一次函数单元知识总结例题精讲与同步练习 教案

第一篇：一次函数单元知识总结例题精讲与同步练习 教案

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教学内容：一次函数单元知识总结

【基本目标要求】

一、经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，发展学生的抽象思维能力．

二、初步理解函数的概念，了解函数的列表法、图象法和解析法的表示方法．

三、经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力．

四、能写出实际问题中的一次函数、正比例函数的解析式，掌握它们的图象及其性质，并利用它们解决简单的实际问题．

【基础知识导引】

一、函数

1．函数的概念

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数(function)，其中x是自变量，y是因变量．

2．函数值

对于自变量在取值范围内的一个确定的值x=a，函数都有惟一确定的对应值，这个对应值，叫作当x=a时的函数值．

3．函数的表示法

(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．

二、一次函数

1．定义 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(1inear function)(x为自变量，y为因变量)．

2．图象

一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b)且平行于直线y=kx的一条直线，b叫作直线y=kx+b在y轴上的截距．

3．性质 当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．

4．正比例函数

(1)定义 函数y=kx(k是常数，k≠0)叫正比例函数．

(2)图象 正比例函数y=kx的图象是经过原点和(1，k)两点的—条直线．

(3)性质 当k>0时，它的图象在 新课程网校[www.xiexiebang.com] 全力打造一流免费网校！

(2)一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象是过(0，b)、(b，0)两点的一条直k线．

因此依据两个独立条件可确定k，b，即可求出一次函数．

(3)基本量 是数学对象的一个本质概念，如正比例函数含有一个基本量k；一次函数含有两个基本量k、b；确定一个平行四边形需3个基本量；长方形和菱形的基本量是2；正方形的基本量是1；三角形的基本量是3．

二、每一个含一个字母的代数式都是这个字母的函数．

如2x-1是x的函数．

【发散思维分析】

本章的主要内容有：函数，一次函数，一次函数的图象，确定一次函数的表达式，一次函数图象的应用．

本章从丰富多彩的问题情境中渗透函数的模型思想，从中建立概念，总结规律，促进其应用与拓展，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，进而探索出一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决实际应用问题．

本章安排了逆向发散、解法发散和其他内容的发散思维题，逆向发散可化异为同，化生为熟，化繁为简，变难为易，从而得到结论．

解法发散要进行一题多解，一题多变，一题多得的训练，使学生思维具有流畅性、灵活性和独创性，从而把复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，直到问题解决．

【知识结构网络】

【学习方法指导】

1．培养数形结合的思想方法，提高数形结合的能力

本章教材注重学生形象思维能力的培养，形象思维能力是数学思维能力的一个重要方面，而加强数形结合的教学是培养学生形象思维的一个重要渠道．数形结合的思想方法就是把数量关系与图形结合起来进行思考分析的方法，它可以使抽象、复杂的问题变得直观、简单、明了．

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2．转化的思想方法

把求函数值的问题转化为求代数式的值的问题，把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题，从而利用函数的概念及性质解决实际问题．

3．函数与方程的思想是本章的特点之一

【典型热点考题】

[题型发散]

例1 选择题 把正确答案的代号填入题中括号内．

如图6-19，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中S和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快()

(A)2.5米(B)2米(C)1.5米(D)1米

(2002年重庆市中考试题)

解

由图6-19得：将(8，64)分别代入S1v1t、S2v2t12得v18米/秒，v26.5米/秒，故本题应选(C)．

例2 填空题

已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数解析式是________．

(2002年温州市中考试题)

解

设所求的函数解析式为y=k(x+1)①

将x=5，y=12代入①，得 12=k(5+1)，所以k=2．

故本题应填“y=2x+2”．

[综合发散]

例3 旅客乘车按规定可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需购买行李票．设行李票y(元)是行李重量x(千克)的一次函数，如图6-20所示，求

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(1)y与x之间的函数关系式；

(2)旅客最多可免费携带行李的重量．

(2001年甘肃省中考试题)

分析 本题是以行李的重量为x轴，行李票价为y轴，由题意y是x的一次函数，通过对图形的观察知点(60，5)、(90，10)在此图象上，并且此图象与x轴的正半轴交于一点，故应用待定系数法求解.解(1)设一次函数的关系式为y=kx+b.因为点(60，5)和(90，10)在此函数的图象上，因此，得 60k+b=5，90k+b=10.分别整理得：

b=5-60k.(1)

b=10-90k.(2)

比较(1)、(2)，得

5-60k=10-90k，即30k=5，k

得 b=-5.所以y1.61x5 61x50.所以x≥30.6

因为x>0，y≥0，所以

1x

5故此函数的解析式为y60(x30)(0x30)

(2)由(1)知0

(2001年山西省中考试题)

解 设商场投资x元，在月初出售，到月末可获利y1元；在月末出售，可获利y2元.根据题意，得y115%x10%(x15%x)0.265x；y230%x7000.3x700.(1)当y1y2时，0.265x=0.3x-700，x=20000；

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(2)当y1y2时，0.265x<0.3x-700，x>20000；

(3)当y1y2时，0.265x>0.3x-700，x<20000.答：当商场投资20000元时，两种销售方式获利相同；当商场投资超过20000元时，新课程网校[www.xiexiebang.com] 全力打造一流免费网校！

要求写出一个关系式.2.(1)y=50+0.4x；(2)110.8元；(3)375分.3.(1)y=0.6x；(2)91.2元；(3)约333分.试一试

1.(1)选择A类收费方式；(2)每月通话250分时，两类收费方式所缴话费相等.习题6.3 略

习题6.4

1.略.2.增大.3.略.4.y=3x.习题6.5 3x.24

2.k，b1.3

1.y

3.(1)y=7.5x+0.5；(2)75.5cm.习题6.6 1.约2.5千克.2.(1)2000，3000；(2)6000，5000；(3)4吨；(4)大于4吨，小于4吨；(5)y=1000x，y=500x+2000.习题6.7 1.3000元，3500元，-500元.2.(1)B；(2)90千米/时；(3)30千米；(4)132分.复习题

A组

1.A，F，G；B，E，I；C，D，H.2.(2).3.y=0.6x+15.4.y=-2x，3个空依次为2，0，-2.5.(1)减小；(2)(,0)，(0,3)；(3)x323.2

6.(1)约5.1cm；(2)约11.4cm；(3)10天.B组

1.略.2.(1)v=5t+10；(2)60米.3.(1)l2；(2)10米；(3)小明将赢得这场比赛.C组

1.(1)略；(2)这些点近似地在一条直线上；(3)t=25-6.5；(4)约2.2℃.(本题各问答案不惟一.)

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第二篇：一次函数单元知识总结例题精讲与同步练习_教案

一次函数单元知识总结

【基本目标要求】

一、经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，发展学生的抽象思维能力．

二、初步理解函数的概念，了解函数的列表法、图象法和解析法的表示方法．

三、经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力．

四、能写出实际问题中的一次函数、正比例函数的解析式，掌握它们的图象及其性质，并利用它们解决简单的实际问题．

【基础知识导引】

一、函数

1．函数的概念

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数(function)，其中x是自变量，y是因变量．

2．函数值

对于自变量在取值范围内的一个确定的值x=a，函数都有惟一确定的对应值，这个对应值，叫作当x=a时的函数值．

3．函数的表示法

(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法． 二、一次函数

1．定义 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(1inear function)(x为自变量，y为因变量)．

2．图象

一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b)且平行于直线y=kx的一条直线，b叫作直线y=kx+b在y轴上的截距．

3．性质 当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．

4．正比例函数

(1)定义 函数y=kx(k是常数，k≠0)叫正比例函数．

(2)图象 正比例函数y=kx的图象是经过原点和(1，k)两点的—条直线．

(3)性质 当k>0时，它的图象在第一、三象限内，y随x的增大而增大；当k<0时，它的图象在第二、四象限内，y随x的增大而减小．

【重点难点解析】

本章重点是理解一次函数的概念、图象、性质及其应用．

本章难点是对函数概念的理解及函数模型思想的领会．要掌握上述重、难点，必须注意以下问题：

一、函数的图象

1．函数图象的定义 把—个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象(graph)．

2．正比例函数及一次函数的图象

（1）正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是过(0，0)，(1，k)两点的一条直线．

因此．依据一个独立条件可确定k，即可求出正比例函数．

(2)一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象是过(0，b)、(bk，0)两点的一条直线．

因此依据两个独立条件可确定k，b，即可求出一次函数．

(3)基本量 是数学对象的一个本质概念，如正比例函数含有一个基本量k；一次函数含有两个基本量k、b；确定一个平行四边形需3个基本量；长方形和菱形的基本量是2；正方形的基本量是1；三角形的基本量是3．

二、每一个含一个字母的代数式都是这个字母的函数．

如2x-1是x的函数．

【发散思维分析】

本章的主要内容有：函数，一次函数，一次函数的图象，确定一次函数的表达式，一次函数图象的应用．

本章从丰富多彩的问题情境中渗透函数的模型思想，从中建立概念，总结规律，促进其应用与拓展，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，进而探索出一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决实际应用问题．

本章安排了逆向发散、解法发散和其他内容的发散思维题，逆向发散可化异为同，化生为熟，化繁为简，变难为易，从而得到结论．

解法发散要进行一题多解，一题多变，一题多得的训练，使学生思维具有流畅性、灵活性和独创性，从而把复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，直到问题解决．

【知识结构网络】

【典型热点考题】

[题型发散]

例1 选择题 把正确答案的代号填入题中括号内．

如图6-19，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中S和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快()

(A)2.5米(B)2米(C)1.5米(D)1米

(2002年重庆市中考试题)

解

由图6-19得：将(8，64)分别代入S1v1t、S2v2t12得v18米/秒，v26.5米/秒，故本题应选(C)．

例2 填空题

已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数解析式是________．

(2002年温州市中考试题)

解

设所求的函数解析式为y=k(x+1)①

将x=5，y=12代入①，得 12=k(5+1)，所以k=2．

故本题应填“y=2x+2”．

[综合发散]

例3 旅客乘车按规定可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需购买行李票．设行李票y(元)是行李重量x(千克)的一次函数，如图6-20所示，求

(1)y与x之间的函数关系式；

(2)旅客最多可免费携带行李的重量．

(2001年甘肃省中考试题)3

分析 本题是以行李的重量为x轴，行李票价为y轴，由题意y是x的一次函数，通过对图形的观察知点(60，5)、(90，10)在此图象上，并且此图象与x轴的正半轴交于一点，故应用待定系数法求解.解(1)设一次函数的关系式为y=kx+b.因为点(60，5)和(90，10)在此函数的图象上，因此，得 60k+b=5，90k+b=10.分别整理得：

b=5-60k.(1)

b=10-90k.(2)

比较(1)、(2)，得

5-60k=10-90k，即30k=5，k

得 b=-5.所以y16x5

16x50.所以x≥30.16.因为x>0，y≥0，所以

1x

5故此函数的解析式为y60(x30)(0x30)

(2)由(1)知0

(2001年山西省中考试题)

解 设商场投资x元，在月初出售，到月末可获利y1元；在月末出售，可获利y2元.根据题意，得y115%x10%(x15%x)0.265x；y230%x7000.3x700.(1)当y1y2时，0.265x=0.3x-700，x=20000；

(2)当y1y2时，0.265x<0.3x-700，x>20000；

(3)当y1y2时，0.265x>0.3x-700，x<20000.答：当商场投资20000元时，两种销售方式获利相同；当商场投资超过20000元时，第二种销售方式获利较多；当商场投资不足20000元时，第一种销售方式获利较多.[点拨] 本例为决策性问题，一般先列出算式或建立函数关系式，通过算式大小的比较或函数最值的确定作出相应的决策.[开放性发散] 4

例5 为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为ycm，椅子的高度(不含靠背)为xcm，则y应是x的一次函数.下表列出两套符合条件的课桌椅的高度；

(1)请确定y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；

(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由.(2001年吉林省中考试题)

解(1)设y=kx+b，则有

75.0=40.0k+b.(1)

70.2=37.0k+b.(2)

由(1)，得b=75.0-40.0k(3)

由(2)，得b=70.2-37.0k(4)

比较(3)、(4)，得

75.0-40.0k=70.2-37.0k，即k=1.6，将k=1.6代入(3)，得b=11.所以y=1.6x+11.(2)当x=42.0时，y=1.6×42.0+11=78.2.所以这套桌椅是配套的.

第三篇：不等式与一次函数专题练习

不等式与一次函数专题练习

题型一：方程、不等式的直接应用

典型例题：李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：

假设月销售件数为x件，月总收入为y元，销售1件奖励a元，营业员月基本工资为b元．（1）求a，b的值；

（2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？

配套练习：

1、(2009,益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小

亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；

(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.2、北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利

利润润率100%）成本

题型二：方案设计

典型例题

3、（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．

（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．

（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？

典型例题4：(2008、湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点。从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x吨。

⑴、请填写下表，并求出两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；

⑵、设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； ⑶、经过抢修，从B地到C地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元(m>0)，其余路线的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案。

配套练习： 1．（2009，牡丹江）某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：（1）冰箱厂有哪几种生产方案？

（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家

电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？

（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．

2．光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台．•现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．

（1）设派往A地区y（元），求y

与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，•说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议。解：（1）派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为（30－x）台，派往B地区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x－10）台，则：

3.（2009，抚顺）某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块．加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克．加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元．设这次研制加工的原味核桃巧克力x块．

（1）求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？

（2）设加工两种巧克力的总成本为y元，求y与x的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？

题型三：不等式与一次函数的实际应用 典型例题5：（南充市2009）某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：

方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有x分钟，上网费用为y元．

（1）分别写出顾客甲按A、B两种方式计费的上网费y元与上网时间x分钟之间的函数关系式，并在图7的坐标系中作出这两个函数的图象；

（2）如何选择计费方式能使甲上网费更合算？

典型例题6：(2009，朝阳)某学校计划租用6辆客车送一批师生参加

一年一度的哈尔滨冰雕节，感受冰雕艺术的魅力．现有甲、乙两种客

车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．（1）求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；

（2）若该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？若有结余，最多可结余多少元？

典型例题7：(2009、唐山)送家电下乡活动开展后，某家电经销商计划购进A、B、C三种家电共70台，每种家电至少要购进8台，且恰好用完资金45000元。设购进A种家电x台，B种家电y台。三种家电的进价和预售价如下表： ⑴、用含x，y的式子表示购进C种家电的台数； ⑵、求出y与x之间的函数关系式；

⑶、假设所购进家电全部售出，综合考虑各种因素，该家电经销商在购销这批家电过程中需另外支出各种费用共1000元。①、求出预估利润P(元)与x(台)的函数关系式；

②、求出预估利润的最大值，并写出此时购进三种家电各多少台。

配套练习：

1、(2009、保定)水果经销商计划将一批苹果从我市运往某地销售，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下：

设我市到某地的路程为x千米，这批水果在途中的损耗为150元/时，若选用汽车运输，其总费用为y1元，若选

⑴、分别写出1，2与之间的函数关系式；

⑵、请你为水果经销商设计省钱的运输方案，并说明理由。

3、（2009，清远）某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．

（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．

（2）若用

AB

y值最小，最小值是多少？

5、（2009，梧州）某工厂要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元．

（1）设招聘甲种工种工人x人，工厂付给甲、乙两种工种的工人工资共y元，写出y（元）与x（人）的函数关系式；

（2）现要求招聘的乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种 各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

6、(2009、河南)某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品

中的电视机、冰箱、洗衣机共15台。三种家电的进价和售价如下表所示：

⑴、在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相

同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？

⑵、国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴。在⑴的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？

题型四：不等式与一次函数图象性质的应用

典型例题10：（2009年江苏省）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA.AB.BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？

典型例题11：（2009 黑龙江大兴安岭）邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校．小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s(千米)和小王从县城出发后所用的时间t(分)之间的函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：（1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案．（2）小王从县城出发到返回县城所用的时间．（3）李明从A村到县城共用多长时间？

配套练习

1．（2008贵州贵阳)如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系，根据所给图象，解答下列问题：

（1）写出甲的行驶路程s和行驶时间t(t≥0)之间的函数关系式．（3分）

（2）在哪一段时间内，甲的行驶速度小于乙的行驶速度；在哪一段时间内，甲的行驶速度大于乙的行驶速度．（4分）

（3）从图象中你还能获得什么信息？请写出其中的一条．（3分）

2、（2009·南宁）南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价y乙（元）与铺设面积x(m2)满足函数关系式：y乙＝kx．

（1）根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系式；（2）如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600m2，那么公园应选择哪个工程队施工更合算？

3．（2009年娄底）娄底至新化高速公路的路基工程分段招标，市路桥公司中标承包了一段路基工程，进入施工场地后，所挖筑路基的长度y（m）与挖筑时间x（天）之间的函数关系如图所示，请根据提供的信息解答下列问题：（1）请你求出：

①在0≤x＜2的时间段内，y与x的函数关系式； ②在x≥2时间段内，y与x的函数关系式.（2）用所求的函数解析式预测完成1620 m的路基工程，需要挖筑多少天？

第四篇：《比例线段》例题精讲与同步练习教案1

《比例线段》例题精讲与同步练习教案1 一.知识要点：

（一）比例线段

1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成 ,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。

2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．

4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或 做线段ａ和ｃ的比例中项．

（二）比例的性质：，那么线段ｂ叫

(1)比例的基本性质：

(2)反比性质：

(3)更比性质:

(4)合比性质:

(5)等比性质:

或

且

(三)平行线分线段成比例定理

1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。

2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。

4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。首先要弄清三个基本图形。

这三个基本图形的用途是:

1.由平行线产生比例式

基本图形(1): 若l1//l2//l3，则

基本图形(2): 若DE//BC，则

基本图形(3): 若AC//BD，则

或 或

或

或

或 或 或

或 或

在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。

2．由比例式产生平行线段

基本图形(2):若 DE//BC。, , , , , 之一成立，则

基本图形(3):若 AC//DB。, , , , , 之一成立，则

二.本讲内容所需要的计算与证明方法

计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法。

2.会利用比例式建立方程求线段的长。

证明方法:会证比例式及等积式,会添加必要的辅助线求解相关命题。

三.例题

例1.已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。

分析: 题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k, 转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解。

解:∵a:b:c=3:5:7 设a=3k, b=5k, c=7k ∵2a+3b-c=28 ∴6k+15k-7k=28，∴k=2

∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12

例2:若

解:设 , 求 的值。

则x=3k, y=4k, z=5k ∴

说明:在这个问题中,不必求出K的值,就可以把问题解决了。

例3.如图,在□ABCD中,E为AB中点，分析:欲求 ,EF,AC相交于G,求。,就需要有平行线,并使已知条件得以利用,虽然题目中有平行线,但无基本图形,不能使已知条件发挥作用,需通过添加辅助线来寻找解题途径,构造基本图形。

解:分别延长FE,CB相交于H,(构造出了基本图形)

在□ABCD中,AD BC, ∵E为AB中点，∴AE=BE

∵AD//BC，∴∠AFE=∠H 在△AEF和△BEH中

在△AEF≌△BEH(AAS)∴AF=BH ∵，设AF=k, 则FD=3k，AD=4k，BH=AF=k，BC=AD=4K，CH=5K

∵AD//BC，即AF//HC ∴

∴

说明:此题还有其他辅助线的作法,例如分别延长EF,CD相交于M。或取AC中点N,连结EN。

请同学们思考,这两种方法构造

了哪些基本图形,如何求出。

例4.已知:如图,D是△ABC的AB边的中点,F是BC延长线上一点,连结DF交AC于E点。

求证: EA:EC=BF:CF

分析:这是证明比例式的问题,根据题目条件,不能直接证出要求证的比例式,并且四条线段中EC，CF在同一个三角形中,而EA,BF不在同一个三角形中,因此需要添加适当的辅助线(平行线)来构造形成比例的基本图形(由平行得比例)。为了利用BF:CF,故可以过C点作平行线来构造基本图形。

证法一: 过C作CH//AB交DF于H

∵CH//AB，即CH//BD ∴

又CH//AD，∵

∴AD=BD ∴

∵D是AB中点

∴（等比代换）

即EA:EC=BF:CF 证法二: 过 C作CM//FD交AB于M

∵CM//FD ∴

∵CM//ED ∴

∵D是AB中点

∴AD=BD ∴ ∴EA:EC=BF:CF(等比代换)

说明:在上面证明过程中,我们还用到了利用相等的比进行代换证明比例式的方法,这也是一种经常使用的方法。本题还可以过B点作AC的平行线或作DF的平行线的方法来证明,请同学们自己来证。总之通过作平行线得到比例是必须掌握的方法。

例5.已知:如图,菱形ABCD内接于△AEF,AE=3,AF=5,求菱形ABCD的边长。

分析:有平行线就能得到比例线段,求线段的长有时需要使用方程的思想方法来解决,本题给出了用比例式建立方程求线段长的一种常见方法,注意掌握解题的思路。

解: ∵菱形ABCD内接于△AEF ∴AB//CD,AB=BC=CD=AD

设 菱形边长为x,则CD=AD=x(适当设出未知数)

∵AF=5

∴DF=5-x(有关的量要用含未知数的代数式表示)

∵CD//AB 即CD//AE ∴

∴

且AE=3（得到相等关系）

(解出方程)(利用比例式建立了关于x的方程)∴5x=15-3x，∴x=。

∴菱形ABCD的边长为 四.练习:

1.已 知 ,求 的值。

2.已知:如图,△ABC中,DE//BC。AB=8,AD=5,EC=4,求AE的长 3.已知a=4,c=9若b是a,c的比例中项,求b的值。

4.已知线段MN是AB,CD的比例中项,AB=4cm,CD=5cm，求 MN的长。并思考3、4两题有何区别。5.已知:△ABC中,D是BC上一点,BD=3CD,M是AD中点,连BM延长交AC于E。求:AE:EC。

6.已 知:如图,△ABC中,CD平分∠ACB,DE//BC, AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长。

练习参考答案:

1.2.3.4.3、4题区别: 第3题中b是数,可为正也可为负;第4题中MN为线段,只能为正。5.提示:

或

作DN//AC交BE于N

作CO//BE交AD延长线于O

或

或

作AP//BE交CB延长线于P

作AQ//BC交BE延长线于Q

结论: AE:EC=3:4

6.DE=6(提示:用方程的思想方法)。

测试

选择题

1．已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2cm，b=4cm，c=5cm，则d=（（A）1cm

（B）10cm

（C）

（D）cm

2．已知：8x+3y-5z=0，且2x-3y+z=0，那么x：y：z的值是（）

（A）1：2：3

（B）2：3：5

（C）3：3：4

（D）2：2：3

3．如图，DE∥AC，EF∥AB，AC=14，AD：DB=3：4，则AF的长是（）

（A）6（B）10（C）8（D）9）

4．已知，如图△ABC中，AD⊥BC，E是AC的中点。那么下列比例式成立的是（）

（A）AB：AC=DF：BC

（A）AB：AC=EF：ED

（C）AB：AC=BF：FD

（D）AB：AC=AC：AD

5．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于O，过O作底的平行 线，分别与两腰交于E，F，则

（A）OE= OF（B）OE=OF（C）OE=2OF（D）OE+OF=BD

答案与解析

答案：

1、B

2、B

3、C

4、C

5、B 解析：

1、答案（B）

2、答案（B）

解析：

∴x：y：z=(z)：(z)：z=2：3：5

3、答案（C）

解析：∵DE∥AC ∵CE：BE=AD：DB=3：4 ∵EF∥AB

∴CF：AF=CE：BE=3：4 设CF=3x，则AF=4x ∵AC=14 ∴3x+4x=14 ∴x=2 ∴CF=6 AF=8

4、答案（C）

解析：作AG∥BC交DF于G ∴BF：AB=FD：DG

∵AD⊥CD，AG∥BC ∴∠ADC=∠DAG=90

∵E为AC的中点

∴ED=EA ∴∠1=∠2

∵AD为公共边

∴△GAD≌△CDA ∴AC=DG

∴BF：AB=FD：AC 即：AB：AC=BF：FD

5、答案：（B）

解析：∵OE∥AD，∴OE：AD=BE：AB

∵OF∥AD，∴OF：AD=FC：CD

∵AD∥EF∥BC，∴AE：BE=DF：CF

∴（AE+BE）：BE=（DF+CF）：CF 即BE：AB=CF：CD OE：AD=OF：AD ∴OE=OF

0

中考解析

例1.(杭州市)已知：1，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式_________。

评析：思路：运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式a:b=c:d中的任何一项即可，一题可以写出三个数，都与

1、要是含1，、2三数构成比例。如：1:

=2:2，1:2=

:2

……等(只，2三数的比例式即可，若是三数不含全的则不符合题意。

例2.(上海市)已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是___________（只需填写一个数）。

评析：因为此题是一个主观性质的试题，它不是求这两个数的比例中项。而是让自己写出一个数，使三个数中的某个数是另外两个数的比例中项，所以只要明白比例中项的意义，就能写出符合条件的一个数。（结论不是唯一的。）（或-3，或12，或）

例 3.（河北省）已知：如图，l1∥l2∥l3，AB=3，BC=5，DF=12。求DE和EF的长。

评析：思路：此题关键是求DE，∵L1∥L2∥L3，∴ 由条件AB=3，BC=5，DF=12，DE得求。而EF=DF－DE。，答案：解： ∵l1∥l2∥l3，∴，即，∴DE=.∴EF=DF-DE=12-=.例 4.（北京市海淀区）如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________。

评析：首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果。

答案为68°，1:2。

例5.（西安市）－油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口。抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为。

评析：将实际问题转化为几何问题是解题的关键，即由题意可得Rt△ABC，其中AB=1m，AC=0.8m，BD=0.8m，DE//BC，将问题转化为求CE的长，由平行线分线段成比例定理计算即得。答案为0.64m。

第五篇：八年级数学下册19.2一次函数同步练习

人教版八年级数学下册19.2一次函数同步练习

一、选择题

1．已知正比例函数图像经过点，则此函数图像必经过（）

A．

B．

C．

D．

2．如图所示，一次函数的图像可能是

（）

A．

B．

C．

D．

3．无论m为何实数，直线与的交点不可能在（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

4．将一次函数y＝2x+4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是（）

A．4

B．5

C．6

D．7

5．如图，函数经过点，则关于x的不等式的解集为（）

A．

B．

C．

D．

6．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于（）

A．2

B．4

C．6

D．8

7．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且AB//x轴．直线m：沿x轴正方向平移，被矩形ABCD截得的线段EF的长度L与平移的距离a之间的函数关系的大致图象可能是（）

A．

B．

C．

D．

8．如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象，则二元一次方程组的解是（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

9．已知是一次函数，则__________．

10．与一次函数y=2x-4图象平行的正比例函数图象经过第____象限．

11．已知一次函数的图象经过点，则k的值为________．

12．在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4与x轴的交点坐标为_____．

13．点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于_____．

14．已知一次函数y=kx＋b图像过点(0，5)与(2，3)，则该一次函数的表达式为_____．

15．将正比例函数向下平移m个单位后正好经过点，则m的值是______．

16．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式kx﹣n＞mx的解集是_____．

三、解答题

17．已知y是x的一次函数，当时，；当时，．

（1）求这个一次函数的表达式．

（2）若点在该函数的图象上，请比较与的大小．

18．如图，已知点A（6，0）、点B（0，﹣2）．

（1）求直线AB所对应的函数表达式；

（2）在x轴上找一点P，满足PA＝PB，求P点的坐标．

19．如图，直线经过点．

（1）求直线的表达式；

（2）若直线与直线相交于C，求点C的坐标；

（3）根据图像，写出关于x的不等式的解集．

20．如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为m和n，且满足m2+n2＝2mn．

（1）判断△AOB的形状．

（2）如图②，正比例函数y＝kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM＝13，MN＝6，求BN的长．

（3）如图③，E为线段AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连接PD、PO．试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明．