利用平行四边形判断定理证明四边形为平行四边形讲义

第一篇：利用平行四边形判断定理证明四边形为平行四边形讲义

利用平行四边形判断定理证明四边形为平行四边形讲义

1、如图： DE是△ABC的中位线，F是BC边的中点，连接EF,求证：四边形AFED是平行四边形.证法一：（利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明）

证法三：（利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明）

证法四：（利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明）

证法五：（利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明，自己添加对角线）

C D A F E 证法二：（利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明）

第二篇：有关平行四边形的性质,定理的证明

第五课时有关平行四边形的性质，定理的证明

一． 本章节知识点

1、掌握平行四边形的性质定理“平行四边形的两组对边分别相等、平行四边形的对角线互相平分、平行四边形的对角相等”。

2、会应用平行四边形的上述定理解决简单几何问题。

3、通过探索平行四边形的性质，进一步发展学生的逻辑推理能力及条理的表达能力。

4、在以平行四边形为载体为证明线段（或角）相等的问题中，•通常证明这些线段（或角）

所在的四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质来证明，而不要仅仅停留在证三角形全等上．在学习时，应熟练掌握平行四边形的性质及判别方法，注意图形变换的一些特征，善于从折叠、旋转等几何变换中寻求已知条件．

二．典型例题

例 1.已知：如图，在中，那么OE、OF是否相等，说明理由．

交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，分析观察图形，证明：

在，∴

∴，∴，则________，ABCD的周长=______.中，交于O，∴，从而可说明例2.O是ABCD对角线的交点，的周长为59，若与的周长之差为15，则______，解答：ABCD中，.∴的周长

∴

.在ABCD中，的周长－

.∴的周长

∴

∴

ABCD的周长

与的周长的差转化为两条

说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将线段的差.例3.已知：如图，ABCD的周长是，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且

.求这个平行四边形的面积

.解答：设

.∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴

.①

又∵四边形ABCD的周长为36，∴∵

∴

∴

②

.，解由①，②组成的方程组，得∴

.说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.例4如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF．请你猜想：BE•与DF

有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．

解析猜想：BE∥DF，BE=DF．

证法一：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，∠1=∠2．又∵CE=AF，∴△BCE≌△DAF．∴BE=DF，∠3=∠4，∴BE∥DF．

证法二：如图2，连结BD，交AC于点O，连结DE，BF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，AO=CO．又∵AF=CE，∴AE=CF，∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE//DF． 三．习题演练

一、选择题

1．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）

Ａ．AD∥BC, AD=BCＢ.AB=DC,AD=BCＣ．AB∥DC,AD=BC

Ｄ．OA=OC,OD=OB

2．如图，在平行四边形ABCD中，AD5，AB3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）Ａ．2和

3Ｂ．3和

2Ｃ．4和

1Ｄ．1和

4E 第2 题图

3．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O

．下列结论中正确的个数有（）

结论：①OAOC，②BADBCD，③ACBD，④BADABC180． Ａ．1个

Ｂ．2个

Ｃ．3个

A第3题图

C

Ｄ．4个

4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0）（5，0）（2，3），则顶点C的坐标是（）Ａ．（3，7）

二、填空题

Ｂ．（5，3）

Ｃ．（7，3）

Ｄ．（8，2）

x

5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）．

6．在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=50,则∠A=_______, ∠D=_________。

7．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长为18cm，那么△AOD的周长为__________。8．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC12，BD10，ABm，那么m的取值范围是___________。

三．课后作业

AD

C

第5题图

C

A第7题图

9．如图：平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，MN过点O与AB、CD相交于M、N，你认为OM、ON有什么关系？为什么？

10．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于F，试说明BE=CF。

四．参考答案

一、选择题C、B、C、C

二、填空题5．答案不唯一，可以是：ABCD或AD∥BC等。6．130，507．16cm8．1m1

1三、解答题 9．解：OM=ON

证明：∵平行四边形ABCD

∴OB=OD , AB∥CD∴∠ABD=∠CDB

又∵∠BOM=∠DON ∴△BOM≌△DON∴OM=ON。

10．解：∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠DBC

∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC ∴∠ABD=∠EDB ∴BE=ED

∵DE∥BC，EF∥AC

∴四边形EFCD是平行四边形 ∴CF=ED ∴BE=CF。

第三篇：证明平行四边形

证明平行四边形

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。

求证：四边形ADFE是平行四边形。

设BC=a,则依题意可得：AB=2a,AC=√3a,等边△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD²+AF²)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四边形ADFE是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

21.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。

性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。(13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法

一、连接对角线或平移对角线。

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。编辑本段面积与周长

1、(1)平行四边形的面积公式：底×高(推导方法如图);如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah(2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sin@

2、平行四边形周长可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)底×1X高

第四篇：平行四边形证明

1、已知:如图BD是平行四边形ABCD的对角线，E、F在BD上，且BE=DF．求证:四边形AECF是平行四边形．

2、已知：如图，ABCD中，AC是对角线，AE=CF，AM=CN.求证：MFNE是平行四边形

.3、已知：如图，四边形ACED是平行四边形，B是EC延长线上一点，且BC=CE，求证：四边形ABCD是平形四边形．

4、已知：如图，平形四边形ABCD中，AC是对角线，E，F是AC上的点，且AE=CF，点M、N在AB、CD上，且AM=CN，求证：MFNE是平行四边形．

5、已知:如图DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC，求证:四边形ABCD是平行四边形．

6.在□ABCD中，点M、N在对角线AC上，且AM=CN，四边形BMDN是平行四边形吗？为什么？

7.如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且AE=AB，CF=CD，AF和CE的关系如何？说明理由

.121

28.如图，D、E是△ABC的边AB和AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？

9、.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由

.10.如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？

11、如图，BD是ABCD的对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，求证：四边形AECF为平行四边形.12、如图，在ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形吗？

14、已知如图：在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由.

第五篇：怎么证明平行四边形

怎么证明平行四边形

在平行四边形ABCD中，AE，CF，分别是∠DAB、∠BCD的平分线，E、F点分别在DC、AB上，求证：四边形AFCE是平行四边形

证明：∵四边形ABCD为平行四边形;

∴DC‖AB;

∴∠EAF=∠DEA

∵AE，CF，分别是∠DAB、∠BCD的平分线;

∴∠DAE=∠EAF;∠ECF=∠BCF;

∴∠EAF=∠CFB;

∴AE‖CF;

∵EC‖AF

∴四边形AFCE是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

21.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形