高中竞赛专题：平面几何证明

第一篇：高中竞赛专题：平面几何证明

竞赛专题－平面几何证明

[竞赛知识点拨]

1． 线段或角相等的证明（1）利用全等△或相似多边形（2）利用等腰△3）利用平行四边形（4）利用等量代换（5）利用平行线的性质或利用比例关系（6）利用圆中的等量关系等。

2． 线段或角的和差倍分的证明（1）转化为相等问题。如要证明a=b±c，可以先作出线段p=b±c，再去证明a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。（2）直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。

3． 两线平行与垂直的证明（1）利用两线平行与垂直的判定定理。（2）利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。（3）利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。

【竞赛例题剖析】

【例1】从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。

从A点作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F。求证：BE

平分CD。

【分析1】构造两个全等△。连结ED、AC、AF。

CF=DF←△ACF≌△EDF←

←∠PAB=∠AEB=∠PFB【分析2】利用圆中的等量

关系。连结OF、OP、OB

。←∠PFB=∠POB←←

注：连结OP、OA、OF，证明A、O、F、P四点共圆亦可。

【例2】△ABC内接于⊙O，P是弧 AB上的一点，过P作

OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN=NT。

【分析】只需证，PM²PN=MS²NT。（∠1=∠2，∠3=∠4）

→△APM∽△PBN→→PM²PN=AM²BN（∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS）→△BNT∽△SMA→→MS²NT=AM²BN

【例3】已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公切线P1P2、Q1Q

2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。求证：∠O1AO2=∠M1AM2。【分析】设B为两圆的另一交点，连结并延长BA交P1P2于C，交O1O2于M，则C为P1P2的中点，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM为M1M2的中垂线。在O1M上截取MO3=MO2，则

∠M1AO3=∠M2AO2。故只需证∠O1AM1=∠O3AM

1，即证

。由

△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。【例4】在△ABC中，AB>AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DE⊥AB于E，求证：AE=。

【分析】方法1、2AE=AB-AC

← 在BE上截取EF=AE，只需证BF=AC，连结DC、DB、DF，从而只需证△DBF≌△DCA← DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC ←∠DFA=∠DAF=∠DAG。

方法

2、延长CA至G，使AG=AE，则只需证BE=CG← 连结DG、DC、DB，则只需证△DBE≌△DCG← DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠。

【例5】∠ABC的顶点B在⊙O外，BA、BC均与⊙O相交，过BA与圆的交点K引∠ABC平分线的垂线，交⊙O于P，交BC于M。求证：线段PM为圆心到∠ABC平分线距离的2倍。

【分析】若角平分线过O，则P、M重合，PM=0，结论显然成立。若角平分线不过O，则延长DO至D‘，使OD’=OD，则只需证DD‘=PM。连结D’P、DM，则只需证DMPD‘为平行四边形。过O作m⊥PK，DD’,K

P，∴∠DPK=∠DKP，BL平分∠ABC，MK⊥BL→BL为MK中垂线→∠DKB=∠DMK ∴∠D’PK=∠DMK，∴D‘P∥DM。而D’

D∥PM，∴DMPD‘为平行四边形。

【例6】在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。

【分析】方法

1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。倍长中线：延长AM至

M’，使AM=MA‘，连结BA’，如图6-1。

PQ∥AB←←←

←∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)=

180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ

方法

2、结合角平分线和BH⊥AH联想对称知识。延长BH交AC的延长线于B’，如

/

图6-2。则H为BB‘的中点，因为M为BC的中点，连结HM，则HM∥BC。延长HM交AB于O，则O为AB的中点。延长MO至M’，使OM‘=OM，连结M’A、M‘B，则

AM’BM是平行四边形，∴MP∥AM‘，QM∥BM’。于是，所以PQ∥AB。

【例7】菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。求证：MQ∥NP。（95年全国联赛二试3）

【分析】由AB∥CD知：要证MQ∥NP，只需证∠AMQ=∠CPN，结合∠A=∠C知，只需

证△AMQ∽△CPN←，AM²CN=AQ²CP。连结AC、BD，其交点为内切圆心O。

设MN与⊙O切于K，连结OE、OM、OK、ON、OF。记∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，则∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。

∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是同理，AQ²CP=AO²CO。，∴AM²CN=AO²CO

【例8】ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证：KP⊥AB。

【分析】延长KP交AB于L，则只需证∠PAL+∠APL=90°，即只需证∠PDC+∠KPC=90°，只需证

∠PDC=∠PKF，因为P、F、K、E四点共圆，故只需证∠PDC=∠PEF，即

EF∥DC。

←

←←△DME∽△CNF

【例9】以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线，垂足分别是F、G，线段DG、EF交于点M。求证：AM⊥BC。

【分析】连结BE、CD交于H，则H为垂心，故AH⊥BC。（同一法）设AH⊥BC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面证M1、M2重合。

OM1∥DF→

→OM1=

。OM2∥EG→

→OM2=

。只需

证OG²DF=EG²OF，即

←Rt△OEG∽Rt△ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。

第二篇：高中平面几何定理

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）

1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去

这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．

2． 射影定理（欧几里得定理）

3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P，则有AB2AC22(AP2BP2)； 中线长：ma2b2ca2222．

4． 垂线定理：ABCDAC2AD2BC2BD2． 高线长：ha2ap(pa)(pb)(pc)bc

asinAcsinBbsinC．

5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．

如△ABC中，AD平分∠BAC，则BD

DCAB

AC；（外角平分线定理）． cosA

2角平分线长：ta

6． 正弦定理：a

sinA2bcb

sinB(pa)csinC2bcbc（其中p为周长一半）． 2R，（其中R为三角形外接圆半径）．

7． 余弦定理：c2a2b22abcosC．

8． 张角定理：sinBAC

AD sinBAD

ACsinDAC

AB．

9． 斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD

－AD2·BC＝BC·DC·BD．

10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）

11．12．

13． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向

一边作垂线，其延长线必平分对边．

2214． 点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d－r就是点P对

于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d－r|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．

15． 托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即2

2AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立)．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．

16． 蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．

17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马

点．

18． 拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线

共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1、⊙A1、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2、⊙A2、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．

19． 九点圆（Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对

边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:

（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;

（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;

（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕． 20． 欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上． 21． 欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2－2Rr． 22． 23．

G（锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．

重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；

xAxBxC,yAyByC)

重心性质：（1）设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则AG:GD2:1；

（2）设G为△ABC的重心，则SABGSBCGSACG

交

DEBC

3SABC；

（3）设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，过G作PF∥AC交AB于P，BC

FPCA

于



F，过

KHAB



G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，则

2DEFPKH

;2； 3BCCAAB

（4）设G为△ABC的重心，则

①BC23GA2CA23GB2AB23GC2； ②GA2GB

GC



(AB

BC

CA)；

③PA2PB2PC2GA2GB2GC23PG2（P为△ABC内任意一点）；

④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即GA2GB2GC2最小；

⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为△ABC的重心）．

24．垂

aH（cosA

心

xA

b

：

xB

三

c

角

xC,形

acosA的yA

b

三

yB

条

c

高

yC)

线的交点；

cosBcosC

abc



cosAcosBcosCcosBcosC

abc



cosAcosBcosC

垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；

（2）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；

（3）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；（4）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则BAOHAC,CBOABH,BCOHCA．

25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；

I（axAbxBcxC

abc,ayAbyBcyC

abc)

内心性质：（1）设I为△ABC的内心，则I到△ABC三边的距离相等，反之亦然；（2）设I为△ABC的内心，则BIC90

2A,AIC90

B,AIB90

C；

（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A平分线交△ABC外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为△ABC的内心；（4）设I为△ABC的内心，BCa,ACb,ABc, A平分线交BC于D，交△ABC外接圆于点K，则

AIIDAKKI

IKKD

bca；

（5）设I为△ABC的内心，BCa,ACb,ABc,I在BC,AC,AB上的射影分别为D,E,F，内切圆

半

径

为

r，令

p

(abc)，则①

SABCpr

；②

AEAFpa;BDBFpb;CECDpc；③abcrpAIBICI．

26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；

O（sin2AxAsin2BxBsin2CxC

sin2Asin2Bsin2C,sin2Ay

A

sin2ByBsin2CyC

sin2Asin2Bsin2C)

外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；

（2）设O为△ABC的外心，则BOC2A或BOC3602A；（3）R

和． 27．

旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC的三边

(abc)，分别与BC,AC,AB外侧相切的旁切圆圆心记为



abc4S

；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之

BCa,ACb,ABc,令p

IA,IB,IC，其半径分别记为rA,rB,rC．

旁心性质：（1）BIAC90（2）IAIBIC

A,BIBCBICC

A,（对于顶角B，C也有类似的式子）；

(AC)；

（3）设AIA的连线交△ABC的外接圆于D，则DI

A

； DBDC（对于BIB,CIC有同样的结论）

（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圆半径R'等于△ABC的直径为2R． 28． 三角形面积公式

SABC

12aha

absinC

a4R

c2b

2RsinAsinBsinC

a4（：

b

c

oC)o

o

tt

t

AccBc

pr

p(pa)(pb)(pc)，其中ha表示BC边上的高，R为外接圆半径，r为内切圆半径，p

(abc)．

29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：

A2

rtan

B2tan

C2

r4Rsinsin

B2

sin

C2

;ra4Rsin

rtan

A2tan

C2

A2

cos

B2

cos

r

C2,rb4Rcos

;1ra

1rb



A2

sin



B2

1r.cos

C2,rc4Rcos

A2

cos

B2

sin

C2

;

r

a

,rb,rc

tan

1rc

A2

tan

B2

30． 梅涅劳斯（Menelaus）定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一

BPPC

CQQA

ARRB

1．（逆定理也成立）

顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有

31． 梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB

于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线． 32． 33．

梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．

塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直

AZBXCY

·．

ZBXCYA

34． 塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设

BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．

线交于一点的充要条件是35．

塞瓦定理的逆定理：（略）

36． 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点． 37．

塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38． 西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）． 39． 西摩松定理的逆定理：（略）40．

关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．

41． 关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其

余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点． 42． 史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通

过线段PH的中心． 43．

史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线． 44． 牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共

线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45． 46．

牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．

笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和

F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 47． 笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 48． 波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2)．49． 波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点． 50． 波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取

三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点． 51． 波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR

为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点． 52．

波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．

53． 卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线． 54．

奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．

55． 清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则

D、E、F三点共线． 56． 他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点

分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直

线上．58．

从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．

59． 一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点． 60． 康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点． 61．

康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线． 62． 康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线

交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．

63． 康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边

形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线． 64． 65．

费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．

莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．

66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线

共点． 67． 帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或

延长线的）交点共线． 68． 阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆． 69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个

三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆． 70． 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四

个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点． 71． 葛尔刚（Gergonne）点：△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，过M向三边

作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： SDEF

SABC

|R

d

|

．

4R

第三篇：平面几何证明习题专题

平面几何证明习题

1.如图5所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则DAC,线段AE的长为l线段CD的长为，线段AD的长为

图

5PA2．PB1，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，2.已知PA是圆O的切线，切点为A，则圆O的半径R．

3.如图4，点A,B,C是圆O上的点，且AB4,ACB450，则圆O的面积等于．

4.如图3, 半径为5的圆O的两条弦AD和BC相交于点P,ODBC,P为AD的中点, BC6, 则弦AD的长度为

5.如图5, AB为⊙O的直径, AC切⊙O于点A,且AC22cm,过C

CMN交AB的延长线于点D,CM=MN=ND.AD的长等于_______cm.6.如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点于C，图5

ADCE于D，若AD＝1，ABC30，则圆O的面积是

7.如图，O是半圆的圆心，直径AB2，PB

与半圆交于点C，AC4，则PB

．

8.如图，点A,B,C是圆O上的点,且AB2,BCCAB120, 则AOB对应的劣弧长为．

9.如图，圆O的割线PAB交圆O于A,B两点，割线PCD经过圆心O，已知PA6，AB

10.如图，已知P是圆O外一点，PD为圆O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF12,PD则圆O的半径长为，2

2，PO12，则圆O的半径是．

3EFD的度数为

11.如图4，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O 于B、C两点，D是OC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E． 若PA23，APB30，则AE=．

12.如图，在ABC中，DE//BC，EF//CD，若

P

B

O

D

C图

4BC3,DE2,DF1，则BD的长为，AB的长为___________．

13.如图，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB 的延长线交于点D，CD2，ABBC3，则线段BD的长为，线段AC的长为

14．如图，ACB60°，半径为2cm的⊙O切BC于点

C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA

也相切时，圆心O移动的水平距离是__________cm．

15．如图，A、B、c是⊙0上的三点，以BC为一边，作∠CBD=

∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC=60°，BE=3，则点P到弦AB的距离为_______．

16．四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE 的中点，BR分别交AC,CD于点P,Q．则CP:AP= ……()A．1:3B．1:4C．2:3D．3:4

C

R

E

17． 如图,Rt△ABC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=……………………………（）A．

x5

3B．4

x5

C ．

D．

12x12x25



18.如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是………………()A．15°

19.已知 ABC中，AB=AC,D是 ABC外接圆劣弧，延长AC上的点（不与点A,C重合）BD至E。

（1）求证：AD的延长线平分CDE；

（2）若BAC=30，ABC中BC边上的高为

B．30°

C．45°D．60°

ABC外接圆的面积。

20.如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于

点E．

（1）∠E=度；

（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；（3）求弦DE的长．

21.如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD 交CE于点F．（1）求证：CFBF；（2）若AD=4，⊙O的半径为6，求BC的长．

22.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC ．（1）求证：MN是半圆的切线；

（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG．

（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

00

•O的直径，AD是弦，DAB=22.5，延长AB到点C，使得ACD=45。24．（10分）如图，AB是○•O的切线；（1）求证：CD是○（2）若AB=22，求BC的长。

A

C

•O，•O的直径，ABC内接于○25．（9分）如图，AB为○BAC=2B，•O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长。AC=6，过点A作○

OB

B

A

C

P

26.如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：EDEBEC．



27.如图，已知ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，B=60，F在AC上，且

A

B D E

AEAF。

（1）证明：B,D,H,E四点共圆；

（2）证明：CE平分DEF。

第四篇：2011高考平面几何证明

2011高考平面几何证明试题选讲

1（2011安徽）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2.E,F分别为

AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABCD与梯形EFCD的面积比为（2011北京）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：

1AD+AE=AB+BC+CA； ○

2AF·AG=AD·AE ○

③△AFB ～△ADG

其中正确结论的序号是

（A）①②（B）②③

（C）①③（D）①②③（2011天津理）如图已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线

上一点，且DFCFAF:FB:BE4:2:1.若CE与圆相切，则CE的长为

_________

4（2011陕西理）（几何证明选做题）如图，BD,AEBC,ACD90，且AB6,AC4,AD12，则BE________（2011湖南理）如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交与点F，则AF的长为。（2011全国新课标）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合。已知AE的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根。

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若A90，且m4,n6，求C，B，D，E所在圆的半径。

第五篇：高中平面几何60大定理

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)

2、射影定理(欧几里得定理)

3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分

4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点

8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上

12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半

14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点

15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有

n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnBC17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上

19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。

23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BPPC×CQQA×ARRB=

124、梅涅劳斯定理的逆定理：(略)

27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)

34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。

36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).不用掌握

37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点

38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。

39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点

40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是

D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。

41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。

42、关于西摩松线的定理2(安宁定理)：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。

43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。

44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三 边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线

46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。(反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)

47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。

48、九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆.49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。

50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。

51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。

52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。

53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。

54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。

55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。