向量与向量方法 教师

第一篇：向量与向量方法 教师

研究考纲，回归课本，平面向量与向量方法

上海南汇中学 李志

一、考试大纲

1理解平面向量的分解定理，会计算向量的模和夹角，初步何问题。

2掌握向量的数量积运算及其性质，掌握向量的坐标表示和，会利用坐标讨论两个向量平行或垂直。

二、学习目标

1、理解向量的相关概念和运算，掌握数量积的运算及性质，能把向量作为工具解决相关平行、垂直等问题。

2、能应用向量模的运算性质把几何问题和代数问题相互转化，体会转化的思想，深刻领悟坐标法、基向量法和向量分解定理把几何问题代数化的解析思想。

三、重点难点

重点：数量积的运算及性质，平面向量的分解定理。

难点：领悟坐标法、基向量法和向量分解定理把几何问题代数化的解析思想。背景：我们现在使用的是二期课改教材，二期课改一个最成功之处就是把向量不再仅仅作为知识，而且还作为一种研究问题的重要工具和方法，应用于数学研究的很多分支，2010年数学高考有三道题考查向量（13,21,23），分值高达24分，因此我们应该予以高度重视。

经过前面的复习，我们请一位同学说说你认为向量的什么知识最重要？（对知识，方法的体会，重要知识方法系统化）

ab1．数量积：

ay

1y2，投影： bcos.a

222．模的性质：aa；柯西不等式：abab，同向：abab；

三角形不等式：ababab，同向: abab

3.应用：abab0x1x2y1y2；a//bx1y2x2y1；

一维表示定理：a0，则b//ab.可证明三点共线.a,R

4．平面向量的分解定理：OA,OB不平行，则任意OCOAOB,,R，并

且表示唯一；当且仅当C,A,B三点共线时，1.分解方法：平行四边形法；待定系数法.定理内涵：基向量的思想；可证明三点共线.四、典型例题

平面向量的分解定理



例1.ABC的三个顶点为A2,0,B5,5,C1,4，ABC的重心是G，则向量AG可

用AB和AC表示为.（课本P593；P673）



例2．O是ABC的外心，AB3,AC4，x2y1，若AOxAByACxy0，则cosBAC.解析思想（模与坐标法）

例3.复数z1cosisin,z22cosisin，其中,R.z1,z2在复平面上对



应的点分别是Z1,Z2，O是坐标原点，则OZ1OZ2的取值范围是．

例4．用向量方法证明两角和的余弦公式（课本P68，例4）

x2y

2考题模拟：M是椭圆221内任意一点，A,B分别是椭圆长轴和短轴的两个端点，ab



且OMpOAqOBp,qR，则在直角坐标系poq中，动点Np,q所构成的区域的面积是



研究拓展：a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若对于3ac4bc的向量c均





满足cbk，则k的最小值是.向量的应用

例5．已知A0(0,……,An0)，A1(2,1)，A2是线段A0A1的中点，A3是线段A1A2的中点，n



milOA是线段An2An1的中点(n2,3,4,)．（1）求向量An1An坐标的通项公式；（2）求n．

x2y2

1，若C,D分别是椭圆长轴的左右两个端点，动点M满足例6．已知椭圆42MDCD，连接CM，交椭圆于点P.

（1）证明：OMOP为定值

（2）试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP和

MQ的交点.若存在，求出点Q的坐标，不存在，请说明理由.五、小结提升

向量最重要的知识就是点乘积，最重要的方法就是坐标法，最主要的应用就是用于证明平行和垂直，这种解析的思想，希望同学们在解决问题的过程中认真体会，用心感悟。

六、课后反馈



1.已知向量anx1,x2,,x，当n2时，我们有柯西不等式，yn,bny1,y2n

x

x

2



yyx1y1x2y成立，当且仅当a2//b2时取等号，则当nk时，成立

122

22的柯西不等式应该是.

HABC的垂心是，2.已知ABC的三个顶点为A2,1,B6,4,C5,5，则向量AH可



用AB和AC表示为.（课本P68，例2）.

3.ABC内接于单位圆O，且3OA4OB5OC0，则SABC.,2,c4.向量 a,b,c两两夹角都是120，且a

3的值分别为______.5.过P2,3的直线与两坐标轴分别交于A,B两点，则PAPB的最小值是.，如果ambnc，则实数m,n



6.圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB的最小值

为()

A.4B.

3C.4

D.3

1

7.AD是ABC的中线，点G在AD上，并且AGAD，直线l过G且依次交AB,AC

1

1于点E和F，若AEaAB,AFbAC，则

ab

七、教学反思

第二篇：向量 不等式(高考题型与方法)

向量（高考题型与方法）

1.已知向量a=

1），b=（0，-1），c=（k

。若a-2b与c共线，则k=___________________。

2.已知向量a，b满足a1，b2，a与b的夹角为60°，则ab

3.已知平面向量,,1,2,(2),则2a的值是4.如图，在ABC中，AD

AB,BC,AD1,则ACAD.5.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB3,BD1，则ABAD

6.2011年高考山东卷理科12)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若11且2,则称A3，A4调和分割A1，A2 ,A1A3A1A2(λ∈R)，A1A4A1A2(μ∈R)，

已知点C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是

(A)C可能是线段AB的中点(B)D可能是线段AB的中点

(C)C，D可能同时在线段AB上(D)C，D不可能同时在线段AB的延长线上

b，(ac)(bc)0，7.(2011年高考全国新课标卷理科10)若a，且ab0，c均为单位向量，则|abc|的最大值为

（A）21（B）1（C）2（D）2

8.(2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF=_____

9.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,ADC90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则

|PA3PB|的最小值为.9.若等边ABC的边长为23，平面内一点M满足A.23B.2 C.2D.2 11，则等于 33

10.ABC和点M满足MAMBMC0.若存在实n使得AMACnAM成立，则n

=

A.2B.3C.4D.5

11.（2010年高考全国卷Ⅱ理科7）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB= a , CA= b , a= 1，b= 2, 则CD=

12213443a + b（B）a +b（C）a +b（D）a +b 33335555（A）

212.（2010年高考四川卷理科6）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC16，ABACABAC，则AM

（A）8（B）4（C）2（D）1

不等式与推理证明（高考题型与方法）

yx1.设m1,在约束条件ymx下，目标函数zx5y的最大值为4，则m的值为．

xy1

2.若变量x,y满足约束条件32xy9,则zx2y的最小值为.6xy9

3.(2011年高考天津卷文科5)已知alog23.6,blog43.2,clog43.6,则

A.abcB.acbC.bacD.cab

4.(2011年高考广东卷文科4)函数f(x)1lg(x1)的定义域是（）1x

A．(,1)B．(1,)C．(1,1)(1,)D．(,)

5.（2011年高考陕西卷文科3)设0ab，则下列不等式中正确的是

ababb（B）a22

ababb（C）ab

a22（A）

ab

6.（2010山东文数）（14）已知x,yR，且满足xy1，则xy的最大值为.34

第三篇：向量 说课稿

《向量的加法》说课稿

一、教材分析：

《向量的加法》是《必修》4第二章第二单元中“平面向量的线性运算”的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。

二、学情分析：

学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。

三、教学目的：

1、通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能正确领会向量加法的平行四边形法则和三角形法则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量。

2、在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如共线向量，共起点向量、共终点向量等。

3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能力。

四、教学重、难点

重点：向量的加法法则。探究向量的加法法则并正确应用是本课的重点。两个加法法则各有特点，联系紧密，你中有我，我中有你，实质相同，但是三角形法则适用范围更加广泛，且简便易行，所以是详讲内容，平行四边形法则在本课中所占份量略少于三角形法则。

设计原理运用了由特殊到一般的认识、思维过程，难点：对三角形法则的理解；方向相反的两个向量的加法。主要是让学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形.五、教学方法

本节采用以下教学方法：

1、类比：由数的加法运算类比向量的加法运算。

2、探究：由力的合成引入平行四边形法则，在法则的运用中观察图形得出三角形法则，探求共线向量的加法，发现三角形法则适用于任意向量相加；通过图形，观察得出向量加法满足交换律、结合律等，这些都体现探究式教学法的运用。

3、讲解与练习：对两个法则特点的分析，例题都采取了引导与讲解的方法，学生课堂完成教材中的练习。

4、多媒体技术的运用，能直观地表现向量的平移，相等向量的意义，更能说清两个法则的几何意义及运算律。

六、数学思想的体现：

1、分类的思想：总的来说本课中向量的加法分为不共线向量及共线向量两种形式，共线向量又分为方向相同与方向相反两种情形，然后专门对零向量与任意向量相加作了规定，这样对任意向量的加法都做了讨论，线索清楚。

2、归纳思想：主要体现在以下三个环节①学完平行四边形法则和三角形法则后，归纳总结，对不共线向量相加，两个法则都可以选用。②由共线向量的加法总结出三角形法则适用于任意两个向量的相加，而三角形法则仅适用于不共线向量相加。③对向量加法的结合律和探讨中，又使学生发现了三角形法则还适用于任意多个向量的加法。归纳思想在这三个环节中的运用，使得学生对两个加法法则，尤其是三角形法则的理解，步步深入。

3、类比思想：使之与数的加法进行类比，使学生对向量的加法不致于太陌生，既有似曾相识的感觉，又能从对比中看出两者的不同，效果较好。

七、教学过程：

1、知识回顾：本节要进行向量的平移，且对向量加法分共线与不共线两种情况，所以要复习向量与数量的区别、响亮的表示、相等向量概念，这些都是新课学习中必要的知识铺垫。

2、新课讲解（1）向量加法的定义

①向量加法的三角形法则边形法则 共线向量的加法

方向相同的两个向量相加，对学生来说较易完成，“将它们接在一起，取它们的方向及长度之和，作为和向量的方向与长度。”引导学生分析作法，结果发现还是

运 用了三角形法则：首尾相接，方向由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。

方向相反的两个向量相加，对学生来说是个难点，首先从作图上不知道怎样做。但是学生学过有理数加法中的异号两数相加：“异号两数相加，用较大的绝对值减去较小的绝对值，符号取绝对值较大的数的符号。”类比异号两数相加，他们会用较长的模减去较短的模，方向取模较长的向量的方向。具体做法由老师引导学生尝试运用三角形法则去做，发现结论正确。

非共线向量的加法

②向量加法的平行四边形法则（2）向量加法的运算律

①交换律：交换律是利用平行四边形法则的图形，又结合三角形法则得出，理解起来没什么困难，再一次强化了学生对两个法则特点及实质的认识。

②结合律：结合律是通过三个向量首尾相接，先加前两个再与第三个向量相加，和先加后两个向量再与第一个向量相加所得结果相同。

接下来是对应的两个练习，运用交换律与结合律计算向量的和。

设计意图：运算律的引入给加法运算带来方便，从后面的练习中学生能够体会到这点。由结合律还使学生发现，多个向量相加，同样可以运用三角形法则：将所加向量首尾相接，和向量的方向是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。这样使学生明白，三角形法则适用于任意多个向量相加。

3、例题讲解 例

1、例2 4.课堂练习

5、小结

先由学生小结，检查学生对本课重要知识的认识，也给学生一个概括本节知识的机会，然后用课件展示小结内容，使学生印象更深。

（1）三角形法则首尾相接，适用于任意多个向量的求和平行四边形法则：起点相同，适用于不共线向量的求和。

（2）平行四边形法则：起点相同，适用于不共线向量的求和。（3）运算律

交换律： + = +

结合律：（+）+ = +（+）

4、作业：P91，A组1、2、3。

第四篇：向量说课稿

向量说课稿

向量说课稿1

一、教材分析

1.本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

2学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。我将本节教学目标确定为：

1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题

2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

教学重点

平面向量数量积的坐标表示及应用

教学难点

探究发现公式

二、教学方法和手段

1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。

2教学手段：利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，极大提高学生的学习兴趣。

三、学法指导

改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念。独立思考，自主探索，动手实践，合作交流等都是学习数学的重要方式，这些方式有助于发挥学生学习主观能动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”的过程。以激发学生的学习兴趣和创新潜能，帮助学生养成独立思考，积极探索的习惯。为了实现这一目标，本节教学让学生主动参与，让学生动手，动口、动脑。通过思考、计算、归纳、推理，鼓励学生多向思维，积极活动，勇于探索。具体体现在：1、通过提出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，使学生在自主探究中发现了结论，推广了命题，使学生感到成果是自己得到的，增强了成就感，培养了学生学好数学的信心和良好的学习动机。2、通过数与形的充分挖掘，通过对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养了学生数形结合的数学思想，教给了学生类比联想的记忆方法。

四、教学程序

本节课分为复习回顾、定理推导、引申推广、例题讲析、练习与小结五部分。

复习回顾部分通过两个问题，复习了与本节内容相关的数量积概念，为本节内容的学习作了必要的铺垫。

定理推导部分通过设问，引出寻求向量的数量积的坐标表示的必要性，引入课题，并引导学生应用前述知识共同推导出数量积的坐标表示。

引申推广部分，让学生自主推导出向量的长度公式，向量垂直条件的坐标表示、夹角公式等三个结论，强化了学生的动手能力和自主探究能力。

例题讲析，通过四道紧扣教材的例题的精讲，突出了结论的应用，也起到了示范作用。

练习及小结：通过练习题验收教学效果，突出训练主线，小结部分画龙点睛，强调本节重点。再结合课后作业，进一步实现本节课的教学目的。同时小结也体现主体性，由教师提出问题学生总结得出。

向量说课稿2

教学目标

1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。会用基底表示平面内任一向量。

2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。

学情分析

前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备

重点难点

重点：对平面向量基本定理的探究

难点：对平面向量基本定理的理解及其应用

教学过程

4.1第一学时教学活动

活动1【导入】情景设置

火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j．

活动2【活动】探究

已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量

c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）

做法：

作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2．

因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2．

向量c＝__6__e1＋___6__e2

活动3【练习】动手做一做

请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____

（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）

由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2．

活动4【活动】思考

问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?

生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量

活动5【讲授】平面向量基本定理

平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2．我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底．一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝l1e1＋l2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．

说明：

（1）基底不惟一，关键是作为基底的两个向量不共线．

（2）由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解，基底给定时，分解形式惟一，即l1，l2是被a，e1，e2惟一确定的数量．

活动6【讲授】平面向量基底运用

例1. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M，AB＝a，AD＝b，试用基底a，b表示MC，MA，MB和MD

活动7【讲授】向量夹角的定义

阅读教材P94，回答如下问题：

1、两个向量夹角是如何形成的？，必须要满足什么条件才是它们的夹角。

2、有向量夹角范围是多少？有夹角大小来描述一下向量同向，反向，垂直？

活动8【练习】完成《聚焦课堂》活动9【讲授】课后小结

1、平面向量基本定理

2、平面向量基本定理的运用

3、向量夹角的定义。

活动10【作业】课后作业

1、已知向量e1，e2，求做：-3e1+2e2

2、做育才报第八期专项训练1

向量说课稿3

今天我说的课题是“向量的直角坐标运算”，主要研究两类问题：

1、向量的直角坐标运算

2、培养学生的创新精神和实践能力，履行“以学生发展为本”的教育思想。

下面我从三个方面阐述这节课。

第一方面：教材分析

本节的授课内容为“向量的直角坐标运算”，选自人教版中等职业教育国家规划教材《数学》（提高版）第一册第六章第六节，我从四个方面进行教材分析。

（一）教材的地位和作用

向量的直角坐标运算是向量的重要内容，它使向量的运算完全数量化，将数与形紧密地结合起来，使得用向量的方法解决几何问题更加方便，从而极大地提高了学生利用向量知识解决实际问题的能力。

同时，这节课的教学内容和教学过程对进一步培养学生观察、分析和归纳问题的能力具有重要意义。

（二）教材的处理

结合教学参考书和学生的学习能力，我将“向量的直角坐标运算”安排为两课时。本节为第二课时。

根据目前学生的状况以及以往的经验，我发现，虽然这节课的内容比较简单，但由于以前教师讲解得过多，导致学生丢失了很多重要的知识。为了激发学生的学习热情，我采用复习提问的形式，师生共同得出向量线性运算的直角坐标运算法则和一个向量的坐标等于向量的终点坐标减去始点相应坐标的结论，直接切入本节课的知识点。之后，由浅入深、由低到高地设计了三个层次的问题，逐步加深学生对向量直角坐标运算的记忆和理解。

由此，我对教材的引入、例题和练习做了适当的补充和修改。

（三）教学重点和难点

根据学生现状、教学要求以及教材内容，我确立本节课的教学重点为：使学生熟练地掌握向量的直角坐标运算。

由于学生的实际情况──运用所学知识分析和解决实际问题的能力较差，我把本节课的难点定为：向量直角坐标运算的应用。

要突破这个难点，关键在于紧扣向量直角坐标运算的相关知识，去发现解决问题的方法。

（四）教学目标的分析

根据教学要求、教材的地位和作用以及学生现有的知识水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面。

1、知识教学目标

能准确表述向量线性运算的坐标运算法则；明确一个向量的坐标等于向量的终点坐标减去始点的相应坐标；掌握用向量的直角坐标运算解决平面几何问题的方法。

2、能力训练目标

培养学生观察、分析、比较、归纳的能力及创新能力；培养学生运用数形结合的方法去分析和解决问题的能力。

3、德育渗透目标

通过学习向量的直角坐标运算，实现几何与代数的完全结合，让学生明白：知识与知识之间、事物与事物之间的相互联系和相互转化；通过例题及练习的学习，培养学生的辩证思维能力，养成勤于动脑的学习习惯。

第二方面：教法与学法分析

现代教学论指出：“教学是师生的多边活动，在教师进行‘反馈—控制’的同时，每个学生也都在进行微观的‘反馈—控制’。”由于任何教学都必须通过学生自身的学习建构才有成效，故本节课采用“发现式教学法”来组织课堂教学。这样，可充分调动学生的学习积极性和能动性，突出学生的主体作用。

在教学中借助于计算机课件辅助教学。

第三方面：教学过程

共分为六个环节，具体的时间安排如下：复习提问约4分钟，导入新课约6分钟，创设问题约30分钟，小结约3分钟，布置作业约2分钟。

（一）复习提问

（1）向量在直角坐标系中坐标的定义是什么？

（2）若o为原点，则点A的坐标与向量的坐标之间的关系是什么？

（3）如果两个向量相等，那么这两个向量的坐标需满足什么条件？

课堂教学论认为：“要使教学过程最优化，首先要把所学习的知识和学生已有的信息联系起来”。通过这三个问题的复习就可以使学生在学习新的知识前，获得适当的知识积累。

（二）导入新课

在教学过程中，我提出两个问题：

问题1 已知a=a1e1+a2e2，b=b1e1+b2e2，（e1、e2为直角坐标系的基底）

1、则a，b的坐标为……。

2、求a+b，a—b，λa。

3、求a+b，a—b，λa的坐标。

问题2已知A=（x1，y1），B=（x2，y2）。

1、则，的坐标分别为……。

2、化简。

3、求的坐标。

这两个问题由师生共同练习完成。

通过师生间的相互讨论、相互启发、相互合作，达到温故知新的目的，也由低级到高级的认知顺序引出本节课的知识点，这很自然，学生比较容易接受，容易激发学生发现向量直角坐标运算规律的强烈欲望。

（三）创设问题

这是本节课的核心。根据循序渐进、由浅入深的教学原则，我设计了三个层次的问题。

第一层次：先由师生共同归纳总结由问题1、2得出的结论，培养学生观察、分析、比较、归纳的能力。

由问题1我们得到结论1：

a+b=（a1+b1，a2+b2），

a—b=（a1—b1，a2—b2），

λa=（λa1，λa2）。

用语言叙述为：

两个向量的和与差的坐标分别等于两个向量相应坐标的和与差。

数乘向量的坐标等于数乘向量相应坐标的积。

由问题2我们得到结论2：

=（x2—x1，y2—y1）。

用语言叙述为：

一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的相应坐标。

这两个结论是向量直角坐标运算的规律，为本节的知识点。为加深认识，我又安排了练习1。

练习1（口答）下列说法是否正确：

（1）已知向量a=（—2，4），b=（5，2），

则：①2a=（—4，4），2b=（5，4）。②2a=（—4，8）。

（2）已知A（2，1），B（3，8），则=（—1，—7）。

①让学生注意数乘向量的坐标等于数乘向量相应坐标的积。

②提醒学生区分点的坐标和向量坐标，两者是不同的概念。

上述（2）小题让学生明确一个向量的坐标等于向量终点坐标减去始点的相应坐标，而不等于始点坐标减去终点的相应坐标。

第二层次：设计练习2、3、4。

练习2 已知如下向量a、b，求a+b，a—b，3a+4b，4a—4b的坐标。

（1）a=（—2，4），b=（5，2）；

（2）a=（4，3），b=（—3，8）。

练习3 已知A（2，1），B（3，8），求。

练习4 已知（2，3），B（4，5），c（6，8）。

（1）若3=，求D点的坐标。

（2）求2—3+2。

这组练习由学生独立完成。目的是使学生进一步掌握向量的直角坐标运算和向量相等的条件，也体会到对于两个向量相加减的直角坐标运算法则可以推广到有限个向量相加减。对于练习4中的（2）让学生认识到先进行向量线性运算几何形式的化简，再进行代数运算比较好，也感受到几何与代数密不可分。

第三层次：遵循深入浅出的教学原则，我安排了例题1和练习5，这是本节课重点知识的应用。

例题1 已知平行四边形ABcD的三个顶点A、B、c的坐标分别是A（—2，1），B（—1，3），c（3，4），求顶点D的坐标。

例题1有多种解法，除了课本中给出的由向量线性运算的几何形式向代数形式转化的方法，还可以利用向量=或=列方程求解，也可以利用线段Ac、BD的中点E的向量表达式进行等量转化以求出D点的坐标。但不论哪一种解法都用到了一个很重要的数学方法──数形结合。

讲这个题时，我板书采用的是课本给出的方法，目的是引导学生熟练地转化向量线性运算的几何形式和代数形式，其他的方法则只是给予提示，给学生留出空间，开阔思路，培养学生的发散思维能力。

通过例题1让学生深刻理解向量的直角坐标运算，亲身体会“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非”（华罗庚语）。从而提高学生利用数形结合的方法解决实际问题的能力。

练习5已知A（—2，1），B（1，3），求线段AB中点m和三等分点P、Q的坐标。

练习5是例题1的进一步深入，学生以小组讨论的形式，采用多种方法解题，教师以巡视的方式进行个别引导，并让有不同解法的学生上黑板演示，让学生动手实践、自主探索、合作交流，围绕中心各抒己见，把思路方法弄清。

通过这个练习，学生可以更熟练地掌握向量直角坐标运算的应用，并使集体智慧个人化，书本知识灵活化，同时培养学生独立思考的能力和团结协作的精神。

（四）小结

为了让学生将获得的知识进一步条理化、系统化，同时培养学生归纳总结的能力及练习后进行再认识的能力，引导学生对本节课进行总结：

向量的直角坐标运算使向量运算完全数量化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题就可以通过“数形结合”的方法转化为大家熟悉的数量的运算。

（五）布置作业

为了让学生进一步巩固本节课内容，提高自觉学习的能力，我布置作业如下：

1、课本第186页：练习A1（1）、2（1）；练习B 1、2。

2、思考题：3a与a的坐标有什么关系？位置有什么特点？

A组的题用来巩固向量的直角坐标运算，B组的题则让学生进一步掌握向量直角坐标运算的应用，思考题又为下一节课的内容埋下伏笔。

（六）板书设计

在黑板中上方书写完课题后，将版面分为四部分，从上而下，自左向右，按授课顺序书写授课内容，达到清晰、条理、有序的目的。板书内容如下：

课题：6、2、2 向量的直角坐标运算

问题1练习1 例1 练习5

结论1练习2

问题2练习3

结论2练习4

本节的说课内容到此结束，谢谢大家。

向量说课稿4

一：说教材

平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。

二：说学习目标和要求

通过本节的学习，要让学生掌握

（1）：平面向量数量积的坐标表示。

（2）：平面两点间的距离公式。

（3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。

以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。

三：说教法

在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法：

（1）启发式教学法

因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。

（2）讲解式教学法

主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！

主要辅助教学的手段（powerpoint）

（3）讨论式教学法

主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。

四：说学法

学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！

五：说教学过程

这节课我准备这样进行：

首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？

继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？

引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论：

（1） 模的计算公式

（2）平面两点间的距离公式。

（3）两向量夹角的余弦的坐标表示

（4）两个向量垂直的标表示的充要条件

第二部分是例题讲解，通过例题讲解，使学生更加熟悉公式并会加以应用。

例题1是书上122页例1，此题是直接用平面向量数量积的坐标公式的题，目的是让学生熟悉这个公式，并在此题基础上，求这两个向量的夹角？目的是让学生熟悉两向量夹角的余弦的坐标表示公式例题2是直接证明直线垂直的题，虽然比较简单，但体现了一种重要的证明方法，这种方法要让学生掌握，其实这一例题也是两个向量垂直坐标表示的充要条件的一个应用：即两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。

例题3是在例2的基础上稍微作了一下改变，目的是让学生会应用公式来解决问题，并让学生在这要有建立方程的思想。

再配以练习，让学生能熟练的应用公式，掌握今天所学内容。

然后是学习小结（由学生完成）

最后作业布置！

向量说课稿5

一、教材分析：

（一） 教材的地位、作用：

向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用。利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题。《空间向量数量积及其应用》，计划安排两节课时，本节课是第2课时。也就是，在有了平面向量数量积公式，空间向量坐标表示，以及空间向量数量积的基础知识之后，本节课是进一步去认识、掌握空间向量数量积的变形公式，然后，围绕着空间向量的几何应用展开讨论和研究。

通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。

（二） 教学目标：

知识目标：① 掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；

② 运用公式解决立体几何中的有关问题。

能力目标：① 比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；

② 探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。

情感态度、价值观目标：

① 通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；

② 通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。

（三）教学重点、难点：

重点：空间向量数量积公式及其应用。

难点：如何将几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决几何问题。

二、教法、学法分析：

教法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式；

学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流等形式。

三、教学过程分析：

根据二期课改的精神，本着“以学生发展为本”的教学理念，结合学生实际，对教学内容作了如下的调整：基于教材中主要是运用向量夹角求异面直线所成的角，所以，首先让学生掌握教材所要求的基本面；其次，鉴于向量兼容了代数、几何的特色，有着其独特的魅力和发展前景，为进一步让学生感受“向量法”的优势，安排了两个分别运用向量的“代数运算”和“几何运算”来处理空间几何问题的典型例题，为解决空间的度量、位置关系问题找到一种新方法，进一步拓展了学生的思维渠道。以下，是我制定的教学流程：

创设情境，提出问题 类比猜想，探求新知 公式运用，巩固提高 回顾小结，整体感知 课外探究，激发热情

教学过程如下：

（一） 创设情境：

给出问题一：已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AE=EA1，

D1F= ，如何确定 的夹角？

[设计意图]：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，但预计应该会让他们联想到平面向量的夹角公式，由此作一番类比猜想，起到温故知新的作用。

[处理过程]：

设问：平面向量的夹角问题如何求得的？

是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？公式的形式是否会有所变化？

学生活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式及其坐标表示；类比猜想，认识空间向量的夹角问题。

（二） 建构数学：（板书）

对于空间两个非零向量

（三） 公式运用：

1、问题一的解决：

①学生活动：解决上述问题。

②.变式运用：已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

AE=EA1，D1F= ，求BE、FD所成的角？

[设计意图]：初步体会立几法、向量法来解决几何问题，并注意区分两个向量夹角与两条异面直线间的夹角。

[处理过程]：（由以往教学实践，部分学生可能想到用传统的几何方法）

设问：如何用向量方法求BE、FD所成的角？

（引导学生建立空间直角坐标系，求得B、D、E、F的坐标，进一步得到 的坐标，最后代入空间向量夹角公式…计算得出的向量夹角是钝角，而异面直线成锐角。）

[评价]：

① 异面直线所成的角可由向量的夹角来解决，可见，解决立体几何的有关问题时，方法并不唯一。在此，可以比较向量法和几何法，选择适当方法，解决问题。

② 两个向量夹角与两条异面直线间的夹角是有区别的。

2.问题二的探究：

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，

AC=1，CB= ，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的

两条对角线交点为D，B1C1中点为M。

（1）求证：CD⊥平面BDM；

（2）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。

[设计意图]：通过立几法、向量法的尝试，让学生明显感受到运用向量法的优越性。

[处理过程]：

① 学生活动：让学生先试行用传统方法解决问题，估计不少学生会感到有一定困难。

[设问]：类似于上题做法，能否用向量法解决这一问题？

② 学生活动：进入思考讨论

③ 相互分析交流——达成共识：

（i） 证明线面垂直可转化为证线线垂直，进一步转化为证向量间的垂直，即向量的数量积等于零;

（ii） 求二面角的平面角，转化为求那两条与二面角的棱垂直的射线所成的角，在此，可构造两向量（提醒其方向，及向量始点的自由、不唯一性），然后求其夹角，从而解决问题。

④ 解题过程：

[评价]：“传统解法”需作辅助线，有时不易作出；而使用“向量解法”，程序化强，便于操作，求解的关键在于建立适当的空间直角坐标系（基本原则：使图中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于用坐标表示相关的点及向量），然后利用坐标系确定各相关的点及向量坐标，再借助向量坐标运算法则及公式，无需添加辅助线，即可达到解题的目的。

3.小结，利用空间向量解决立体几何中有关问题的一般步骤：(学生回答，教师补充，板书)

（1）适当地构建空间直角坐标系；

（2）用坐标表示相关的点、空间向量；

（3）进行空间向量的运算；

（4）体炼共性，转化为几何结论。

（四） 归纳总结：

引导学生总结本节课的收获，相互交流。

（五） 课外探究：

（这是20xx年高考题）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的

底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，

当 的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD，请给出证明。

[设计意图]：这是20xx年高考第18题第3小题，是个探索型问题。把它放在这里，一方面：在高二阶段，接触到高考题，学生的兴趣颇高，可调动学生的学习热情，增强学生的主体意识；另一方面，解题中，再次让学生感受到：单纯用立体几何知识解答较繁，而利用向量法去思考，思路清晰，目标明确，从而大大降低了求解的难度，同时亦可激发他们不断求知、不断探索的欲望。

（六） 布置作业

[板书设计]

课题引入： 问题一的解决： 课外探究：

空间向量数量积、夹角公式：

问题二的解决： 布置作业：

用向量解几何题的步骤：

四、教学反思：

本节课的设计，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。教学过程中，以问题为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间。例题内容的安排上，注意逐步推进，力求使教师的启发引导与学生的思维同步，顺应学生学习数学的过程，促进学生认知结构的发展；另外，课外探究题给学生留下广阔的思维空间和拓展探索的余地，让学生体验到数学活动充满了探索和创造。在教学过程中，注意到培养学生合作交流的意识和能力。

向量说课稿6

各位评委、各位老师，大家好。今天，我说课的内容是：人教A版必修四第二章第三节《平面向量的基本定理及坐标表示》第一课时，下面，我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学过程以及设计说明五个方面来阐述一下我对本节课的设计。

一、教材分析：

1、教材的地位和作用：

向量是沟通代数、几何与三角函数x的一种工具，有着极其丰富的实际背景。本课时内容包含“平面向量基本定理”和“平面向量的正交分解及坐标表示”.此前的教学内容由实际问题引入向量概念，研究了向量的线性运算，集中反映了向量的几何特征,而本课时之后的内容主要是研究向量的坐标运算，更多的是向量的代数形态。平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.

2、教学目标：根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。

（1）知识与技能

了解向量夹角的概念，了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交 分解及其坐标表示。

（2）过程与方法

通过对平面向量基本定理的探究，以及平面向量坐标建立的过程，让学生体验数学定理的产生、形成过程，体验由一般到特殊、类比以及数形结合的数学思想，从而实现向量的“量化”表示。

（3）情感、态度与价值观

引导学生从生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和应用意识，提高学习数学的兴趣，感受数学的魅力。

3、教学重点和难点：根据教材特点及教学目标的要求，我将教学重点确定为———平面向量基本定理的探究，以及平面向量的坐标表示

教学难点：对平面向量基本定理的理解及其应用

二、教法分析：

针对本节课的教学目标和学生的实际情况，根据“先学后教，以学定教”原则，本节课采用由“自学—探究—点拨—建构—拓展”五个环节构成的诱导式学案导学方法。

三、学法指导

教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。由于学生已经掌握了向量的概念和简单的线性运算，并且对向量的物理背景有初步的了解，我引导学生采用问题探究式学法。让学生借助学案，在教师创设的情境下，根据已有的知识和经验，主动探索，积极交流，从而建立新的认知结构。

四、重点说明本节课的教学过程：本节课共设计了五个环节：发放学案，依案自学；分组探究 ，信息反馈；精讲点拨，解难释疑 ；归纳总结，建构网络 ；当堂达标，迁移拓展 。

1、发放学案，依案自学

学习并非学生对教师授予知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构。根据这一理念，我在课前下发“导学学案”，让学生以学案为依据，以学习目标、学习重点难点为主攻方向，主动查阅教材、工具书，思考问题，分析解决问题，在尝试中获取知识，发展能力。这是我编制学案的纲要。

经过学生的自学，在课堂上，我采用提问的方式，让学生对知识点进行简单概述，并阐述自己的学习方法和体会。其中，向量的夹角概念，学生基本上能独立解决，我会引导学生归纳出求两个向量夹角的要点：（1）两个向量要共起点，（2）两个向量的正方向所成的角。然后，通过学案上的练习题目1，检查学生的掌握程度。对本节课的重点和难点：平面向量基本定理的探究及坐标表示，我准备通过分组探究，精讲点拨，归纳总结三个方面来突破。

2、分组探究 ，信息反馈

这一环节，我先把学生分组，让其对定理及坐标表示，进行讨论、探究、交流，先组内互相启发，消化个体疑点，然后以组为单位提出疑问。如果某个问题，某个组已经解决，其它组仍是疑点，我让已解决问题的小组做一次“教师”，面向全体学生讲解，教师可以适当补充点拨，这也可以说是讨论的继续。对于难度较大的倾向性问题，我准备

3、精讲点拨，解难释疑

本节课的目的是要帮助学生建立向量的坐标.要求先运用已有的知识去研究平面向量的基本定理,然后以这个定理为基础建立向量的坐标。对于定理的探究，有些学生只是从形式上加以记忆,缺乏对问题本质的理解,为了帮助学生改进学习方法,提升数学能力,我先提问学生如何把平面上任一向量分解成两个不共线向量的线性组合，学生会通过作图来说明这一问题。我们要强调的是,这里的向量是自由向量,其起点是可以移动的,将三个向量的起点放在一起可便于研究问题.类比物理上力的分解，利用平行四边形法则，我们把向量 分解成 ，根据向量共线定理 ，存在一对实数λ1，λ2 ，使 ， 从而 =λ1 +λ2 ，教师再引导学生自主归纳，从而得出平面向量基本定理。为了加深对定理的理解，我设计了如下的几个问题，学生思考回答后，教师再利用几何画板作进一步的演示。当 ， 共线时，与它们不共线的向量 不能用 ， 当线性表示，所以共线向量不能作为基底；当不共线向量 ， ，任意 确定后，λ1，λ2是唯一确定的；我们改变向量 的大小和方向，发现 仍然可以用 ， 线性表示，说明了任意向量 能分解成两个不共线向量的线性组合；改变基底 ， 的大小和方向，保持向量 不变，刚才的结论仍然成立，说明了同一个向量 能用不同的基底线性表示，由此说明基底不唯一，具有可选择性。

对于向量的坐标表示，我先用火箭速度的分解引入正交分解，然后提问：根据平面向量基本定理，基底是可以选择的，为了研究的方便，我们应该选取什么样的基底呢？引导学生由一般到特殊，选择平面直角坐标系中 轴和 轴上，且方向与轴的正方向同向的单位向量 做基底，那么根据刚刚得出的定理，任一向量 =x +y ，由于x,y是唯一的，于是存在数对（x,y）与向量a一一对应，从而得到平面向量的坐标表示。需要说明的两点是：第一，向量的坐标表示与其分解形式是等价的，可以互相转化。第二点说明：求向量坐标的关键是构造平行四边形，确定实数x、y。学生在理解起点不在坐标原点的向量的坐标表示时会出现障碍，其原因是在直角坐标系中点和点的坐标是一一对应的,到了向量时,向量的坐标只是和从原点出发的向量一一对应,必须使学生在这种特定的场合中明白:要求点 的坐标就是要求向量 的坐标.只要结合向量相等的条件学生应该容易克服这一难点。随后，通过学案上的练习2，让学生巩固所学知识。

4、第四个环节，归纳总结，建构网络

建构主义教学理论认为，知识是主体在与情境的交互作用中、在解决问题的过程中能动地构建起来的，学生应在教师指导下自主归纳出新旧知识点之间的内在联系，构建知识网络，从而培养学生的分析能力和综合能力。为此，我设计了如下的问题：

通过本节课的学习，你收获了什么？……

在学生回答的过程中，我及时反馈，评价学生课堂表现，起导向作用。

学生完成个人新知建构之后，为了帮助学生检验自己的学习过程，我设计了

5、第五个环节，当堂达标，迁移拓展

本部分检测题，紧扣目标，当堂训练，而为了尊重学生的个体差异，满足多样化学习的需要，我又分必做和选做两部分来布置题目，允许学生根据个人情况来完成。

五、我说课的最后一部分是教学设计说明：

1、贯彻了学生主体、教师主导的原则

“学案导学”要求学生主动试一试，并给予学生充分自由思考的时间。学生在尝试中遇到问题就会主动地去自学课本和接受教师的指导。这样，学习就变成了学生自身的需要，使他们产生了“我要学”的愿望，在这种动机支配下学生就会依靠自己的力量积极主动地去学习。

教师通过启发、激励，诱导学生全员、全过程参与教学过程，体现教师的主导作用。

2、培养了自主探索，合作交流的能力

新的课程理念，要求学生的学习不仅仅是在理解基础上掌握和记忆知识，还要学习探索和解决问题的方法和途径。

本节课采用诱导式教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，掌握数学知识、形成数学能力，培养探索精神和团队意识。

我相信，通过本节课的学习，学生获取的将不仅仅是知识，获取知识的手段、途径和方法，以及勇于探索、合作交流的能力，才是他们最大的收获。

向量说课稿7

这是我的对平面向量基本定理这一节的说课稿，请各位老师指点：

各位老师大家好，今天，我说课的内容是：人教B版必修4第二章第二节《平面向量的基本定理》第一课时，我将从教材分析、学生分析、教学方法和手段、教学过程以及教学评价五个方面进行分析

一、说教材

1、关于教材内容的分析

（1）平面向量基本是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理，这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。所以它是进一步研究向量问题的基础；是解决向量或利用向量解决问题的基本手段。

（2）平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是进行向量运算的基本工具，它也为平面向量坐标表示的学习打下基础。

（3）平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。

2、关于教学目标的确定

根据教学内容的特点，依据新课程标准的具体要求，我从以下三个方面来确定本节课的教学目标。

1、①了解平面向量基本定理及其意义，会做出由一组基地所表示的向量

②会把任意向量表示为一组基地的线性组合。掌握线段中点的向量表达式

2、通过对平面向量基本定理的归纳，抽象、概况，体验定理的产生和形成过程，提高学生抽象的能力和概括的能力

3、通过对定理的应用增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具。

3、重点和难点的分析

掌握了平面向量基本定理，可以使向量的运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题就转化为学生熟知的数量运算，这也是中学数学课中学习向量的目的之一，所以我认为对平面向量基本定理的应用是本节课的重点。另外对向量基本定理的理解这一点对于初学者来说有一定难度，所以是本节的难点。突破难点的关键是在充分理解向量的平行四边形法则的和向量共线的充要条件下多方位多角度的设计有关训练题从而加深对定理的理解。

二、说教学方法与教学手段

结合新课标“以学生为本”的课堂教学原则和实际情况，确定新课教学模式为：质疑—合作—探究式。

此模式的流程为激发兴趣——发现问题，提出问题——自主探究，解决问题——自主练习，采用多媒体辅助教学，增强数学的直观性，实物投影的使用激发学生的求知欲。

三、说学情分析与学法指导

学情分析：前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备。

学法指导：教师平等的参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员、

向量说课稿8

尊敬的各位评委、各位老师：

大家好！

今天我说课的题目是《平面向量的数量积》。下面我将从四个方面阐述我对本节课的分析和设计。

第一部分：教学内容分析：

1、教材的地位及作用：

将平面向量引入高中课程,是现行数学教材的重要特色之一。由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。《平面向量的数量积》是高一数学下册第五章第六节的内容。平面向量数量积是中学数学的一个重要概念。它的性质很多，应用很广，是后面学习的重要基础。本课是第一课时，学生对概念的理解尤为重要。

2、教学目标的设定：

（1）知识目标：

平面向量数量积的定义及初步运用。

（2）能力目标：

通过对平面向量数量积定义的剖析，培养学生分析问题发现问题能力，使学生的思维能力得到训练。

（3）情感目标：

通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣，体会学习的快乐。

3、教学重点：平面向量的数量积定义。

4、教学难点：平面向量的数量积定义及平面向量数量积的运用。

第二部分：教法分析：

采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。

向量说课稿9

一、教材分析

1.在教材中的地位与作用

本章内容《空间向量与立体几何》是在学习了立体几何的基本理论（必修2）和空间向量知识（必修4）的基础上提出的，本章的前三节已经将平面向量中的相关知识推广到了空间，为本节的学习和研究奠定了基础.本节主要是利用向量工具研究空间中的线线、线面、面面的位置关系，是立体几何的重要方向，是向量工具应用的重要方面，更是向量法解决立体几何问题的重要课题，是本章的核心内容.

2.教学目标分析

根据《新课程标准》的理念，基于对教材的理解和分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下三维教学目标：

（1）知识与技能目标

能用向量语言表述空间中线线、线面、面面的垂直与平行的位置关系；

掌握平面的法向量的求法.

（2）过程与方法目标

结合已有的立体几何知识，运用向量方法，解决立体几何中垂直与平行的问题.

（3）情感态度与价值观目标

体验科学探索的曲折过程，感受在探索问题的过程中的挫折感和成就感，培养合作意识和创新精神，激发学习兴趣.

3.教学重难点分析

根据以上教学目标，教学重难点确定如下：

教学重点：能用向量方法判断垂直与平行的位置关系；会求平面的法向量.

教学难点：结合已有的立体几何知识，运用向量方法，用向量语言证明垂直与平行的问题.

二、学情分析

学生已经学习了立体几何中线线、线面、面面的位置关系，具备有关知识储备，对坐标法解决几何问题也有了初步的认识.但是利用向量工具解决空间中垂直与平行的问题还没有系统的学习过，需要老师循序渐进的引导.

三、教法学法分析

1．教学：启发引导、数形结合、案例分析、构建模型.

2.学法：观察分析、自主探究、合作交流、讨论归纳.

四、教学过程展示

本节课主要分五个环节来完成：复习引入、自主探究、知识运用、课堂小结及布置作业.

(一)复习引入

给出三个问题，让学生思考：什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？如何利用向量知识判断直线与平面间的平行或垂直问题？

设计意图:1.个问题是引导学生复习已有的知识，为本节课的学习起到铺垫作用；2.个问题是引导学生思考与本节课有关的问题.

(二)自主探究

观察图形，并用向量语言表述以下位置关系：

设计意图：1.本节课本给出的三个例题都是证明题，起点相对较高，考虑到学生的认知结构及心理特征，先给出两个例题（非证明题）作为铺垫.2.引导学生用向量方法思考问题，让学生体会利用向量判断垂直与平行的方法，突破重点.

3.由例1体会到判断线面位置关系时，平面法向量的重要性.如何求平面的法向量？引出例2.

总结：求平面法向量的基本步骤.

设计意图：1.掌握平面法向量的求法.至此突破重点.2.本题用到的理论依据是线面垂直的判定定理，这个定理用向量方法如何证明？引出例3.

例3.（线面垂直判定定理）若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直.

设计意图：让学生从理论上学会用向量方法证明几何问题，从另一个侧面体现了利用向量方法研究垂直与平行的重要性，至此突破难点.

【方法归纳】：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系等问题；（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）

设计意图：由例3归纳解题步骤，帮助学生梳理解题思路，构建知识体系.

学生练习：完成课本41页练习：1.2.3.

(以上三道题目考察的知识点依次是：线线位置关系，线面位置关系，面面位置关系)

设计意图：学生自己检验是否掌握了所学知识，并对所学方法加深理解.

（四）课堂小结(讨论归纳)

(1)用向量表示线线、线面、面面垂直与平行的关系；

(2)求法向量的步骤；

(3)用向量方法解决立体几何问题的步骤.

设计意图：引导学生对本节知识进行回顾，同时检验学生对本节知识的掌握程度，有利于教师更好的根据学生的情况进行针对性的辅导.

（五）布置作业(反馈提升)

1.课本42页第2、3题；2.学有余力的同学完成课本41页的思考交流

(第2、3题考察的知识点依次是：线线位置关系，面面位置关系；思考交流是对“面面垂直的判定定理”的证明)

设计意图：分层布置作业，尽可能适应不同层次学生的需要.通过完成作业，学生可以巩固所学知识，反馈学习效果，同时也起到了复习的作用.在做作业的同时，可以加深对知识的理解，提升思维能力.

五、教学反思

（1）以属性结合的思想方法贯穿于整节课，有助于学生更好的理解；

（2）根据学生已有的知识水平合理设计本节课的例题，体现了以学定教，以学生为主体，合作探究的新课程理念；

（3）题目梯度设置合理，有效学生突破重难点；

（4）在知识的巩固练习部分还有待加强，更好的提升学生思维水平和能力。

向量说课稿10

各位老师好：

我是户县二中的李敏，今天讲的课题是《平面向量的坐标的表示》，本节课是高中数学北师大版必修4第二章第4节的内容，下面我将从四个方面对本节课的教学设计来加以说明。

一、学情分析

本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。

二、高考的考点分析：

在历年高考试题中，平面向量占有重要地位，近几年更是有所加强。这些试题不仅平面向量的相关概念等基本知识，而且常考平面向量的运算；平面向量共线的条件；用坐标表示两个向量的夹角等知识的解题技能。考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提高广阔的空间，相关题型经常在高考试卷里出现，而且经常以选择、填空、解答题的形式出现。

三、复习目标

1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.

4.能用坐标表示两个向量的夹角,理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.

教学重难点的确定与突破：

根据《20xx高考大纲》和对近几年高考试题的分析，我确定本节的教学重点为：平面向量的坐标表示及运算。难点为：平面向量坐标运算与表示的理解。我将引导学生通过复习指导，归纳概念与运算规律，模仿例题解决习题等过程来达到突破重难点。

四、说教法

根据本节课是复习课，我采用了“自学、指导、练习”的教学方法，即通过对知识点、考点的复习，围绕教学目标和重难点提出一系列精心设计的问题，在教师的指导下，用做题来复习和巩固旧知识点。

五、说学法

根据平时作业中的问题来看，学生会本节课遇到的困难有：数轴、坐标的表示；平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算等方面。根据学情，所以我将指导通过“自学，探究，模仿”等过程完成本节课的学习。

六、说过程

(一) 知识梳理:

1.向量坐标的求法

(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

＝_________________

||＝_______________

（二）平面向量坐标运算

1．向量加法、减法、数乘向量

设 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，则

+ ＝ － ＝ λ ＝ ．

2.向量平行的坐标表示

设 ＝(x1，y1)， ＝(x2，y2)，则 ∥ ________________.

（三）核心考点习题演练

考点1.平面向量的坐标运算

例1.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 (1)求3 + -3 ;

(2)求满足 =m +n 的实数m,n;

练：（20xx江苏,6)已知向量 =(2,1), =(1,-2),若m +n =(9,-8)

(m,n∈R),则m-n的值为 .

考点2平面向量共线的坐标表示

例2:平面内给定三个向量 =(3,2), =(-1,2), =(4,1)

若( +k )∥(2 - ),求实数k的值;

练：(20xx，四川，4)已知向量 =(1,2), =(1,0), =(3,4).若λ为实数,( +λ )∥ ,则λ= ( )

思考:向量共线有哪几种表示形式?两向量共线的充要条件有哪些作用?

考点3平面向量数量积的坐标运算

例3“已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,

则的值为 ; 的最大值为 .

【提示】解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷.

练：(20xx,安徽，13）设 =(1,2), =(1,1), = +k .若 ⊥ ,则实数k的值等于( )

【思考】两非零向量 ⊥ 的充要条件: =0 .

考点4：平面向量模的坐标表示

例4：(20xx湖南,理8)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则的最大值为( )

A.6 B.7 C.8 D.9

练：（20xx，上海，12）

在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲线上一个动点，则 的取值范围是？

向量说课稿11

说课内容：普通高中课程标准实验教科书(人教A版)《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第一课时---平面向量数量积的物理背景及其含义。

下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。

一、背景分析

1、学习任务分析

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

2、学生情况分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的;另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。

二、教学目标设计

《普通高中数学课程标准(实验)》 对本节课的要求有以下三条：

(1)通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

(2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

(3)能用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

从以上的背景分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。

综上所述，结合“课标”要求和学生实际，我将本节课的教学目标定为：

1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义;

2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，

并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断;

3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

三、课堂结构设计

本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：

即先从数学和物理两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数量积的概念，在此基础上研究数量积的性质和运算律，使学生进一步加深对概念的理解，然后通过例题和练习使学生巩固概念，加深印象，最后通过课堂小结提高学生认识，形成知识体系。

四、教学媒体设计

和“大纲”教材相比，“课标”教材在本节课的内容安排上，虽然将向量的夹角在“平面向量基本定理”一节提前做了介绍，但却将原来分两节课完成的内容合并成一节，相比较而言本节课的教学任务加重了许多。为了保证教学任务的完成，顺利实现本节课的教学目标，考虑到本节课的实际特点，在教学媒体的使用上，我的设想主要有以下两点：

1、制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。

2、设计科学合理的板书(见下)，一方面使学生加深对主要知识的印象，另一方面使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。

平面向量数量积的物理背景及其含义

一、数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高

1、概念： 例1：

2、概念强调 (1)记法 例2：

(2)“规定” 三、数量积的运算律 例3：

3、几何意义：

4、物理意义：

五、教学过程设计

课标指出：数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下六个活动：

活动一：创设问题情景，激发学习兴趣

正如教材主编寄语所言，数学是自然的，而不是强加于人的。平面向量的数量积这一重要概念，和向量的线性运算一样，也有其数学背景和物理背景，为了体现这一点，我设计以下几个问题：

问题1：我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?

问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的?

期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用

问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

(1)力F所做的功W= 。

(2)请同学们分析这个公式的特点：

W(功)是 量，

F(力)是 量，

S(位移)是 量，

α是 。

问题1的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。

问题2的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向。

问题3的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

活动二：探究数量积的概念

1、概念的抽象

在分析“功”的计算公式的基础上提出问题4

问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述?

学生通过思考不难回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积;两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。这样，学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，我进一步明晰数量积的概念。

2、概念的明晰

已知两个非零向量

与

，它们的夹角为

，我们把数量 ︱

︱·︱

︱cos

叫做

与

的数量积(或内积)，记作：

·

，即：

·

= ︱

︱·︱

︱cos

在强调记法和“规定”后 ，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题5

问题5：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小的因素有哪些?并完成下表：

角

的范围0°≤

<90°

=90°0°<

≤180°

·

的符号

通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。

3、探究数量积的几何意义

这个问题教材是这样安排的：在给出向量数量积的概念后，只介绍了向量投影的定义，直到讲完例1后，为了证明运算律的第三条才直接以结论的形式呈现给学生，我觉得这样安排似乎不太自然，还不如在给出向量投影的概念后，直接由学生自己归纳得出，所以做了调整。为此，我首先给出给出向量投影的概念，然后提出问题5。

如图，我们把│

│cos

(│

│cos

)叫做向量

在

方向上(

在

方向上)的投影，记做：OB1=│

│cos

问题6：数量积的几何意义是什么?

这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。

4、研究数量积的物理意义

数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积。为此，我设计以下问题 一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。

问题7：

(1) 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。

(2)尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：

①、在水平面上位移为10米;

②、竖直下降10米;

③、竖直向上提升10米;

④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米;

分别求重力做的功。

活动三：探究数量积的运算性质

1、性质的发现

教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，在完成上述练习后，我不失时机地提出问题8：

(1)将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论?

(2)比较︱

·

︱与︱

︱×︱

︱的大小，你有什么结论?

在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动。

2、明晰数量积的性质

3、性质的证明

这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质。

活动四：探究数量积的运算律

1、运算律的发现

关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出问题9

问题9：我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也适用?

通过此问题主要是想使学生在类比的基础上，猜测提出数量积的运算律。

学生可能会提出以下猜测： ①

·

=

·

②(

·

)

=

(

·

) ③(

+

)·

=

·

+

·

猜测①的正确性是显而易见的。

关于猜测②的正确性，我提示学生思考下面的问题：

猜测②的左右两边的结果各是什么?它们一定相等吗?

学生通过讨论不难发现，猜测②是不正确的'。

这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律：

2、明晰数量积的运算律

3、证明运算律

学生独立证明运算律(2)

我把运算运算律(2)的证明交给学生完成，在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：

当λ<0时，向量

与λ

，

与λ

的方向 的关系如何?此时，向量λ

与

及

与λ

的夹角与向量

与

的夹角相等吗?

师生共同证明运算律(3)

运算律(3)的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。

在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。

活动五：应用与提高

例1、(师生共同完成)已知︱

︱=6，︱

︱=4,

与

的夹角为60°，求

(

+2

)·(

-3

)，并思考此运算过程类似于哪种运算?

例2、(学生独立完成)对任意向量

，b是否有以下结论：

(1)(

+

)2=

2+2

·

+

2

(2)(

+

)·(

-

)=

2—

2

例3、(师生共同完成)已知︱

︱=3，︱

︱=4, 且

与

不共线，k为何值时，向量

+k

与

-k

互相垂直?并思考：通过本题你有什么收获?

本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选择了其中的三道，并对例1和例3增加了题后反思。例1是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算?目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上自己猜测提出例2给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。

为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积解决有关问题，再安排如下练习：

1、下列两个命题正确吗?为什么?

①、若

≠0，则对任一非零向量

，有

·

≠0.

②、若

≠0，

·

=

·

，则

=

.

2、已知△ABC中，

=

,

=

，当

·

<0或

·

=0时，试判断△ABC的形状。

安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算，

通过练习2使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。

活动六：小结提升与作业布置

1、本节课我们学习的主要内容是什么?

2、平面向量数量积的两个基本应用是什么?

3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究?在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想?

4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积?

通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识，同时也为下

一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。

布置作业：

1、课本P121习题2.4A组1、2、3。

2、拓展与提高：

已知

与

都是非零向量，且

+3

与7

-5

垂直，

-4

与 7

-2

垂直求

与

的夹角。

在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。

六、教学评价设计

评价方式的转变是新课程改革的一大亮点，课标指出：相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重视结果，也要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要通过以下几种方式进行：

1、通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定

性的评价。

2、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。

3、通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。

4、通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

向量说课稿12

各位评委，老师们:大家好!

很高兴参加这次说课活动。这对我来说也是一次难得的学习和锻炼的机会，感谢各位老师在百忙之中来此予以指导。希望各位评委和老师们对我的说课内容提出宝贵意见。

我说课的内容是平面向量的教学，所用的教材是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书(试验修订本-必修)数学第一册下，教学内容为第96页至98页第五章第一节。本校是浙江省一级重点中学，学生基础相对较好。我在进行教学设计时，也充分考虑到了这一点。

下面我从教材分析，教学目标的确定，教学方法的选择和教学过程的设计四个方面来汇报我对这节课的教学设想。

一教材分析

(1)地位和作用

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行(平移)，相似，垂直，勾股定理等就可以转化为向量的加(减)法，数乘向量，数量积运算(运算率)，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。向量是沟通代数，几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用。

平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力，位移等矢量的概念的基础上进一步对向量的深入学习。为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础。

(2)教学结构的调整

课本在这一部分内容的教学为一课时，首先从小船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别。然后介绍了向量的几何表示，向量的长度，零向量，单位向量，平行向量，共线向量，相等向量等基本概念。为使学生更好地掌握这些基本概念，同时深化其认知过程和探究过程。在教学中我将教学的顺序做如下的调整:将本节教学中认知过程的教学内容适当集中，以突出这节课的主题;例题，习题部分主要由学生依照概念自行分析，独立完成。

(3)重点，难点，关键

由于本节课是本章内容的第一节课，是学生学习本章的基础。为了本章后面知识的学习，首先必须掌握向量的概念，要抓住向量的本质:大小与方向。所以向量，相等向量的概念，向量的几何表示是这节课的重点。本节课是为高一后半学期学生设计的，尽管此时的学生已经有了一定的学习方法和习惯，但根据以往的教学经验，多数学生对向量的认识还比较单一，仅仅考虑其大小，忽略其方向，这对学生的理解能力要求比较高，所以我认为向量概念也是这节课的难点。而解决这一难点的关键是多用复杂的几何图形中相等的有向线段让学生进行辨认，加深对向量的理解。

二教学目标的确定

根据本课教材的特点，新大纲对本节课的教学要求，学生身心发展的合理需要，我从三个方面确定了以下教学目标:

(1)基础知识目标:理解向量，零向量，单位向量，共线向量，平行向量，相等向量的概念，会用字母表示向量，能读写已知图中的向量。会根据图形判定向量是否平行，共线，相等。

(2)能力训练目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法，培养学生观察问题，分析问题，解决问题的能力。

(3)情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。

三教学方法的选择

Ⅰ教学方法

本节课我采用了”启发探究式的教学方法，根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中突出以下两点:

(1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线。

从教材内容看平面向量无论从形式还是内容都与物理学中的有向线段，矢量的概念类似。因此在教学中运用类比作为思维的主线进行教学。让学生充分体会数学知识与其他学科之间的联系以及发生与发展的过程。

(2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法

通常学生对于概念课学起来很枯燥，不感兴趣，因此要考虑学生的情感需要，找一些学生感兴趣的题材来激发学生的学习兴趣，另外，学生都有表现自己的欲望，希望得到老师和其他同学的认可，要多表扬，多肯定来激励他们的学习热情。考虑到我校学生的基础较好，思维较为活跃，对自主探索式的学习方法也有一定的认识，所以在教学中我通过创设问题情境，启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探究。将学生的独立思考，自主探究，交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体作用。

Ⅱ教学手段

本节课中，除使用常规的教学手段外，我还使用了多媒体投影仪和计算机来辅助教学。多媒体投影为师生的交流和讨论提供了平台;计算机演示的作图过程则有助于渗透数形结合思想，更易于对概念的理解和难点的突破。

四教学过程的设计

Ⅰ知识引入阶段---提出学习课题，明确学习目标

(1)创设情境——引入概念

数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。

由生活中具体的向量的实例引入:大海中船只的航线，中国象棋中”马”，”象”的走法等。这些符合高中学生思维活跃，想象力丰富的特点，有利于激发学生的学习兴趣。

(2)观察归纳——形成概念

由实例得出有向线段的概念，有向线段的三个要素:起点，方向，长度。明确知道了有向线段的起点，方向和长度，它的终点就唯一确定。再有目的的进行设计，引导学生概括总结出本课新的知识点：向量的概念及其几何表示。

(3)讨论研究——深化概念

在得到概念后进行归纳，深化，之后向学生提出以下三个问题:

①向量的要素是什么?

②向量之间能否比较大小?

③向量与数量的区别是什么?

同时指出这就是本节课我们要研究和学习的主题。

Ⅱ知识探索阶段---探索平面向量的平行向量。相等向量等概念

(1)总结反思——提高认识

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行．长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等．平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件。

(2)即时训练—巩固新知

为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我特地设计了一组即时训练题，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知识。

［练习1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．

向量说课稿13

一、教材分析：

《向量的加法》是《必修》4第二章第二单元中“平面向量的线性运算”的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在“平面向量”及“空间向量”中有很重要的地位。

二、学情分析：

学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。

三、教学目的：

1、通过对向量加法的探究，使学生掌握向量加法的概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能正确领会向量加法的平行四边形法则和三角形法则的几何意义，并能运用法则作出两个已知向量的和向量。

2、在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量之和，比如共线向量，共起点向量、共终点向量等。

3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等数学方面的能力。

四、教学重、难点

重点：向量的加法法则。探究向量的加法法则并正确应用是本课的重点。两个加法法则各有特点，联系紧密，你中有我，我中有你，实质相同，但是三角形法则适用范围更加广泛，且简便易行，所以是详讲内容，平行四边形法则在本课中所占份量略少于三角形法则。

设计原理运用了由特殊到一般的认识、思维过程，

难点：对三角形法则的理解；方向相反的两个向量的加法。主要是让学生认识到三角形法则的实质是：将已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向线段之间必须构成三角形.

五、教学方法

本节采用以下教学方法：

1、类比：由数的加法运算类比向量的加法运算。

2、探究：由力的合成引入平行四边形法则，在法则的运用中观察图形得出三角形法则，探求共线向量的加法，发现三角形法则适用于任意向量相加；通过图形，观察得出向量加法满足交换律、结合律等，这些都体现探究式教学法的运用。

3、讲解与练习：对两个法则特点的分析，例题都采取了引导与讲解的方法，学生课堂完成教材中的练习。

4、多媒体技术的运用，能直观地表现向量的平移，相等向量的意义，更能说清两个法则的几何意义及运算律。

六、数学思想的体现：

1、分类的思想：总的来说本课中向量的加法分为不共线向量及共线向量两种形式，共线向量又分为方向相同与方向相反两种情形，然后专门对零向量与任意向量相加作了规定，这样对任意向量的加法都做了讨论，线索清楚。

2、归纳思想：主要体现在以下三个环节①学完平行四边形法则和三角形法则后，归纳总结，对不共线向量相加，两个法则都可以选用。②由共线向量的加法总结出三角形法则适用于任意两个向量的相加，而三角形法则仅适用于不共线向量相加。③对向量加法的结合律和探讨中，又使学生发现了三角形法则还适用于任意多个向量的加法。归纳思想在这三个环节中的运用，使得学生对两个加法法则，尤其是三角形法则的理解，步步深入。

3、类比思想：使之与数的加法进行类比，使学生对向量的加法不致于太陌生，既有似曾相识的感觉，又能从对比中看出两者的不同，效果较好。

七、教学过程：

1、知识回顾：本节要进行向量的平移，且对向量加法分共线与不共线两种情况，所以要复习向量与数量的区别、响亮的表示、相等向量概念，这些都是新课学习中必要的知识铺垫。

2、新课讲解（1）向量加法的定义

①向量加法的三角形法则边形法则共线向量的加法

方向相同的两个向量相加，对学生来说较易完成，“将它们接在一起，取它们的方向及长度之和，作为和向量的方向与长度。”引导学生分析作法，结果发现还是

运用了三角形法则：首尾相接，方向由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。

方向相反的两个向量相加，对学生来说是个难点，首先从作图上不知道怎样做。但是学生学过有理数加法中的异号两数相加：“异号两数相加，用较大的绝对值减去较小的绝对值，符号取绝对值较大的数的符号。”类比异号两数相加，他们会用较长的模减去较短的模，方向取模较长的向量的方向。具体做法由老师引导学生尝试运用三角形法则去做，发现结论正确。

非共线向量的加法

②向量加法的平行四边形法则（2）向量加法的运算律

①交换律：交换律是利用平行四边形法则的图形，又结合三角形法则得出，理解起来没什么困难，再一次强化了学生对两个法则特点及实质的认识。

②结合律：结合律是通过三个向量首尾相接，先加前两个再与第三个向量相加，和先加后两个向量再与第一个向量相加所得结果相同。

接下来是对应的两个练习，运用交换律与结合律计算向量的和。

设计意图：运算律的引入给加法运算带来方便，从后面的练习中学生能够体会到这点。由结合律还使学生发现，多个向量相加，同样可以运用三角形法则：将所加向量首尾相接，和向量的方向是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。这样使学生明白，三角形法则适用于任意多个向量相加。

3、例题讲解例

1、例2 4.课堂练习

5、小结

先由学生小结，检查学生对本课重要知识的认识，也给学生一个概括本节知识的机会，然后用课件展示小结内容，使学生印象更深。

（1）三角形法则首尾相接，适用于任意多个向量的求和平行四边形法则：起点相同，适用于不共线向量的求和。

（2）平行四边形法则：起点相同，适用于不共线向量的求和。（3）运算律

交换律：+ = +

结合律：（+）+ = +（+）

4、作业：P91，A组

1、

2、。

向量说课稿14

1、教材与学情分析

“平面向量的应用”这节教材在二期课改课本第10章最后一节10.6，属于拓展内容。教材选取5个例题说明向量作为工具在数学、物理中的广泛应用性，其中例1和例2说明向量在平面几何中的应用，例3（柯西不等式的证明）说明向量在代数中的应用，例4和例5说明向量在力学中的应用。已学完“力学”的高二学生对向量在力学中的应用并不陌生，联想向量相等、平行向量的关系、垂直向量的关系等解决平面几何问题让学生感到也较自然，因为这是形——形的转化、很直观，而且涉及的向量知识也较容易，学生掌握得也好。而联想向量模的意义、“两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系”、“数量积的平方小于或等于模的平方的积”、将“向量加法的多边形法则”转化为“有关坐标的等式”等解决函数最值、不等式和等式证明、三角求值等问题让学生感到比较困难，其原因之一是以上的知识掌握和理解有一定的难度，二是联想构造“数——形——数”转化的要求高、综合性强、较抽象，三是教学中能力培养不到位，因此在“平面向量在代数中的应用”的教学中能力培养是关键。

本课是在学生已经学习“向量在平面几何中的应用”基础上，学习“向量在代数中的应用”。围绕以上向量的概念和运算性质的应用精心问题，引导学生观察、分析表达式的特征，联想向量知识，通过构造向量将已知条件或结论转化为向量表达、进行向量运算或向量性质的应用将所得的结果转化为所求结论的过程，学生会对数学思想方法中的“数形结合”、“转化”等有更深刻的理解；通过变式教学、特殊与一般的研究，感受数学发现的乐趣；通过错误辨析、一题多解、一题多变的探究，夯实学生基础，达到深刻理解向量的概念，熟练掌握向量的运

算和性质的目的，因而本节课的教学有助于学生能力的提高。

本课的教学对象为松江二中高二学生，他们已较好地理解了向量的概念，比较熟练地掌握向量的运算和性质，并能进行简单应用，有“数形结合”的应用意识，善于思考和发现，有较高的认知水平。因此，有可能也有必要引导他们进行问题探究。关于“数形结合”的思想应用，来源于两个方面，一是已体会到向量本身就是一个数形结合的产物，它兼具代数的抽象、严谨和几何的直观特点，二是通过基本函数的图象与性质的学习，体会到应用“数形结合”研究函数性质、解决函数的零点、方程和不等式的解等问题。正如美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并能创造性思索问题的解法”。所以本节课以“向量在代数中的应用”为载体，进一步让学生体验“数形结合”、“转化”的思想应用为目标，培养学生的探究精神为归宿，促进学生思维能力的提高。

2、教学目标

2．1学生通过问题探究，深刻理解向量的概念，熟练掌握向量的运算和性质，并能着意联想恰当应用，解决有关代数问题；

2．2学生通过一题多解、一题多变的研究，揭示向量在代数问题中的应用本质，体验数形结合思想及特殊与一般关系的应用，感受数学发现的乐趣，培养学生的创新意识。

3、教学重点、难点、注意点

本课重点是加深向量概念、向量的运算和性质的理解，并应用数形结合与转化思想解决有关代数问题；难点是如何数形转化和有关向量模的不等式等号成立的本质理解；注意点要求学生规范表达数形结合解题的步骤。

重点突破：以问题为出发点，观察、分析、展开联想，实践探索，展示学生在讨论、回答过程中的思维活动，体会问题本质。难点突破：复习回顾有关“向量实数化”的特征，如模、数量积、坐标的表示等，通过问题衔接设计，铺垫暗示，一题多解、一题多变、错题辨析、几何画板的应用等达到突破难点目的。

4、教学方法与教学手段

4．1充分体现“以学生为主体，教师为主导”的原则

注重问题设计，体现教师的导向功能，展示学生是展开联想的主体；

重视实践探索，体现教师的导律功能，展示学生是揭示规律的主体

应用媒体实验，体现教师的导标功能，展示学生是体验演示的主体

4．2采取教师指导下的学生实践、探索的模式，把问题作为教学的出发点，指导尝试，总结反思。

4．3 powerpoint、几何画板、多媒体系统

5、课堂设计

5．1新课引入

（1）用PPT在屏幕上显示华罗庚的相片和华罗庚关于“数形结合”的至理名言“数缺形时少直观形离数时难入微”的话，让学生体验数形结合是数学中非常重要的思想和解决问题的常用策略，以数学家的语言激发同学进一步学好数学的愿望；

（2）向量本身就是一个数形结合的产物，它兼具代数的抽象、严谨和几何的直观特点，引导学生回顾有关“向量实数化”的特征，如模、数量积、坐标的表示等，期望能进一步说出有关的不等式和等式，如模的意义、“两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系”、“数量积的平方小于或等于模的平方的积”、将“向量加法的多边形法则”转化为“有关坐标的等式”……

（3）提出课题，在学习“向量在平面几何中的应用”基础上，学习“向量在代数中的应用”。

5．2问题探究

出示问题1。设a、b为不相等的实数，要求学生自主探索、相互讨论。

预计：学生思路分下列三种类型：

（1）有根号想到两次平方分析；

（2）由根号内的现性特征，联想向量的模概念，构造向量，将结论转化为向量表达式，从而揭示“两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系”本质；

（3）由根号内的现性特征，联想两点间距离公式，构造点坐标，将结论转化为平面上三点间距离的不等关系，从而揭示“两线段长度之和（差）大于或等于（小于或等于）第三线段的长”本质。

分析：学生讨论三种方法的异同点，期望说出（1）是处理绝对值和根号的一般代数方法；而（2）（3）都是应用数形转化解决，体现本问题的特殊性，且强调（2）（3）两种方法解题原理相同……

总结用向量解决代数问题的步骤：

（1）构造向量，将已知条件或结论转化为向量表达式（数————形）；

（2）进行向量运算或向量性质的应用；

（3）将所得的结果转化为所求的结论（形————数）。

老师板书示范后，引导学生讨论，条件不变的前提下，由于构造向量或向量性质应用的差异，会得到不同的结论，期望同学一题多变……

注意：“两向量和与差的模与向量模的和与差的不等关系”等号成立的条件，为下面突破难点作好铺垫。

练一练

求函数的最小值。

由学生的错误答案13，引导学生寻找错误原因，并通过几何画板演示最小值取得的条件。强调最值的验证，揭示数学问题的实质，突破难点。

引导：当看到

出示问题2，即课本P50例3，让学生讨论总结“数量积的平方小于或等于模的平方的积”的应用，就证明了柯西不等式，此时预计学生比较活跃，课堂进入高潮……

变式

并指出等号成立的充要条件。

预计：许多学生已观察出仍然是“数量积的平方小于或等于模的平方的积”的应用，揭示数学本质本质，体会柯西不等式所反映实数关系的奇妙性，感受一般与特殊关系。

注意：“数量积的平方小于或等于模的平方的积”中等号成立的条件，为下面练习铺垫，。

练一练

预计：学生使用计算器，很快发现值为0……

教师因势利导：你能不用计数器解决吗？观察角构成的等差数列的代数特征，公差为72，项数为5，如果构造五个单位向量且顺次连接，那么将会得到什么图形？学生动手实验画图、几何画板演示，学生观察、体验。

°

预计：学生回答正五边形，并很快解释值为0的理由，将五个单位向量的起点放在原点处，终点连接，也构成正五边形，原点为其中心，由力学知识所知，五个单位向量的和为零向量。

教师给予表扬，强调同学有很好的直觉思维，因为一个真理的发现很重要，而证明只是一个时间问题。正如大数学家、物理学家牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”并鼓励他完成逻辑证明。

教师点拨：既然构造五个单位向量能组成正五边形，那么对于多边形有怎样的向量运算性质呢？

学生：此时五个单位向量的和为零向量的结论有了依据，学生兴奋不已，而且得到了一个“副产品”，这五个角的正弦和也为0。

由此引导学生自我编题，体验一类三角求值的本质特点，从而进行一般研究。

推广：

5、3课堂总结，

（1）深化理解向量概念，熟练掌握向量的运算和性质。掌握平面向量在代数中应用的解题步骤。

（2）善于抽象概括，从而做到触类旁通；研究问题的数学特征（代数意义、几何意义），善于联想，使数量关系与几何形式有机结合。

（3）通过问题探究，应注重逻辑思维和直觉思维的有机渗透，因为直觉思维是创造性思维活动的一种表现。

5、4注意

向量是解决数学问题的一个工具，当然如果不用向量，也可以解决有关问题。

但是如果由代数特征，联想向量的概念和运算，巧设向量解题，那么可以简化问题解决，也可以加强数形结合思想的应用。

5、5作业（为进一步巩固本课所学知识和方法，完成下列作业，因课上时间）

5、6板书

投影和黑板（在代数中应用向量的运算性质解题的工具和问题1的解题过程及问题2、3的简要过程一直留在黑板上，其它都通过投影显示。）

向量说课稿15

一、教材简析

1．教材的地位和作用：《实数与向量的积》这一章在高中阶段有着很重要的作用。有广泛的实际应用，在整个中学数学里起着承前启后的作用。并且是培养学生数学能力的良好题材。实数与向量的积是向量的重要组成部分，在前面学习了向量的加法和减法，掌握好实数与向量的积这一运算的关键在于明确这一运算的结果仍然是向量，要按大小和方向两个要素去理解及应用。

向量共线充要条件实际上是由实数与向量的积的定义得到的，利用它常可以解决三点共线和两直线平行等问题。能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.

同时，这节课的教学过程对进一步培养学生观察、分析、类比、化归的思想和归纳问题的能力具有重要意义。

2．教材的处理：结合教参与学生的学习能力，我将《实数与向量的积》安排了2节课。本节课是第一课时。因为在前面学习了向量的加法和减法。为了进一步体现化归思想在高中数学中的运用，我在这节课中也着重体现了化归思想的运用。

3、教学重点与难点：根据学生现状、及教学要求我确立本节课的教学重点为：理解实数与向量的积的定义及其运用。

本节课的难点定为：对向量共线的充要条件的理解

要突破这个难点，关键在于紧扣定义，讲清向量平行与直线平行的区别。

4、教学目标的分析

根据教学要求，教材的地位和作用，以及学生现有的知识水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为三个方面：

(1)知识教学目标：

使学生在掌握实数与向量的积的定义、运算律的基础上，理解向量共线的充要条件，并能用来解决一些实际问题。

(2)能力训练目标：

培养学生运用类比化归的方法去发现并解决问题的能力。使学生认识到化归思想在数学中的重要性。

(3)德育渗透目标：

使学生认识到事物之间的相互联系和辨证统一；增强学生的应用意识；提高学生的数学素质

二、教法与学法分析

现代教学论指出：“教学是师生的多边活动，在教师的‘反馈——控制’的同时，每个学生也都在进行着微观的‘反馈——控制’。”由于任何教学都必须通过学生自身的学习建构活动才有成效，故本节课采用“发现式教学法、类比分析法”来组织课堂教学。这堂课用化归的方法运用向量共线的充要条件是一种较好的学法。 在这节课中涉及到了数学中的一种思想方法，即类比思想。数学思想方法是数学的精髓，它蕴含于数学知识发生、发展和应用的过程中，正确地运用数学思想方法，能把数学知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力，体现数学学科的特点，形成良好的数学素养。

我在讲解这部分知识时注意引导学生要充分认识到数学中的类比思想，并引导学生进行类比，充分体会到类比思想的精髓。

三、教学过程

第1环节、引入新课：实数与向量的积的定义

第2环节、知识运用：实数与向量的积的运算律。

第3环节、升华提高：理解并证明向量共线定理。

第4环节、性质的运用。我针对向量共线定理设计了两个例题，从正反两个方面体现了定理的实际运用，符合学生的认知过程。在讲解这些例题时着重体现向量共线充要条件的运用。在性质的运用过程中要特别强调向量平行与直线平行的区别。在例题后我还预留了习题时间，用以巩固本节课所学。

第5环节、小结：

第6环节、布置作业：

第五篇：向量解题技巧

一、怎么样求解向量的有关概念问题

掌握并理解向量的基本概念 １.判断下列各命题是否正确

(1)若ab,bc,则ac；

(2)两向量a、b相等的充要条件是ab且a、b共线； (3)ab是向量ab的必要不充分条件；

(1)若A、B、C、D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； (2)ABCD的充要条件是A与C重合，B与D重合。

二、向量运算及数乘运算的求解方法

两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差

是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a与b不共线，则ab与ab是以a与b为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABOBOA(x2,y2)(x1,y1)(x2x1,y2y1)。

例1 若向量a(3,2),b(0,1),则2ba的坐标是_______ 例2 若向量a(1,1),b(1,1),c(1,2)则c____

13133131A.ab　B.ab　C.ab　D.ab

22222222例3 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OCOAOB，其中,R且1，则点C的轨迹为（）A.3x2y110 B.(x1)2(y2)20

C.2xy0 D.x2y50ABACOPOA()，[0,)，则P的轨迹一定过ABC的（）

ABAC例4 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

例5 设G是ABC内的一点，试证明:

(1)若G是为ABC重心，则GAGBBC0；

(2)若GAGBBC0，则G是为ABC重心。三、三点共线问题的证法 证明A,B,C三点共线，由共线定理(AB与AC共线)，只需证明存在实数，使ABAC，其中必须有公共点。

共线的坐标表示的充要条件，若a(x1,y1),b(x2,y2)，则

a//babx1y2x2y10(x1y2x2y1)

例1 已知A、B两点，P为一动点，且OPOAtAB，其中t为一变量。

证明：1.P必在直线AB上；2.t取何值时，P为A点、B点？

例2 证明：始点在同一点的向量a、b、3a2b的终点在同一直线上 ababab 例3 对于非零向量a、b,求证：

四、求解平行问题

两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关，只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。

例1 已知M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y)且MN//PQ，求y的值。

AB213,则B点的坐标是____.例2 已知点A(1,2)，若向量AB与a(2,3)同向，例3平面内给定三向量a(3,2),b(1,2),c(4,1)，则： (1)求3ab2c;

(2)求满足ambnc的实数m、n

(3)若(akb)//(2ba),求实数k;

(4)设d(x,y)满足(dc)//(ab)且dc1,求d.例4

(1)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6)，求AC与DB的交点，P的坐标。

(2)若平行四边形ABCD的顶点A(1,2),B(3,1),C(5,6),求顶点D的坐标。

五、向量的数量积的求法

定义法：ababcos

求数量积：坐标法：abx1x2y1y2当a//b时，0和180两种可能。故abab

2222222一些重要的结论：aaaa；(ab)a2abb；(ab)(ab)ab

例1 设a,b,c是任意的非零的向量，且相互不共线，则（）

①(ab)c(ca)b0;②abab;2 2③(bc)a(ac）b不与c垂直④(3a2b)(3a2b)9a4b其中是真命题的为（）A.①② B.②③ C.③④ D.②④

例2 已知平面上三点A、B、C，满足AB3,BC4,CA5,则ABBCBCCACAAB的值等于________。

.例3 已知向量a和b的夹角为120，且a2,b5,则(2ab)a______

六、如何求向量的长度

形如ab的模长求法：先平方转化为含数量积运算开方，即：

22222 aba2abb

例1 已知向量a,b,ab4,a与b的夹角为60,则ab____,ab____,其中

ab与a方向的夹角为_____,ab与a方向夹角为______.例2 设向量a,b满足ab1,3a2b3,求3ab的值。

七、如何求两向量的夹角

abcos 夹角公式：abx1x2y1y222x12y12x2y2

1例1 已知a10,b12,且(3a)(b)36,求a,b的夹角_____.5例2 若e1与e2是夹角为60的单位向量，且a2e1e2,b3e12e2,求ab及a与b的夹角。

八、垂直问题的求解

向量垂直的充要条件：abab0x1x2y1y20

例1若向量a,b满足abab,则a与b所成的角。

例2在ABC中AB(2,3),AC(1,k),且ABC的一个内角为直角，求k的值。

3a2b与ab垂直，求 例3已知ab,a2,b3.且。例4已知O(0,0),A(0,5),B(6,3),ADOB于点D,求D点的坐标。

九、向量的数量积的逆向应用

求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。

例1已知a(4,3),b1,且ab5,则b?

例2求与向量a(3,1)和b(1,3)的夹角相等，且模长为２的向量c的坐标

180，且b35,则b()例3若平面向量b与向量a(1,2)的夹角是B.(3,6)C.(6,3)D.(6,3)

A.(3,6).例4已知向量b与向量a(3,4)垂直，且b15,则b_______

十、线段定比分点公式的运用技巧

求解定比分点问题，要注意结合图形，分清是内分点是外分点，不能混淆起点和终点，x定比分点坐标公式：yx重心坐标公式：yx1x2x1x2x1中点坐标公式：2，y1y2yy2y112x1x2x33 y1y2y333例1设点P分有向线段P，则P1分P2P所成的比为________。1P2所成的比为

4例2已知两点P(4,9),Q(2,3),则PQ与y轴的交点分有向线段PQ所成的比为___.

十一、利用平移公式解题

点A(x,y)按向量a(h,k)平移，得到点向量(xh,yk)，而函数yf(x)的图像按 a(h,k)平移得到的函数的解析式为yf(xh)k，解题时要注意理解图像平移前后的关系。例1已知两个点P(1,2),P'(2,14),向量a(3,12),则：(1)把P按向量a平移得_______.(2)某点按a,得到P'，求这个点坐标。

(3)P按某向量平移得到P',求这个向量坐标。

例2将函数ylog3(2x1)4的图像按向量a平移后得到的是函数ylog3(2x)的图像，那么

a的坐标是_______.4

例3将函数y2sin2x的图像按向量得y2sin(2xa平移，是（）

3)1的图像，则向量a的坐标A.(,1)B.(,1)C(,1)D(,1)

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十二、怎样利用正、余弦定理求三角形的边与角

主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角变换，诱导公式。abc2R；a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC sinAsinBsinC111 三角形面积公式：SABCabsinCbcsinAacsinB。

22正弦定理：

b2c2a2

余弦定理：abc2bccosA;cosA

2bc222下面关系式需熟记：在ABC中

sin(AB)sinC cos(AB)cosC sin(ABCAB)cos cos()sinC 222例1 在ABC中，sinA:sinB:sinC2:3:4,则ABC?

例2 已知ABC中的最大角A是最小角C的二倍，且a、b、c成等差数列，则a:b:c____ 例3 已知a、b、c是ABC中A,B,C的对边，a、b、c成等差数列，B30，ABC的面积为3，那么b_____。2例4在RtABC中，C2,ab6c,求A－B的值。2

十三、如何判定三角形的形状

原则上是将角化成边或将边化成角，主要工具是正余弦定理和三角恒等变形及代数变形。

注意：做等式变形过程中因式不可直接约分！

例1 在ABC中，若2cosBsinAsinC,则ABC的形状一定是（）

B形.直角三角 形C.等腰三角 形D.等边三角形

A.等腰直角三角

例2 关于x的方程xxcosAcosBcos2c0有一根为1，则ABC的形状一定是（）2形B.直角三角 形C.锐角三角 形D.钝角三角形

A.等腰三角

例3 在ABC中，atanBbtanA,则ABC是（）22

形B.等腰直角三角 C形.直角三角 形D.等腰或直角三角

A.等腰三角 形 6