证明(三)平行四边形

第一篇：证明(三)平行四边形

山丹育才中学讲学稿

课 题3.1平行四边形（1）

班级姓名

教学目标

1．能够用综合法证明平行四边形的性质定理和其他相关的结论。2．灵活运用平行四边形的性质定理和其他相关的结论。教学重点、难点:

重点掌握平行四边形的性质定理和其他相关的结论。难点探索证明的思路和方法。教学过程

一、预习反馈 明确目标1．回顾平行四边形的性质定理； 2．回顾等腰梯形的性质； 3．等腰梯形的判定。

二、创设情境 自主探究1．证明平行四边形的性质： 定理：平行四边形的对边相等。

分析：命题的题设和结论是什么？如何借助于已有的知识来证明它？可以借助于三角形的全等来证明，通过添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形来证明。已知：。

求证：。

证明：

2.由上面的证明过程，你还能得到什么结论？ 定理：平行四边形的对角相等。

证明：

学生讨论，教师总结，得到平行四边形的性质2。

三、展示交流 点拨提高

1.例 证明：等腰梯形在同一底上的的两个角相等。

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC。求证：∠B=∠C,∠A=∠D。

提示：我们证明过“等腰三角形的两个底角相等”如果可以将∠B与∠C转化为等腰三角形的两个底角，那么就容易证明了，为此，可以将AB平移到DE的位置。

证明：

2.这个命题的逆命题成立吗？如果成立，请证明它。定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰三角形。

山丹育才中学讲学稿

四、师生互动 拓展延伸课本P84页 随堂练习：

1.证明：平行四边形的对角线互相平分。

2.证明：夹在两条平行线间的平行线段相等。

五、达标测试 巩固提高

已知:如图,AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F, 求证:AE=CF。

◆ 作业布置

1．证明：等腰梯形的两条对角线相等。

2.已知：如图，平行四边形的对角线AC,BD相交与点O，过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证：OE=OF.3已知:在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AF=CE。① 线段BE与DF之间有什么关系?请证明你的结论；

E

F

② 若去掉题设中的AF=CE,请添加一个条件使BE与DF有以上同样的性质。

◆ 教学札记

图3－5

图3－

第二篇：证明三平行四边形

证明三（平行四边形、梯形）

知识点一：平行四边形

平行四边形的性质：平行四边形的判定定理：

①平行四边形的对边平行；①两组对边分别_________的四边形是平行四边形；②平行四边形的对边__相等__；②两组对边分别_________的四边形是平行四边形；

③平行四边形的对角___相等_；③一组对边______且______的四边形是平行四边形；

推论：

①平行四边形的对角线___互相平分__①______________互相平分四边形是平行四边形；

②两组对角分别_________的四边形是平行四边形

推论：夹在两平行线间的平行线段_____

例1.□ABCD中，若∠A：∠B=2：3，则∠C=_______度，∠D=________度．

例2.下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）。

A．一组邻角互补，一组对角相等。B．一组对边平行，一组邻角相等。

C．一组对边相等，一组对角相等。D．一组对边相等，一组邻角相等。

例3．如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证：四边形BEDF是平行四

边形．

练习

1．下列给出的四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定ABCD为平行四边形的是

()

A.1:2:3:4B.2:3:2:3C.2:2:3:3D.1;2;2;

32.若平行四边形的周长为28㎝，两邻边之比为4：3，则其中较长的边长为（）

A.8㎝；B.10㎝；C.12㎝；D.16㎝。

3.下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是()

A．AB∥CD，AD = BCB.∠B = ∠C；∠A = ∠D

C．AB =AD，CB = CDD.AB = CD，AD = BC

4.如图，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）.A．7B．8C．9 D．

15.已知：在□ABCD中，∠A的角平分线交CD于E，若DE:EC=3：1，AB的长为8，则ABCD的周长____________

6.平行四边形ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B=______

解答题

1．（2012•广东）已知如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

2.如图，在平行四边形ABCD中，BF=DE．求证：四边形AFCE是平行四边形．

3．（佛山）已知在平行四边形ABCD中，EFGH分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE=CG，BF=DH。

求证：AEH≌

CGF

4.四边形ABCD中，∠A=∠C,∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形。

5.如图，在□BEDF中，点A、B是对角线EF所在直线上两点，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

6.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四个论断:①OA＝OC,②AB＝CD,③∠BAD＝∠DCB ④AD∥BC.请你从中选择两个论断作为条件,以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论,完成下列各题：

①构造一个真命题，画图并给出证明；②构造一个假命题，举反例加以说明.．．．．．．

7.如图，在平行四边形内有一点E满足ED⊥AD于D，∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45º，请在图中找出

与BE相等的一条线段，并予以证明．

8.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

二、等腰梯形

性质定理：

1、两腰相等

2、同一底上的两个角相等

3、对角线相等。

4、是轴对称图形（一条对称轴）

1．命题“等腰梯形的对角线相等”。它的逆命题是.2.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DC = 3 cm，∠A=60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是（）

A.21 cmB.18 cmC.15 cmD.12 cm

3.如图是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案的一部分，这个图案中∠1的度数是___________

4.已知等腰梯形ABCD，E为梯形内一点，且EA=ED．求证：EB=EC．

5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD，对角线AC⊥BD，AD=6㎝,BC=12㎝，求梯形ABCD的面积。

第三篇：证明三平行四边形

课题：第三章证明

（三）3.1平行四边形（2）

课型：新授课

教学目标：

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

2．能运用综合法证明平行四边形的判定定理。

3．感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。

教学重点：掌握证明平行四边形的方法。

教学难点：运用综合法证明问题的思路。

教法及学法指导：本科采取讲练结合的方法，在教学中主要以学生进行探索、猜测、合作、交流、质疑等基本的数学方法去发现问题、提出问题、解决问题的基本策略。充分显示以学生为主，教师为主导的思想。

课前准备

教具：教材、尺规、课件

学具：教材、尺规、练习

教学过程：

一、复习回顾

师：上节课我们学习了平行四边形的性质和梯形的相关性质，谁能来说一下平行四边形的相关性质？

生：平行四边形的性质

定理1:平行四边形的对边平行.(由定义得)

定理2:平行四边形的对边相等.定理3:平行四边形的对角相等.定理4:平行四边形的对角线互相平分.师：那同学们还记不记得平行四边形的判定呢？

生：平行四边形的判定有4条两组对边分别平行的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

师：很好。那有没有同学能够从命题的角度指出到这四条判定的相同和不同之处？

生：这4个命题是平行四边形性质的逆命题。

生：他们都是真命题。

生：我们特别关注第一条，它是平行四边形的定义，既是平行四边形的判定，又

包含着平行四边形的性质，这是它与其它3条不同的地方。

师：大家刚才的发言都非常好，我补充一点第一条的特殊性决定了它是不需要证

明的。其它三条的正确性是需要我们证明的。

生：原来数学这么严密、只会用是不行的，还必须知道为什么。师：很好的体会，今天我们就来解决这个问题。

师：下面请同学们充分发挥你自己的聪明才智和团队的力量，去寻找解决问题的策略，或者找到解决问题路上的“坎儿”。

【设计意图】充分调动学生的积极性，使他们能够在自己已经构建的知识结构基础上，提出符合其个人认知层次的问题，从而为本节课找到了较为符合学生已有的知识建构良好的切入点。二 合作探究

师：我们知道任何一个命题都由“条件”“结论”两部分构成，比如下面这个命

题：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 条件和结论分别是什么？ 生：“一组对边平行且相等”是它的条件，而“四边形是平行四边形”就是结 师：虽然能够找到“条件和要解决的问题”但是它不象我们以前解决过的问题有

图形。没有图形对我们解决问题有影响吗？

生：那一组平行且相等的边没有标记，会导致我们没有办法写

过程，就算我们根据题意自己构造了下面这个四边形，哪一组

对边是命题里说的那一组？你知道吗？难道能随便选择一组对边就可以？

师：看来上一组同学的问题（找不到已知条件）已经解决了。对于这一小组同学的问题那些同学可以发表一下自己的见解？ 生：我们也不确定．．．．．．

师：那好，每一组同学分成两部分，一部分选择ＡＢ，ＣＤ为“平行且相等的对

边”另一组同学选择ＢＣ，ＤＡ为“平行且相等的对边”看看我们能不能完成对

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 这个命题的证明。

生：我们选择“ＡＢ，ＣＤ为“平行且相等的对边””

这样命题就变成了

已知：“四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ//ＣＤ且ＡＢ＝ＣＤ，求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形”（在老师的帮助下写已知，求证和证明）证明：连接ＢＤ

∵ＡＢ//CD

∴ ∠ ABD=∠CDB

又∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＤ＝ＢＤ∴△ＡＤＢ≌△ＣＢＤ∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ∴ＣＢ//ＡＤ

∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。

生：老师他们的这个题目连接ＡＣ也可以用同样的方法证明。

师：很好，我们不仅解决了这个问题，同学们的思路也很开阔，能从不同的角度

对这个问题加以验证。那选择“选择ＢＣ，ＤＡ为“平行且相等的对边””的同学得到结论了吗？

生：我们选择“ＢＣ，ＤＡ为“平行且相等的对边”” 这样命题

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形就变成了

已知：“四边形ＡＢＣＤ中，ＢＣ//ＤＡ且ＢＣ＝ＤＡ

求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形”（学生模仿上面的自己写找一个同学到黑

板上板书证明）证明：连接ＢＤ∵ＢＣ//ＤＡ∴ ∠ ＣBD＝∠ＡDB

又∵ＢＣ＝ＤＡ，ＢＤ＝ＢＤ∴△ＣＤＢ≌△ＡＢＤ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ

∴ＡＢ//ＣＤ

∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。

我们也可以连接ＡＣ再证明。

三 精讲点拨 师：我们一块来看一下黑板上的同学做的对不对？大家有没有发现这两道证明题都是通过做什么来完成的？ 生：辅助线

师：很好，做完辅助线会构造三角形然后你会想到什么？ 生：证明三角形全等。师：大家太棒了。下面我们大家自主来完成这一个判别方法的证明做完后同位之间互相检查。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形已知：四边形ＡＢＣＤ中ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形证明：连接ＢＤ

∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ又∵ＢＤ＝ＢＤ∴△ＡＤＢ≌△ＣＢＤ∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ∴ＡＢ//ＣＤ，ＢＣ//ＡＤ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。

同理我们也可以连接ＡＣ来证明。

师：这位同学对于基本的证明命题的思路已经掌握得比较好。那还有没有不同的思路？

生：老师我们也可以连接ＡＣ来证明

师：当然可以，大家在观察一下这个证明与证明一组对边平行且相等的四边形是

平行四边形思路有什么相似之处么？

生：只要将刚才的思路稍加改动就可以得到另外一种思路

师：我们已经证明了两个定理，根据大家掌握的方法快速把两条对角线互相平分的四边形是平行四边形这个定理在练习本上证明一下

【设计意图】将已证明的定理可以拿来使用来证明其他命题.由于前面对于证明的完成度较高，内容讲授较为丰富，所以对最后一条判定定理，教师在黑板给出

图例，学生口述完成即可.四 应用提高，深化体会

师：下面我们来处理一些具体问题 已知:如图

求证:四边形MNOP是平行四边形生１展示其证明过程： 证明:

(x-3）—（x—5）=4x=8 MN=5=PO PM=3=ON

∴四边形MNOP是平行四边形.师：还有不同的思路吗？ 生２展示其证明过程： 证明：

(x-3）2—（x—5）2=42 x=8 PM=11-8=3 PM2+MO2=PO2 PMO=90 PM//ON 且ON=8-5=

3四边形MNOP是平行四边形.分析证明过程：

我们还可以在得知ｘ＝８以后，证明△ＭＰＯ≌△ＯＮＭ，从而得到内错角

相等，利用两组对边分别平行得证。

【设计意图】这是课本做一做的一道题目，本题综合运用勾股定理、方程、平行四边形的判定定理进行计算推理.在做本题的过程中可以鼓励完成速度较快和完成度较高的同学尝试用多种做法.五 课堂小结：

师：刚才大家的分析都非常好。下面我们总结一下本节课

生：学习了证明平行四边形的判定定理同时也学会了应用 师：那么大家一块来检测一下自己 六 达标检测

（1）不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB＝CD，AD＝BCB.AB＝CD，AB∥CDC.AB＝CD，AD∥BCD.AB∥CD，AD∥BC

（2）如图5，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，要使四边形AECF是平行四边形，则应添加的条件是.（添加一个条件即可）

D

图6

图

（3）已知：如图6，在平行四边形ABCD中，BF＝DE.求证：四边形AFCE是平行四边形.七 课堂作业

基础作业：P88，习题3.2：12

八 板书设计

九 教学反思:

1本节课就是以学生在学习过程中生成的问题为主轴来完成本节课，而没有机械的套用课本的设计。通过小组合作为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，帮助学生形成积极主动的求知态度。本节课学生对证明方法比较熟悉，但是证明过程还要加强。

第四篇：证明(三)平行四边形

山丹育才中学讲学稿

课 题3.1平行四边形（2）

教学目标

1．能够用综合法证明平行四边形的判定定理及相关结论。

2．理解平行四边形的主要辅助线是对角线，把平行四边形转化为两个三角形全等问题，通过平移梯形一腰把梯形转化为“一个平行四边形和一个三角形”。

三、展示交流 点拨提高3.平行四边形的判定定理3：

定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

已知：画图 教学重点、难点:

重点证明平行四边形的判定定理及相关结论。难点探索证明的思路和方法。教学过程

一、预习反馈 明确目标

1．回顾平行四边形的性质定理，我们是如何证明的；

2．回顾平行四边形的性质定理的逆定理就是平行四边形的判定定理。

二、创设情境 自主探究1.平行四边形的判定定理1：

定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。首先画出符合题意的图像，写出已知、求证。已知：。

求证：画图

2.平行四边形的判定定理2：

定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。已知：

求证：画图

求证：

四、师生互动 拓展延伸

已知:如图所示，求证:四边形MNOP是平行四边形。

五、达标测试 巩固提高课本P87 随堂练习：1,2、3题。

1.证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

N

山丹育才中学讲学稿

2、已知：如图，在ABCD中，BF＝DE.求证：四边形AFCE是平行四边形。

2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AD、BC分别相交于E、F。你认为OE与OF有怎样的关系？请证明你的结论。

3、已知：如图，如图，BD是三角形ABC的中线，延长BD至E，是的DE=BD,链接AE,CE.求证：∠BAE=∠BCE

◆ 作业布置

1.已知：如图，在ABCD中，∠ＡＢＣ的角平分线与AD相交于点求证：PD+CD=BC

A

3.已知：如图，ABCD中，E、F为对角线AC上的两点，且AE＝CF。求证：四边形BEDF是平行四边形。

教学札记

第五篇：证明三：平行四边形(一、二)

平行四边形

（一）教师：张贤班级：九（5）、（10）

执行时间：2013年10月9日

一、温故知新

1、平行四边形的概念

2、平行四边形的性质

①边②角③对角线④对称性⑤面积

二、合作探究

1、证明：平行四边形的对边相等

已知：

求证：

证明：

2、平行四边形的对角相等

已知：

求证：

证明：

3、等腰梯形同一底上上的两底角相等

已知：

求证：

证明：

三、练一练：同一底上两个底角相等的梯形是等腰梯形

四、小结：通过这节课的学习，同学们有什么收获？

五、当堂检测

1、等腰梯形的腰与上底相等且等于下底的一半，则该梯形的腰与下底的夹角为.2、梯形ABCD中，AD∥BC,BD平分∠ABC,∠C=60°,当AB=CD=4时，梯形ABCD的周长

3．如图在中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的长．（6分）

4．如图.在中，AD⊥DB，AC与BD相交于点O，OD=1，∠CAD=30°，求AC和DC的长．（8分）

平行四边形

（二）教师：张贤班级：九（5）、（10）

执行时间：2013年10月10日

一、温故知新：

（一）平行四边形的判别条件1、2、3、4、二、合作交流

1、证明：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

已知：

求证：

证明：

2、证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

已知：

求证：

证明：

三、练一练

证明;对角线互相平分的四边形是平行四边形

四：课堂小结：通过这节课的学习，同学们有什么收获？

五、达标检测

1、下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）

Ａ．一组对边平行，另一组对边相等Ｂ．一组对边平行，一组对角互补

Ｃ．一组对角相等，一组邻角互补Ｄ．一组对角相等，另一组对角互补

2、在下面给出的条件中，能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（）

Ａ．ＡＢ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ

Ｃ．ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ=∠ＤＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ

3、如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＥＦ∥ＡＤ，ＭＮ∥ＡＢ，ＥＦ，ＭＮ相交于点Ｐ，则除平行四边形ＡＢＣＤ外，图中共有平行四边形（）

Ａ．４个Ｂ．６个Ｃ．８个Ｄ．１０个

4、用两个全等的三角形按不同的方法拼成四边形，在这些拼出的四边形中，平行四边形最多有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个

5、在下列条件中，能判定四边形ＡＢＣＤ为平行四边形的是（）

Ａ．ＡＢ＝ＡＤ，ＣＢ＝ＣＤＢ．ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ

Ｃ．ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣＤ．∠Ａ＝∠Ｂ，∠Ｃ＝∠Ｄ

6．已知：如图在中，AC，BD交于点O，EF过点O，分别交CB，AD•的延长线于点E，F，求证：AE=CF．（10分）

6、已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点，点Ｅ，Ｆ在ＡＣ上，且ＡＥ＝ＣＦ．

求证：四边形ＥＧＦＨ是平四边形．（10分）

C