一元二次方程的应用教学案(一)（优秀范文五篇）

第一篇：一元二次方程的应用教学案(一)

一元二次方程的应用教学案

（一）一、素质教育目标

（－）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题．

（二）能力训练点：通过列方程解应用问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力．

（三）德育渗透点：通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性．

二、教学重点、难点

1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题．

2．教学难点：根据数与数字关系找等量关系．

三、教学步骤

（一）明确目标

初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用——有关数字方面的问题．

（二）整体感知：

本小节是“一元一次方程的应用”的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术方法来解的，所以，讲解本小节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性与必要性．

从列方程解应用题的方法来说，列出的一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意、作出正确的答案．列出一元二次方程解应用问题，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在；其数量关系也比可以用一元一次方程解决的问题复杂的多．

通过本节课的学习，渗透设未知数、列方程的代数方法，领略知识从实践中来到实践中去．

例1是已知两个连续奇数求这两个数的问题，讲清这个问题的关键是搞清楚“两连续奇数”的意义，能用代数式分别表示出两个连续奇数，问题就可以解决，启发学生用不同的方法去解，并加以对比，从而开拓思路．

（三）重点、难点的学习和目标完成过程 1．复习提问

（1）列方程解应用问题的步骤？

①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答．（2）两个连续奇数的表示方法是，2n+1，2n-1；2n-1，2n-3；„„（n表示整数）．

2．例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数．

分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）

．设较小的奇数为x，则另一奇数为x+2，设较小的奇数为x-1，则另一奇数为x+1； 2x-1，则另一个奇数2x+1．

设较小的奇数为以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法．

解法

（一）设较小奇数为x，另一个为x+2，据题意，得x（x+2）=323． 整理后，得x2+2x-323=0． 解这个方程，得x1=17，x2=-19．

由x=17得x+2=19，由x=-19得x+2=-17，答：这两个奇数是17，19或者-19，-17． 解法

（二）设较小的奇数为x-1，则较大的奇数为x+1． 据题意，得（x-1）（x+1）=323． 整理后，得x2=324．

解这个方程，得x1=18，x2=-18． 当x=18时，18-1=17，18+1=19． 当x=-18时，-18-1=-19，-18+1=-17． 答：两个奇数分别为17，19；或者-19，-17． 解法

（三）设较小的奇数为2x-1，则另一个奇数为2x+1． 据题意，得（2x-1）（2x+1）=323． 整理后，得4x2= 324． 解得，2x=18，或2x=-18．

当2x=18时，2x-1=18-1=17；2x+1=18+1=19． 当2x=-18时，2x-1=-18-1=-19；2x+1=-18+1=-17 答：两个奇数分别为17，19；-19，-17． 引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：

1．三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？

2．解题中的x出现了负值，为什么不舍去？

答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数．3．选出三种方法中最简单的一种．

练习

1．两个连续整数的积是210，求这两个数． 2．三个连续奇数的和是321，求这三个数． 3．已知两个数的和是12，积为23，求这两个数．

学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法．例2 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数．

分析：数与数字的关系是： 两位数=十位数字×10+个位数字．

三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字．

解：设个位数字为x，则十位数字为x-2，这个两位数是10（x-2）+x．

据题意，得10（x-2）+x=3x（x-2），整理，得3x2-17x+20=0，当x=4时，x-2=2，10（x-2）+x=24． 答：这个两位数是24．

以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价． 注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验．

练习1 有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．（35，53）

2．一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数．

教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会．

（四）总结，扩展

1．列一元二次方程解应用题，步骤与以前列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件．方程的解必须进行实际题意的检验．

2．奇数的表示方法为 2n+1，2n-1，„„（n为整数）偶数的表示方法是2n（n是整数），连续奇数（偶数）中，较大的与较小的差为2，偶数、奇数可以是正数，也可以是负数．

数与数字的关系

两位数=（十位数字×10）+个位数字．

三位数=（百位数字×100）+（十位数字×10）+个位数字． „„ 3．通过本节课内容的比较、鉴别、分析、综合，进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．

四、布置作业 教材P.42中A1、2、五、板书设计

12.6 一元二次方程的应用

奇数、偶数的代数式表示：

2n+1，2n-1，„（n为整数）

2n（n为整数）数与数字的关系 两位数：„„

练习„

三位数：„„

六、作业参考答案 教材P.43中 A1 解：设一个数为x，另一个数为x+6，由题意，得x（x+6）=16． 整理，得x2+6x-16=0，（x+8）（x-2）=0，解得x1=-8，x2=2． ∴ x1+6=-2，x2+6=8． 答：两个数是-2，-8或8，2．

练习„

例1„„

例2„„

解：略

解：略 教材P.43中A2 解： 设个位数字是x，十位数字为：x-3，由题意可得10（x-3）+x=x2，整理，得x2-11x+30=0，解得x1=5，x2=6，x1-3=2，x2-3=3．从而两位数可以是25或36． 答：这个两位数是25或36． 教材P.43中A3 解：设三个连续整数分别为x-1，x，x+1，由题意可得：x（x-1）+（x-1）（x+1）+x（x+1）=362，整理，得3x2-1=362，解得x1=11，x2=-11，x1-1=10，x1+1=12；x2-1=-12，x2+1=-10． 答：各数为10，11，12或-12，-11，-10．

第二篇：一元二次方程 导学案

一元二次方程

【学习目标】

1.理解一元二次方程及其有关概念；

2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数，一次项系数及常数项；

3.了解根的意义．

【前置学习】

一、基础回顾：

1.多项式是

次

项式，其中最高次项是，二次项系数为，一次项系数为，常数项为

．

2.叫方程，我们学过的方程类型有

．

3.解下列方程或方程组：①

②

③

二、问题引领：

方程是以往学过的吗？通过本节课的学习你将认识这种新的方程．

三、自主学习（自主探究）：

请你认真阅读课本引言及内容，边学边思考下列问题：

1.方程①②③有什么共同特点？

2.一元二次方程的定义：等号两边都是，只含有

个未知数（一元），并且未知数的最高次数是

（二次）的方程，叫做一元二次方程．

3.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中

是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项．

4.下面哪些数是方程的根？

－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．

5.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的，即：使一元二次方程等号左右两边相等的的值．

四、疑难摘要：

【学习探究】

一、合作交流，解决困惑：

1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决．）

2.班级展示与教师点拨：

【点拨】

①方程ax2＋bx＋c＝0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a＝0，b≠0时就是

方程了．所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件．

②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号．

展示1：课本第3页例题．

展示2：下列方程是一元二次方程的是有

：

（1）；

（2）（x＋1）（x－1）＝0；

（3）；

（4）；（5）；

（6）．

展示3：课本第4页练习第1题．

展示4：课本第4页练习第2题．

二、反思与总结：本节课你学会了什么？你有哪些收获与体会？

【自我检测】

1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A.B.C.D.2.一元二次方程化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：

．

3.关于x的方程，当

时为一元一次方程；当

时为一元二次方程．

4.判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：

（1）

（－7，－6，－5，5，6，7）

（2）

【应用拓展】

5.如果x＝1是方程ax2＋bx＋3＝0的一个根，求（a－b）2＋4ab的值．

6.如果2是方程的一个根，那么常数c是多少？求出这个方程的其它根．

第三篇：《一元二次方程》复习学案

第17章

一元二次方程

单元复习

学习目标：

1、进一步理解一元二次方程的意义。

2、熟练掌握一元二次方程的解法，会根据一元二次方程的特点灵活地选择解法。

3、理解并掌握一元二次方程知识在数学中和生活中的应用，养成建立数学模型解决实际问题的思想方法。

4、培养和提高分析问题、解决问题的能力。体会数学的价值。学习过程：

一、阅读教材试编写知识结构图，并与教材知识点作比较。

二、梳理本章知识：

1、一元二次方程的定义及一般形式： 理解一元二次方程的定义须抓住哪三个要素？

一元二次方程的一般形式是什么？应注意什么？要确认一元二次方程的各项系数须注意些什么？

2、一元二次方程有哪四种解法？其中哪几种解法属特殊解法？哪属一般解法？

（1）直接开平方法：什么形式的方程可用直接开平方法求解？（2）因式分解法：

如果一元二次方程经过因式分解能化成（x＋a）（x＋b）＝０的形式，它就可以化为哪两个一元一次方程来求解？这种方法体现了怎样的数学思想？你能小结因式分解法的步骤吗？（3）配方法：

2通过配方把一元二次方程ａｘ2+ｂｘ+ｃ＝０变形为（ｘ+）＝的形式，再利用直接开平方法解之，这就是配方法。

请你小结配方法解一元二次方程的一般步骤：

① 移

②化

③ 配

④ 用直接开平方法解变形后的方程。（注 “将二项系数化为１”是配方的前提条件，配方是关键）

（4）公式法：（注意根的判别式与根的数量的关系）

你会写出求根公式吗？注意的条件是什么？你会推导这个“万能公式”吗？用公式法解一元二次方程的一般步骤：

/ 3

①化方程为一般形式，即

（ａ≠０）； ②确定ａ、ｂ、ｃ的值，并计算

的值（注意符号）； ③当ｂ2－4ａｃ≥０时，将ａ、ｂ、ｃ及ｂ2－4ａｃ的值代入求根公式，得出方程根：ｘ＝

；当ｂ2－4ａｃ

０时，原方程

实数解。

3、解一元二次方程的应用题基本步骤有：

（1）审

。（2）设

（3）列

（4）解方程。（5）检验，结果是否符合实际意义。

4、用适当的方法解下列一元二次方程。

1.x22x503.x216x406.0.09x20.21x0.102.(x4)2(2x1)204.2x23x60

5.x23a24ax（a为常数）7.(x4)2(x5)2(x3)2244x5、自我提高

（一）填空题：

（1）x2x

（2）4x2(x1()21)2)2

（3）x24x3(x

将多项式3x212x写成配方的形式：________________

（二）解下列方程：

（1－x）2=1

49x2－144=0

x2＋6x＋9=0

x（7－3x）=4x（40－2x）（28－2x）=448

2x2－3（x－3）2=6

（三）解答题：

1、已知：x24xy5y24y40，求yx；

/ 3

22、已知关于x的方程(m3)xm12(m1)x10

（1）m为何值时，它是一元一次方程。

（2）m为何值时，它是一元二次方程，并求出此方程的解；

（四）将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？

/ 3

第四篇：一元二次方程应用2010

1、（2009烟台市）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

2、(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？

3、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.（2）增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量达到60400个?

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请售答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过1000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

5、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

6、（2009年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。

（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2

间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。

（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式。

7、（2009年甘肃庆阳）（8分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？

（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？

8、(2009年湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？

（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.9.建造一个面积是140平方米的仓库，要求其一边靠墙，墙长16米，在与墙平行的一边开一道２米宽的门。现人32米长的材料来建仓库，求这个仓库的长是多少米？

10、如图在△ABC中，∠B是直角，AB=6厘米，BC=12厘米。点P从A点开始，沿AB方向以每秒1厘米的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC方向以每秒厘米移动。问几秒时△PBQ的面积等于8平方厘米？

11．（2009年甘肃庆阳）若关于x的方程x2

2xk10的一个根是0，则k．

12.、（2009威海）若关于x的一元二次方程x2

(k3)xk0的一个根是2，则另一个根是______．、（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价P 13由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．

第五篇：一元二次方程应用

一.增长率问题：例如经济增长率、人口增长率等。讨论的是两轮（即两个时间段）的平均变化率，设平均增长率为X，则有下列关系：变化前的数量×（1+X）2=变化后的数量。

1.向阳村2001年的人均收入是1200元，2003年的人均收入是1452元，求人均收入的年平均增长率。

2.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200千克，2003年平均每公顷产8450千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

3.某银行经过最近的两次降息，使一年期的存款利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？

4.某工厂第一季度的总产值是500万元，已知一月份的产值是150万元，二、三月份的平均增长率相同，求二、三月份的平均增长率。

二．握手、签合同、赠送礼物等问题：（1）1X(X-1)=a(2)X(X-1)=a。2

1.参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次，有多少人参加聚会？

2.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？

3.参加一次足球联赛的每两队都进行了两场比赛，共比赛90场，共有多少个队参加比赛？

4.元旦同学之间相互赠送贺卡，一共使用了150张贺卡，问有多少名同学参加此次活动？

三． 细胞分裂、信息传播、传染病扩散、树木分支等问题。

（1）1+X+X(1+X)=a,1+X+X2=a。

1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一人传染了几人？

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？

四．图形问题

1.一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相等，求这块台布的长和宽。

2.要为一幅长29厘米，宽22厘米的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应为多少？