倒推分析法学习定理证明与做习题

第一篇：倒推分析法学习定理证明与做习题

采用‘倒推分析法’学习定理证明与做习题

何松年

实变函数课程似乎素有难学的名声，其难有二：其一是内容难懂，其二是习题难做。如何解决这一问题，在认真听讲勤于思考的基础上，在学习定理证明和做习题的时候，有意识地用“倒推分析法”训练自己大有裨益。所谓“倒推分析法”就是由果索因，亦即由结果出发分析，欲证┅，只需证┅，而欲证┅，又只需要证┅，直到已知条件为止。这种方法往往可以找到解决问题的途径，你可能会觉得证明思路实际上是很自然的，并不是玄妙的和不可思议的，可以更深刻地理解所学内容的本质，也有助于形成良好的思维习惯。下面以实变函数中十分重要的叶果洛夫定理为例阐述如何“倒推分析。”

一、叶果洛夫定理

设f(x),f1(x),f2(x),,fn(x),,是定义在可测集E上的几乎处处有限的可测函数，且m(E)，若fk(x)f(x),a.e.于E，则对任何0, 存在可测集EE，使得

（1）fk(x)在E上一致收敛于f(x),（2）m(EE)。

二、定理分析 倒着推

（1）定理要求寻求满足两个条件的E。首先要想明白何为收敛？ 若x0E为收敛点，则0, 自然数j，使当kj时成立，fk(x0)f(x0)

即



x0Efk(x)f(x)。kj

集合Efk(x)f(x)中的点，满足对于一切

kjkj

fk(x)f(x)。

但此集合显然不是一个收敛点集，更不是一个一致收敛点集！当然也就没有资格充当E！

（2）如何找一个一致收敛点集？当然需要先让动起来！i，选一个ji（其值待定），做集合1

Efk(x)f(x)，iikji

自然想到，令





1,2,,1

EEfk(x)f(x),ii1kji

容易验证，fk(x)在E上一致收敛于f(x)。

（3）剩余的问题是：如何选择ji，使得mEE？先看看EE是何

模样，显然

1

EEEfk(x)f(x)。

ii1kji

于是，欲使



mEE，由测度次可加性，只需对每个i，选择适当ji，满足

1mEf(x)f(x)kikji2i

而这又只需证明（对每个自然数i），i1,2,,10,i1,2,,limmEf(x)f(x)kjikj

于是，核心问题是：0，是否成立



0.limmEf(x)f(x)k j

kj



这与已知条件是什么关系？注意到Efk(x)f(x)，j1,2,,是一个

kj

递降的集合列，且由于条件mE，所以有



limmEf(x)f(x)kj

kjmE|fk(x)f(x)|

j1kj mlimEfk(x)f(x).k



因而只需证

mlimEfk(x)f(x)0，k



但显然

k

limEfk(x)f(x)Efk不收敛于f，mlimEfk(x)f(x)0。

k

故由已知条件，可得



三、定理证明

（1）先证对任何0,成立



0.limmEf(x)f(x)k j

kj

因为fk(x)f(x),a.e.于E，而显然

k

limEfk(x)f(x)Efk不收敛于f，mlimEfk(x)f(x)0。

k

所以，有





注意到Efk(x)f(x)，j1,2,,是一个递降的集合列，以及条件

kj

mE，有



limmEf(x)f(x)kj

kj

mEf(x)f(x)k

j1kjmlimEfk(x)f(x)

k



0.（2）其次，由上论证，知对任意给定的0, 对每个自然数i，存在自然

数ji，使得

1mEf(x)f(x)kikji2i

令，1

EEEfk(x)f(x)，ii1kji

则有



mEE

i1





i

。

（3）最后，来证可测函数列fk(x)在1

EEEEEfk(x)f(x)

ii1kji

上一致收敛于可测函数f(x).事实上，0，取定一个i0，使得





，i0

从而，当k有

ji0时，对一切xE



kji0

1Efk(x)f(x)i，0

fk(x)f(x)

。i0

第二篇：定理与证明

定理与证明(一)

教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

2、重点、难点分析

重点：真命题的证明步骤与格式．命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．

难点：推论证明的思路和方法．因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点．

（二）教学建议

1、四个注意

（1）注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；②公理可以作为判定其他命题真假的根据．

（2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理．一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题．这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的．

（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断．如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法．只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的．但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等．

（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．①论据必须是真命题，如：定义、公理、已经学过的定理和巳知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由．

2、逐步渗透数学证明的思想：

（1）加强数学推理(证明)的语言训练使学生做到，能用准确的语言表述学过的概念和命题，即进行语言准确性训练；能学会一些基本的推理论证语言，如“因为„„，所以„„”句式，“如果„„，那么„„”句式等等；提高符号语言的识别和表达能力，例如，把要证明的命题结合图形，用已知，求证的形式写出来．

（2）提高学生的“图形”能力，包括利用大纲允许的工具画图(垂线、平行线)的能力和在对要证命题的理解(如分清题设、结论)的基础上，画出要证明的命题的图形的能力，后一点尤其重要，一般通过图形易于弄清命题并找出证明的方法．

（3）加强各种推理训练，一般应先使学生从“模仿”教科书的形式开始训练．首先是用自然语言叙述只有一步推理的过程，然后用简化的“三段论”方法表述出这一过程，再进行有两步推理的过程的模仿；最后，在学完“命题、定理、证明”一单元后，总结证明的一般步骤，并进行多至三、四步的推理．在以上训练中，每一步推理的后面都应要求填注推理根据，这既可训练良好的推理习惯，又有助于掌握学过的命题．

教学目标：

1、了解证明的必要性，知道推理要有依据；熟悉综合法证明的格式，能说出证明的步骤．

2、能用符号语言写出一个命题的题设和结论．

3、通过对真命题的分析，加强推理能力的训练，培养学生逻辑思维能力．教学重点：证明的步骤与格式．

教学难点：将文字语言转化为几何符号语言．

教学过程：

一、复习提问

1、命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论各是什么？

2、根据题设，应画出什么样的图形？（答：两条平行线a、b被第三条直线c所截）

3、结论的内容在图中如何表示？（答：在图中标出一对内错角，并用符号表示）

二、例题分析

例

1、证明：两直线平行，内错角相等．

已知：a∥b，c是截线．

求证：∠1＝∠2．

分析：要证∠1＝∠2，只要证∠3＝∠2即可，因为

∠3与∠1是对顶角，根据平行线的性质，易得出∠3＝∠2．

证明：∵a∥b（已知），∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．

∵∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠2（等量代换）．

例

2、证明：邻补角的平分线互相垂直．

已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．

求证：OE⊥OF．

分析：要证明OE⊥OF，只要证明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．

证明：∵OE平分∠AOB，∴∠1＝ ∠AOB，同理 ∠2＝ ∠BOC，∴∠1＋∠2＝（∠AOB＋∠BOC）＝ ∠AOC＝90°，∴OE⊥OF（垂直定义）．

三、课堂练习：

1、平行于同一条直线的两条直线平行．

2、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．

四、归纳小结

主要通过学生回忆本节课所学内容，从知识、技能、数学思想方法等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识．然后见投影仪．

五、布置作业

课本P143

5、（2）,7.六、课后思考：

1、垂直于同一条直线的两条直线的位置关系怎样？

2、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线位置关系怎样？

3、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线位置关系怎样？

第三篇：定理与证明

《定理与证明》学案

【学习目标】

1．了解定理，证明的定义。

2．知定理必须证明是正确的命题后才可运用。(重点)

3．会用几何语言证明一个命题。(难点)

【问题导学】

1．阅读课本55页，写下并记忆五个基本事实。

1）两点确定一条直线；2）两点之间，线段最短；3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行。

2．认真阅读课本56页后回答：

① 什么是定理？定理的作用是什么？

数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断他们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

作用：揭示客观事实的本质属性，作为进一步确认其他命题真假的依据。

② 认真完成“思考”的问题，参照云图中的提示，判断结论的正确与否：可知第一个结论不正确.23571113159509 第二个结论不正确.钝角三角形 第三个结论正确.对上面不正确的结论举反例说明。

③什么是证明？哪些可以作为证明的依据呢？

根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。

3．阅读“直角三角形的两锐角互余”的证明后回答：

③ 写出这个命题的条件和结论，总结证明命题的步骤。

④ 仿照例题步骤证明定理“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形”

4.阅读课本57页读一读，写出证明的依据有哪些？

定义、基本事实、已经学过的定理，等式的性质、等量代换

【课堂检测】

课本练习的第一题和第二题【学习小结】

第四篇：定理与证明

定理与证明(二)

一、教学目标

1．了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据．

2．了解综合法证明的格式和步骤．

3．通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力．

4．通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力．

5．通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法．

二、学法引导

1．教师教法：尝试指导，引导发现与讨论相结合．

2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现．

三、重点·难点及解决办法

（－）重点

证明的步骤和格式是本节重点．

（二）难点

理解命题，分清其题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证．

（三）解决办法

通过学生分组讨论，教师归纳得出证明的步骤和格式，再以练习加以巩固，解决重点、难点及疑点．

四、课时安排

l课时

五、教具学具准备

投影仪、三角板、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过引例创设情境，点题，引入新课．

2．通过情境教学，学生分组讨论，归纳总结及练习巩固等手段完成新授．

3．通过提问的形式完成小结．

七、教学步骤

（－）明确目标

使学生严密推理过程，掌握推理格式，提高推理能力。

（二）整体感知

以情境设计，引出课题，引导讨论，例题示范讲解新知，以练习巩固新知．

（三）教学过程

创设情境，引出课题

师：上节课我们学习了定理与证明，了解了这两个概念．并以证明“两直线平行，内错角相等”来说明什么是证明．我们再看这一命题的证明（投影出示）．

例1已知：如图1，是截线，求证： ．

证明：∵（已知），∴（两直线平行，同位角相等）．

∵（对项角相等），∴（等量代换）．

这节课我们分析这一命题的证明过程，学习命题证明的步骤和格式．

［板书］2.9定理与证明

探究新知

1．命题证明步骤

学生活动：由学生分组讨论以上命题的证明过程，按自己的理解说出证明一个命题都需要哪几步．

【教法说明】根据上一节“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明过程让学生讨论、分析、归纳命题证明的一般步骤，一是可以加深对命题证明的理解，二是培养学生归纳总结能力。在总结步骤时，学生所说的层次不一定有逻辑性，或不太严密，教师要注意引导，使学生分清命题证明几个步骤的先后层次．

根据学生讨论，回答结果．教师归纳小结，师生共同得出证明命题的步骤（出示投影）：第一步，画出命题的图形．

先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出．还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达．第二步，结合图形写出已知、求证．

把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中．

第三步，经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程．

学生活动：结合“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明，理解以上命题证明的一般步骤（给学生一定时间理解记忆）．

【教法说明】在以上第二个步骤中，将文字语言转化为符号语言是教学中的难点，要注意在练习中加强辅导，第三步由学生独立完成有困难，要逐步培养训练，现阶段暂不要求学生独立完成．

反馈练习：（1）画出证明命题“两直线平行，同旁内角互补”时的图形，写出已知、求证．

（2）课本第112页A组第5题．

【教法说明】由学生依照例1“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明画出图形，写出已知、求证，巩固命题证明的第一、二步．

2．命题的证明

例2证明：邻补角的平分线互相垂直．

【教法说明】此例题完全放手让学生独立完成有一定困难，但教师也不能包办代替，最好通过让学生分步讨论，同桌互相磋商，分步完成的方法，使学生对命题证明的每一步都进一步理解，教师可以给学生指明思考步骤．

（1）分析命题的题设与结论，画出命题证明所需要的图形．

邻补角用图2表示：

图2

添画邻补角的平分线，见图3：

图3

（2）根据命题的题设与结论写出已知、求证．邻补角用几何符号语言提示：，角平分线用几何符号语言表示：，求证邻补角平分钱互相垂直，用符号语言表示： ．

（3）分析由已知谁出求证途径，写出证明过程．

有什么结论后可得（），由已知可以推导 吗？学生讨论思考．

【教法说明】以上步骤的完成教师只提供思路，具体结论的得出与操作要由学生独立完成．找一个学生到黑板上板演，其他同学在练习本上写出完成整过程．

已知：如图，，．

求证：

证明：∵（已知），又∵，（已知），∴ ．

∴（垂直定义）．

证明完成后提醒学生注意以下几点：

①要证明的是一个简单叙述的命题，题设和结论不明显，可以先根据题意画出图形．如例2，结合图形分析命题的题设和结论．

②在写已知、求证的内容时，要将文字语言转化为符号语言来表示，转化时的写法也不是惟一的，要根据使用的方便来写，如： 与 互为邻补角，在已知中写为，角平分线有几种表示方法，如 是 的平分线，，根据此题写成 较好，方便于下面的推理计算．

③对命题的分析、画图，如何推理的思考过程，证明时不必写出来，不属于证明内容．

反馈练习：按证明命题的步骤证明：“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角相等．”

【教法说明】由学生独立完成，找学生板演，发现问题教师及时纠正．

3．判定一个命题是假命题的方法

师：以上我们的推理是说明一个命题是真命题的判定方法．那么如何判定一个命题是假命题呢？如“相等的角是对项角”，同学们都知道这是一个假命题，如何说明它是一个假命题呢？谁能试着说明一下？

【教法说明】教师先不告诉学生判定一个命题是假命题的方法，而是由很明显的“相等角是对顶角”这一假命题，让学生自己尝试着去说明，体验从反面去说明一个问题的方法，然后教师归纳小结．

根据学生说明，教师小结：

判定一个命题是假命题，只要举出一个反例即可，也就是说你所举命题符合命题的题设，但不满足结论．如“同位角相等”可如图，与 是同位角但不相等就说明“同位角相等是假命题”．

反馈练习：课本第111页习题2.3A组第4题．

【教法说明】在做以上练习时一定让学生学会从反面思考问题的方法，再就是要澄清一些错误的概念．

反馈练习

投影出示以下练习：

1．指出下列命题的题设和结论

（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

（2）两个角的和等于直角，这两个角互为余角．

（3）对项角相等．

（4）同角或等角的余角相等．

2．画图，写出已知，求证（不证明）

（1）同垂直于一条直线的两条直线平行．

（2）两条平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．

3．抄写下题并填空

已知：如图，．

求证： ．

证明：∵（），∴（）．

∴（）．

【教法说明】以上练习让学生独立完成，第1题主要是训练学生分清命题的题设和结论；第2题是训练学生把命题转化为几何语言、几何图形的能力；第3题是让学生进一步体会命题证明的三个步骤．

总结、扩展

以提问的形式归纳出本节课的知识结构：

八、布置作业

（－）必做题

课本第110页习题2.3A组第3（2）、（3）、（4）题．

（二）思考题

课本第112页B组第l、2题．

作业答案

A组（略）

B组1．已知两直线平行，同旁内角互补。

（两直线平行，同旁内角互补）（同角的补角相等）．

2．已知：如图，、分别平分 与 ．求证： ．

第五篇：分析法证明不等式专题

分析法证明不等式

已知非零向量a,b,a⊥b，求证|a|+|b|/|a+b|<=√

2【1】

∵a⊥b

∴ab=0

又由题设条件可知，a+b≠0(向量)

∴|a+b|≠0.具体的，即是|a+b|>0

【2】

显然，由|a+b|>0可知

原不等式等价于不等式：

|a|+|b|≤(√2)|a+b|

该不等式等价于不等式：

(|a|+|b|)²≤².整理即是：

a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)

【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²

又ab=0,故接下来就有】】

a²+b²≤2a²+2b²

0≤a²+b²

∵a，b是非零向量，∴|a|≠0,且|b|≠0.∴a²+b²>0.推上去，可知原不等式成立。

作为数学题型的不等式证明问题和作为数学证明方法的分析法，两者皆为中学数学的教学难点。本文仅就用分析法证明不等式这一问题稍作探讨。

注:“本文中所涉及到的图表、公式注解等形式请以pDF格式阅读原文。”

就是在其两边同时除以根号a+根号b，就可以了。

下面我给你介绍一些解不等式的方法

首先要牢记一些我们常见的不等式。比如均值不等式，柯西不等式，还有琴深不等式(当然这些是翻译的问题)

然后要学会用一些函数的方法，这是解不等式最常见的方法。分析法，综合法，做减法，假设法等等这些事容易的。

在考试的时候方法最多的是用函数的方法做，关键是找到函数的定义域，还有求出它的导函数。找到他的最小值，最大值。

在结合要求的等等

一句话要灵活的用我们学到的知识解决问题。

还有一种方法就是数学证明题的最会想到的。就是归纳法

这种方法最好，三部曲。你最好把它掌握好。

若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?

解：ab-3=a+b>=2根号ab

令T=根号ab,T^2-2T-3>=0

T>=3orT<=-1(舍)

即，根号ab>=3，故，ab>=9(当且仅当a=b=3是取等号)。