2015年高考数学第一轮复习资料53(抛物线)

第一篇：2015年高考数学第一轮复习资料53(抛物线)

学案53 抛物线

自主梳理

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．

自我检测

1．(2010·四川)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．

4D．8

22xy

2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()

2A．－2B．2C．－4D．4 3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()

2A．y＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x

4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()

A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|

5．(2011·佛山模拟)已知抛物线方程为y＝2px(p>0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么∠MFN必是()

A．锐角B．直角C．钝角D．以上皆有可能

探究点一 抛物线的定义及应用

例1 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．

解

将x＝3代入抛物线方程 y＝2x，得y＝6.∵6>2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：

xd，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，77

当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，2

2此时P点纵坐标为2，代入y＝2x，得x＝2，∴点P坐标为(2,2)．

变式迁移1 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()

11，1C．(1,2)1A. B.D．(1，－2)44

探究点二 求抛物线的标准方程 例2(2011·芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．

pp0，－，准线方程为y解 方法一 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F22m＝6p，p＝4，∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，∴ 2－3＋2＝5，解得m＝±26. m＋2

∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±

26，准线方程为y＝2.方法二 如图所示，p0，－，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F2

pp

准线l：yMN⊥l，垂足为N.则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，22p

∴35，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝(－8)×(－3)，得m＝±6.变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：

(1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．

探究点三 抛物线的几何性质

例3 过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．

(1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p；

(2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BC∥x轴．

p

证明(1)方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为F2，0.设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．

x－p，y＝kp2x－，由①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为y＝k 22y＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.(*)

当k＝0时，方程(*)只有一解，∴k≠0，由韦达定理，得y1y2＝－p2；

pp

p，p，∴y1y2＝－p2.②当斜率不存在时，得两交点坐标为22

综合两种情况，总有y1y2＝－p.pp

0，设直线AB的方程为x＝ky＋，并设A(x1，方法二 由抛物线方程可得焦点F22px＝ky＋2p

ky＋，y1)，B(x2，y2)，则A、B坐标满足消去x，可得y2＝2p22y＝2px，2

2整理，得y－2pky－p＝0，∴y1y2＝－p2.ppy－py1y1py1，yC＝－(2)直线AC的方程为y＝x，∴点C坐标为2x12x12x12px

1∵点A(x1，y1)在抛物线上，∴y1＝2px1.yy·y又由(1)知，y1y2＝－p2，∴yC＝y2，∴BC∥x轴．

y1

变式迁移3 已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，p211

B(x2，y2)．求证：(1)x1x2＝；(2)为定值．

4|AF||BF|

分类讨论思想的应用

例(12分)过抛物线y＝2px(p>0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过B点作其

→→

准线的垂线，垂足为D，设O为坐标原点，问：是否存在实数λ，使AO＝λOD？

多角度审题 这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出λ.→→

解 假设存在实数λ，使AO＝λOD.抛物线方程为y2＝2px(p>0)，pp0，准线l：x＝－ 则F2

2(1)当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，pp

p，B，－p.交点A、B坐标不妨设为：A22

ppp→→

－，－p，∴AO＝－，－p，OD＝－，－p，∵BD⊥l，∴D222→→

∴存在λ＝1使AO＝λOD.[4分]

p

x－(k≠0)，(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k2

pyy2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D－2，y2，x1＝x2＝，2p2p

py＝kx－－p22222由 得ky－2py－kp＝0，∴y1y2＝－p，∴y2＝，[8分]

y

1y2＝2px

y2pp2→→pAO＝(－x1，－y1)＝－2py1，OD＝－2，y2＝－2，－y，y2p－＝－λ2p2y2→→假设存在实数λ，使AO＝λOD，则，解得λ＝，2pp

－y1＝－λ

y1

y2→→→→∴存在实数λ，使AO＝λOD.综上所述，存在实数λ，使AO＝λOD.[12分

]

p



一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·大纲全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB等于()

4334C．－D．－ 555

52．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()

A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥

33．已知抛物线y＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定 4．(2011·泉州月考)已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是()

1－1，－1D．(－2，－22)－1A. B．(－2)C.44

→→

5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标为()

A．(2，2)B．(1，±2)C．(1,2)D．(22)

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．(2011·重庆)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．

7．已知A、B是抛物线x2＝4y上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，则|AB|＝________.8．(2010·浙江)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．

三、解答题(共38分)9．(12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x＋115，求抛物线方程．

10．(12分)(2011·韶关模拟)已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.11．(14分)(2011·济南模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；

→→

(2)过点F的直线l2交轨迹C于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP·RQ的最小值．

第二篇：2014第一轮高考复习资料等差数列

等差数列知 识 梳理

1.等差数列的概念

2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式:

⑵前n项和公式:

3.等差中项

4.等差数列的判定方法

⑴定义法：（nN，d是常数）an是等差数列； ⑵中项法：(nN)an是等差数列.5.等差数列的常用性质

⑴数列an是等差数列，则数列anp、pan（p是常数）都是； ⑵在等差数列an中，an,ank,an2k,an3k,为等差数列，公差为.Snan2bn(a,b是常a0)ananb(a,b是常数)；⑶anam(nm)d；

⑷若mnpq(m,n,p,qN)，则； ⑸若等差数列an的前n项和Sn，则Sn是等差数列； n⑹当项数为2n(nN)，则S偶S奇nd,S偶S奇

S偶

S奇an1； ann1.n当项数为2n1(nN)，则S奇S偶an,典例

题型一.已知等差数列的某些项，求某项

1.已知an为等差数列，a158,a6020，则a75变式 ：已知mn,且m,a1,a2,a3,n和m,b1,b2,b3,b4,n都是等差数列，则题型二.已知前n项和Sn及其某项，求项数.1 a3a1b3b

22.⑴已知Sn为等差数列an的前n项和，a49,a96,Sn63，求n；

⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n.变式（1）：已知Sn为等差数列an的前n项和，a11,a47,Sn100，则n

（2）.已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为165，求这5个数.(3).已知Sn为等差数列的an前n项和，Snm,Smn(nm)，则Smn

3.已知Sn为等差数列an的前n项和，且a4a28，S10190，（1）求{an}通项公式？(2)设p,q∈N,试判断ap,aq是否是数列{an}中的项？

変式:（安徽）设Sn为等差数列an的前n项和,S84a3,a72,则a9=A．6B．4C．2D．2

题型三.求等差数列的前n项和

3.（辽宁卷）已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和,若a1，a3是方程

x25x40的两个根,则S6____________.4.已知S为等差数列a2

nn的前n项和，Sn12nn.⑴求a1a2a3；⑵求a1a2a3a10；⑶求a1a2a3an.変式：在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(Ⅰ)求d,an;(Ⅱ)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|++|an|.）（题型四.证明数列是等差数列 5.数列an

变式：已知数列{an}各项都是正数，前n项和为Sn是等差数列.归纳：判断或证明数列是等差数列的方法有：

6.（上海）已知函数f(x)2|x|.无穷数列{an}满足an1f(an),nN*.(1)若a10,求a2,a3,a4;(2)若a10,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值;(3)是否存在a1,使得a1,a2,a3，an成等差数列?若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.题型五.等差数列的性质

7..已知Sn为等差数列an的前n项和，a6100，则S11；

变式（1）已知Sn为等差数列an的前n项和，且a1a4a7a812，则S9

（2)已知Sn为等差数列an的前n项和，且S8S410,则S11

（3）已知Sn为等差数列an的前n项和，且3(a3a5)2(a3a12a15)36，求S13?

8.设SnTn分别是等差数列an、an的前n项和，n，求5 及 8,Tnn3b5b6

9.已知Sn为等差数列an的前n项和，公差d=，且

2snann

41

2S求证：数列an是等差数列.aN(a2)nnn，8

求证：数列an，S7n2aa，S10045,则a1a2…a992

10.已知Sn为等差数列an的前n项和，若

SS4

4,则6是值()S2S4

A

5BCD4 42

3S31S6変式:设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若

S63S12

311

1（A）（B）（C）（D）

10389题型六.等差数列与其它知识的综合11.（福建卷）已知等差数列{an}的公差d

1,前n项和为Sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若S5a1a9,求a1的取值范围.12.已知Sn为等差数列an的前n项和，a125,a416.⑴当n为何值时，Sn取得最大值；⑵求a2a4a6a8a20的值； ⑶求数列an的前n项和Tn.13.已知Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=23,且S11S14,当n为何值时，Sn取得最大值；

变式(1)已知Sn为等差数列an的前n项和a1<0,若S6S10，当n为何值时，Sn取得最大值；

（2）已知Sn为等差数列an的前n项和，且nSn1>(n1)Sn，n∈N，又



a8

<-1，则a7

Sn中（）

A最小值是S7B最大值是S8C 最小值是S8D 最大值是S7

13.已知Sn为数列an的前n项和，Sn

1211

nn；数列bn满足：b311，22

bn22bn1bn，其前9项和为153.⑴求数列an、bn的通项公式；

⑵设Tn为数列cn的前n项和，cn

k6，求使不等式Tn对

57(2an11)(2bn1)

nN都成立的最大正整数k的值.变式：已知Sn为数列an的前n项和，a13，SnSn12an(n2).⑴求数列an的通项公式；

⑵数列an中是否存在正整数k，使得不等式akak1对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.14（山东卷）设等差数列an的前n项和为Sn,且S44S2,a2n2an1

(Ⅰ)求数列an的通项公式(Ⅱ)设数列bn满足

15.已知等差数列an中，a220,a1a928.⑴求数列an的通项公式；

⑵若数列bn满足anlog2bn，设Tnb1b2bn，且Tn1，求n的值.16.等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，已知a812013(a81)1，bb1b21

n1n,nN* ,求bn的前n项和Tn a1a2an2

a2006132013a200611，则下列结论正确的是（）

A.d<0,s20132013 B.d>0, s20132013 C.d<0, s20132013 D.d>0, s20132013

基础巩固训练

1.设数列an是等差数列，且a28，a155，Sn是数列an的前n项和，则

A．S10S11B．S10S11

.2.在等差数列an中，a5120，则a2a4a6a8

3.数列an中，an2n49，当数列an的前n项和Sn取得最小值时，n

4.已知等差数列an共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是.5.设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a3a76,则当Sn取最小值时,n等于（）A．9

B．8

C．7

D．6

（）

C．S9S10D．S9S10

5.等差数列{an}中,若a4a6a8a10a12120,则S15的值为

A．180B．240C．360D．720

6.是数列{an}的前n项和，则“数列{Sn}为等差数列”是“数列{an}为常数列”的A．充分不必要条件C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

7.已知{an}为等差数列，且a1a38,a2a412,（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a1,ak,Sk2成等比数列，求正整数k的值。

8.数列an的前n项和为Sn，已知a1（1）证明：数列{（2）设bn,Snn2annn1,n1,2, 2

n1

Sn}是等差数列，并求Sn；n

Sn，求证：b1b2bn1． 3n

第三篇：第一轮高考复习资料完全整理

第一轮高考复习资料完全整理

来源：私立教育网 2015-10-29 09:18:08 高考第一轮复习的四项基本学习任务

一、全面、系统地复习所有的知识点。

1、全面：覆盖高考中所有知识点；

2、系统：完全掌握知识点，并将相关知识点串联起来。

二、完成记忆任务。所需记忆的知识，在第一轮复习时必须“一次到位”，决不可把记忆任务推到第二轮复习。

三、掌握高考各科的知识结构。

1、记忆、理解各单元知识结构图（表）；

2、本单元知识能“单元过关”。

四、着力培养初步的综合能力和学科能力。复习时配合大量低档综合题，搭配小部分是中档综合题。高考冲刺

高考第一轮复习七种方法

一、地毯式扫荡

分清复习的主次之分，高考第一轮复习以基础知识点未核心，应该暂时放弃超过自己能力且费时间的题和事，先打牢基础(而后有的是时间解决），先把该复习的基础知识全面过一遍，直到烂熟于胸。尽可能做到全面无遗漏，哪怕是阅读材料或者文字注释。

二、融会贯通

逐章逐节，以课本的目录为框架，把一章章一节节的知识点串联起来，建立树状知识结构，分清脉络。追求从单个知识点到局部，再到全局，建立一个完整的知识系统。

三、知识的运用

掌握知识点终究知识基础，高考也不可能是默写定义定理，考的还是对知识的运用。这个唯一的方法就是在掌握知识点后多做题，做各种各样的题。力求通过多种形式的解题去练习运用知识，掌握各种解题思路，通过解题锻炼分析问题解决问题的能力。唯一需要注意的就是前面提到的：第一轮复习以大量低档题为主，少量中档题为辅，难度大的题丢掉。

四、查缺补漏

通过反复复习，大量做题，一方面强化知识，强化记忆；一方面寻找差错，弥补遗漏。求得更全面更深入的把握知识提高能力。（注：一般复习至少三遍以上）

五、750*80%基础=600=本一线

复习时有一大堆复习资料等着我们去做，千头万绪首抓根本。什么是根本？就是基础。基础知识和基本技能技巧，是教学大纲也是考试的主要要求。在“双基”的基础上，再去把握基本的解题思路。解题思路是建立在扎实的基础知识条件上的一种分析问题解决问题的着眼点和入手点。再难的题目也无非是基础东西的综合或变式。六“题不二错”

复习时做错了题，一旦搞明白，绝不放过。失败是成功之母，从失败中得到的多，从成功中得到的少，都是这个意思。失败了的东西要成为我们的座右铭。做完题只是完成了一半任务，另一半任务：

1、通览全卷看都考到哪些知识点；

2、答案与标准答案还有哪些差距；

3、做错题的原因；

4、哪些题型或解题思路值得今后借鉴。

高考复习

高考第一轮复习五大禁忌

一、忌急于求成

高三的复习是一个连续而且漫长的过程，尤其是一轮复习阶段，学习的重心是基础复习。很多尤其是学习优秀的学生，一心只想做高考题，好高骛远，结果非常的惨烈。一轮复习是毅力的比拼，只有稳扎稳打，脚踏实地才会练就扎实的功底。我建议高三考生在一轮复习的时候千万不要急于求成，一定要静下心来，认真的揣摩每个知识点，弄清每一个原理。只有这样，一轮复习才能显出他的成效。

二、忌心浮气躁

在一轮复习的过程中，心浮气躁是一个非常普遍的现象。主要表现为平时复习觉得没有问题，题目也能做，发现考试就是拿不了高分，甚至考试题比平时训练的题目还要简单！这主要是因为：

（1）对复习的知识点缺乏系统的理解，解题时缺乏思维层次结构 一轮复习着重对基础知识点的挖掘，老师一定都会强调基础的重要性。如果不重视对知识点的系统化分析，不能构成一个整体的知识网络构架，自然在解题时就不能拥有整体的构思，也不能深入理解高考典型题型的思维方法。（2）复习的时候心不够静 心不静则思维不清晰，思维不清晰则复习没有效率。当看了一个晚上的书之后发现自己晚上都不知道干了什么的时候肯定会感觉很郁闷，于是一个晚上的时间也就这么过去了，觉得没有什么收获。建议大家在开始一个学科的复习之前先静下心认真想一想接下来需要复习那一块，需要做多少的事情，然后认真的去做，同时需要很高的注意力，只有这样才会有很好的效果。

三、忌毫无计划

没有计划的高考复习一定是低效的，这在每年浩浩荡荡的复习大军中有着无数失败的教训。高三学习任务繁重、杂乱，每一个高三学生都要给自己制定一个适合自己的学习规划，根据自身的学习成绩以爱好个性选择一个大学，在各个阶段给自己制定阶段性学习计划。

四、忌盲目做题

上面说过，一轮复习非常具有针对性，对于所有知识点的地毯式轰炸，要做到不缺不漏。因此，仅靠做题一定达不到一轮复习应该具有的效果。盲目做题没有针对性，更不会有全面性。在概念模糊的情况下一定要回归课本，注意教材上最清晰的概念与原理，注重对知识点运用方法的总结。

五、忌以偏概全

一轮复习是全面系统的复习，切勿以点代面、以偏概全。在复习的过程中要做到全面细致，把基础知识放在第一位，而不是把精力放在一些难题怪题上，花费大量得精力，浪费时间，最后打击信心。同时，有些学生只注重知识的背诵，单个题型的总结，缺乏专题性的反思，思维框架的构建，知识体系的概括，从而导致不能高效的经过一轮复习。

第四篇：2019年中考数学第一轮复习资料

初中数学第一轮

总复习教案

（博通教育

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第一部分　数与代数

第一章

数与式

第1讲　实数

考点一、实数的概念及分类

（3分）

1、实数的分类

正有理数

有理数

零

有限小数和无限循环小数

实数

负有理数

正无理数

无理数

无限不循环小数

负无理数

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等

3.数轴

：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴

注意：⑴

一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。

⑵

在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大。

⑶

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

⑷

注意：数轴上的点不都代表有理数，如。

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值

（3分）

1、相反数

实数与它的相反数是一对数（零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=

-b，反之亦成立。

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，绝对值的性质：

⑴

绝对值的非负性，可以用下式表示：，这是绝对值非常重要的性质

⑵

⑶

若，则；若，则；

⑷

若，则或；

⑸；

⑹

表示数

与数

两点之间的距离且。

⑺当时，；当时。（主要考察分类讨论）

⑻零点分段讨论、绝对值的几何意义:的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离原点的距离。的几何意义：在数轴上，表示数、对应数轴上两点间的距离。

零点分段讨论的步骤：

1．找零点，画数轴

2．分类

3．代入化简

【例1】化简：

【例2】（淮安中考）化简：

【例3】化简：

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。0没有倒数。

【例1】已知a、b、c在数轴上的位置如图。则在，，中，最大的一个是（）

A．

B．

C．

D．

【例2】三个有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则（）

A．

B．

C．

D．

【例3】，。

【例4】（北京四中）计算：。

【例5】（一零一中学）若，则化简的结果为。

【例6】若，化简。

【例7】（2009年全国初中数学竞赛黄冈市选拔赛试题）若，则的值是（）

A．0

B．-1

C．-3

D．-4

【例8】下列可能正确的是（）

A．

B．

C．

D．

【例9】已知a、b、是不为0的有理数，求的值。

c

0

b

a

【例10】（2009-2010北京四中期中考试第12题3分）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（）。

A．

B．

C．

D．

【例11】（2009-2010北师大附属实验期中考试第24题4分）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如下图所示，化简：。

【例12】如图所示，根据数轴上给出的a、b、c的条件，试说明的值与c无关。

考点三、平方根、算数平方根和立方根

（3—10分）

1、平方根

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）。

一个非负数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a的平方根记做“”。

2、算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

（0）；

注意的双重非负性：

-（<0）

03、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法和近似数

（3—6分）

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

考点五、实数大小的比较

（3分）

1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，（3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则。

考点六、实数的运算

（做题的基础，分值相当大）

1、加法交换律

2、加法结合律

3、乘法交换律

4、乘法结合律

5、乘法对加法的分配律

6、实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

【例1】-a的相反数为

5，b的倒数是c，c的负倒数是2，d在数轴的左边且与原点的距离为3，求的值。

【例2】已知a，b

互为相反数，x的绝对值为2，c、d互为倒数，试求的值。

【例3】若有

x，y

满足，则

【例4】式子的最小值是，这时。

【例5】已知，则。

【例6】改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。将300670亿元用科学记数法表示应为

元，保留两个有效数字结果为

元，精确到万亿元结果为

元。

【例7】如果，那么()

A．139800000

B．13980000

C．1398000

D．139800

【例8】已知，，比较a，b，c的大小。

【例9】设a，b，c均为正数，若，比较a，b，c的大小。

A级　基础题

1．在－1,0,1,2这四个数中，既不是正数也不是负数的是()

A．－1

B．0

C．1

D．2

2．－2的绝对值等于()

A．2

B．－2

C.D．±2

3．－4的倒数的相反数是()

A．－4

B．4

C．－

D.4．－3的倒数是()

A．3

B．－3

C.D．－

5．无理数－的相反数是()

A．－

B.C.D．－

6．下列各式，运算结果为负数的是()

A．－(－2)－(－3)

B．(－2)×(－3)

C．(－2)2

D．(－3)－3

7．某天最低气温是－5

℃，最高气温比最低气温高8

℃，则这天的最高气温是________℃.8．如果x－y＜0，那么x与y的大小关系是x____y(填“＜”或“＞”)．

9．(山东泰安)已知一粒米的质量是0.000

021千克，这个数字用科学记数法表示为()

A．21×10－4千克

B．2.1×10－6千克

C．2.1×10－5千克

D．2.1×10－4千克

10．(河北)计算：|－5|－(－3)0＋6×＋(－1)2

B级　中等题

11．实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是()

A．a

B．|a|>|b|

C．－a<－b

D．b－a>0

12．北京时间2011年3月11日，日本近海发生9.0级强烈地震．本次地震导致地球当天自转快了0.000

001

6秒．这里的0.000

0016秒请你用科学记数法表示_____________秒．

13．将1，，按下列方式排列．若规定(m，n)表示第m排从左向右第n个数，则(5,4)与(14,5)表示的两数之积是________．

14．计算：|－3

|－2cos30°－2－2＋(3－π)0.15．计算：－22＋－2cos60°＋|－3|.C级　拔尖题

16．如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD＝6，点A对应的数为－1，则点B所对应的数为__________．

17．观察下列等式：

第1个等式：a1＝＝×；

第2个等式：a2＝＝×；

第3个等式：a3＝＝×；

第4个等式：a4＝＝×；

…

请解答下列问题：

(1)按以上规律列出第5个等式：

a5＝______________＝______________；

(2)用含有n的代数式表示第n个等式：

an＝______________＝______________(n为正整数)；

(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．

选做题

18．请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：

1⊕2＝2⊕1＝3，(－3)⊕(－4)＝(－4)⊕(－3)＝－，(－3)⊕5＝5⊕(－3)＝－，…

你规定的新运算a⊕b＝________(用a，b的一个代数式表示)．

测试题

1．下列说法中正确的是

（）

A.小数3.14不是分数

B.正整数和负整数统称整数

C.正数和负数统称有理数

D．整数和分数统称有理数

2．比大的负整数有（）

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

3．数轴上，若点表示的数为，点与点

关于原点对称，点与点距离为2，则点表示的有

理数为。

4．如果与互为相反数，那么的值为（）

A.B.10

C.D.-10

5．已知，是的倒数，且，则等于（）

A．

B．7或

C．或1

D．1

6．计算：

7．计算：。

8．、、在数轴上的位置如图所示．则在，中，最大的是。

9．如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处

标上数字，。先让圆周上数字所对应的点与

数轴上的数所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向

绕在该圆上，那么数轴上的数将与圆周上的数字

重合。

10．已知，求的值。

11．有理数、、在数轴上的位置如图所示：若，则。

12．若，试化简。

13．a是有理数，下列结论一定正确的是（）

A.>-

B.C.|

|=

D.14．①；②；③；④一定是负数的是

（填序号）。

15．16．[55-()](-3)

17．有理数，，满足，求的值。

18．求的值。

19．如图，在一条数轴上有依次排列的台机床在工作，现要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小，点建在哪？最小值为多少？

答案1．D

2．D

3．2或6

4．A

5．A

6．7．

8．9．2

10．3或者-1

11．-2000

12．13．D

14．②

15．16．

17．2或者-2

18．，，19．P建在数轴上的点C处，总距离和最小，为12

第2讲　代数式

考点一、整式的有关概念

（3分）

1、代数式

用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

2、单项式

只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式,如，。

注意：单项式是由系数（单项式中的数字因数）、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。

考点二、多项式

（11分）

1、多项式

几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。单项式和多项式统称整式。

用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。

注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。

（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。

2、同类项

所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

3、去括号法则

（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。

（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。

4、整式的运算法则

整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

整式的乘法：1.2.3.4.5.6.7.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

8.a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

整式的除法：

注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。

（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

（6）

（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

【例1】下列说法正确的是（）

A．单项式的系数是

B．单项式的指数是

C．是单项式

D．单项式可能不含有字母

【例2】已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值。

【例3】(2010西城区期末考试A卷第15题2分)若与是同类项，则。

【例4】单项式与是同类项，则（）

A．无法计算

B．

C．

D．

【例5】(2009-2010崇文区初一期末考试第15题2分)若的和是单项式，则。

考点三、整体思想

整体思想就是从问题的整体性质出发，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用。

【例1】把当作一个整体，合并的结果是（）

A．

B．

C．

D．

【例2】(北大附中初一期中考试第29题5分)已知，求代数式的值。

【例3】如果，则。

【例4】己知：，；求的值。

A级　基础题

1．某省初中毕业学业考试的同学约有15万人，其中男生约有a万人，则女生约有()

A．(15＋a)万人

B．(15－a)万人

C．15a万人

D.万人

2．若x＝－，y＝＋，则xy的值是()

A．2

B。2

C．m＋n

D．m－n

3．若x＝1，y＝，则x2＋4xy＋4y2的值是()

A．2

B．4

C.D

.4．已知a－b＝1，则代数式2a－2b－3的值是()

A．－1

B．1

C．－5

D．5

5．已知实数x，y满足＋(y＋1)2＝0，则x－y等于()

A．3

B．－3

C．1

D．－1

6．若|x－3|＋|y＋2|＝0，则x＋y的值为__________．

7．通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是____________元．

8．已知代数式2a3bn＋1与－3am＋2b2是同类项，2m＋3n＝________.9．如图，点A，B在数轴上对应的实数分别为m，n，则A，B间的距离是________(用含m，n的式子表示)．

10．已知2x－1＝3，求代数式(x－3)2＋2x(3＋x)－7的值．

B级　中等题

11．若a2－b2＝，a－b＝，则a＋b的值为()

A．－

B.C．1

D．2

12．化简得____________

；当m＝－1时，原式的值为________

．

13．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片不重叠的放在一个底面为长方形(长为m

cm，宽为n

cm)的盒子底部[如图X1－2－1(2)]，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图X1－2－1(2)中两块阴影部分的周长和是()

A．4m

cm

B．4n

cm

C．2(m＋n)

cm

D．4(m－n)

cm

14．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a＋b＋c就是完全对称式．下列三个代数式：

①(a－b)2；②ab＋bc＋ca；③a2b＋b2c＋c2a.其中是完全对称式的是()

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

15．已知A＝2x＋y，B＝2x－y，计算A2－B2.C级　拔尖题

16．若3x＝4,9y＝7，则3x－2y的值为()

A.B.C．－3

D.第3讲　整式与分式

第1课时　整式

A级　基础题

1．计算(－x)2·x3的结果是()

A．x5

B．－x5

C．x6

D．－x6

2．下列运算正确的是()

A．3a－a＝3

B．a2·a3＝a5

C．a15÷a3＝a5(a≠0)

D．(a3)3＝a6

3．下列运算正确的是()

A．a＋a＝a2

B．(－a3)2＝a5

C．3a·a2＝a3

D．(a)2＝2a2

4．在下列代数式中，系数为3的单项式是()

A．xy2

B．x3＋y3

C．x3y

D．3xy

5．下列计算正确的是()

A．(－p2q)3＝－p5q3

B．(12a2b3c)÷(6ab2)＝2ab

C．3m2÷(3m－1)＝m－3m2

D．(x2－4x)x－1＝x－4

6．下列等式一定成立的是()

A．a2＋a3＝a5

B．(a＋b)2＝a2＋b2

C．(2ab2)3＝6a3b6

D．(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab

7．计算(－5a3)2的结果是()

A．－10a5

B．10a6

C．－25a5

D．25a6

8．(湖北荆州)将代数式x2＋4x－1化成(x＋p)2＋q的形式为()

A．(x－2)2＋3

B．(x＋2)2－4

C．(x＋2)2－5

D．(x＋2)2＋4

9．计算：

(1)(＋1)(－1)＝____________；

(2)(山东德州)化简：6a6÷3a3＝________.(3)(－2a)·＝________.10．化简：(a＋b)2＋a(a－2b)．

B级　中等题

11．已知一个多项式与3x2＋9x的和等于3x2＋4x－1，则这个多项式是()

A．－5x－1

B．5x＋1

C．13x－1

D．13x＋1

12．(安徽芜湖)如图，从边长为(a＋4)

cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1)

cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为()．

A．(2a2＋5a)

cm2

B．(3a＋15)

cm2

C．(6a＋9)

cm2

D．(6a＋15)

cm2

13．(湖南株洲)先化简，再求值：(2a－b)2－b2，其中a＝－2，b＝3.14．(吉林)先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋2a2，其中a＝1，b＝.15．先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－4x(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－.C级　拔尖题

16．(四川宜宾)将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为()

A．(x－3)2＋11

B．(x＋3)2－7

C．(x＋3)2－11

D．(x＋2)2＋4

17．若＋|y＋2|＝0，求代数式[(x－y)2＋(x＋y)(x－y)]÷2x的值．

18．(江苏苏州)若3×9m×27m＝311，则m的值为____________．

第2课时　因式分解

考点三、因式分解

（11分）

1、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法

（1）提公因式法：

（2）运用公式法：

（3）分组分解法：

（4）十字相乘法：

3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

A级　基础题

1．(四川凉山州)下列多项式能分解因式的是()

A．x2＋y2

B．－x2－y2

C．－x2＋2xy－y2

D．x2－xy＋y2

2．(年山东济宁)下列式子变形是因式分解的是()

A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6

B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)

C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6

D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)

3．(内蒙古呼和浩特)下列各因式分解正确的是()

A．－x2＋(－2)2＝(x－2)(x＋2)

B．x2＋2x－1＝(x－1)

C．4x2－4x＋1＝(2x－1)2

D．x2－4x＝x(x＋2)(x－2)

4．(湖南邵阳)因式分解：a2－b2＝______

5．(辽宁沈阳)分解因式：m2－6m＋9＝______.6．(广西桂林)分解因式：4x2－2x＝________.7．(浙江丽水)分解因式：2x2－8＝　________.8．(贵州六盘水)分解因式：2x2＋4x＋2＝________.9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)[如图X1－3－2(1)]，把余下的部分拼成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证()

A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2

C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)

D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2

10．若m2－n2＝6且m－n＝3，则m＋n＝________.B级　中等题

11．对于任意自然数n，(n＋11)2－n2是否能被11整除，为什么？

12．(山东临沂)分解因式：a－6ab＋9ab2＝____________.13．(四川内江)分解因式：ab3－4ab＝______________.14．(山东潍坊)分解因式：x3－4x2－12x＝______________.15．(江苏无锡)分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是()

A．(x－1)(x－2)

B．x2

C．(x＋1)2

D．(x－2)2

16．(山东德州)已知：x＝＋1，y＝－1，求的值．

C级　拔尖题

17．(江苏苏州)若a＝2，a＋b＝3，则a2＋ab＝________.18．(湖北随州)设a2＋2a－1＝0，b4－2b2－1＝0，且1－ab2≠0，则＝________.选做题

19．分解因式：x2－y2－3x－3y＝______________.20．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．

21．(贵州黔东南州)分解因式x3－4x＝______________________.第3课时　分式

考点一、分式

（8~10分）

1、分式的概念

一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。

2、分式的性质

（1）分式的基本性质：

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

（2）分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算法则

（1），（2）。

（3）

（4）

A级　基础题

1．(浙江湖州)要使分式有意义，x的取值范围满足()

A．x＝0

B．x≠0

C．x＞0

D．x＜0

2．(四川德阳)使代数式有意义的x的取值范围是()

A．x≥0

B．x≠

C．x≥0且x≠

D．一切实数

3．在括号内填入适当的代数式，是下列等式成立：

(1)＝

b

(2)＝

4．约分：＝____________；

＝____________.5．已知＝，则＝__________.6．当x＝______时，分式的值为零．

7．(福建漳州)化简：÷.8．先化简，再求值：－，其中x＝2.9．(山东泰安)化简：÷＝____________________.B级　中等题

10．先化简，再求值：÷.11．(四川资阳)先化简，再求值：÷，其中a是方程x2－x＝6的根．

C级　拔尖题

12．先化简再求值：＋，其中＋36a2＋b2－12ab＝0.选做题

13．已知x2－3x－1＝0，求x2＋的值．

第4讲　二次根式

考点一、二次根式

（初中数学基础，分值很大）

1、二次根式

式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

4、二次根式的性质

（1）

（2）

（3）

（4）

5、二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

A级　基础题

1．下列二次根式是最简二次根式的是()

A.B.C.D.2．下列计算正确的是()

A.＝2

B.·＝

C.－＝

D.＝－3

3．若a＜1，化简－1＝()

A．a－2

B．2－a

C．a

D．－a

4．(广西玉林)计算：3

－＝()

A．3

B.C．2

D．4

5．(湖南衡阳)计算：＋＝__________.7．(辽宁营口)计算－2

＝________.6．已知一个正数的平方根是3x－2和5x＋6，则这个数是__________．

7．(四川内江)计算：tan30°－(π－2

011)0＋－|1－|.B级　中等题

8．(安徽)设a＝－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是()

A．1和2

B．2和3

C．3和4

D．4和5

9．(山东烟台)如果＝1－2a，则()

A．a＜

B．a≤

C．a＞

D．a≥

10．(浙江)已知m＝1＋，n＝1－，则代数式的值为()

A．9

B．±3

C．3

D．5

11．(福建福州)若是整数，则正整数n的最小值为________．

12．(四川凉山州)计算：(sin30°)－2＋－|3－|＋83×(－0.125)3.C级　拔尖题

13．(湖北荆州)若与|x－y－3|互为相反数，则x＋y的值为()

A．3

B．9

C．12

D．27

14．(山东日照)已知x，y为实数，且满足－(y－1)＝0，那么x2

011－y2

011＝______.选做题

15．(四川凉山州)已知y＝＋－3，则2xy的值为()

A．－15

B．15

C．－

D.第二章　方程与不等式

第1讲　方程与方程组

第1课时　一元一次方程与二元一次方程组

考点一、一元一次方程的概念

（6分）

1、方程

含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

4、一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程

叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。

考点二、二元一次方程组

（8~10分）

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

4二元一次方程组的解

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

5、二元一次方正组的解法

（1）代入法（2）加减法

6、三元一次方程

把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。

7、三元一次方程组

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组

A级　基础题

1．(山东枣庄)“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2

080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是()

A．x(1＋30%)×80%＝2

080

B．x×30%×80%＝2

080

C．2

080×30%×80%＝x

D．x×30%＝2

080×80%

2．(广西桂林)二元一次方程组的解是()

A.B.C.D.3．(湖南衡阳)为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得()

A.B.C.D.4．(贵州铜仁)铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是()

A．5(x＋21－1)＝6(x－1)

B．5(x＋21)＝6(x－1)

C．5(x＋21－1)＝6x

D．5(x＋21)＝6x

5．已知关于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，则m的值是________．

6．方程组的解是__________．

7．(湖南湘潭)湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20

000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5

000元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为__________________．

8．(年江苏苏州)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家．有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13

800

m3.问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：m3)?

B级　中等题

9．(贵州黔西南)已知－2xm－1y3与xnym＋n是同类项，那么(n－m)2

012＝______.10．(山东菏泽)已知是二元一次方程组的解则2m－n的算术平方根为()

A．±

B.C．2

D．4

11．(湖北咸宁)某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1

020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需____________元．

12．(内蒙古呼和浩特)解方程组：

C级　拔尖题

13．如图X2－1－1，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．

(1)求b的值．

(2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解．

(3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．

图X2－1－1

14．(江西南昌)小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．

妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；

爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”；

小明说：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”

请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．

选做题

15．(上海)解方程组：

16．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则k的值为()

A．－

B.C.D．－

第2课时　分式方程

考点一、分式方程

（8分）

1、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母

（2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法

换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

A级　基础题

1．(广西北海)分式方程＝1的解是()

A．－1

B．1

C．8

D．15

2．(浙江丽水)把分式方程＝

化为一元一次方程时，方程两边需同乘以()

A．x

B．2x

C．x＋4

D．x(x＋4)

3．(湖北随州)分式方程＝的解是()

A．v＝－20

B．v＝5

C．v＝－5

D．v＝20

4．(四川成都)分式方程＝的解为()

A．x＝1

B．x＝2

C．x＝3

D．x＝4

5．(四川内江)甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用的时间相同．已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是()

A.＝

B.＝

C.＝

D.＝

6．方程

＝0的解是________．

7．(江苏连云港)今年6月1日起，国家实施了《中央财政补贴条例》，支持高效节能电器的推广使用．某款定速空调在条列实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用1万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为

__________元．

8．(山东德州)解方程：＋＝1.9．(江苏泰州)当x为何值时，分式的值比分式的值大3?

10．(北京)据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1

000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．

B级　中等题

11．(山东莱芜)对于非零实数a，b，规定a⊕b＝－.若2⊕(2x－1)＝1，则x的值为()

A.B.C.D．－

12．(四川巴中)若关于x的方程＋＝2有增根，则m的值是________．

13．(山东菏泽改编)我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12

000元购进的科普书与用8

000元购进的文学书的本数相等．

C级　拔尖题

15．(江苏无锡)某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%；

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．

(1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么(注：投资收益率＝×100%)?

(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？

选做题

14．(山东日照)某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1

936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1

936元．请问该学校九年级学生有多少人？

15．(湖北黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8

800

件投入市场，服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2

倍，A，B

两车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用20

天完成，求A，B两车间每天分别能加工多少件．

第3课时　一元二次方程

考点一、一元二次方程

（6分）

1、一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法

（10分）

1、直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

考点三、一元二次方程根的判别式

（3分）

根的判别式

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

考点四、一元二次方程根与系数的关系

（3分）

如果方程的两个实数根是，那么。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

A级　基础题

1．(江苏泰州)一元二次方程x2＝2x的根是()

A．x＝2

B．x＝0

C．x1＝0，x2＝2

D．x1＝0，x2＝－2

2．方程x2－4＝0的根是()

A．x＝2

B．x＝－2

C．x1＝2，x2＝－2

D．x＝4

3．(安徽)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是()

A．－1

B．2

C．1和2

D．－1和2

4．(贵州安顺)已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0的一个根，则m的值是()

A．1

B．－1

C．0

D．无法确定

5．(湖北武汉)若x1，x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是()

A．－2

B．2

C．3

D．1

6．(湖南常德)若一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是()

A．m≤－1

B．m≤1

C．m≤4

D．m≤

7．(江西南昌)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是()

A．1

B．－1

C.D．－

8．(上海)如果关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常数)没有实根，那么c的取值范围是__________．

9．(山东滨州)某商品原售价为289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的分率为x,可列方程为_______________________________________________。

10．解方程：

(x－3)2＋4x(x－3)＝0.B级　中等题

11．(内蒙古呼和浩特)已知：x1，x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的两个根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a，b的值分别是()

A．a＝－3，b＝1

B．a＝3，b＝1

C．a＝－，b＝－1

D．a＝－，b＝1

12．(山东潍坊)关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是()

A．k为任何实数，方程都没有实数根

B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根

C．k

为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D．根据

k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

13．(山东德州)若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则x＋x＝__________.14．(2011年江苏苏州)已知a，b是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则代数式(a－b)(a＋b－2)＋ab的值等于________．

15．(山西)山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2

240元，请回答：

(1)每千克核桃应降价多少元？

(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

16．(湖南湘潭)如图X2－1－2，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25

m)，现在已备足可以砌50

m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300

m2.X2－1－2

C级　拔尖题

17．(湖北襄阳)如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是()

A．k＜

B．k＜且k≠0

C．－≤k＜

D．－≤k＜且k≠0

选做题

18．(江苏南通)设α，β是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝________.19．三角形的每条边的长都是方程x2－6x＋8＝0的根，则三角形的周长是________．

第2讲　不等式与不等式组

考点一、不等式的概念

（3分）

1、不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3、用数轴表示不等式的方法

考点二、不等式基本性质

（3~5分）

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

考试题型：

考点三、一元一次不等式

（6~8分）

1、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1

考点四、一元一次不等式组

（8分）

1、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集

A级　基础题

1．不等式3x－6≥0的解集为()

A．x＞2

B．x≥2

C．x＜2

D．x≤2

2．(湖南长沙)一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图X2－2－1，则下列符合条件的不等式组为()

图X2－2－1

图X

2－2

A.B.C.D.3．函数y＝kx＋b的图象如图X2－2－2，则当y＜0时，x的取值范围是()

A．x＜－2

B．x＞－2

C．x＜－1

D．x＞－1

4．直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐标系中的图象如图X2－2－3，则关于x的不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集为（）

A．x＞1

B．x＜1

C．x＞－2

D．x＜－2

5．若关于x的不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是________．

6．(江苏扬州)在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．

7．不等式组的整数解是__________

8．8．(江苏苏州)解不等式组：

9．某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人．如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得1盒．

(1)设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒(用含x的代数式表示)?

(2)该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？

B级　中等题

11．(湖北荆门)已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是()

12．(湖北恩施)某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高()

A．40%

B．33.4%

C．33.3%

D．30%

13．(湖北黄石)若关于x的不等式组有实数解，则实数a的取值范围是____________．

14．为了对学生进行爱国主义教育，某校组织学生去看演出，有甲、乙两种票，已知甲、乙两种票的单价比为4∶3，单价和为42元．

(1)甲乙两种票的单价分别是多少元？

(2)学校计划拿出不超过750元的资金，让七年级一班的36名学生首先观看，且规定购买甲种票必须多于15张，有哪几种购买方案？

C级　拔尖题

15．试确定实数a的取值范围，使不等式组恰有两个整数解．

16．(四川德阳)今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48

000

m2和B种板材24

000

m2的任务．

(1)如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60

m2或B种板材40

m2.请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？

(2)某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400间，已知建设一间甲型板房和一间乙型板房所需板材及安置人数如下表所示：

板房

A种板材/m2

B种板材/m2

安置人数/人

甲型

乙型

156

问这400间板房最多能安置多少灾民？

选做题

17．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜2，则实数a的取值范围为______．

18．(2011年福建泉州)某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：

类别

冰箱

彩电

进价(元/台)

320

900

售价(元/台)

420

980

(1)按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13%的政府补贴．农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？

(2)为满足农民需求，商场决定用不超过85

000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的.若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？最大获利是多少？

第三章　函数

第1讲　函数与平面直角坐标系

考点一、平面直角坐标系

（3分）

1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

考点二、不同位置的点的坐标的特征

（3分）

1、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限

点P(x,y)在第二象限

点P(x,y)在第三象限

点P(x,y)在第四象限

2、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上，x为任意实数

点P(x,y)在y轴上，y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征

点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数

点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数

点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

（1）点P(x,y)到x轴的距离等于

（2）点P(x,y)到y轴的距离等于

（3）点P(x,y)到原点的距离等于

A级　基础题

1．(山东荷泽)点(－2,1)在平面直角坐标系中所在的象限是()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2．(四川成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(－3,5)关于y轴的对称点的坐标为()

A．(－3，－5)

B．(3,5)

C．(3，－5)

D．(5，－3)

3．已知y轴上的点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为()

A．(3,0)

B．(0,3)

C．(0,3)或(0，－3)

D．(3,0)或(－3,0)

4．(浙江绍兴)在如图X3－1－1所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的▱ABCD，点A的坐标是(0,2)．现将这张胶片平移，使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是()

图X3－1－1

图X3－1－2

A．先向右平移5个单位，再向下平移1个单位

B．先向右平移5个单位，再向下平移3个单位

C．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位

D．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位

5．(山东枣庄)在平面直角坐标系中，点P(－2，x2＋1)所在的象限是()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

6．(湖北孝感)如图X3－1－2，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是(－2,3)，先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是()

A．(－3,2)

B．(2，－3)

C．(1，－2)

D．(3，－1)

7.(贵州毕节)如图X3－1－3，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是()

A．(2,4)

B．(－1，－2)

C．(－2，－4)

D．(－2，－1)

X3－1－3

8．(浙江衢州)小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图X3－1－4)．若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1、v2、v3，且v1

图X3－1－4

9．(山东潍坊)甲、乙两位同学用围棋子做游戏，如图X3－1－5，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是()

[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6,3)]

图X3－1－5

A．黑(3,7)；白(5,3)

B．黑(4,7)；白(6,2)

C．黑(2,7)；白(5,3)

D．黑(3,7)；白(2,6)

10．(山东德州)点P(1,2)关于原点的对称点P′的坐标为__________．

B级　中等题

11．(四川内江)已知点A(1,5)，B(3，－1)，点M在x轴上，当AM－BM最大时，点M的坐标为____________．

13．(四川达州)将边长分别为1,2,3,4，…，19,20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图X3－1－6中的方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为__________．

图X3－1－6　　图X3－1－7

14．(江苏南京)在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换．如图X3－1－7，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是(－1，－1)，(－3，－1)，把△ABC经过连续九次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是__________．

15．(吉林)在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C.(1)若点A的坐标为(1,2)，请你在给出的图X3－1－8，坐标系中画出△ABC.设AB与y轴的交点为D，则＝__________；

(2)若点A的坐标为(a，b)(ab≠0)，则△ABC的形状为____________．

图X3－1－8

C级　拔尖题

16．(贵州贵阳)【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)为端点的线段中点坐标为.【运用】(1)如图X3－1－9，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4,3)，求点M的坐标；

(2)在直角坐标系中，有A(－1,2)，B(3,1)，C(1,4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

图X3－1－9

选做题

17．(江苏苏州)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()

图X3－1－10

A.B.C.D.第2讲　一次函数

函数及其相关概念

（3~8分）

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

考点一、正比例函数和一次函数

（3~10分）

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。

k的符号

b的符号

函数图像

图像特征

k>0

b>0

y

0

x

图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。

b<0

y

0

x

图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。

K<0

b>0

y

0

x

图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小

b<0

y

0

x

图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。

注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。

4、正比例函数的性质

一般地，正比例函数有下列性质：

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数有下列性质：

（1）当k>0时，y随x的增大而增大

（2）当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

A级　基础题

1．(江西)已知一次函数y＝－x＋b的图象经过第一、二、四象限，则b的值可能是()

A．－2

B．－1

C．0

D．2

2．(重庆)直线y＝x－1的图象经过的象限是()

A．第一、二、三象限

B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限

D．第一、三、四象限

3．(广西桂林)直线y＝kx－1一定经过点()

A．(1,0)

B．(1，k)

C．(0，k)

D．(0，－1)

4．(湖南怀化)在平面直角坐标系中，把直线y＝x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为()

A．y＝x＋1

B．y＝x－1

C．y＝x

D．y＝x－2

5．(黑龙江牡丹江)在平面直角坐标系中，点O为原点，直线y＝kx＋b交x轴于点A(－2,0)，交y轴于点B.若△AOB的面积为8，则k的值为()

A．1

B．2

C.－2或4

D．4或－4

6．(湖南张家界)关于的一次函数y＝kx＋k2＋1的图象可能是()

7．(山东济南)一次函数y＝(k－2)x＋b的图象如图X3－2－1所示，则k的取值范围是()

A．k＞2

B．k＜2

C．k＞3

D．k＜3

图X3－2－2

图X3－2－1

8．(湖南怀化)一次函数y＝－2x＋3中，y的值随x值增大而__________(填“增大”或“减小”)．

9．(浙江义乌)一次函数y＝2x－1的图象经过点(a,3)，则a＝________.10．(江苏淮安)国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元．种粮大户老王今年种了150亩地，计划明年再承租50～150亩土地种粮以增加收入．考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y(单位：元)与种粮面积x(单位：亩)之间的函数关系如图X3－2－2所示：

(1)今年老王种粮可获得补贴多少元？

(2)根据图象，求y与x之间的函数关系式．

B级　中等题

11．(山西)如图X3－2－3，一次函数y＝(m－1)x－3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A，B，则m的取值范围是()A．m＞1

B．m＜1

C．m＜0

D．m＞0

图X3－2－4

图X3－2－5

图X3－2－3

12．(广西玉林)一次函数y＝mx＋|m－1|的图象过点(0,2)且y随x的增大而增大，则m＝()

A．－1

B．3

C．1

D．－1或3

13．如图X3－2－4，直线y1＝与y2＝－x＋3相交于点A，若y1＜y2，那么()

A．x＞3

B．x＜2

C．x＞1

D．x＜1

14．(湖南衡阳)如图经3－2－5，一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A(1，－2)，则kb＝________

C级　拔尖题

15．(广西北海)如图X3－2－6，点A的坐标为(－1,0)，点B在直线y＝2x－4上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是__________．图X3－2－6

16．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．

(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？

(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？

17．(山东济宁)“五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160

000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：

类别

彩电(元/台)

冰箱(元/台)

洗衣机(元/台)

进价

000

600

000

售价

200

800

(1)若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商家可以购买彩电和洗衣机各多少台？

(2)若在现有资金160

000元允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？请求出最大利润(利润＝售价－进价)．

选做题

18．某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：

类别

冰箱

彩电

进价(元/台)

320

900

售价(元/台)

420

980

(1)按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13%的政府补贴．农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？

(2)为满足农民需求，商场决定用不超过85

000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的.若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？最大获利是多少？

第3讲　反比例函数

1、反比例函数的概念:(考点、反比例函数

3~10分）

一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质

反比例函数

k的符号

K

0

K

0

图像

Y

O

x

y

O

x

性质

①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；

②当k>0时，函数图像的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y

随x的增大而减小。

①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；

②当k<0时，函数图像的两个分支分别

在第二、四象限。在每个象限内，y

随x的增大而增大。

4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。

A级　基础题

1．(甘肃兰州)如图X3－3－1，某反比例函数的图象过点(－2,1)，则此反比例函数表达式为()

图X3－3－1

A．y＝

B．y＝－

C．y＝

D．y＝－

2．(山东枣庄)对反比例函数y＝，下列结论中不正确的是()

A．图象经过点(－1，－1)

B．图象在第一、三象限

C．当x>1时，0

D．当x<0时，y随着x的增大而增大

3．(江苏南京)若反比例函数y＝与一次函数y＝x＋2的图象没有交点，则k的值可能是()

A．－2

B．－1

C．1

D．2

4．(山西)已知直线y＝ax(a≠0)与双曲线y＝(k≠0)的一个交点坐标为(2,6)，则它们的另一个交点坐标是()

A．(－2,6)

B．(－6，－2)

C．(－2，－6)

D．(6,2)

5．(江苏淮安)已知反比例函数的图象y＝如图X3－3－2所示，则实数m的取值范围是()

A．m>1

B．m>0

C．m<1

D．m<0

图X3－3－2

6．(江苏无锡)若双曲线y＝与直线y＝2x＋1一个交点的横坐标为－1，则k的值为()

A．－1

B．1

C．－2

D．2

7．(四川南充)矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为()

8．(四川达州)一次函数y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图X3－3－3所示，若y1>y2，则x的取值范围是()

图X3－3－3

A．－21

B．x<－2或0

C．x>1

D．－2

9．(四川泸州)已知反比例函数y＝的图象经过点(1，－2)，则k＝________.10．(贵州黔西南州)已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(－2,3)，则m的值为__________．

11．(内蒙古呼和浩特)如图X3－3－4，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x>0)的图象交于A(m,6)，B(n,3)两点．

(1)求一次函数的解析式；

(2)根据图象直接写出，当kx＋b－>0时，x的取值范围．

图X3－3－4

B级　中等题

12.(山东青岛)点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都在反比例函数y＝的图象上，若x1

A．y3

B．y1

C．y3

D．y2

13．(贵州贵阳)如图X3－3－5，反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x的图象交于A(－1，－3)，B(1,3)两点，若＞k2x，则x的取值范围是()

A．－1＜x＜0

B．－1＜x＜1

C．x＜－1或0＜x＜1

D．－1＜x＜0或x＞1

图X3－3－5

图X3－3－6

图X3－3－7

14．(江苏连云港)如图X3－3－6，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜＋b的解集是____________．

15．(湖北黄冈)如图X3－3－7，点A在双曲线y＝上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k＝________.16．(四川巴中)如图X3－3－8在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝k1x＋1的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例y2＝的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐标为2.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)直接写出y1＞y2时，x取值范围．

图X3－3－8

C级　拔尖题

17．(2012年广西玉林)如图X3－3－9，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y＝的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E.(1)填空：双曲线的另一支在第________象限，k的取值范围是________；

(2)若点C的坐标为(2,2)，当点E在什么位置时？阴影部分面积S最小？

(3)若＝，S△OAC＝2，求双曲线的解析式．

图X3－3－9

18．(安徽)甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总金额满200元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；…，乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．

(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付多少钱？

(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x＜600)元，优惠后得到商家的优惠率为p(p＝)，写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情况；

(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x(200≤x＜400)元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．

选做题

19．(浙江嘉兴)如图X3－3－10，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A(2,3)和点B，与x轴相交于点C(8,0)．

(1)求这两个函数的解析式；

(2)当x取何值时，y1>y2.图X3－3－10

20．(四川攀枝花)据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量(单位；毫克)与燃烧时间(单位；分钟)之间的关系如图X3－3－11所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，根据图象所示信息，解答下列问题：

(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？

图X3－3－11

第4讲　二次函数

考点一、二次函数的概念和图像

（3~8分）

1、二次函数的概念

一般地，如果，那么y叫做x的二次函数。

叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

考点二、二次函数的解析式

（10~16分）

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：

（2）顶点式：

（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

考点三、二次函数的最值

（10分）

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时。

如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时。

考点四、二次函数的性质

（6~14分）

1、二次函数的性质

函数

二次函数

图像

a>0

a<0

y

0

x

y

0

x

性质

（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；

（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；

（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；

（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；

（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；

（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：

表示开口方向：>0时,抛物线开口向上

<0时，抛物线开口向下

与对称轴有关：对称轴为x=

表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。

当>0时，图像与x轴有两个交点；

当=0时，图像与x轴有一个交点；

当<0时，图像与x轴没有交点。

补充：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）

则AB间的距离，即线段AB的长度为

A2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）

左加右减、上加下减

0

x

A级　基础题

1．(上海)抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是()

A．(2，－3)

B．(－2,3)

C．(2,3)

D．(－2，－3)

2．(山东泰安)将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为()

A．y＝3(x＋2)2＋3

B．y＝3(x－2)2＋3

C．y＝3(x＋2)2－3

D．y＝3(x－2)2－3

3．(重庆)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图X3－4－1所示，则下列结论中，正确的是()

A．a＞0

B

B．b＜0

C．c＜0

D．a＋b＋c＞0

图X3－4－1

图X3-4－2

4．(山东泰安)二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图X3－4－2，则一次函数y＝mx＋n的图象经过()

A．第一、二、三象限

B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限

D．第一、三、四象限

5．(山东济南)如图X3－4－3，二次函数的图象经过(－2，－1)，(1,1)两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是()

A．y的最大值小于0

B．当x＝0时，y的值大于1

C．当x＝－1时，y的值大于1

D．当x＝－3时，y的值小于0

图X3－4－3

图X3－4－4

6．(山东日照)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图X3－4－4所示，给出下列结论：①b2－4ac>0；②2a＋b<0；③4a－2b＋c＝0；④a∶b∶c＝－1∶2∶3.其中正确的是()

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

7．(广西玉林)已知拋物线y＝－x2＋2，当1≤x≤5时，y的最大值是()

A．2

B.C.D.8．(山东滨州)抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是()

A．3

B．2

C．1

D．0

9．(江苏淮安)抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标是__________．

10．(山东枣庄)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图X3－4－5所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是____________．

图X3－4－5

11．(江苏盐城)已知二次函数y＝－x2－x＋.(1)在如图X3－4－6的直角坐标系中，画出这个函数的图象；

(2)根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；

(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．

图X3－4－6

B级　中等题

12．(山东枣庄)抛物线y＝ax2＋bx－3经过点(2,4)，则代数式8a＋4b＋1的值为()

A．3

B．9

C．15

D．－15

13．(湖北襄阳)已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()

A．k<4

B．k≤4

C．k<4且k≠3

D．k≤4且k≠3

14．(甘肃兰州)如图X3－4－7所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b2－4ac>0；(2)c>1；(3)2a－b<0；(4)a＋b＋c<0.你认为其中错误的有()

A．2个

B．3个

C．4个

D．1个

图X3－4－7

图X3－4－8

15．(安徽芜湖)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图X3－4－8所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中的大致图象是()

A

B

C

D

16．某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．

(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是__________元；这种篮球每月的销售量是__________个；(用含x的代数式表示)

(2)8

000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并求出此时篮球的售价应定为多少元．

C级　拔尖题

17．(山东济南)如图X3－4－10，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A(－3,0)，B(－1,0)，与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D.(1)求抛物线的解析式；

(2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；

(3)如图X3－4－11，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

图X3－4－10

图X3－4－11

18．(广东肇庆)已知二次函数y＝mx2＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<0

(2)求m，n的值；

(3)当p>0且二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

选做题

19．(浙江温州)如图X3－4－12，经过原点的抛物线y＝－x2＋2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A.过点P(1，m)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B，C不重合)．连结CB，CP.(1)当m＝3时，求点A的坐标及BC的长；

(2)当m>1时，连结CA，问m为何值时CA⊥CP?

(3)过点P作PE⊥PC且PE＝PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．

图X3－4－12

20．(广东广州)如图X3－4－13，抛物线y＝－x2－x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A，B的坐标；

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

(3)若直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A，B，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

图X3－4－13

第二部分　空间与图形

第四章　三角形与四边形

第1讲　相交线和平行线

考点一、直线、射线和线段

（3分）

1、几何图形

从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2、点、线、面、体

（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

3、直线的概念

一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。

4、射线的概念

直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。

5、线段的概念

直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。

6、点、直线、射线和线段的表示

在几何里，我们常用字母表示图形。

一个点可以用一个大写字母表示。

一条直线可以用一个小写字母表示。

一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。

一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。

注意：

（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。

（2）直线和射线无长度，线段有长度。

（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。

（4）点和直线的位置关系有线面两种：

①点在直线上，或者说直线经过这个点。

②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

7、直线的性质

（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。

（2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

（4）直线上有无穷多个点。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。

8、线段的性质

（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。

（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

考点二、角

（3分）

1、角的相关概念

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。

如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。

如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。

2、角的表示

角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：

①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。

④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。

注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。

3、角的度量

角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。

把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。

1°=60’=60”

4、角的性质

（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。

（2）角的大小可以度量，可以比较

（3）角可以参与运算。

5、角的平分线及其性质

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

角的平分线有下面的性质定理：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

考点三、相交线

（3分）

1、相交线中的角

两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。

临补角互补，对顶角相等。

直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。

2、垂线

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。

垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

考点四、平行线

（3~8分）

1、平行线的概念

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

注意：

（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。

（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。

2、平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

3、平行线的判定

平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。

平行线的两条判定定理：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）垂直于同一条直线的两直线平行。

（3）平行线的定义。

4、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

考点五、命题、定理、证明

（3~8分）

1、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；

（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

2、命题的分类（按正确、错误与否分）

真命题（正确的命题）

命题

假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5、证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

6、证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

考点六、投影与视图

（3分）

1、投影

投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。

平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。

中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

2、视图

当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。

俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。

左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。

A级　基础题

1．(广西桂林)如图X4－1－1，与∠1是内错角的是()

A．∠2

B．∠3

C．∠4

D．∠5

图X4－1－1

图X4－1－2

2．(福建福州)如图X4－1－2，直线a∥b，∠1＝70°，那么∠2的度数是()

A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

3．(吉林长春)如图X4－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°.D为边CA延长线上的一点，DE∥AB，∠ADE＝42°，则∠B的大小为()

A．42°

B．45°

C．48°

D．58°

图X4－1－3

图X4－1－4

4．如图X4－1－4，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°.则∠3＝()

A．100°

B．60°

C．40°

D．20°

5．(浙江丽水)如图X4－1－5，小明在操场上从点A出发，先沿南偏东30°方向走到点B，再沿南偏东60°方向走到点C.这时，∠ABC的度数是()

A．120°

B．135°

C．150°

D．160°

图X4－1－5

图X4－1－6

6．(四川内江)如图X4－1－6，a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3＝()

A．100°

B．105°

C．110°

D．115°

7．下列命题中，属于真命题的是()

A．相等的角是直角

B．不相交的两条线段平行

C．两直线平行，同位角互补

D．经过两点有且只有一条直线

8．(四川宜宾)如图X4－1－7，已知∠1＝∠2＝∠3＝59°，则∠4＝________.图X4－1－7

图X4－1－8

9．(浙江湖州)如图X4－1－8，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A＝46°，∠1＝52°，则∠2＝______度．

10．(四川绵阳)如图X4－1－9，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝________度．

图X4－1－9

图X4－1－10

11．(湖南长沙)如图X4－1－10，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝________度．

12．(山东淄博)如图X4－1－11，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D.若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数．

图X4－1－11

B级　中等题

13．(2012年湖北襄阳)如图X4－1－12，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为()

图X4－1－12

A．20°

B．25°

C．30°

D．35°

4．(四川广元)一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度为()

A．先向左转130°，再向左转50°

B．先向左转50°，再向右转50°

C．先向左转50°，再向右转40°

D．先向左转50°，再向左转40°

15．观察下列各图(如图X4－1－13)，寻找对顶角(不含平角)：

①

②

③

图X4－1－13

(1)如图①，图中共有________

对对顶角；

(2)如图②，图中共有________

对对顶角；

(3)如图③，图中共有________

对对顶角；

(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________对对顶角；

(5)若有2

008条直线相交于一点，则可形成______对对顶角．

C级　拔尖题

16．如图X4－1－14，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.(1)求∠MON的度数；

(2)如果(1)中，∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；

(3)如果(1)中，∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；

(4)从(1)，(2)，(3)的结果中，你能看出什么规律？

图X4－1－14

选做题

17．如图X4－1－15①，已知直线m∥n，点A，B在直线n上，点C，P在直线m上．

(1)写出图X4－1中面积相等的各对三角形：________________________________；

(2)如图①，A，B，C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有____________与△ABC的面积相等；

(3)如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC(或其延长线)于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积．

图X4－1－15

第2讲　三角形

考点一、三角形

（3~8分）

1、三角形的概念

由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示

三角形有下面三个特性：

（1）三角形有三条线段

（2）三条线段不在同一直线上

三角形是封闭图形

（3）首尾顺次相接

三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下：

不等边三角形

三角形

底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形

锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

8、三角形的面积

三角形的面积=×底×高

考点二、全等三角形

（3~8分）

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、全等三角形的表示和性质

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

4、全等变换

只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形

（8~10分）

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形性质

等腰三角形判定

中线

1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；

2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。

1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；

2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形

角平分线

1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；

2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；

2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

高线

1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；

2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。

1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；

2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。

角

等边对等角

等角对等边

边

底的一半<腰长<周长的一半

两边相等的三角形是等腰三角形

4、三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

第1课时　三角形

A级　基础题

1．已知在△ABC中，∠A＝70°－∠B，则∠C＝()

A．35°

B．70°

C．110°

D．140°

2．已知如图X4－2－1中的两个三角形全等，则角α的度数是()

图X4－2－1

A．72°

B．60°

C．58°

D．50°

3．(湖南怀化)如图X4－2－2，∠A，∠1，∠2的大小关系是()

A．∠A＞∠1＞∠2

B．∠2＞∠1＞∠A

C．∠A＞∠2＞∠1

D．∠2＞∠A＞∠1

图X4－2－2

图X4－2－3

4．(四川绵阳)王师傅用四根木条钉成一个四边形木架，如图X4－2－3.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条()

A．0根

B．1根

C．2根

D．3根

5．(上海)下列命题中，真命题的是()

A．周长相等的锐角三角形都全等

B．周长相等的直角三角形都全等

C．周长相等的钝角三角形都全等

D．周长相等的等腰直角三角形都全等

6．(江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4,9,12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是()

A

B

C

D

7．(山东德州)不一定在三角形内部的线段是()

A．三角形的角平分线

B．三角形的中线

C．三角形的高

D．三角形的中位线

8．(山东济宁)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图X4－2－3所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是()

A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．角平分线上的点到角两边的距离相等

图X4－2－3

图X4－2－4

图X4－2－5

9．(山东临沂)如图X4－2－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2

cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5

cm，则AE＝________cm.10．(湖北十堰)如图X4－2－5，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB.求证：BD＝CE.11．(四川宜宾)如图X4－2－6，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF.图X4－2－6

12．(四川广元)如图X4－2－7，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF；②AB＝CD；③CE＝BF.(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果⊗，⊗，那么⊗”)；

(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．

图X4－2－7

13．如图X4－2－8所示，两根旗杆间相距12

m，某人从点B沿BA走向点A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3

m，该人的运动速度为1

m/s，求这个人运动了多长时间？

图X4－2－8

B级　中等题

14．(黑龙江绥化)如图X4－2－9所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为________(提示：∠EAD＋∠FAB＝90°)．

图X4－2－9

图X4－2－10

图X4－2－11

15．(年黑龙江)如图X4－2－10，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是()

A．15°

B．20°

C．25°

D．30°

16．(湖南衡阳)如图X4－2－11，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．

C级　拔尖题

17．(辽宁阜新)(1)如图X4－2－12，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.①当点D在AC上时，如图X4－2－12(1)，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；

②将图X4－2－12(1)中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)，如图X4－2－12(2)，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

(2)当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，能使线段BD，CE在(1)中的位置关系仍然成立？不必说明理由．

甲：AB∶AC＝AD∶AE＝1，∠BAC＝∠DAE≠90°；

乙：AB∶AC＝AD∶AE≠1，∠BAC＝∠DAE＝90°；

丙：AB∶AC＝AD∶AE≠1，∠BAC＝∠DAE≠90°.图X4－2－12

选做题

18．(山东滨州)如图X4－2－13(1)，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G.(1)求证：△ADF≌△CBE；

(2)求正方形ABCD的面积；

(3)如图X4－2－13(2)，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S.图X4－2－13

第2课时　等腰三角形与直角三角形

A级　基础题

1．(浙江东阳)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个

等腰三角形的顶角为()

A．40°

B．100°

C．40°或100°

D．70°或50°

2．(四川攀枝花)已知实数x，y满足|x－4|＋＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是()

A．20或16

B．20

C．16

D．以上答案均不对

3．(广东深圳)如图X4－2－14所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是()

A．40°

B．35°

C．25°

D．20°

图X4－2－14

图X4－2－15

4．(山东济宁)如图X4－2－15，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2,3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于()

A．－4和－3之间

B．3和4之间

C．－5和－4之间

D．4和5之间

5．如图X4－2－16，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为()

A．50°

B．60°

C．30°

D．40°

图X4－2－16

图X4－2－17

6．(河北)如图X4－2－17，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为()

A.B．2

C．3

D．4

7．(吉林)如图X4－2－18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________.图X4－2－18

图X4－2－19

图X4－2－20

8．(江苏无锡)如图X4－2－19，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5

cm，则EF＝_________cm.9．(四川凉山州)把命题“如果直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，斜边边长为c，那么a2＋b2＝c2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：________________________________________________________________________

________________________________________________________________________.10．(江苏淮安)如图X4－2－20，△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20.求∠A的度数．

11．(辽宁沈阳)如图X4－2－21，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.(1)求∠DAC的度数；

(2)求证：DC＝AB.图X4－2－21

12．(湖南湘潭)如图X4－2－22，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；

(2)求线段BD的长．

图X4－2－22

B级　中等题

13．(贵州黔东南州)如图X4－2－23，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M的坐标为()

A．(2,0)

B．(－1,0)

C．(－1,0)

D．(，0)

图X4－2－23

图X4－2－24

14．(贵州黔西南州)如图X4－2－24，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为______．

15．(2011年山东枣庄)如图X4－2－25，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

图X4－2－25

(1)画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；

(2)线段AC的长为________，CD的长为________，AD的长为________；

(3)△ACD为________三角形，四边形ABCD的面积为________；

(4)若E为BC的中点，则tan∠CAE的值是______．

C级　拔尖题

16．(山东枣庄)如图X4－2－26，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝14

cm，则阴影部分的面积是______cm2.图X4－2－26

选做题

17．(浙江绍兴)小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．

【思考题】如图X4－2－27，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直墙壁AC上，这时B到墙脚C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯脚将从点B往外移动多少米？

图X4－2－27

(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：

解：设梯脚将从点B往外移动x米到达点B1，即BB1＝x，则B1C＝x＋0.7，A1C＝AC－AA1＝－0.4＝2.而A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B，得方程____________________，解方程，得x1＝________，x2＝________，∴点B将向外移动________米．

(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：

【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？

【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？

请你解答小聪提出的这两个问题．

第3讲　四边形与多边形

考点一、四边形的相关概念

（3分）

1、四边形

在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。

2、凸四边形

把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。

3、对角线

在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。

4、四边形的不稳定性

三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。

5、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；

多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

6、多边形的对角线条数的计算公式

设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。

考点二、平行四边形

（3~10分）

1、平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积

S平行四边形=底边长×高=ah

第1课时　多边形与平行四边形

A级　基础题

1．(广东)正八边形的每个内角为()

A．120°

B．135°

C．140°

D．144°

2．(湖南益阳)如图X4－3－1，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，则四边形ABCD一定是()

A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．梯形

图X4－3－1图X4－3－2图X4－3－3

3．(四川广元)若以A(－0.5,0)，B(2,0)，C(0,1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

4．(2011年湖南郴州)如图X4－3－2，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()

A．AB＝DC，AD＝BC

B．AB∥DC，AD∥BC

C．AB∥DC，AD＝BC

D．AB∥DC，AB＝DC

5．(2012年江苏南京)如图X4－3－3，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________.6．(2011年山东德州)如图X4－3－4，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为________．

图X4－3－4图X4－3－5图X4－3－6

7．(湖南怀化)如图X4－3－5，在□ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF＝____________________________________.8．(山东临沂)如图X4－3－6，□ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连接CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为________．

9．(四川德阳)已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是________．

10．(2012年湖南郴州)如图X4－3－7，已知：点P是□ABCD的对角线AC的中点，经过点P的直线EF交AB于点E，交DC于点F.求证：AE＝CF.图X4－3－7

11．(福建南平)如图X4－3－8，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，CF.请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件，使四边形AECF是平行四边形，并予以证明．

备选条件：AE＝CF，BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，我选择添加的条件是：__________.图X4－3－8

(注意：请根据所选择的条件在图中画出符合要求的示意图，并加以证明)．

12．(江苏泰州)如图X4－3－9，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．

图X4－3－9

B级　中等题

13．(重庆潼南)如图X4－3－10，在平行四边形

ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论：①AO＝BO；②OE＝OF;

③△EAM∽△

EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是()

图X4－3－10

A．

①②

B．②③

C．②④

D．③④

14．(辽宁沈阳)如图X4－3－11，在□ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.(1)求证：△AEM≌△CFN；

(2)求证：四边形BMDN是平行四边形．

图X4－3－11

C级　拔尖题

15．(2012年山东威海)(1)如图X4－3－12(1)，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F.(1)求证：AE＝CF.(2)如图X4－3－12(2)，将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.求证：EI＝FG.(1)

(2)

图X4－3－12

选做题

16．如图X4－3－13，已知四边形ABCD是平行四边形．

(1)求证：△MEF

∽△MBA；

(2)若AF，BE分别为∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF＝EC.图X4－3－13

第2课时　特殊的平行四边形

考点三、矩形

（3~10分）

1、矩形的概念:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质:（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等

（4）矩形是轴对称图形

3、矩形的判定:（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积:

S矩形=长×宽=ab

考点四、菱形

（3~10分）

1、菱形的概念:

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质:

（1）具有平行四边形的一切性质

（2）菱形的四条边相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形是轴对称图形

3、菱形的判定

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积:

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

考点五、正方形

（3~10分）

1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定

（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

先证明它是平行四边形；

再证明它是菱形（或矩形）；

最后证明它是矩形（或菱形）

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为

S正方形=

5、A级　基础题

1．(湖北宜昌)如图X4－3－14，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于()

图X4－3－14A．20

B．15

C．10

D．5

2．(四川绵阳)下列关于矩形的说法中正确的是()

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相平分的四边形是矩形

C．矩形的对角线互相垂直且平分

D．矩形的对角线相等且互相平分

3．(江苏无锡)菱形具有而矩形不一定具有的性质是()

A．对角线互相垂直

B．对角线相等

C．对角线互相平分

D．对角互补

4．(湖南张家界)顺次连接矩形四边的中点所得的四边形一定是()

A．正方形

B．矩形

C．菱形

D．等腰梯形

5．(天津)如图X4－3－15，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为()

图X4－3－15

A.－1

B．3－

C.＋1

D.－1

6．(湖南益阳)如图X4－3－16，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是()

A．矩形

B．菱形

C．正方形

D．等腰梯形

图X4－3－16图X4－3－17图X4－3－18

7．(吉林长春)如图X4－3－17，□ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E，F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为________．

8．(黑龙江哈尔滨)如图X4－3－18，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为________．

9．(陕西)如图X4－3－19，在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：△ADF≌△BAE.图X4－3－19

10．(浙江温州)如图X4－3－20，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6

cm，BC＝8

cm.将△ABC沿射线BC方向平移10

cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．

图X4－3－20

11．(湖北恩施)如图X4－3－21，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．

图X4－3－21

12．如图X4－3－22，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．

图X4－3－22

B级　中等题

13．(湖南衡阳)如图X4－3－23，菱形ABCD的周长为20

cm，且tan∠ABD＝，则菱形ABCD的面积为________cm2.图X4－3－23

图X4－3－24

14．(四川宜宾)如图X4－3－24，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝____________.15．(河南)如图X4－3－25，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；

(2)填空：①当AM的值为________时，四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．

图X4－3－25

C级　拔尖题

16．(江苏南通)在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．

(1)如图X4－3－26(1)，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；

(2)如图X4－3－26(2)，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．

图X4－3－26

选做题

17．(黑龙江)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图X4－3－27(1)，易证：∠AFC＝∠ACB＋∠DAC；

(1)若点D在BC的延长线上，其他条件不变，写出∠AFC，∠ACB，∠DAC的关系，并结合图X4－3－27(2)给出证明；

(2)如图X4－3－27(3)，若点D在CB的延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC，∠ACB，∠DAC的关系式．

图X4－3－27

第3课时　梯形

考点一、梯形

（3~10分）

1、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：

一般梯形

梯形

直角梯形

特殊梯形

等腰梯形

2、梯形的判定

（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

3、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

4、等腰梯形的判定

（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

5、梯形的面积

（1）如图，（2）梯形中有关图形的面积：

①；

②；

③

6、梯形中位线定理

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

A级　基础

1．（四川乐山)下列命题是假命题的是()

A．平行四边形的对边相等

B．四条边都相等的四边形是菱形

C．矩形的两条对角线互相垂直

D．等腰梯形的两条对角线相等

2．(山东滨州)如图X4－3－28，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为()

A．1

B．2

C．3

D．4

图X4－3－28

图X4－3－29

3．(福建漳州)如图X4－3－29所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝80°，则∠D的度数是()

A．120°

B．110°

C．100°

D．80°

4．（广西来宾)在直角梯形ABCD中(如图X4－3－30所示)，已知AB∥DC，∠A＝90°，∠B＝60°，EF为中位线，且BC＝EF＝4，那么AB等于()

A．3

B．5

C．6

D．8

图X4－3－30

图X4－3－31

5．(江苏无锡)如图X4－3－31，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝5，BC＝9，CD的垂直平分线交BC于点E，连接DE，则四边形ABED的周长等于()

A．17

B．18

C．19

D．20

6．(山东烟台)如图X4－3－32，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且点B的坐标为(4,0)，点D的坐标为(0,3)，则AC长为()

A．4

B．5

C．6

D．不能确定

图X4－3－32

图X4－3－33

7．(江苏南通)如图X4－3－33，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＋∠B＝90°，AB＝7

cm，BC＝3

cm，AD＝4

cm，则CD＝______cm.8．(四川内江)如图X4－3－34，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝________.图X4－3－34

图X4－3－35

9．(湖南长沙)如图X4－3－35，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°，则BC的长为________．

10．(湖北襄阳)如图X4－3－36，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED，AC与ED相交于点F.求证：梯形ABCD是等腰梯形．

图X4－3－36

11．(2012年江苏盐城)如图X4－3－37所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC＝90°，E为BC上一点，∠BDE＝∠DBC.(1)求证：DE＝EC；

(2)若AD＝BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由．

图X4－3－37

12．（江苏苏州)如图X4－3－38，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到点E，使得BE＝AD，连接AE，AC.(1)求证：△ABE≌△CDA；

(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．

图X4－3－38

B级　中等题

13．(湖北咸宁)如图X4－3－39，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD＝2，BC＝12时，四边形BGEF的周长为________．

图X4－3－39

图X4－3－40

14．(四川达州)如图X4－3－40，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，CD的中点，则下列结论：

①EF∥AD；②S△ABO＝S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG＝DG；⑤EG＝HF.其中正确的个数是()

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

15．(河北)如图X4－3－41，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD－DC－CB，这两条公路围城等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB∶AD∶CD＝10∶5∶2.(1)求外环公路的总长和市区公路长的比；

(2)某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40

km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80

km/h，结果比去时少用了

h，求市区公路的长．

图X4－3－41

C级　拔尖题

16．(山东枣庄)如图X4－3－42所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于点E，DF平分∠EDC交BC于点F，连接EF.(1)证明：EF＝CF；

(2)当tan∠ADE＝时，求EF的长．

图X4－3－42

17．（山东滨州)我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图X4－3－43，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．

图X4－3－43

第五章

圆§4.1

圆的认识及有关概念

一、知识要点

圆的有关概念，点和圆的位置关系，圆的对称性（中心对称性：弧、弦、圆心角的关系，轴对称性：垂径定理），圆周角定理及推论，确定圆的条件，三角形的外心.二、课前演练

1.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则线段OM的最小值为（）

A．5

B．4

C．3

D．2

2．如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70，那么∠A的度数为（）

（第1题图）

（第2题图）

（第3题图）

（第4题图）

A.70

B.35

C.30

D.20

3．如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63

º，那么∠B=

º．

4．如图，点A、B、C在圆O上，且∠BAC=40°，则∠BOC=

°．

三、例题分析[来源*:中&~#^教网]

例1

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，以AB为直径的⊙O

交BC于D，交AC于E．

（1）求∠EBC的度数；

（2）求证：BD=CD．

例2

如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD．

（1）求证：OC∥BD；

（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．

四、巩固练习

1．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）

C

B

A

56º

l2

l1

B

C

D

A

（第1题图）

（第2题图）

（第3题图）

（第4题图）

M

R

Q

A

B

C

P

B

C

A

D

P

O

A．点P

B．点Q

C．点R

D．点M

2．如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=56º，则∠1=

（）

A．36º

B．68º

C．72º

D．78º

3.如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B（）

A．30°

B．35°

C．40°

D．50°

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于_________________。

5．如图，CD切⊙O于点D，OC交⊙O于B，弦AB⊥OD于点E，若⊙O的半径为10，sin∠COD=.求：（1）弦AB的长；

（2）CD的长.A

B

C

O

E

D

6.如图，△ABC内接于⊙O，AD是的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连BE．

A

B

E

O

D

C

⑴试说明：△ABE与△ADC相似；

⑵若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积.§4.2

直线和圆的位置关系（1）

一、知识要点

直线和圆的位置关系（相离、相切、相交），切线的性质与判定，切线长定理.二、课前演练

1．（2012•宜昌）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（）

A

B

C

D

O

B

C

D

A

2.已知圆O的半径为R，AB是直径，D是AB延长线上一点，DC是

切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）

A．2R

B．R

C．R

D．R

3．（2012•漳州）如图，⊙O的半径为3cm，当圆心0到直线AB的距离为______　cm时，直线AB与⊙0相切．

4.如图，PA是⊙O的切线，直线PBC过点O，交⊙O于B、C，若PA=8cm，PB=4cm，则⊙O的直径为_________cm．

三、例题分析：

图1

A

B

C

M

D

E

．

Ｏ

例1

如图1，AB是⊙O的直径，射线BM⊥AB，垂足为B，点C为射线BM上的一个动点（点C与点B不重合），连接AC交⊙O于D，切线DE交BC于E.（1）在点C运动过程中，当DE∥AB时（如图2），求∠ACB的度数；

（2）在点C运动过程中，试比较线段CE与BE的大小，并说明理由；

图2

A

B

C

M

D

E

．

Ｏ

例2

如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：(1)△BCD∽△ADE；

(2)DF是⊙O的切线．

四、练习巩固

1．已知⊙O的直径为12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（）

A.1

B.2

C.3

D.无法确定

2.设⊙O的半径为r，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d与r的关系是（）

A.d≤r

B.d＜r

C.d≥r

D.d=r

3．如图，∠APB=30°，圆心在边PB上的⊙O的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O

与直线PA相切时，圆心O平移的距离为　_____　cm．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)，⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆，若一次函数y=kx+b的图象过点A(-1，0)且与⊙P相切，则k+b的值为___　．

5．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．

（1）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；

（2）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小.6．（2012•无锡）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．

（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

§4.3

直线和圆的位置关系（2）

一、知识要点

切线的性质和判定，三角形的内切圆（内心和外心的区别）。

二、课前演练

1．如图1，AB与⊙O切于点B，AO=6㎝，AB=4㎝，则⊙O的半径为（）

A.4㎝

B.2㎝

C.2㎝

D.㎝

2．如图2，⊙0的直径AB与弦AC的夹角为35°，切线PC交AB的延长线于P，则∠P（）

图1

图2

图3

A．150

B．200

C．250

D．300

3．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的内切圆半径为

．

4．如图3，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE=

．

三、例题分析：

例1（2012·自贡）如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；

（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

例2（2012·济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．

（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．

（2）求证：PC是⊙O的切线．

四、巩固练习：

1.如图，BC是⊙O直径，AD切⊙O于A，若∠C=40°，则∠DAC=（）

A.50°

B.40°

C.25°

D.20°

2．如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O过顶点A、B，且与CD相切，则圆的半径为（）

O

x

y

B

A

(第1题图)

(第2题图)

(第3题图)

P

A.B.C.D.1

3.如图，直线y=x+错误！未找到引用源。与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是

（）

A.2

B.3

C.4

D.5

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．

（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；

（2）若AD:AE=4:5，BC=6，求⊙O的直径．

5.如图，⊙O直径AB=4，∠ABC=30°，BC=4,D是线段BC中点．

（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O切线．

6．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线与BC交于点D，点E在AB上，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．

（1）AC与⊙D相切吗？并说明理由．

（2）你能找到AB、BE、AC之间的数量关系吗？为什么？

§4.4

圆与圆的位置关系

一、知识要点

圆与圆的5种位置关系；与圆心距、两圆半径有关的计算.二、课前演练

（第1题图）

1．如图是一个小熊的头像，图中反映出圆与圆的四种

位置关系，但还有一种位置关系没有反映出来，它是两圆

．

2．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm，且它们的圆心距为10cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）

A．外切

B．相交

C．内切

D．外离

3.圆心距为2的两圆相切，若一圆的半径为1，则另一圆的半径为（）

A．1

B．3

C．1或2

D．1或3

三、例题分析

例1

三角形三边长为5cm、12cm、13cm，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，求此三个圆的半径.例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为ts．

（1）当t=1.2s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；

（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．

四、巩固练习

1．相交两圆的半径分别为1和3，把这两个的圆心距的取值范围在数轴上表示正确的是（）

A

B

C

D

2．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值是（）

A．d＞8

B．d＞2

C．0≤d＜2

D．d＞8或0≤d＜2

3．（已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且O1O2

=t+2，若这两个圆相切，则t=

．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有

个．

5．如图，某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地面上，求雕塑的最高点到地面的距离.6如图，点A，B在直线MN上，AB=11cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm．

⊙A以2cm/s的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（s）之间的关系式为r=1+t（t≥0）．

（1）试写出点A、B之间的距离d（cm）与时间t（s）之间的函数关系式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

§4.5

正多边形与圆

一、知识要点

正多边形的概念；正多边形与圆的有关计算；正多边形平面镶嵌.二、课前演练

1．若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为___________.2．半径为r的圆内接正三角形的边长为________.（结果可保留根号）．

3．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则阴影部分的面积为（）

A.-

B.-

C.2-

D.2-

4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）

A．(4+)cm

B．9cm

C．4cm

D．6cm

三、例题分析

例1

如图，已知⊙O的周长等于12πcm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积.B

C

D

E

F

A

O

·A

例2

（1）如图1，已知△PAC是⊙O的内接正三角形，那么∠OAC=____________；

（2）如图2，设AB是⊙O的直径，AC是圆的任意一条弦，∠OAC=α.①如果α=45°，那么AC能否成为圆内接正多边形的一条边？若有可能，那么此多边

形是正几边形？请说明理由;

②若AC是圆的内接正n边形的一边，则用含n的代数式表示α应为________.﹒

新课

标第一

网

四、巩固练习

1．一正多边形绕它的中心旋转45°后，就第一次与原图形重合，那么这个多边形

（）

A．是轴对称图形，但不是中心对称图形

B．是中心对称图形，但不是轴对称图形

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形

D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

2．用两种正多边形镶嵌，不能与正三角形匹配的正多边形是

（）

A．正方形

B．正六边形

C．正十二边形

D．正十八边形

3．一个多边形的每个外角与它相邻的内角比都是1：3，这个多边形是_________边形．

4．如果一个正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是__________．

5．如图，已知⊙O和两个正六边形T1，T2．

T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和⊙O相切（我们称T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形）．

（1）设T1、T2的边长分别为a，b，⊙O的半径为r，求r：a及r：b的值；

（2）求正六边形T1、T2的面积比S1：S2的值．

6．（1）已知：如图1，△ABC为正三角形，点M为BC边上任意一点，点N为CA边上任意一点，且BM=CN，BN、AM相交于Q点，试求∠BQM的度数．

（2）如果将（1）中的正三角形改为正方形ABCD（如图2），点M为BC上任意一点，点N为CD边上任意一点，且BM=CN，BNAM相交于Q点，那么∠BQM等于多少度呢？说明理由．

（3）如果将(1)中的“正三角形”改为正五边形…正n边形(如图3),其余条件都不变,请你根据(1)、(2)的求解思路,将你推断的结论填入下表：(注：的各个角都相等)

正五边形

…

正n边形

∠BQM的度数

…

冈西初中数学组

§4.6

圆的有关计算

一、知识要点

圆周长、弧长、扇形面积等计算；圆锥的侧面积与全面积的求法.二、课前演练

1．如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角=

°.2．一扇形的圆心角为120°,半径为3,则此扇形面积为_______（结果保留π）.3．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2．则这个扇形的半径是_____.4.已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm，则圆锥的侧面积为________.三、例题分析

例1

如图，有一直径是1cm的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角

是90°的扇形CAB．

（1）被剪掉的阴影部分的面积是多少？

（2）若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少（结果可用根号表示）．

例2

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2．

（1）求OE和CD的长；

（2）求图中阴影部分的面积．﹒

四、巩固练习

1．一扇形圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）

A．6cm

B．12cm

C．2cm

D．cm

2．如图,一枚直径为4cm的圆形古钱币沿直线滚动一周,圆心移动的距离是（）

A．2πcm

B．4πcm

C．8πcm

D．16πcm

3．如图，半径为1cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）

A．πcm2

B．πcm2

C．cm2

D．cm2

4．（2012舟山）如图，已知⊙O的半径为2，弦AB⊥半径OC，沿AB将弓形ACB翻折，使点C与圆心O重合，则月牙形（图中实线围成的部分）的面积是________．

(第2题图)

(第2题图)

(第3题图)

5．（2012•岳阳）如图，⊙O中，弧AD=弧AC，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．

（1）求证：AC2=AB•AF；

（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

6．（2012•莱芜）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．

（1）求证：⊙D与边BC也相切；

（2）设⊙D交BD于H，交CD于F，连接HF，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；

（3）⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF=S△MDF时，求动点M经过的弧长（结果保留π）．

第五篇：2015年高考数学第一轮复习资料11(函数与方程)（模版）

学案11 函数与方程

自主梳理

1．函数零点的定义

(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

(2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有________．

2．函数零点的判定

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个____也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．

2第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；

第二步，求区间(a，b)的中点c；

第三步，计算______：

①若________，则c就是函数的零点；

②若________，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；

③若________，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]；

第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．

自我检测

2x＋2x－3，x≤01．(2010·福建)f

(x)＝的零点个数为()－2＋ln xx>0

A．0B．1C．2D．

32．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点()

A．至少有一个B．至多有一个

C．有且只有一个D．可能有无数个

3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是

()

A．①②B．①③C．①④

D．③④

4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在的区间是()

A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定 5．(2011·福州模拟)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()

A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)

x

C．f(x)＝e－1D．f(x)＝ln(x－

0.5)

探究点一 函数零点的判断

例1 判断函数y＝ln x＋2x－6的零点个数． 解 方法一 设f(x)＝ln x＋2x－6，∵y＝ln x和y＝2x－6均为增函数，∴f(x)也是增函数． 又∵f(1)＝0＋2－6＝－4<0，f(3)＝ln 3>0，∴f(x)在(1,3)上存在零点．又f(x)为增函数，∴函数在(1,3)上存在唯一零点．

方法二 在同一坐标系画出y＝ln x与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝ln x＋2x－6只有一个零点．

变式迁移1(2011·烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()

A．多于4个B．4个 C．3个D．2个 探究点二 用二分法求方程的近似解

例2 求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)． 解 设f(x)＝2x3＋3x－3.经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．

取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解，点0.687 5作为函数f(x)零点的近似值．因此0.687 5是方程2x3＋3x－3＝0精确度0.1的一个近似解．

x＋的零点时，第一次经变式迁移2(2011·淮北模拟)用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln

2计算f(0)<0，f>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为

110，f A.2

2()

1

2



13，1f C.24

1

B．(0,1)f2 110，f D.2

4

探究点三 利用函数的零点确定参数

例3 已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．

解 若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.－3±7

令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝.－3－73－7

①当a＝时，f(x)＝0的重根x＝∈[－1,1]，22－3＋73＋7当a＝时，f(x)＝0的重根x＝∉[－1,1]，22

∴y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上； ②当f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)<0，即1

Δ＝8a＋24a＋4>01－1<－2a<1f1≥0f－1≥0

a>0

Δ＝8a＋24a＋4>0

1，或－1<－2a<

1f1≤0f－1≤0

a<0

－3－7，解得a≥5或a<.－3－7

综上所述实数a的取值范围是a>1或a≤.变式迁移3 若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．

一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·天津)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)

D．(1,2)

()

1x

2．(2011·福州质检)已知函数f(x)＝log2x－若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0

4．函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1、x2，且x12，x2>5C．x1<2，x2>5D．2

54x－4，x≤

15．(2011·厦门月考)设函数f(x)＝2，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)

x－4x＋3，x>1的零点个数是()

A．4B．3C．2D．1

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 006x＋log2 006x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．

7．(2011·深圳模拟)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．

8．(2009·山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

三、解答题(共38分)

x11

9．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋.，证明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.242

10．(12分)已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)>0，求实数p的取值范围．

a

11．(14分)(2011·杭州调研)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)3a>2c>2b，求证：

b3

(1)a>0且－3<－；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；

a4

(3)设x1，x2是函数f(x)2≤|x1－x2|<.