三角函数典型例题剖析与规律总结

第一篇：三角函数典型例题剖析与规律总结

三角函数典型例题剖析与规律总结

一：函数的定义域问题 1.求函数y分析：要求ysinx122sinx1的定义域。

2sin1的定义域，只需求满足2sinx10的x集合，即只需求出满足的x值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上2kkZ即可。

12解：由题意知需2sinx10，也即需sinx①在一周期32,2上符合①的角为

77,由此可得到函数的定义域为kZ ,2k,2k6666小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如ylogafxa0,a1的函数，则其定义域由fx确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。二．函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域 例。求下列函数的值域

（1）y32sin2x

（2）ycosx22sinx2

分析：利用cosx1与sinx1进行求解。解：（1）1sin2x11y5y1,5（2）

ycos2x2sinx2sin2x2sinx1sinx11sinx1,y4,0.2评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。（2）函数的最大值与最小值。例。求下列函数的最大值与最小值（1）y11sinx

（2）y2sin2xx 26662（3）y2cosx5sinx4（4）y3cos2x4cosx12 x,33分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数f(x)ax2bxc在闭区间m,n上求最值得方法。解(1)1621sinx0 1sinx1当sinx1时，ymax;当sinx1时ymin2221sinx1：(2)1cos(2x)1,当cos2x1时，ymax5；当cos(2x)1时，ymin1.333(3)

59y2cosx5sinx42sinx5sinx22sinx,sinx1,1，48222当sinx1，即x22k(kZ）时，y有最小值9；

当sinx1，即x(4)y3cosx23222k(kZ），y有最大值1。

x4cosx13(cosx154当cosx2312)212,x，cosx333111，从而cosx,即222时，、ymax,即x3时，ymin14小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式；

（1）sinx一次形式（2）sinxf(y)或cosxf(y)的形式，通过f(y)1来确定或其他变形来确定。三：函数的周期性

例

求下列函数的周期1f(x)cos2x2f(x)2sin(x26)

分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。

（1）把2x看成是一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2，就是说，当u增加到u2且必须增加到u2时，函数cosu的值重复出现，而u22x22(x),所以当自变量x增加到x且必须增加到x时，函数值重复出现，因此，ysin2x的周期是。（2）2sin(x2x2)2sin即662xx12sinx42sin()f(x)2sin()的周期是4。

626262小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x的系数有关。一般地，函数yAsin(x)或yAcos(x)（其中A,,为常数，A0,0,xR)的周期T2。

四．函数的奇偶性 例 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)xsin(x)(2)f(x)1sinxcos1sinx2x

分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。

解：（1）函数的定义域R关于原点对称。f(x)xsin(x)xsinx,f(x)(x)sin(x)xsinxf(x)f(x)是偶函数。

3,kZ.函数的定义xxR，且x2k2（2函数应满足1sinx0函数的定义于为域不关于原点对称。 函数既不是奇函数又不是偶函数。

评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证f(x)是否等于f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。五：函数的单调性 例：下列函数，在A.,上是增函数的是（）2ycosx

Cysin2x

Dycos2x ysinx

B分析：2x,2x2.可根据sinx与cosx在各象限的单调性作出判断。

x，解：ysinx与ycosx在，上都是减函数，排除，A,B2x2,22知ysin2x在2x,2内不具有单调性，又可排除C，应选D。

小结：求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中A0,0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：(1)把“x(0)"视为一个整体；（2）A0(A0)时，所列不等式的方向式的方向相同（反）。与ysinx(xR),ycosx(xR)的单调区间对应的不等

练习：1.函数yA.RB.1sinx的定义域为（）

C.xRxk,kZ6)，1,00,1D.xx0

2.函数ycos(xx0,的值域是()

23,1223A.31,22B13,22CD1 2,13.函数ysin(x4)(0)的周期为，则=------------.4.下列函数中是偶函数的是（）

A.ysin2xBysinxCysinxDysinx1

5.下列函数中，奇函数的个数为（）

（1）yx2sinx（2）ysinx,x0,2（3）ysinx,x,（4）yxcosx

A.1.B2C3D4

6.在区间0,1sinx上，下列函数为增函数的是（）

2By1cosxCysinxDycosx A.y7.函数ysin2x的单调减区间是（）

AC32k,2k223Bk,k44Dk4,k422k,32k

kZ8.如果x4，则函数4ycos34xsin的最小值是——————

9.函数ytanx(x且x2)的值域为（）

A1,1B,11,C,1D1, 答案：B B 3 C C D B 122 B

例1 已知，且，则可以表示（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

分析 由题意求，不仅要看选择支给出的四个角中哪一个角在区间内，还要看哪一个角的正弦值为

依据诱导公式，有，由此排除了B和D．

又因此本题应选C．，故，点评 反三角函数的记号既然表示一个特定区间上的角，就可以此为基础表示其他指定范围内的角．

例2

（1）若，则等于（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）已知，那么的值是（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

分析（1）方法1

因为

（注意）.（注意由有）.于是原式，故选.方法 2 利用，，又，，故选（A）.（2）本题是的条件下，求两角和的值，只要求出这两个角和的正切值，并确定其取值范围即可．

设，由，有，，故，并且，.由此可知，故选.点评 本题是利用反三角函数的概念，通过设辅助角，把反三角函数的运算转化为三角函数的问题来解决，这是常用的处理方法，同时，揭示了反三角函数和三角函数的内在联系．

例3 的值=

．

分析 本题实质上是求角的大小，可以先求它的某种三角函数值，再估计其取值范围而确定．

设，则，且

又设，则，且，故．

∴

又由，可得

∴，即．

例4 函数的定义域为

，值域为

．

分析 所求函数定义域应该由下列条件确定：

解得为，故所求定义域为

．

又由，则，∴，即所求值域为

点评 求值域时既要认识给定函数是复合函数，又要注意定义域的制约作用．

例5 函数的单调递增区间是

．

分析 由

由于函数，得函数的定义域为

由函数

和

复合而成，而函数在其定义域内是减函数，故只要求出函数的单调递减区间，为

因此，已知函数的递增敬意是

点评 这里不仅要正确运用复合函数单调性的规律，而且要注意函数的单调区间定是其定义域的子区间．

例6 满足的的取值范围是

；

满足的的取值范围是

．

分析 此类题既要用到函数的单调性，还要注意相应式有意义对的限制条件．

例7

若是（）．

（A），则在上满足的的取值范围

（B）

（C）

（D）

分析 这是一道既要运用三角函数的性质，又要运用以反三角函数表示一定范围内的角的题目．如下图，满足已知条件的的取值范围是，其中

同样 满足：，因此本题应选B．，故，

第二篇：三角函数典型例题剖析与规律总结

三角函数典型例题剖析与规律总结

山东 田振民

一：函数的定义域问题 1.求函数y分析：要求ysinx122sinx1的定义域。

2sin1的定义域，只需求满足2sinx10的x集合，即只需求出满足的x值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上2kkZ即可。

12解：由题意知需2sinx10，也即需sinx①在一周期32,上符合①的角为277,由此可得到函数的定义域为,2k,2k66kZ 66小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如yloga（5）当函数是有实际fxa0,a1的函数，则其定义域由fx确定。问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。二．函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域 例。求下列函数的值域

（1）y32sin2x

（2）ycosx22sinx2

分析：利用cosx1与sinx1进行求解。解：（1）1sin2x11y5y1,5（2）

ycos2x2sinx2sin2x2sinx1sinx11sinx1,y4,0.2评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。（2）函数的最大值与最小值。例。求下列函数的最大值与最小值（1）y11sinx

（2）y2sin2xx 2666（3）y2cos2x5sinx4（4）y3cos2x4cosx12 x,33分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数f(x)ax2bxc在闭区间m,n上求最值得方法。解(1)

：11sinx062 1sinx1当sinx1时，y;当sinx1时y2maxmin221sinx1(2)1cos(2x)1,当cos2x1时，ymax5；当cos(2x)1时，ymin1.333(3)

59y2cosx5sinx42sinx5sinx22sinx,sinx1,1，48222当sinx1，即x22k(kZ）时，y有最小值9；

当sinx1，即x(4)y3cosx23222k(kZ），y有最大值1。

x4cosx13(cosx154当cosx2312)212,x,333,cosx14111，从而cosx,即222时，、ymax,即x3时，ymin小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式；

（1）sinx一次形式（2）sinxf(y)或cosxf(y)的形式，通过f(y)1来确定或其他变形来确定。三：函数的周期性

例

求下列函数的周期1f(x)cos2x2f(x)2sin(x26)

分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。

（1）把2x看成是一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2，就是说，当u增加到u2且必须增加到u2时，函数cosu的值重复出现，而u22x22(x),所以当自变量x增加到x且必须增加到x时，函数值重复出现，因此，ysin2x的周期是。

x2（2）2sin(x2)2sin即662xx12sinx42sin()f(x)2sin()的周期是4。

262626小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x的系数有关。一般地，函数yAsin(x)或yAcos(x)（其中A,,为常数，A0,0,xR)的周期T2。

四．函数的奇偶性

例 判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)xsin(x)(2)f(x)1sinxcos1sinx2x

分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。解：（1）函数的定义域R关于原点对称。f(x)xsin(x)xsinx,f(x)(x)sin(x)xsinxf(x)f(x)是偶函数。

3,kZ.函数的定义xxR，且x2k2（2函数应满足1sinx0函数的定义于为域不关于原点对称。 函数既不是奇函数又不是偶函数。

评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证f(x)是否等于f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。五：函数的单调性 例：下列函数，在A.,上是增函数的是（）2ycosx

Cysin2x

Dycos2x ysinx

B分析：2x,2x2.可根据sinx与cosx在各象限的单调性作出判断。

ysinx与ycosx在解：排除A,B，x，2x2,，上都是减函数，22知ysin2x在2x,2内不具有单调性，又可排除C，应选D。

小结：求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中A0,0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：(1)把“x(0)"视为一个整体；（2）A0(A0)时，所列不等式的方向式的方向相同（反）。与ysinx(xR),ycosx(xR)的单调区间对应的不等

练习：1.函数yA.RB.1sinx的定义域为（）

C.xRxk,kZ6)，x0,21,00,1D.xx0

2.函数ycos(x的值域是（）3,1212,1 A.31,22B13,22CD3.函数ysin(x4)(0)的周期为

23，则=------------.4.下列函数中是偶函数的是（）

A.ysin2xBysinxCysinxDysinx1

5.下列函数中，奇函数的个数为（）

2（1）yxsinx（2）ysinx,x0,2（3）ysinx,x,（4）yxcosx

A.1.B2C3D4

6.在区间0,上，下列函数为增函数的是（）2A.y1sinxBy1cosxCysinxDycosx

7.函数ysin2x的单调减区间是（）

A32k,2k223Bk,k44Dk4,k42C2k,32k

kZ8.如果x4，则函数4ycos34xsin的最小值是——————

9.函数ytanx(x且x2)的值域为（）

A1,1B,11,C,1D1, 答案：B B 3 C C D B 122 B

第三篇：【高一数学】三角函数典型例题剖析与规律总结(共5页)

三角函数典型例题剖析与规律总结

山东 田振民

一：函数的定义域问题 1.求函数y分析：要求y2sinx1的定义域。

2sin1的定义域，只需求满足2sinx10的x集合，即只需求出满足1sinx的x值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周2期上的适合条件的区间，然后两边加上2kkZ即可。解：由题意知需2sinx10，也即需sinx13①在一周期,上符合①的角为22277kZ ,由此可得到函数的定义域为,2k,2k6666小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如y（5）当函数是有实际logfxa0,a1的函数，则其定义域由fx确定。a问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。二．函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域 例。求下列函数的值域

（1）y32sin2x

（2）ycosx22sinx2

分析：利用cosx1与sinx1进行求解。解：（1）1sin2x11y5y1,5（2）

ycosx2sinx2sin2x2sinx1sinx11sinx1,y4,0.22评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。（2）函数的最大值与最小值。例。求下列函数的最大值与最小值（1）y11sinx

（2）y2sin2xx

6662（3）y2cos2x5sinx4（4）y3cos2x4cosx1x2, 33分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数f(x)ax2bxc在闭区间m,n上求最值得方法。解(1)

：1621sinx0 21sinx1当sinx1时，ymax;当sinx1时ymin221sinx1(2)1cos(2x(3))1,当cos2x1时，ymax5；当cos(2x)1时，ymin1.333259y2cosx5sinx42sinx5sinx22sinx,sinx1,1，4822当sinx1，即x当sinx1，即x(4)

22k(kZ）时，y有最小值9；

22k(kZ），y有最大值1。

211211y3cos2x4cosx13(cosx)2,x,,cosx,,从而cosx,即332332221511x时，、ymax当cosx,即x时，ymin34234小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式；

（1）sinx一次形式（2）sinxf(y)或cosxf(y)的形式，通过f(y)1来确定或其他变形来确定。三：函数的周期性

例

求下列函数的周期1f(x)cos2x2f(x)2sin(x)26分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。

（1）把2x看成是一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2，就是说，当u增加到u2且必须增加到u2时，函数cosu的值重复出现，而u22x22(x),所以当自变量x增加到x且必须增加到x时，函数值重复出现，因此，ysin2x的周期是。

（2）2sin(x2x2)2sin即626xx12sinx42sin()f(x)2sin()的周期是4。

626262小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x的系数有关。一般地，函数yAsin(x)或yAcos(x)（其中A,,为常数，A0,0,xR)的周期T四．函数的奇偶性

例 判断下列函数的奇偶性

2。

1sinxcos2x(1)f(x)xsin(x)(2)f(x)

1sinx分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。解：（1）函数的定义域R关于原点对称。

f(x)xsin(x)xsinx,f(x)(x)sin(x)xsinxf(x)f(x)是偶函数。（2函数应满足1sinx0函数的定义于为xxR，且x2k3,kZ.函数的定义2域不关于原点对称。 函数既不是奇函数又不是偶函数。

评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证f(x)是否等于f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。五：函数的单调性 例：下列函数，在,上是增函数的是（）2ycosx

Cysin2x

Dycos2x A.ysinx

B分析：2x,2x2.可根据sinx与cosx在各象限的单调性作出判断。

解：

x，2x2,ysinx与ycosx在，上都是减函数，排除A,B，22知ysin2x在2x,2内不具有单调性，又可排除C，应选D。

小结：求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中A0,0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：(1)把“x(0)"视为一个整体；（2）A0(A0)时，所列不等式的方向与ysinx(xR),ycosx(xR)的单调区间对应的不等式的方向相同（反）。1的定义域为（）sinx

练习：1.函数yA.RB.xRxk,kZC.1,00,1D.xx0

2.函数ycos(x)，x0,的值域是（）6213,22C3,12D12,1 A.312,2B3.函数ysin(x4)(0)的周期为

2，则=------------.34.下列函数中是偶函数的是（）

A.ysin2xBysinxCysinxDysinx1

5.下列函数中，奇函数的个数为（）

（1）yx2sinx（2）ysinx,x0,2（3）ysinx,x,（4）yxcosx

A.1.B2C3D4

6.在区间0,上，下列函数为增函数的是（）2By1cosxCysinxDycosx A.y1sinx7.函数ysin2x的单调减区间是（）

AC32k,2k222k,32k3Bk,k44Dk,k44

kZ8.如果x2，则函数ycosxsinx的最小值是—————— 49.函数ytanx(4x3且x)的值域为（）42A1,1B,11,C,1D1, 答案：B B 3 C C D B 12 B 2

2．3 函数的单调性 学法导引

1．熟练掌握增减性的概念．要注意定义中对区间内，的任意性，而不是某两个特殊值，． 2．掌握好证明函数单调性的方法(用定义)：取值——作差——定号——判断． 3．熟悉几种基本函数的单调性．

4．掌握好利用函数的单调性来比较数的大小的方法． 知识要点精讲

1．增函数、减函数、单调性、单调区间的概念

(1)函数的单调性是函数在定义域内某一区间内的局部性质，而不是整体性质． 一是同属于一个单调区间，二是任意性，切不可用两个特殊值代替，三是规定了大小关系．要证明函数f(x)在区间[a，b]上是单调递增(递减)的，而要证f(x)在区间[a，b]上不是递增(递减)的，则只需举出反例即可． 2．判断函数单调性的方法

最基本的方法是依据函数单调性的定义来证明，其步骤如下：

并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变化；

第三步：定号，即确定差的符号，当符号不确定时，可进行分区间讨论；

第四步：判断，即根据定义确定是增函数还是减函数．

也可根据函数简单的运算性质和复合函数的性质来确定函数的单调性． 3．函数单调性的应用

单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要的作用．具体表现在：

(1)利用函数的单调性，可以把比较函数值的大小问题，转化为比较自变量的大小问题，也是我们解不等式的依据．

(2)确定函数的值域或求函数的最值．

对于函数f(x)，如果它在区间[a，b]上是增函数，那么它的值域是[f(a)，f(b)]，如果它在区间[a，b]上是减函数，那么它的值域是[f(b)，f(a)]，如果它在区间[a，c]上是增(减)函数，在[c，b]上是减(增)函数，那么它的最大(小)值是f(c)． 4．常用函数的单调性

(1)一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，函数在R上为单调递增函数；当k＜0时，函数在R上为单调递减函数． 思维整合

【重点】本节重点是函数单调性的概念以及函数单调性的判定、函数单调性的应用． 【难点】利用函数单调性的概念来证明或判断函数的单调性． 【易错点】1．复合函数的单调性只注意复合关系，不注意范围； 精典例题再现 【解析重点】

例 求下列函数的单调区间．

［解析］求函数单调区间有多种方法，可以利用定义法，可以利用基本的初等函数的单调性，也可以用图象的直观性．

作出函数的图象，如图2－3－1所示：

在(－∞，－1]和[0，1]上，函数f(x)是增函数，在[－1，0]和[1，＋∞)上，函数是减函数．故其单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]；其单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)． 点拨 对于(2)中求复合函数单调区间的问题，一般有以下结论：设y＝f(u)，u＝g(x)，x∈[a，b]，u∈[m，n]，若f(u)是[m，n]上的增函数，则f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同；如果f(u)是[m，n]上的减函数，则f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反，此种问题特别要注意考虑函数的定义域．

第四篇：机械能守恒定律典型例题剖析

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机械能守恒定律典型例题剖析

例

1、如图示，长为l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为m的小球，为使轻质硬棒能绕转轴O转到最高点，则底端小球在如图示位置应具有的最小速度v=。解：系统的机械能守恒，ΔEP +ΔEK=0

因为小球转到最高点的最小速度可以为0，所以，11vmv2mmglmg2l222

24gl52v

4.8gl

例 2.如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连结，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑S 距离后，细线突然断了。求物块B上升离地的最大高度H.解：对系统由机械能守恒定律

4mgSsinθ – mgS = 1/2× 5 mv

2∴v2=2gS/

5细线断后，B做竖直上抛运动，由机械能守恒定律

mgH= mgS+1/2× mv2∴H = 1.2 S

例 3.如图所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小。

（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上(如图)．在 两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M= m的重

环间的绳子水平，然后无初速释放重物M．设绳

子

与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离．

（2）若不挂重物M．小圆环可以在大圆环上自

由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之2物，使两个小圆

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高考资源网（），您身边的高考专家 间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态?

解：(1)重物向下先做加速运动，后做减速运动，当重物速度

为零时，下降的距离最大．设下降的最大距离为h，由机械能守恒定律得

解得

Mgh2mgh2RsinθRsinθh

2R（另解h=0舍去）

(2)系统处于平衡状态时，两小环的可能位置为

a． 两小环同时位于大圆环的底端．

b．两小环同时位于大圆环的顶端．

c．两小环一个位于大圆环的顶端，另一个位于大圆环的底端．

d．除上述三种情况外，根据对称性可知，系统如能平衡，则两小圆环的位置一定关于大圆环竖直对称轴对称．设平衡时，两小圆环在大圆环竖直对称

轴两侧α角的位置上(如图所示)．

对于重物，受绳子拉力与重力作用，有T=mg

对于小圆环，受到三个力的作用，水平绳的拉力T、竖直绳子的拉力T、大圆环的支持力N.两绳子的拉力沿大圆环切向的分力大小相等，方向相反

得α=α′, 而α+α′=90°，所以α=45 °

例 4.如图质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于

静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都牌伸直状态，A上方的一段沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为m3的物体C上升。

若将C换成另一个质量为(m1+m3)物体D，仍从上述初始位置

由静止状态释放，则这次B则离地时D的速度的大小是多少？

已知重力加速度为g。

解:开始时，B静止平衡，设弹簧的压缩量为x1,kx1m1g

挂C后，当B刚要离地时，设弹簧伸长量为x2，有

kx2m2g 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。

高考资源网（），您身边的高考专家 此时，A和C速度均为零。从挂C到此时，根据机械能守恒定律弹簧弹性势能的改变量为

Em3g(x1x2)m1g(x1x2)

将C换成D后，有

1E(m1m3m1)v2(m1m3)g(x1x2)m1g(x1x2)2

2m1(m1m2)g2

k(2m1m3)联立以上各式可以解得

v

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第五篇：匀变速直线运动规律典型例题应用

匀变速直线运动规律典型例题应用

1．匀变速直线运动中，加速度a、初速度VO、末速度Vt、时间t、位移x之间关

系正确的是()

A．xv0t12atB．x=V0t2

C．x1

2atD．x=（V0+Vt）t/2

222．汽车在平直的公路上以20m／s的速度行驶，当汽车以5m／s的加速度刹车时，刹车2s内与刹车6S内的位移之比为()

A．1：lB．3：4C．3：lD．4：3

3．一个作匀加速直线运动的物体，其位移和时间的关系是s=18t-6t2，则它的速度为零的时刻为()

A．1．5sB．3sC．6sD．18s

4．初速度为零的匀变速直线运动，第一秒、第二秒、第三秒的位移之比为()

A．1：2：3B．1：2：4C．1：3：5D．1：4：9

5．以下叙述正确的是（）

A．匀加速直线运动中，加速度一定与速度同向

B．匀减速直线运动中，加速度一定与速度反向

C．匀加速直线运动的加速度一定大于匀减速直线运动加速度

D．-5m/s2一定大于+3 m/s2

6．由静止开始作匀变速直线运动的物体，笫4s内平均速度为14m/s，则它 在第3s内的位移是_________m，第4s末的速度是_______m/s，它通过第三个2m所需时间为__________s。

7．某飞机的起飞速度是60m/s，在跑道上可能产生的最大加速度为4 m/s2，该飞机从静止到起飞成功需要跑道的最小长度为___________。

8．某市规定：卡车在市区内行驶速度不得超过40km／h，一次一辆市区路面紧急刹车后，经1．5s停止，量得刹车痕迹S=9m，问这车是否违章行驶?

9．一辆汽车，以36km／h的速度匀速行驶lOs，然后以lm／s2的加速度匀加速行驶10s，汽车在这20s内的位移是多大?平均速度是多大?汽车在加速的10s内平均速度是多大?

10．做匀加速直线运动的物体，速度从v增加到2v时通过的距离是30m，则当速度从3v增加到4v时，求物体通过的距离是多大?