数学分析期末考试题

第一篇：数学分析期末考试题

数学分析期末考试题

一、叙述题：（每小题5分，共15分）

1、正交多项式

2、正项级数的比较判别法

3、Rn上的基本列

二、计算题：（每小题7分，共35分）



1、

40xtan2xdx2、计算

10.5xlnxdx的cauchy主值 23n(2)n3、求(x1)n的收敛半径和收敛域 nn

14、设zx2y2sin(xy)，求函数的梯度

5、求ux2y2z2在（1，1，1）点的全微分

三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）

(y2x)

21、讨论f(x,y)4（x，y）沿任何直线趋于（0，0）时的极限,(x,y)(0,0)，2yx

和函数的二重极限

2、讨论1的敛散性 qnlnnn2

3、讨论函数项fn(x)nx(1x2)n(0x1)的一致收敛性。

四、证明题：（每小题10分，共20分）

1

1、证明Riemann函数R(x)p0

yxq为既约分数在[0，1]上可积 px为无理数

2、设zx(x0,x1)，证明它满足方程xz1zz yxlnxy

参考答案

一、1、设gn(x)是定义在[a,b]上的多项式，若对任意的m和n，gm(x)，gn(x)在[a,b]上可积，且有的正交多项式连续。

2、设

b

a

mnb0

gm(x)gn(x)dx则称gn(x)是[a,b]上

2g(x)dxmnan

x,y

nn

1n1



n

是两个正项级数，若存在常数A0，成立xnAyn,n1,2则







（1）当

y

n1



n

收敛时，x

n1

n

也收敛（2）当

x

n1

n

发散时，也

y

n1

n

发散

n3、如果R上的点列xk满足：对于任意给定的0，存在正整数K,对任意的k,lK，成立xlxk，则称xk为基本列。







二、1、

xtanxdx4xsecxdx4xdx

1dx0（7分）

0.5xlnx







2ln2（7分）3222、解：(cpv)

nn

43(2)

3、：lim，由于x时，级数收敛，3，收敛半径为1/3（4分）

n3n

x

4、：

42级数发散，所以级数的收敛域为[,)（3分）33

3zz=2xy3cos(xy)=2ysin(xy)xy2cos(xy)（4分）xy

gradu(2xy3cos(xy),2ysin(xy)xy2cos(xy))（3分）

5、ux

xxyz

3uy

yxyz

uz

zxyz

（4分）

du(dxdydz)（3分）

(y2x)2

2三、1、解、由于沿ykx趋于（0，0）时，lim，而沿yx趋于 

1(x,kx)(0,0)y4x

2（0，0）时极限为0，所以重极限不存在（5分）

1

|1dx2p12、函数非负递减，（3分）且(1p)lnx2xlnpxxlnqxlnlnx|2

分）由此仅p1，收敛（2分）。

3、limfn(x)0f(x)（3分），取

n

p1p

1，（511

fn(xn)f(xn)(12)n1(n)，所以函数列不一致收敛（7分）nn

四、证明题（每小题10分，共20分）

xn

1、证明：由Riemann函数的性质，0在[0,1]上使得R(x)

的点至多只有有限个,（3''

分）不妨设是k个，记为0p1pk1作[0,1]的分点0x0x2k11，使满足pi[xi1,xi],xixi1

2k1i

1k1j0

k1j1

'



2k,i1,2,k，由于

ixi2j1x2j12jx2j，而在右边的第一个和式中，有x2j1



且



2k

且2j11，在第二个和式中有2j以函数可积（7分）

2、证明：

x

j1

k1

2j

1，因此得到ixi，所

i1

n

uuxz1zxy11y

yxy1，xylnx（6分）yxxlnxzxyyxlnxyylnx

（4分）

第二篇：数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

第三学期《数学分析》期末试题

一、选择题：（15分，每小题3分）

1、累次极限存在是重极限存在的（）

A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件

2、f(x,y)|(x0,y0)（）xAlimx0f(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0)；

B lim；

x0xxf(x0x,y0y)f(x0x,y0)f(x0x,y0)f(x0,y0)；

Dlim。

x0xxClimx03、函数f(x,y)在（x0，y0）可偏导，则（D）

A f(x,y)在（x0，y0）可微

；

B f(x,y)在（x0，y0）连续；

C f(x,y)在（x0，y0）在任何方向的方向导数均存在 ；

D 以上全不对。

x2y24、f(x,y)22的二重极限和二次极限各为（B）2xy(xy)A、0，0，0；

B、不存在，0，0，；

C、0，不存在，0；

D、0，0，不存在。

5、设ze，则xxyzzy（A）xyA、0；

B、1；

C、-1；

D、2。

二、计算题（50分，每小题10分）

xy

1、证明函数f(x,y)x2y20但它在该点不可微；

xxx2y20x2y20

在（0，0）点连续且可偏导，2、设f(x)eddt,求f(x),f(x)0t2；

xyzzF,03、设有隐函数zz,其中F的偏导数连续,求x、y；

4、计算Cex(cosydxsinydy)，其中C是任一条以为A(0,0)起点、B(a,b)为终点的光滑曲线；



5、计算zdS22zxy，其中为在z14的部分；

三、验证或解答（满分24分，每小题8分）

1、验证曲线积分原函数；

3、验证函数 (yz)dx(zx)dy(xy)dz与路线无关，并求被积表达式的L2xy,x2y2022f(x,y)xy220,xy0

在原点（0，0）分别对每个自变数x或y(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.部分题目参考答案：

二、1、证明：0|xyxy22||xy|（4分）

(x,y)(0,0)limxyxy22=0所以函数在（0，0）点连续，（3分）又lim00，fx(0,0),fy(0,0)存在切等于0，（4分）但

x0xxy不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）

(x,y)(0,0)x2y2lim

xxxxx'x由于f(x)(e0tx2t2d)dt,f(x)(e0tx2d)dt00exdtxex，所

0222112以 f(x)tedtetd(t2)et2020x0121ex.2

2二、3、[解法 1] 由隐函数、复合函数求导法

zxzF1'xyxF1'yF2'''F12F22zz zF2'xyxF1'yF2'''F12F22zz

F2'1zF1'1zzy [解法 2] 利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得

xF1'dF2'dz

y'zdxxdz'zdyydz0FF01222zzz，zF1'dxzF2'dyzF1'zdz'''xF1yF2，故 xxF1yF2'

zF2'z'yxF1yF2'.由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.YXxxxecosyesinyesiny,故被积表yxYX

二、4、解 令=，=，则 ==xxxe(cosydxsinxdy)d(ecosy)e达式一定有原函数，注意到=(cosydxsinxdy),知

xxu(x,y)ecosye = 是(cosydxsinxdy)的一个原函数，故由定理21.13，有

Cex(cosydxsinydy)=

a,b)excosy|((0,0)a =ecosb1.2122Dxy(x,y)xy2，而

二、5、解 曲面在x0y平面上的投影区域zz2x,2yxy，于是曲面的面积微元

dS1z14x24y2dxzyd22

所以 zdS(x2y2)14x24y2dDxy

20dr214x2rdr120

（在极坐标系下计算）

21401t14t2(rt)2

812(u4u2)du1260(u14t).三、1、解

由于Pyz,Qzx,Rxy,所以曲线积分与路线无关.现在求 u(x,y,z)PQQRRP1,yxzyxzM0M(yz)dx(zx)dy(xy)dz.取M0M为沿平行于x轴的直线到M1(x,y0,z0)，再沿平行于y轴的直线到M2(x,y,z0)，最后沿平行于z轴的直线到M(x,y,z).于是

xyzu(x,y,z)(y0z0)ds(z0x)dt(xy)drx0y0z0(y0z0)x(y0z0)x0(z0x)y(z0x)y0(xy)z(xy)z0 xyyzxzc其中cx0y0x0z0y0z0是一个常数，若取M0为原点，则得u(x,y,z)xyxzyz.yR,xR,分别有limf(x,y)lim

三、3、证明

x02xy0f(0,y)x0x2y2，与limf(x,y)limy02xy0f(x,0)y0x2y2，即f(x,y)在原点（0，0）分别对x或y都连续

2xy2x2limf(x,y)lim2lim210f(0,0)x0x0xy2x02xy0y0当xy时，却有，即f(x,y)在原点（0，0）不连续（其实f(x,y)在原点（0，0）并不存在极限，当然不连续）.

第三篇：一年级数学分析期末

2016-2017学年第一学期北师大版一年级

数学期末质量分析

一、基本情况

一年级数学期末参试人数为22人，平均分94.68，及格人数21人，及格率95.45%；优秀人数20人，优秀率90.9%；良好人数21人，良好率95.45%。整体来说，学生通过一学期的学习，成绩有了很大进步。

二、学生答题分析

1、学生答题的总体情况: 大部分学生基础知识扎实，学习效果较好，特别是在计算部分、立体图形的认识、整时、半时的认读,数数、分类上失分较少。但也反映出教学中存在的问题，学生在提出问题、分析问题、并解决问题上存在困难，不能用自己学到的知识解决生活中的实际问题。同学之间还存在较大的差距，如何扎实做好培优辅差工作，如何加强班级管理，提高学习风气，在今后教育教学工作中应该引起足够的重视。

2、本次检测结合试卷剖析，学生主要存在以下几个方面的普遍错误类型：

第一、不良习惯造成错误。学生在答题过程中，不认真听老师读题，造成抄写数字错误、加减号看错等。

第二、审题不认真造成错误。学生在答题过程中，审题存在较大的问题，有的题目需要学生在审题时必须通过分析才能找出答案，但学生经常大意。

三、存在问题

本次检测，学生主要存在的问题有：

1．第一题填空乐园。学生在数一串珠子时，从左数，黑珠子是第几，黑珠子右边有几颗珠子，存在数错的情况。

2．第三题画一画，圈一圈。第一小题，比较两个物体的多少，要求划出错误的答案，学生有划错的情况。第二小题让小狗跳台阶，每次跳三下，有些孩子不会3个3个地数数，而失分。

3．第四题我是计算小能手。第一小题学生做口算时分不清加减号，把加法当减法导致计算错误。第三小题学生对一共有多少不知用什么方法计算，导致错误。

4.第五题解决问题，学生对一共有多少、还剩多少区分不清，不清楚用什么方法导致错误。

四、今后教学改进措施

通过本次测试情况分析我们的教学现状，在今后的教学与评价过程中应作如下几方面的工作：

1.培养学生良好学习习惯。如：认真思考、勤于动脑、认真听讲、积极发言、独立完成作业、书写整齐的习惯。加大学生在校辅导力度，避免回家家长代做作业的情况，切实保证作业的质量。加大对学生的教育，认真对待考试，不乱写，勤于动脑，发挥最好水平。

2．加强与其他老师的互相交流。对教学中出现的问题要多向有经验的教师请教，多听他们的课，学习他们在教学上的优点，克服自己的不足，改进自己的教学工作。

3.做好培优辅差工作，与后进生多沟通，多谈心，消除他们的心理障碍；帮助后进生形成良好的学习习惯；加强方法指导；严格要求后进生，从最基础的知识抓起，弥补知识漏洞。

4.严格遵循课标，灵活处理教材。在新课标理念指导下，把教材当作学生从事数学学习的基本素材，重视现实生活中所蕴藏着的更为丰富的教学资源，善于驾驭教材，能从学生的年龄特点和生活经验出发，组织学生开展有效地数学学习活动。

5.营造和谐的环境，引导学生主动学习。教师要发扬教学民主，保护每个学生的自尊心，尊重每个学生独特的富有个性的见解，引导学生的主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，改变单一的记忆、接受、模仿的被动学习方式，发展学生搜集和处理信息的能力。

6.结合具体的教学内容，渗透数学思想方法。在课堂教学中，教师要意识渗透数学思想方法，引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的。7.在教学过程中，及时将知识加以明晰，进行完整的归纳，让学生形成清晰完整、准确的知识体系。在教学中应在学生理解意义的基础上联系，对比找出应用题的不同点，给学生总结规律性的方法，强化理解，记忆训练的东西一定要到位，要落到实处。

通过这次的检测反思，使我认识到在今后的教学中应做到：

1、加大题型的训练，多加强学生语言口头能力的培养和书写能力的训练。

2、以后多出一些新颖，多样化的题目让学生练习。

3、培养学生分析问题，选择计算方法的能力。

4、培养他们认识做题的好习惯。

5、多鼓励学生，培养他们爱学习，爱数学的自信心。

6、多培养学生的观察能力，发展空间观念，让学生乐于交流，学会倾听的好习惯。

2017年1月9日

第四篇：数学系第三学期数学分析期末考试题及答案

第三学期《数学分析》期末试题

一、选择题：（15分，每小题3分）

1、累次极限存在是重极限存在的（）

A充分条件B必要条件C充分必要条件D 无关条件

2、f(x,y)x

|(x0,y0)（）

Alim

f(x0x,y0y)f(x0,y0)

x

x0

；B lim

f(x0x,y0)

x；

x0

Clim

f(x0x,y0y)f(x0x,y0)

x

x0

；Dlim

f(x0x,y0)f(x0,y0)

x。

x03、函数f(x,y)在（x0，y0）可偏导，则（D）

A f(x,y)在（x0，y0）可微；B f(x,y)在（x0，y0）连续；

C f(x,y)在（x0，y0）在任何方向的方向导数均存在 ；D 以上全不对。

4、f(x,y)

xy

xy(xy)的二重极限和二次极限各为（B）

A、0，0，0；B、不存在，0，0，；C、0，不存在，0；D、0，0，不存在。

x5、设zey，则x

zx

y

zy

（A）

A、0；B、1；C、-1；D、2。

二、计算题（50分，每小题10分）





1、证明函数f(x,y)



xyxy0

2xyxy

00

在（0，0）点连续且可偏导，2

但它在该点不可微；

xx

f(x)

2、设

e

0t



2ddt,求f(x),f(x)；

zxyz

F,03、设有隐函数zz,其中F的偏导数连续,求x、y；

4、计算C的光滑曲线；

e(cosydxsinydy)

x，其中C是任一条以为A(0,0)起点、B(a,b)为终点

5、计算



zdS

zxy，其中为在2

2z

4的部分；

三、验证或解答（满分24分，每小题8分）

1、验证曲线积分(yz)dx(zx)dy(xy)dz与路线无关，并求被积表达式的L

原函数；



2、说明对任意

3、验证函数

0,e

(x)

sintdx关于t(0,)

均一致收敛；

2xy2

2,xy022

f(x,y)xy

220,xy0

在原点（0，0）分别对每个自变数x或y(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.xyz0

33

3xyz10

四、（11分）求由方程组确定的隐函数yy(x),zz(x)在点P(1,1,2)

处的一阶导数。

部分题目参考答案：

二、1、证明：0|

xyxy

|0x

xy|（4分）

(x,y)(0,0)

lim

xyxy

=0所以函数在（0，0）

点连续，（3分）又lim

xyxy

x0

0，fx(0,0),fy(0,0)存在切等于0，（4分）但

(x,y)(0,0)

lim不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）

二、2、解

xx



xx



x

由于f(x)(e

x

d)dt,f(x)

(e

t

d)dt00

'x

e

x

dtxe

x，所

t

x

以 f(x)tedt

t

2e

t

d(t)

x

e

t



e

x



.二、3、[解法 1]由隐函数、复合函数求导法

F1



'

1

zF

1'

'

'

zx

xy''

F12F22zz

1xF1yF

2zF2

'

'

'

zy

F2



'

'

yx'

F12F22zz



xF1yF2

[解法 2]利用全微分,将隐函数方程两边取全微分,得

dz

xyzdxxdzzdyydz''''

F1dF2d0F1F0222

zzzz，zF1dxzF2dyxF1yF2

'

'

'

'

z，故

x



zF1

'

'

'

zy

xF1yF2



zF2

'

'

'

xF1yF2

.由此可见,用全微分来求隐函数的偏导数也是一个途径.Y

X

二、4、解令X=

ecosy

x，Y=

esiny

x，则

x

x

=y=esiny,故被积表

=

e(cosydxsinxdy)

x

x

达式知

e(cosydxsinxdy)

x

一定有原函数，注意到

d(ecosy),xx

u(x,y)=ecosy 是e(cosydxsinxdy)的一个原函数，故由定理21.13，有



C

e(cosydxsinydy)

x

=

ecosy|(0,0)

x(a,b)

a

=ecosb1.二、5、解曲面在x0y平面上的投影区域

Dxy

12

2(x,y)xy

2，而

zx

2x,zy

2y，于是曲面的面积微元

dS

2



所以





zdS



Dxy

(xy





20

d



r

（在极坐标系下计算）



81

2



(r



t)



uu)du

(u.Py

Qx

Qz

Ry

Rx

Pz

三、1、解由于Pyz,Qzx,Rxy,所以曲线积分与路线无关.现在求 u(x,y,z)

1,

M0M

(yz)dx(zx)dy(xy)dz.取M0M为沿平行于x轴的直线到M1(x,y0,z0)，再沿平行于y轴的直线到

M2(x,y,z0)，最后沿平行于z轴的直线到M(x,y,z).于是

y

xz

u(x,y,z)

(y

x0

z0)ds

(z

y0

x)dt

(xy)dr

z0

(y0z0)x(y0z0)x0(z0x)y(z0x)y0(xy)z(xy)z0 xyyzxzc

其中cx0y0x0z0y0z0是一个常数，若取M

u(x,y,z)xyxzyz.为原点，则得

x1时e

(x)

sinte

(x)

e



1e

x

e

x

1x

,又

三、2、解当

x

收敛，所



(x)

以

e

sintdt

关于t(0,)一致收敛.而积分0



e

(x)

sintdt

是定积分，所以

e

(x)

sintdx关于t(0,)

一致收敛.2xyxy

yR,xR,分别有limf(x,y)lim

三、3、证明

limf(x,y)lim

y0

x0x0

0f(0,y)，与

2xyxy

y0

0f(x,0)，即f(x,y)在原点（0，0）分别对x或y都连续 2xy

2x2x

2limf(x,y)lim

当xy时，却有

x0

y0x0y0

xy

lim

x0

10f(0,0)，即f(x,y)在原点（0，0）不连续（其实f(x,y)在原点（0，0）并不存在极限，当然不连续）.四、解方程两边对x求导有

1y(x)z(x)0(1)

222

3x3yy(x)3zz(x)0(2)

(1)3z

(2)有:y(x)

zz

xy

z(x)

xyzy

222，代入（1）有：，所以

y(1)1，z(1)0.

第五篇：大连理工大学数学分析考试题

姓名：__________大连理工大学

学号：__________ 课 程 名 称： 数学分析试卷： A考试形式：闭卷 学院（系）：_______授课院（系）：_数学___ 考试日期： 2006 年1月 5 日试卷共 ５ 页

_____ 级_____ 班

装

订

线

一．简答题（20分）．下列命题如果正确，请给予证明；如果错误，请给出反例． １． 集合xsinx|x0,1有界．２．如果limnan2，则limnan2．３．如果fx在0,2上连续，则fx在0,2上有界．1

４．如果函数fx在点x0可导，则fx在点x0一定连续．

二．证明下列命题（１２分）．

ynA0，１．利用极限定义证明：如果lim则存在自然数N，当nN时，yn0． n

２．设函数fx在点x0的邻域Nx0,中有定义，在点x0可导且有

fxfx0,xNx0,,证明：fx00．

三．计算下列各题（２０分）．

１． 设fxcos3(sinx)，求fx．

２．设fx,gx可导，且fx0,gx0，yxgxfx，求dy．

xaaxa0．３．计算极限 limxaxa

４．写出函数fxexsinx的马克劳林（Ｍａｃｌａｕｒｉｎ）公式到５阶． 2

四．完成下列各题（２４分）．

１．叙述函数fx在点a以实数A为极限的定义，并证明limx1

x2,x1 ２．求A,B使函数fx，在x1处可导 AxB,x12x35． 2x3

３．叙述函数fx在区间I上一致连续的否定定义，并证明函数fxcos在0,1上不一致连续．

gx存在，求证gx在2,上一致连续． ４．设函数gx在2,上连续，且xlim1x

五．证明下列各题（２４分）．

１．设fx在a,b上连续，且limfxA0,limfxB0，证明存在a,b使xaxb

得f0.２．设函数fx在[a,b]上连续，在a,b内有二阶导数，fafb0, 且存在ca,b使得fc0，证明存在a,b使得f0.３．证明不等式：ln(1x)x(x1).４．设函数fx在[0,1]上连续，在0,1内可导，f00,并满足fxfx,x0,1, 证明：fx0(x0,1)．