算中，每数及它们的和或差的有效数字的保留，以小数点后面有效数字位数最少的为标准。在加减法中，因是各数值绝对误差的传递，所以结果的绝对误差必须与各数中绝对误差最大的那个相当。

例如：2.0375＋0.0745＋39.54 = ？

39.54是小数点后位数最少的，在这三个数据中，它的绝对误差最大，为±0.01，所以应以39.54为准，其它两个数字亦要保留小数点后第二位，因此三数计算应为：

2.04＋0.07＋39.54 = 41.65

2.在乘除法运算中，每数及它们的积或商的有效数字的保留，以每数中有效数字位数最少的为标准。在乘除法中，因是各数值相对误差的传递，所以结果的相对误差必须与各数中相对误差最大的那个相当。

例如：13.92×0.0112×1.9723 = ？

0.0112是三位有效数字，位数最少，它的相对误差最大，所以应以0.0112的位数为准，即：

13.9×0.0112×1.97 = 0.307

3.分析结果小数点后的位数，应与分析方法精密度小数点后的位数一致。

4.检验结果的写法应与药典规定相一致。

第三篇：有效数字教案

2.11 有效数字与科学计数法（第一课时）

学习任务分析：

学习目标：

1、了解近似数与有效数字的概念，体会近似数的意义及在生活中的作用

2、能说出一个近似数的精确度或有几个有效数字，能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数 学习重点：

按要求取一个数的近似数 学习难点：

正确地求一个近似数的精确度及它的有效数字的个数

学习过程设计：

一、问题与情境1： 请你想一想：

在实际应用中，往往不需要保留很多的小数位数，在小学算术中我们曾学过用“四舍五入法”根据实际需要保留一定的小数位数，取它的近似值． 练习：求下列近似值：(1)将2.953保留整数得3(2)将2.953保留一位小数得3.0(3)将2.953保留两位小数得2.95 若按数的近似值记法有： 2.953≈3(保留整数)2.953≈3.0(保留一位小数)2.953≈2.95(保留两位小数)

二、问题与情境2： 自我学习

1．准确数和近似数

在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数：例如初一(6)班有55个学生，某工厂有126台机床，我有4个练习本，这些数：55、126、4都是与实际完全符合的准确数．但是在实际生活和实际计算中存在着大量与实际上大体符合的近似数．

又如月球到地球的距离约是38万公里，李明同学的身高约是1.63米，38万、1.63米都是与实际接近的近似数．

在计算面积、体积时，由于测量出来的长度都不可能做到绝对准确，因此所求面积、体积也是一个近似数．

所以，准确数是与实际完全符合的数，近似数是与实际接近的数． 由此我们看到在解决实际问题时，往往只能用近似数，一方面搞得绝对准确是不可能的，另一方面往往也没有必要搞得完全准确．

2．关于精确度问题．

在大量的实际数学问题中，都会遇到近似数问题，使用近似数，我们知道就有一个近似程度问题，也即精确度问题．

例如前面提到的积2.953 2.953≈3 保留整数，叫做精确到个位(或精确到1)；

2.953≈3.0 保留一位小数，叫做精确到十分位(或精确到0.1)； 2.953≈2.95 保留两位小数，叫做精确到百分位(或精确到0.01)． 结果取3，就叫做精确到个位(或精确到1)； 取3.3，就叫做精确到十分位(或精确到0.1)； 取3.33，就叫做精确到百分位(或精确到0.01)． „„

一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．

3．近似数的有效数字

在一个近似数中，从左边第一个不是零的数字起，到右边最后一位四舍五入所得的数字止，一共包含的数字的个数，叫做这个近似数的有效数字的个数(或位数)，其中任意一位上的数字都是有效数字． 上例中，3有一个有效数字：3； 3.0有两个有效数字：

3、0； 2.95有三个有效数字：2、9、5．

三、问题与情境3： 请你试一试

例1 下列由四舍五入得到的近似数各精确到哪一位，各有哪几个有效数字？(1)43.8；(2)0.03086；(3)2.4万；(4)3000．

解：(1)43.8，精确到十分位(即精确到0.1)有三个有效数字4、3、8；(2)0.03086，精确到十万分位(即精确到0.00001)有四个有效数字3、0、8、6；(3)2.4万，精确到千位，有两个有效数字2、4；(4)3000，精确到个位，有四个有效数字3、0、0、0．

注意：(1)有效数字是从左边第一个不是零的数起；

(2)从左边第一个不是零的数起到精确到的位数(即最后一位四舍五入所得的数)止，所有的数字．例(2)中，0.03086左边第一个不是零的数是3，最后一位四舍五入所得的数是6，从3到6的所有的数是3、0、8、6，左边的两个0不算，3与6之间的0要算，这个近似数有4个有效数字3、0、8、6；

(3)要注意末位的零，如(4)中末三个0不能丢．

（4）在实际生活中，有时近似数并不是按“四舍五入”法得到的。如：七年级3班共有54名同学，想租用38座的客车外出秋游。因为54÷38=1.421„„，这里就不能用四舍五入法，二要用“进一法”（或叫收尾法）来估计应该租用客车的数量，即应租2辆。

四、问题与情境4： 看你行不行

练习1 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位，各有哪几个有效数字？(1)25.7；(2)0.407；

(3)103万；(4)1.60；(5)10亿．

解：(1)25.7，精确到十分位，有三个有效数字2、5、7；(2)0.407，精确到千分位，有三个有效数字4、0、7；(3)103万，精确到万位，有三个有效数字1、0、3；(4)l.60，精确到百分位，有三个有效数字1、6、0；(5)10亿，精确到亿位，有两个有效数字1、0．

练习2．近似数1.6和1.60有什么不同，能把近似数1.60写成1.6吗？ 答：近似数1.6和1.60的精确度不同，1．6是精确到十分位，有两个有效数字1、6，1.60精确到百分位，有3个有效数字1、6、0．

练习3．从近似数的观点看，近似数2.4万和24000这两个数的意义相同吗？ 答：2.4万和24000这两个近似数的意义并不相同．2.4万表示精确到千位，它有两个有效数字2、4，24000表示精确到个位，它有五个有效数字2、4、0、0、0．

五、问题与情境5： 自我提升：

1．正确理解和掌握近似数、准确数、精确度和有效数字等概念；

2．要学会给出一个近似数，能准确地确定它精确到哪一位，它有哪几个有效数字；

3．对例1后面提及到的注意事项应引起重视．

六、问题与情境6 自我检测：

1．用四舍五入法对下列各数按括号中的要求取近似值：(1)12.17，0.009403，8607000(保留三个有效数字)；(2)2.768，3.4017，92.598(精确到百分位)；(3)19.74，8.965，0.409(精确到0.1)；(4)3590，17289，3.04×104(精确到千位)；(5)1.375，0.768，0.002561(保留两个有效数字)；(6)89.6，213.4，1906.57(精确到个位)；(7)3709，496317，23.91(保留两个有效数字)．

2．用四舍五入法按要求保留有效数字，取近似数，并说出它精确到哪一位？(l)56.32(保留三个有效数字)；(2)0.6648(保留一个有效数字)；(3)0.7096(保留两个有效数字)；(4)472864(保留四个有效数字)．

3．用四舍五入法按括号里面要求的精确度取近似数，并指出近似数有几个有效数字？

(1)708.45(精确到个位)；(2)50437413(精确到万位)；(3)0.04537(精确到0.0001)；(4)1.9561(精确到0.1)．

4．判断下列说法是否正确？为什么？(1)近似数10.0与近似数10的精确度相同；(2)近似数4千万和近似数4000万精确度一样；

(3)2.718精确到十分位后(即精确到0.1)有两个有效数字；(4)近似数25.0和近似数25的有效数字相同，都为2、5．

典型例题

例1 判断下列各数，哪些是准确数，哪些是近似数：

(1)初一(2)班有43名学生，数学期末考试的平均成绩是82.5分；(2)某歌星在体育馆举办音乐会，大约有一万二千人参加；(3)通过计算，直径为10cm的圆的周长是31.4cm；(4)检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌80000万个；(5)1999年我国国民经济增长7.8％．

解：(1)43是准确数．因为43是质数，求平均数时不一定除得尽，所以82.5一般是近似数；(2)一万二千是近似数；

(3)10是准确数，因为3.14是π的近似值，所以31.4是近似数；(4)80000万是近似数；

(5)1999是准确数，7.8％是近似数．

说明：1．在近似数的计算中，分清准确数和近似数是很重要的，它是决定我们用近似计算法则进行计算，还是用一般方法进行计算的依据． 2．产生近似数的主要原因：

(1)“计算”产生近似数．如除不尽，有圆周率π参加计算的结果等等；(2)用测量工具测出的量一般都是近似数，如长度、重量、时间等等；

(3)不容易得到，或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如人口普查的结果，就只能是一个近似数；

(4)由于不必要知道准确数而产生近似数．

例2 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有哪几个有效数字？

(1)38200(2)0.040(3)20.05000(4)4×10

4分析：对于一个四舍五入得到的近似数，如果是整数，如38200，就精确到个位；如果有一位小数，就精确到十分位；两位小数，就精确到百分位；象0.040有三位小数就精确到千分

4位；象20.05000就精确到十万分位；而4×10=40000，只有一个有效数字4，则精确到万位．有效数字的个数应按照定义计算．

解：(1)38200精确到个位，有五个有效数字3、8、2、0、0．(2)0.040精确到千分位(即精确到0.001)有两个有效数字4、0．(3)20.05000精确到十万分位(即精确到0.00001)，有七个有效数字2、0、0、5、0、0、0．(4)4×10精确到万位，有一个有效数字4． 4说明：(1)一个近似数的位数与精确度有关，不能随意添上或去掉末位的零．如20.05000的有效数字是2、0、0、5、0、0、0七个．而20.05的有效数字是2、0、0、5四个．因为20.05000精确到0.00001，而20.05精确到0.01，精确度不一样，有效数字也不同，所以右边的三个0不能随意去掉．

(2)对有效数字，如0.040，4左边的两个0不是有效数字，4右边的0是有效数字．(3)近似数40000与4×10有区别，40000表示精确到个位，有五个有效数字4、0、0、0、40，而4×10表示精确到万位，有1个有效数字4．

例3 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？

(1)70万(2)9.03万(3)1.8亿(4)6.40×10

54分析：因为这四个数都是近似数，所以

(1)的有效数字是2个：

7、0，0不是个位，而是“万”位；(2)的有效数字是3个：9、0、3，3不是百分位，而是“百”位；(3)的有效数字是2个：

1、8，8不是十分位，而是“千万”位；(4)的有效数字是3个：6、4、0，0不是百分位，而是“千”位． 解：(1)70万.精确到万位，有2个有效数字7、0；(2)9.03万.精确到百位，有3个有效数字9、0、3；(3)1.8亿.精确到千万位，有2个有效数字1、8；(4)6.40×10.精确到千位，有3个有效数字6、4、0． 5说明：较大的数取近似值时，常用×万，×亿等等来表示，这里的“×”表示这个近似数的有效数字，而它精确到的位数不一定是“万”或“亿”．对于不熟练的学生，应当写出原数之后再判断精确到哪一位，例如9.03万=90300，因为“3”在百位上，所以9.03万精确到百位．

例4 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值．

(1)1.5982(精确到0.01)(2)0.03049(保留两个有效数字)(3)3.3074(精确到个位)(4)81.661(保留三个有效数字)

分析：四舍五入是指要精确到的那一位后面紧跟的一位，如果比5小则舍，如果比5大或等于5则进1，与再后面各位数字的大小无关．

(1)1.5982要精确到0.01即百分位，只看它后面的一位即千分位的数字，是8＞5，应当进1，所以近似值为1.60．

(2)0.03049保留两个有效数字，3左边的0不算，从3开始，两个有效数字是3、0，再看第三个数字是4＜5，应当舍，所以近似值为0.030．(3)、(4)同上．

解：(1)1.5982≈1.60(2)0.03049≈0.030(3)3.3074≈3(4)81.661≈81.7

说明：1.60与0.030的最后一个0都不能随便去掉．1.60是表示精确到0.01，而1.6表示精确到0.1．对0.030，最后一个0也是表示精确度的，表示精确到千分位，而0.03只精确到百分位．

例5 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值，并说出它的精确度(或有效数字)．

(1)26074(精确到千位)(2)7049(保留2个有效数字)

(3)26074000000(精确到亿位)(4)704.9(保留3个有效数字)分析：根据题目的要求：(1)26074≈26000；(2)7049≈7000

(3)26074000000≈26100000000(4)704.9≈705

(1)、(2)、(3)题的近似值中看不出它们的精确度，所以必须用科学记数法表示． 解：(1)26074=2.6074×10≈2.6×10，精确到千位，有2个有效数字2、6．

44(2)7049=7.049×10≈7.0×10，精确到百位，有两个有效数字7、0．

33(3)26074000000=2.6074×10≈2.61×10，精确到亿位，有三个有效数字2、6、1．

10(4)704.9≈705，精确到个位，有三个有效数字7、0、5． 说明：求整数的近似数时，应注意以下两点：(1)近似数的位数一般都与已知数的位数相同；

(2)当近似数不是精确到个位，或有效数字的个数小于整数的位数时，一般用科学记数法表示这个近似数．因为形如a×10n(1≤a＜10，n为正整数＝的数可以体现出整数的精确度． 例6 指出下列各问题中的准确数和近似数，以及近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？

(1)某厂1998年的产值约为1500万元，约是1978年的12倍；

(2)某校初一(2)班有学生52人，平均身高约为1.57米，平均体重约为50.5千克；(3)我国人口约12亿人；

(4)一次数学测验，初一(1)班平均分约为88.6分，初一(2)班约为89.0分．

分析： 对于四舍五入得到的近似数，如果是整数，就精确到个位；若有1位小数，就精确到十分位，如近似数89.0就精确到十分位．若去掉末位的“0”成为89，则精确到个位了，这就不是原来的精确度了，故近似数末位的零不能去掉．

解：(1)1998和1978是准确数．近似数1500万元，精确到万位，有四个有效数字；近似数12精确到个位，有两个有效数字．

(2)52是准确数．近似数1.57精确到百分位，有3个有效数字；近似数50.5精确到十分位，有3个有效数字．

(3)近似数12亿精确到亿位，有两个有效数字．

(4)近似数88.6和89.0都精确到十分位，都有3个有效数字．

说明：在大量的实际数学问题中，都会遇到近似数的问题．使用近似数，就有一个近似程度的问题，也就是精确度的问题．

一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位(这个数位上的数字若是0也得算)止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字．

第四篇：近似数和有效数字

凤凰数学网(www.xiexiebang.com)

苏科数学八上教学案

2.6近似数与有效数字

班级 姓名 学号 学习目标：1了解近似数与有效数字的概念，体会近似数的意义及在生活中的作用

2能说出一个近似数的精确度或有几个有效数字，能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数

学习难点：按要求用四舍五入法取一个数的近似数 教学过程：

（一）情境创设

李宇春以3528308条短信获得冠军

周笔畅以3270840条短信获得亚军 张靓颖则以1353906条短信获得季军

今年22岁的夏洛特·凯利4年前生出詹尼弗和简孪生姐妹，今年7月30日又生出鲁思和艾米丽两位可爱的孪生小姐妹。艾米丽出生时体重约为8.12磅，鲁思出生时的体重则为约7.20磅。

（设计说明：让学生自己搜集生活中与数有关的信息，从中进一步感受数的意义）

（二）讲授新课

近似数

实际生产生活中的许多数据都是近似数，例如测量长度，时间，速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，其测量的精确程度也不同。在实际计算中对于像π这样的数，也常常需取它们的近似值.请说说生活中应用近似数的例子。

（设计说明：通过交流生活中近似数的例子，使学生认识到生活中存在近似数，感受近似数在生活中的作用，体会数学与生活的关系）

取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.例如，圆周率=3.1415926„

取π≈3，就是精确到个位（或精确到1）取π≈3.1，就是精确到十分位（或精确到0.1）取π≈3.14，就是精确到百分位位（或精确到0.01）取π≈3.142，就是精确到千分位位（或精确到0.001）

有效数字

对一个近似数，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。

例如：上面圆周率π的近似值中，3.14有3个有效数字3，1，4；3.142有4个有效数字3，1，江苏省泰州中学附中 凤凰数学网(www.xiexiebang.com)

苏科数学八上教学案

4，2.（三）例题教学

例1 小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg，按要求取近似数，并指出每个近似数的有效数字：（1）精确到0.01kg;

（2）精确到0.1kg;

（3）精确到1kg.(设计说明：简单应用上面所学知识，先四舍五入取近似值，再确定近似数的有效数字，应注意提醒学生不能随便将小数点后的0去掉.)例2 用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值，并用科学记数法表示.（1）地球上七大洲的面积约为149480000（保留2个有效数字）（2）某人一天饮水1890ml（精确到1000ml）（3）小明身高1.595m（保留3个有效数字）

（4）人的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm（精确到0.00001）

（设计说明：通过讨论使学生理解用科学记数法记数，不仅便于记一些较大（小）的数，而且易于表示近似数的有效数字）

（四）课堂练习基础训练

书p78 1,2 2 创新探究

（2）张娟和李敏在讨论问题。

张娟：如果你把7498近似到千位数，你就会得到7000.李敏：不，我有另外一种解答方法，可以得到不同的答案。首先将7498近似到百位得7500，接着把7500近似到千位，就得到8000。张娟：„„

你怎样评价张娟和李敏的说法呢？ 3 研究性学习练习

（1）有一个四位数x，先将它四舍五入到十位，得到近似数m，再把四位数m四舍五入到百位，得到近似数n，再把四位数n四舍五入到千位，恰好是2000，你能求出四位数x的最大值与最小值吗？

（设计说明：通过练习，进一步巩固所学知识，发展能力）

（五）课堂小结

举出生活中的近似数，指出它们精确到哪一位？各有几个有效数字？ 五 教后反思：

江苏省泰州中学附中 凤凰数学网(www.xiexiebang.com)

苏科数学八上教学案

【课后作业】

班级 姓名 学号

一、精心选一选

⒈圆周率π＝3.1415926„精确到千分位的近似数是

（）

A．3.14

B．3.141

C．3.142

D．3.1416 ⒉近似数3.14×104的有效数字有

（）Ａ．1个

Ｂ．2个

Ｃ．3个

Ｄ．4个

⒊2004年某市完成国内生产总值（GDP）达3466.53亿元，用四舍五入法取近似值，保留3个有效数字，并用科学记数法表示，其结果是

（）A．3.47×103亿元

B．3.47×104亿元 C．3.467×103亿元

D．3.467×104亿元

⒋对于近似数10.08与0.1008，下列说法正确的是

（）A．它们的有效数字与精确位数都不相同

B．它们的有效数字与精确位数相同 C．它们的精确位数不同，有效数字相同

D．它们的有效数字不同，精确位数相同

二、细心填一填

⒌近似数1.69万精确到

位，有

个有效数字，有效数字是

． ⒍小明的体重约为51.51千克，如果精确到10千克，其结果为

千克；如果精确到1千克，其结果为

千克；如果精确到0.1千克，其结果为

千克．

⒎2003年10月15日9时10分，我国神舟五号载人飞船准确进入预定轨道．16日5时59分，返

江苏省泰州中学附中 凤凰数学网(www.xiexiebang.com)

苏科数学八上教学案

回舱与推进舱分离，返回地面．其间飞船绕地球共飞行了14圈，飞行的路程约为60万km，则神舟五号载人飞船绕地球平均每圈飞行

km（用科学记数法表示，结果保留3个有效数字）．

三、用心做一做

⒏计算：⑴3＋2－3（保留两个有效数字）

⑵

32（精确到0.01）

⒐以下问题中的近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？ ⑴我国人口约为13亿人； ⑵π的近似值是3.14；

⑶某厂2004年的产值约为2000万元，约是1998年的6.8倍． ⒑用四舍五入法,，按要求对下列各数取近似值，并用科学记数法表示：

⑴太空探测器“先驱者10号”从发射到2003年2月人们收到它最后一次发回的信号时，它已飞离地球12200000000km（保留2个有效数字）；

⑵2005年6月5日是世界第34个世界环境日，目前全球海洋总面积约为36105.9万km2（保留3个有效数字）；

⑶光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km； ⑷某市全年的路灯照明用电约需4200万kw·h（精确到百万位）．

江苏省泰州中学附中

第五篇：初中物理有效教学

初中物理有效教学“九点”尝试

上传: 梁斌

更新时间：2012-5-19 0:12:56 1.“味”—— 物理课堂应“五味”俱全，让学生感觉津津有味。

物理课欲“开”学生“胃口”，一定要讲究它的“味”。一节成功的物理课，应有哪些“味”呢？最好是“五味”俱全，譬如：新闻味、生活味、文学味、人文味、臻美味。

（1）新闻味——捕捉新鲜资讯，关心科技前沿，解析物理原理，拓展知识空间。

（2）生活味——贯彻“从生活走向物理，从物理走向社会”的理念，引导学生留心生活，关注社会，见物思理、识物悟理。

（3）文学味——优秀的文学作品无不闪耀着作者的思想和人格光辉，而且蕴涵一定的科学道理。如讲述“光的传播”时，可引用白居易的《暮江吟》中“一道残阳铺水中，半江瑟瑟半江红，可怜九月初三夜，露似珍珠月似弓”来刻画光的反射、折射等物理现象。正所谓：“文学与科学，犹如他与她。”

（4）人文味——第斯多惠说：“教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。”因此，物理课堂应成为师生交流，心灵对话的舞台。无论是牛顿晚年的拜金主义、痴迷神学，还是爱因斯坦一生的唯美追求、非凡成就；无论是发现“宇称不守恒”的诺贝尔奖得主——杨振宁和李政道，还是放弃国外优厚待遇，献身祖国国防事业的“两弹元勋”——邓稼先；无论是考入北大的郑琴，还是晋级清华的李冰……都是渗透人文教育的好素材。

（5）臻美味——我心中的物理是“呈天地之美，析万物之理”，我心中的教学企求这样的境界：求真、向善、臻美。物理的课堂可以有诗情，应该有画意，来激发学生爱美、好奇的天性，以进入感受美、感悟自然的境界。在教学过程中，教师要“怀美而教”（物理的简洁美、对称美、和谐美、统一美……)，恰当地运用各种教学手段，透过自然之物探寻美的真谛，借助自然之理体会美的丰富，激发学生的美感并产生共鸣，使物理课堂美味飘逸。

2．“爱”—— 注重情感激励，充分诱发学生学习的内在动力，努力达成“爱屋及乌”效应。

苏霍姆林斯基说：“如果教师不去设法在学生身上形成情绪高涨、智力振奋的内部状态，那么知识只能引起一种冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动只能带来疲劳。”诚如大师所言，成功的课堂教学必须十分注重师生的情感交流、信息沟通，注重情感激励，充分诱发学生学习的内在动力，努力达成“爱屋及乌”效应。过去我们说，要给学生一杯水，自己要有一桶水。现在我们说，老师要不断“充电”，必须是常流水，常换常新的水。这样你的课幽默风趣，生动活泼，富有感染力；你知识渊博，彰显魅力，让学生五体投地；你爱岗敬业，博爱平等，富有亲和力。你带着爱心、带着激情、带着微笑，如春风拂面，你的学生自然敬爱你，自然喜欢你，自然爱上你的学科，此所谓“爱屋及乌”。你可以因势利导，使之成为一种稳定的兴趣和执着的追求。如果有一天，学生对你说：“我要让学习成为我的欲望”，那你就成功了。3.“内”—— 注重课堂内化，追求课堂效率最大化。

物理新授课要注意什么呢？我们可以从前人“极高明而道中庸”的古训中得到启发。认真处理好以下三个环节：①过程与结论的平衡；②探究与接受的协调；③预设与生成的统一。

过程与结论在教学中是辩证统一的，如果说结论是物理课的“肉体”，那么过程就是物理课的“灵魂”。只有过程与结论的有机结合，才能体现出物理的整体思想和内涵。所以，作为一名物理老师，应坚持“经历过程与记取结论同样重要”的教学理念，并以高度的责任心，切实把它落到实处。

在什么情境下采用探究式学习，在什么情况下采用接受式学习是老师们备课中要特别注意的地方，策略运用得当将会使预设与生成同样精彩。在物理课堂中，我们要协调好探究与接受的关系，力求两者和谐统一、相得益彰，让探究成为在教师指导下的有意义的探究，让接受成为学生在自主探究过程中有意义的接受。余文森教授说过，“预设与生成既有对立性，也有统一性，课堂教学既需要预设，也需要生成，预设与生成是课堂教学的两翼。”我们只有让预设与生成在新课堂教学中和谐共舞，才能使课堂生成别样精彩；才能让师生共筑生命历程。巧于预设，妙于生成，我们一定能与精彩有约，我们的物理课堂一定会充满科学精神的光辉、一定会充满人文精神的温馨。物理复习课要注意什么呢？要避免单

一、机械的知识扫描（因其缺乏吸引力）。复习课应特别重视以典型例题为载体，以科学方法为引导的实际应用。教师要努力创设情境，强化习题教学和训练，引导学生运用物理知识和方法解决具体的物理问题，使学生实现知识向能力的转化。

教师要站在科学方法论的高度，认真研究题型，分析归类，精选典型例题和习题，对学生进行逻辑思维与非逻辑思维、集中思维与发散思维、正向思维与逆向思维、局部思维与整体思维、类比思维与联想思维等专项训练，引导学生有意识地挖掘运用科学方法，开拓思维，提高素质。

要寄希望于课堂，注重课内训练与反馈矫正（基础训练要限时；提高变式要分层；错题纠正要补偿；习题讲解要归纳。练前抓选题，练中抓细节，练后抓反思）。要针对不同层次的学生用好、用活课内个别提问，高度关注课堂内化情况。鱼与熊掌不可兼得，当教学容量与课堂内化发生矛盾时，要学会忍痛割爱，本着“内化优先”的原则，追求课堂效率最大化。

4.“矫”—— 注重单元检测与评讲矫正，提高学习质量。

记得1997年我参加了“福州市初中物理单元优化过关”教改实验，学生成绩大面积提高。我认为“单元检测与评讲矫正”是既古老又最具实效的提高学生成绩的手段，其查缺补漏，改进教学，提高学习质量的功能无可替代，对学生的激励或警示作用无可替代。从某种意义上说，只要考试制度存在，它就是最佳武器。为此，老师要呕心沥血，耗费大量的精力。它在一定程度上反映、考验老师的敬业精神、业务能力和教学艺术，值得各位老师深入研究。

5.“疑”—— 注重师生互动和生生交流，鼓励学生质疑“挑刺”，反对迷信与盲从。

纵观物理学的发展史，没有对托勒密宇宙体系的批判，哪有哥白尼带来的天文学革命？没有对亚里士多德物理理论的怀疑，又哪来伽利略在运动学上的重大变革？没有对牛顿经典力学的超越，又怎么会有普朗克的量子理论和爱因斯坦的相对论。总之，没有批判、质疑，就没有创新、发展。教学中，教师要善于营造民主宽松的学习氛围，鼓励学生质疑“挑刺”，反对迷信权威，反对人云亦云。重视师生互动和生生交流，充分发挥学科“小先生”的聪明才智，悉心捕捉课内学生智慧的“火花”，达成教学相长，常思常新。6.“合”—— 团结协作，形成合力。

“成功的团队没有失败者，失败的团队没有成功者。”因此我们要多做有利于团结的事，多说有利于团结的话。互相理解，互相谅解，取长补短，宽容友善。走出“小我”，形成“大我”，直至“忘我”。要发挥集体教研的优势，群策群力，以“一切为了学生”为己任，既着眼学生的长远发展，又考虑学生的现实要求，克服学科本位心理，促进学生全面发展，努力构建和谐课堂和校园文化。可以这样形容：“俏也不争春，只把春来报，待到山花烂漫时，她在丛中笑。”

7.“势”—— 研究中考命题趋势，有的放矢，事半功倍。

要根据全国中考命题改革趋势，着重研究本地区本学科的中考命题特点和规律。要想方设法，通过各种渠道收集中考信息，悉心研究，有的放矢，事半功倍。

根据近几年福州市中考物理命题特点和规律，结合我校学生的实际情况，制定有针对性的复习策略：（1）研究试卷导向，编写模拟试题（精选习题）；（2）重视双基训练，渗透科学方法（测试矫正）；（3）理论联系实际，注重学以致用（关注热点）；（4）强化物理语言，提高表达能力（准确到位)；（5）强化审题训练，提高分析能力（找关键词）；（6）引导获取信息，提高处理能力（灵活应用）；（7）强化计算题训练，提高解计算题的能力（依据规范）。

8.“管”—— 有效地控制课堂，让学生课堂的表现行为能够恰到好处。

一位教师具有一定的课程智慧与教学智慧，但未必能上一堂好课，教师还应具备一定的管理智慧。所谓管理智慧即教师能有效地控制课堂，让学生课堂的表现行为能够恰到好处。教师要以民主、平等的态度对待学生，关注学生内心感受，准确把握学生心理，科学地处理问题，使学生能够心悦诚服地接受老师的为人处世，并从中学会做人做事。宜赏识为主，惩戒为辅，循循善诱，诲人不倦，进而树立老师的威信，使学生能够“不令而行”。对于不同层面的学生要用不同的方法，使每个学生都能“不用扬鞭自奋蹄”，每个学生都有活力。

9.“导”—— 善于给学生指路，引导学生自己探索。如果只会读讲稿，不适合当教师。

如果只会讲书本上的知识，是低水平的合格教师。

如果他同时又能在方法上给学生一定的指导，他是好教师，能胜任教育教学的教师。

善于给学生指路，引导学生自己探索，自己实践、总结，能够使学生超过自己，甚至对自己所不擅长或不会的东西也能够在方法上给学生引路，是优秀的教师。

如果又是人格、情感、意志、潜能、个性的和谐发展，人生目标、人格魅力的指引，这是杰出的教师。让我们记住一句话：“教是为了不教”。