一元二次方程的应用(利润问题)导学案

第一篇：一元二次方程的应用(利润问题)导学案

一元二次方程的应用（利润问题）导学案

学习目标：

1、会根据题意找出利润问题中蕴涵的基本等量关系，并能根据等量关系列出一元二次方程。

2、在用一元二次方程解决实际问题的过程中，进一步渗透方程的模型思想及利用方程解决问题的方法。

3、在小组合作学习中，培养积极思考，团结合作精神，培养学生团结合作的意识。学习重点:列一元二次方程解利润问题应用题。

学习难点:发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题。

学法指导: 课堂上通过独立思考及小组合作,得到利润问题的解决方法,通过几种不同方法的比较,找到最简单的方法和最常用的方法,独立完成导学案.一．知识链接:

一个喜洋洋笔袋进价10元，售价15元，可得利润元（列式表示）（1）若涨价2元，则售价元，利润元（列式表示）。（2）若涨价x元，则售价元，利润元（列式表示）。（3）若降价x元，则售价元，利润元（列式表示）。总结：每件商品的利润=－_________ 二.探索新知：

某种品牌的拍球原来每天可销售100个，后来进行价格调整。

1、市场调查发现，该商品每降价1元，商场平均每天可多销售2个。

（1）如果降价2元，则多卖个，每天销售量为个（2）如果降价x元，则多卖个，每天销售量为个总结: 降价后商品的销售量=________________________________________

2、市场调查发现，该商品每涨价3元，商场平均每天可少销售5个。以下全部列式表示

（1）如果涨价6元，则少卖个，每天销售量为个（2）如果涨价9元，则少卖个，每天销售量为个（3）如果涨价x元，则少卖个，每天销售量为个 总结：涨价后商品的销售量=__________________总利润=__________________________________________

三、典例精析：

例

2、新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元。市场调研表明：当售价2900元时，平均每天能售出8台；而当售价每降低50元时，平均每天能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

四.课堂练习

1、某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。设应涨价x元才能实现平均每月10000元的销售利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A．(40－30)(600－10x)＝10000B.(40＋x－30)(600－x)＝10000 C.(40＋x－30)(600＋10x)＝10000D.(40＋x－30)(600－10x)＝10000

2.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，为了尽快减少库存,老板决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若要平均每天获利2240元，每千克核桃应降价多少元？

拓展延伸：

※ 1.某种文化衫平均每天可销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天多售10件，如果每天要盈利1350元，每件应降价多少元？

※2.某经销单位将进货单价为40元的商品按50元售出时一个月能卖出500个。已知这种商品每涨价1元，其销量就减少10个。为了赚得8000元的利润，销量又不超过300个，售价应定为多少？这时应进货多少个？

五.课堂总结：

学习了这节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑? 六.目标检测：

某种进货价126元的服装以170元售出,平均每天可销售20件,若每件降价1元,则每天可多销售5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元?作业:

1.必做题:

某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张。商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？

2.选做题:

便民商场有一批进货价为12元的商品A，当定价为20元时，每天 可售出240个，根据市场调查发现，在定价20元的基础上，该商品（1）单价每涨1元，则每天少售出20个；（2）单价每降1元，则每天多售出40个，为了使商品每天获得利润1920元，并让利给消费者，定价多少元时较为合理？

第二篇：一元二次方程 导学案

一元二次方程

【学习目标】

1.理解一元二次方程及其有关概念；

2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数，一次项系数及常数项；

3.了解根的意义．

【前置学习】

一、基础回顾：

1.多项式是

次

项式，其中最高次项是，二次项系数为，一次项系数为，常数项为

．

2.叫方程，我们学过的方程类型有

．

3.解下列方程或方程组：①

②

③

二、问题引领：

方程是以往学过的吗？通过本节课的学习你将认识这种新的方程．

三、自主学习（自主探究）：

请你认真阅读课本引言及内容，边学边思考下列问题：

1.方程①②③有什么共同特点？

2.一元二次方程的定义：等号两边都是，只含有

个未知数（一元），并且未知数的最高次数是

（二次）的方程，叫做一元二次方程．

3.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中

是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项．

4.下面哪些数是方程的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．

5.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的，即：使一元二次方程等号左右两边相等的的值．

四、疑难摘要：

【学习探究】

一、合作交流，解决困惑：

1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决．）

2.班级展示与教师点拨：

【点拨】

①方程ax2＋bx＋c＝0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a＝0，b≠0时就是

方程了．所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件．

②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号．

展示1：课本第3页例题．

展示2：下列方程是一元二次方程的是有

：

（1）；

（2）（x＋1）（x－1）＝0；

（3）；

（4）；（5）；

（6）．

展示3：课本第4页练习第1题．

展示4：课本第4页练习第2题．

二、反思与总结：本节课你学会了什么？你有哪些收获与体会？

【自我检测】

1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A.B.C.D.2.一元二次方程化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：

．

3.关于x的方程，当

时为一元一次方程；当

时为一元二次方程．

4.判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：

（1）

（－7，－6，－5，5，6，7）

（2）

【应用拓展】

5.如果x＝1是方程ax2＋bx＋3＝0的一个根，求（a－b）2＋4ab的值．

6.如果2是方程的一个根，那么常数c是多少？求出这个方程的其它根．

第三篇：教学设计《一元二次方程的应用——利润问题》

一元二次方程的应用——利润问题

【教学设计】

八五二农场中学 刘颖

教学目标：

1.知识与技能目标

（1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法.（2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程.2.过程与方法目标

通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。

3.情感态度与价值观目标

使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活.教学重点：

列一元二次方程解利润问题应用题.教学难点：

发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题.关键：建立一元二次方程的数学模型 教法：

创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新.学法：

自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新.教学过程：

一、复习回顾，引入新知

1、提问

1、以前我们学习了列几次方程解应用题？ ①列一元一次方程解应用题； ②列二元一次方程组解应用题； ③列分式方程解应用题

提问

2、列方程解应用题的基本步骤怎样 ①审（审题）；

②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系）；

③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）；

④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（列方程）； ⑥解（解方程）；

⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）.2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2004年的产量将是________．

3.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

二、探索新知

1、问题3分析：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，•则

x每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+×100）

0.1 解：设每张贺年卡应降价x元，则

100x（0.3-x）（500+）=120 解得：x=0.1

0.1 答：每张贺年卡应降价0.1元．

2、例2：2010年4月30日，龙泉山旅游度假区正式对外开放后，经过试验发现每天的门票收益与门票价格成一定关系.门票为40元/人时，平均每天来的人数380人，当门票每增加1元，平均每天就减少2人。要使每天的门票收入达到24000元，门票的价格应定多少元？

教师活动：组织学生讨论：

（1）指导学生理解问题，着重理解门票每增加一元，平均每天就减少2人的含义.（2）引导学生设什么为x才好？设门票增加了x元.（3）指导学生用x表示其他相关量.增加后的门票价格为（40+x)元，平均每天来的人数为（380-2x)人.（4）指导学生列方程、解方程，并进行检验.并请每位同学自己进行检验两根发现什么？

（x+40）(380-2x)=24000, 解得x1=40,x2=110.经经验，x1=40,x2=110都是方程的解，且符合题意.答：门票的价格定为80元或150元时，每天的门票收入都能达到24000元.学生活动：合作交流，讨论解答。【设计意图】

使学生充分体会变化率问题的数量关系，掌握两种及以上对象的变化的解题方法，进一步提升学生对这类问题的解题能力。

三、拓展训练

某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．

（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]

10000（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过=250kg，在这个提

40前下，•求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．

解：（1）销售量 500-5×10=450（kg）；销售利润 450×（55-40）=450×15=6750元

（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000 解得：x1=80，x2=60 当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．

当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．

四、小结

通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？本节课应掌握什么？

五、作业：教材P53，第7题．

第四篇：一元二次方程导学案

一元二次方程----导学案

姓名

一、学习目标了解一元二次方程的有关概念。能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。

二、重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分

解法解一元二次方程。

难点：

1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用

它解决有关问题。

三、课前准备

（一）梳理知识点

1．方程中只含有未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________()其中二次项系数是、一次项系数是、常数项。

例如： 一元二次方程7x－3=2x2化成一般形式是____________，其中二次项系数是、一次项系数是常数项是。

2．解一元二次方程的一般解法有

（1）_________________（2）

（3）（4）求根公式法，求根公式是_____________________

3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是，当时，它有两个不相等的实数根；

当时，它有两个相等的实数根；

当时，它没有实数根。

4.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则

x1+x2=；x1 ·x2=.（二）解答下列问题

1.下列关于x的方程：

35,(3)x22x30,(4)x2y21x

其中是一元二次方程的有（）

A.4个B.3个C.2个

D.1个

2.选择适当的方法解下列方程：

（1）2（x-1)2=32（2）-3x2+4x=

2（3）2x2+8x+6=0（4）3x2-7x-20=0

(1)2x2x30,(2)x2

3.不解方程，判别方程3x2+2x-9=0根的情况.变式训练：己知关于x方程：ax22x90，试讨论根的情况。

4.方程2x2+3x —2=0的两个根分别为x1，x2 则x1+x2=；

x1·x2=.四、课堂活动

（一）构建知识网络

（二）交流课前练习

（三）变式训练

1.关于x 的方程mx2－3x=x2－mx+2 有解的条件是。

2.已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，则 m =。

3.解下列方程:

(1)2x2＋x+6＝0；(2)5x2－4x－12＝0；

(3)4x2＋4x＋10＝1－8x（4）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.5.(*)x1，x2是方程x2+5x —7= 0的两根，在不解方程的情况下，求下列代数式的值

(1)x13 +x23(2)︱x1-x2︱

课堂检测

1、解方程（1）4x2+8x-5=0;(2)3x2-5x-28=02、关于x的方程mx2-4x+2=0有实数根，求m的取值范围.3、x1，x2是方程x2+3x—1=0的两根，在不解方程的情况下，求下

列代数式的值

11（1）x12+x22(2（3）（x1—3）（x2—3）x1x2

第五篇：一元二次方程应用2010

1、（2009烟台市）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

2、(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？

3、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.（2）增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量达到60400个?

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请售答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过1000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

5、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

6、（2009年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。

（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2

间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。

（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式。

7、（2009年甘肃庆阳）（8分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？

（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？

8、(2009年湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？

（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.9.建造一个面积是140平方米的仓库，要求其一边靠墙，墙长16米，在与墙平行的一边开一道２米宽的门。现人32米长的材料来建仓库，求这个仓库的长是多少米？

10、如图在△ABC中，∠B是直角，AB=6厘米，BC=12厘米。点P从A点开始，沿AB方向以每秒1厘米的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC方向以每秒厘米移动。问几秒时△PBQ的面积等于8平方厘米？

11．（2009年甘肃庆阳）若关于x的方程x2

2xk10的一个根是0，则k．

12.、（2009威海）若关于x的一元二次方程x2

(k3)xk0的一个根是2，则另一个根是______．、（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价P 13由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．