《线性代数》课程培训总结5篇

第一篇：《线性代数》课程培训总结

《线性代数》课程培训总结

中华女子学院公共教学部滕静

我是文科院校的一名数学老师，因为刚从事这个职业，正在学习和探索的阶段，在刚过去的教学实践中也遇到了很多问题和困惑，通过三天的培训，听了李老师的讲座后，不仅让我领略了李老师的讲课风采——有激情富有感染力，同时也让我顿时觉得豁然开朗，好像一下子知道了自己教学的方向，其间遇到的困惑也好像明白了该往哪个方向去解决和进步。以下就是我的几点感受：

一、不仅我们爱数学，其实数学也爱我们，只是我们没发现

因为从小喜欢数学，所以上大学，研究生时义无反顾的选择了数学，毕业后很自然的选择了数学老师这个职业。原本是怀着对数学的无限热爱和对教育的一腔热情站到讲台上，准备把自己对数学的感情以及自己从中得到的知识和乐趣全部都教给学生，可没想到得到学生们的反映竟然是“这数学怎么这么难啊，这么枯燥啊”等等之类的，对于这种现象我一直以来都很郁闷也很迷茫，但是却一直找不到缘由和解决的对策，现在听完了李老师的讲座后才明白，其实在我们热爱数学的时候数学也是爱我们的，只是我们没发现或者没有给它机会而已，我想数学对我们的爱应该就是他所展现给我们的独特魅力，带给我们的乐趣，以及帮助我们所解决了问题等等这些。而我或者其它一些年轻老师在上课的时候，并没有把这些传达给我们的学生们，所以学生们看到的只有数学的枯燥和难度！我想通过这次学习我应该了解了今后的教学过程当中我所要改进的方向，那就是一定要让学生看到、感觉到数学的美以及数学对我们的爱！

二、许多看似无关的事物，其实都是相互关联的（把具体抽象化）

我想这一点是我最钦佩李老师的一点了！我觉得这个看似不通可确实又是真理的一句话，一下就点破了数学的奥秘所在！是啊，有谁能想到“米饭和面条”其实从数学角度抽象出来无非也就是一个是“0维”一个是“1维”，我想也只有李教授才会想到！我们周围的东西成千上万，无数多种，具体形状和形态也千奇百怪，这些事物表面看去可能毫无关联，可如果真正用数学思维和方法去推敲去抽象的话，它们其实都是相互关联的。它们无非都是一些“1维”“2维”“3维”的“空间”而已，这就是它们的关联或者说是共同点！我觉得这一点应该算是把形象或者具体转化为抽象吧，这个被抽象出来的就应该是它们的共同点！我想在以后的教学过程中我会注意联系自己周围的一切，以便把它们联系到教学当中来，为教学来服务。

三、把抽象的具体化或者说形象化

一般我们线性代数中所讲授的都是比较抽象的东西，当然这也是从许多具体事物中抽象出来的它们的共同点，如果直接把这种抽象的东西灌输给学生，那他们就会很难接受，以前遇到这种情况就会手足无措，听了李老师的讲座后才明白，这种情况下那就要把这种抽象形象化，首先让他们有个感性的认识或接受，在从理性上去引导他们。我想这也是我从李老师那里学到的另一法宝！

总之，通过这三天的学习，让我从李老师那里学到了很多宝贵的东西，不管是从教学风格上还是从教学方法上，都让我受益匪浅！也帮我解开了很多教学当中所遇到的困惑！

非常感谢李教授的讲座，也感谢培训中心的各位老师的付出！希望以后能经常有类似的培训课程，我们一定会积极参加！

第二篇：线性代数课程教学大纲

线性代数课程教学大纲 课程代号：13020111 学时数：32 适用专业：工科本科各专业

一、本课程的性质、目的和任务

1、本课程的性质

线性代数是讨论代数中线性关系经典理论的课程。它是高等学校工科本科各专业的一门重要的基础理论课。

2、本课程的目的

由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要。通过教学，使学生掌握该课程的基本理论与方法，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

3、本课程的任务

（1）了解行列式的定义和性质。掌握二、三阶行列式的计算法。熟悉简单的n阶行列式的计算方法。（2）熟悉矩阵、逆矩阵、矩阵秩的概念，掌握矩阵加减法，乘法转置运算规律，并掌握逆矩阵和矩阵秩的求法。了解对称矩阵、对角矩阵、满秩矩阵、分块矩阵。

（3）熟悉n维向量、线性相关、线性无关的概念。了解向量组线性相关、线性无关的重要结论，最大线性无关组，向量组的秩的概念、简介向量空间以及子空间与维数*。

（4）熟悉线性方程组的解结构与存在解的充要条件，掌握克拉默法则及用初等行交换求解线性方程组的方法。

（5）熟悉矩阵的特征值与特征向量的概念，会求特征值与特征向量，了解相似矩阵，矩阵的对角化，正交矩阵、正交规范化的施密特（Smidt）方法。

（6）了解二次型及其矩阵的表示，正交变换法化二次型为标准型，二次型的正定性。

二、课程教学内容和基本要求

1、行列式

（1）教学目的和要求

了解行列式的定义和性质，掌握二、三阶列式的计算法，会计算简单n阶行列式，掌握克拉默法则。（2）主要内容

二阶与三阶行列式定义，并用它们解二元、三元线性方程组。从二阶、三阶行列式概念入手，用展开法引出n阶行列式定义，并介绍从定义出发求简单行列式的值。行列式的性质，并举例如何应用这些性质求行列式的值，行列式按某行（列）展开法则及其结论的推论，克拉默法则及其推论。（3）重点、难点

重点：二阶、三阶行列式的计算，四阶数字行列式的计算。难点：n阶行列式的计算。

2、矩阵及其运算（1）教学目的和要求

熟悉矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵及其性质，掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律，理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆方法，了解分块矩阵及其运算。（2）主要内容

矩阵的定义、对角阵、单位阵、矩阵的加法及其运算规律，数与矩阵相乘及其运算规律、矩阵与矩阵的相乘及运算规律、矩阵的转置及运算规律、方阵的行列式及性质、逆矩阵定义、可逆条件、公式法求逆矩阵方法、分块矩阵定义及其运算。（3）重点、难点

重点：矩阵加、减、乘、逆的运算、逆矩阵存在条件与求逆矩阵的方法。难点：逆矩阵存在的充要条件。

3、矩阵的初等变换与线性方程组（l）教学目的和要求

掌握矩阵的初等变换，熟悉矩阵秩的概念并掌握其求法，了解满秩矩阵、初等阵定义及其性质，了解线性方程组的求解方法。（2）主要内容

初等变换、行阶梯形矩阵、等价类、矩阵的秩、两矩阵等价条件、满秩矩阵、齐次线性方程组有非零解条件，非齐次线性方程组有解判别方法、求解方法、初等矩阵定义及性质、求逆矩阵的第二种方法。（3）重点、难点

重点：矩阵初等变换、求矩阵秩、利用初等变换求逆矩阵。难点：含参数的线性方程组的求解。

4、向量组的线性相关性（1）教学目的和要求

熟悉n维向量的概念，熟悉向量组线性相关、线性无关的定义，了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论，了解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，了解n维向量空间、子空间基底、维数等概念，理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念，理解非齐次线性方程组的解的结构及通解等概念，掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。（2）主要内容

n维向量及例子、线性组合、线性表示、向量组等价、线性相关、线性无关的概念及重要结论、最大线性无关组、有关秩的重要结论、向量空间、基、维数、齐次线性方程组的性质、基础解系概念及求法、非齐次性方程组的解的性质、解的结构．用行初等变换求线性方程组通解的方法。（3）重点、难点

重点：线性相关性、最大线性无关组、用行初等变换求线性方程组的通解的方法。难点：线性相关性证明。

5、相似矩阵及 二次型（1）教学目的和要求

熟悉矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量，了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充要条件，会求与实对称矩阵相似的对角形矩阵，了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特（Smidt）方法，了解正交矩阵概念及性质，了解二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念，会用正交变换法化二次型为标准型，了解二次型的正定性及其判别法。（2）主要内容

向量内积、正交向量组及性质、施密特正交化过程、规范正交基、正交变换、特征值、特征向量、特征方程、特征多项式、特征值、特征向量的性质、相似矩阵、相似变换、相似矩阵的性质、方阵的对角化条件、对称矩阵特征值性质、对称矩阵的对角化、二次型定义及矩阵表示、二次型的秩、二次型可化为标准型、配方法化二次型为标准到举例、正定二次型概念及判定。（3）重点、难点

重点：矩阵的特征值与特征向量、对称矩阵化为对角矩阵。难点：矩阵可对角化的有关结论。

三、几点说明

1、制定本大纲的依据

根据教育部统一的教学基本要求，结合本院学生实际水平。

2、本课程与前后课程的联系

本课程的先修课程：高等数学（上）。本课程的后继课程：各学科有关专业课。

3、考核方法和成绩评定 考核方法：闭卷。出题方式：试卷库。

成绩评定：平时占30％，期末占70％算出总评。

4、教材与教学参考书

工程数学《线性代数》（第四版），同济大学数学教研室编，高等教育出版社。

5、本大纲带 可以根据专业不同要求选讲。

四、学时分配 1 行列式 6 2 矩阵 6 3 矩阵的初等交换与线性方程组 4 4 向量组的线性相关性 8 5 相似矩阵 8

第三篇：《线性代数》课程教学大纲

《线性代数》课程教学大纲

课程编码： 414002（A）课程英文名称： Linear Algebra 先修课程： 微积分

适用专业： 理科本科专业

总学分：3.5 总学时：56

讲课学时 56 实验学时 0

实习学时 0

一、课程性质、地位和任务

课程名称： 线性代数

线性代数是我校计算机科学与技术专业的一门重要基础课。它不但是其它后继专业课程的基础，而且是科技人员从事科学研究和工程设计必备的数学基础。通过本课程的教学，使学生获得矩阵、行列式、向量、线性方程组、二次型等方面的基本知识，掌握处理离散问题常用的方法，增强学生“用”数学的意识，培养学生“用”数学的能力。

二、课程基本要求

1.了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及展开法则，掌握三、四阶行列式的计算法，会计算简单的n阶行列式；理解和掌握克拉默（Cramer）法则。

2.理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件，掌握求逆矩阵的方法；掌握对称矩阵的性质；了解分块矩阵及其运算。

3.理解n维向量、向量组线性相关与线性无关的概念；了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论；理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩的概念；了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件；会求齐次线性方程组的基础解系、通解；掌握非齐次线性方程组的解的结构，会求非齐次线性方程组的通解；了解向量的内积、正交和向量的长度等概念；会利用施密特（Schmidt）方法把线性无关的向量组正交规范化。

4.掌握Gauss消元法；掌握用Gauss消元法求线性方程组通解的方法；掌握用初等变换求齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的方法。

5.掌握矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量；理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充要条件。

6.掌握二次型及其矩阵表示；了解二次型秩的概念；会化二次型为标准形；了解惯性定理；了解二次型与矩阵的正定性及其判别法；了解正交矩阵概念及性质。

三、教学内容及安排

第一章 行列式（4学时）

重点：行列式的性质与计算、克莱姆法则；难点：高阶行列式的计算。

§1.1 行列式的定义

§1.2 行列式的性质与计算

§1.3 Cramer法则

第二章 矩阵（12学时）

重点：矩阵运算、逆矩阵、初等变换与初等矩阵；难点：分块矩阵的计算。§2.1 矩阵的概念 §2.2 矩阵的运算 §2.3 可逆矩阵 §2.4 分块矩阵

§2.5 初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩

第三章 n维向量空间（14学时）

重点：向量组的相关性概念、矩阵的秩；难点：向量组的相关性概念，向量空间。

§3.1 n维向量的定义 §3.2 n维向量的线性运算 §3.3 向量组的线性相关性 §3.4 向量组的极大线性无关组 §3.5 向量空间 §3.6 欧氏空间

第四章 线性方程组（10学时）

重点：Gauss消元法，方程组有解的条件，基础解系等；难点：方程组的求解和应用。

§4.1 线性方程组的基本概念 §4.2 Gauss消元法

§4.3 齐次线性方程组解的结构 §4.4 非齐次线性方程组解的结构 第五章 相似矩阵（8学时）

重点：特征值、特征向量的求法；难点：矩阵对角化的判定。

§5.1 方阵的特征值与特征向量 §5.2 矩阵相似对角化 §5.3 Jordan标准形介绍 第六章 二次型（8学时）

重点：正交变换化二次型为标准型、二次型的正定性；难点：初等列变换化合同矩阵。

§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 二次型的标准形

§6.3 用正交变换化二次型为标准形 §6.4 二次型的正定性

第七章

线性空间与线性变换*（自学）§7.1 线性空间的概念

§7.2 线性空间的基、维数和坐标 §7.3 线性变换

§7.4 线性变换在不同基下的矩阵

四、考核方式及成绩评定

课程考核方式：检查作业，课程考试。

课程成绩评定：平时作业及考勤30％，期末考试70%。

五、主要参考书：

[1] 线性代数

华中科技大学数学系 北京：高等教育出版社，2003（第二版）[2] 线性代数及其应用

邓泽清

北京：高等教育出版社，2001 [3] 线性代数

同济大学数学教研室编

北京：高等教育出版社，1991 [4] 数学模型与数学建模

刘来福，北京：北京师范大学出版社，1998 六.主要网站

[1] http://mcm.edu.cn [2]

[11]http://historical.librarg.comell.edu/math(数学历史文库)[12]www.xiexiebang.com(科学搜索)

撰稿人：文凤春

审稿人：邓泽清

第四篇：线性代数课程教学大纲

线性代数课程教学大纲

本课程地位（作用）和任务：

线性代数是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它的基本概念、理论和方法具有较强的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，是理、工、经、管等各专业的重要的数学基础课程.。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定的条件下，可以转化为线性问题，尤其在信息科学日益发展的时代，该课程的地位与作用更显得重要。通过教学，使学生掌握线性代数该的最基本理论与方法，培养学生的科学计算能力，提高学生的逻辑思维和推理能力，为进一步扩大数学知识面及学习相关课程理论奠定必要的基础。通过教学，提高学生的数学素养，培养学生的探索精神和实践创新能力。

本课程为专业基础课.主要内容是：行列式，矩阵及其运算，向量组的线性相关性，线性方程组，二次型。

教学内容及基本要求

1.行列式（4学时）

1.1 了解二、三阶行列式。1.2 了解行列式的定义。1.3 掌握行列式的性质。

1.4 会用行列式的性质计算行列式。1.5 了解Cramer法则。2.矩阵（6学时）

2.1理解矩阵的概念.了解单位矩阵，对角矩阵，对称矩阵及其性质。

2.2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律，了解方阵乘积的行列式。

2.3理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，掌握逆矩阵存在的条件和用伴随矩阵求逆矩阵 的方法。

2.4了解矩阵的初等变换和矩阵等价的概念。

2.5了解初等矩阵的概念及性质，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。2.6 理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩。3.向量

线性关系

秩（6学时）3.1理解n维向量的概念。

3.2理解向量组线性相关，线性无关的的概念。

3.3了解有关向量组线性相关、线性无关的某些重要结论。3.4了解向量组的极大无关组与向量组的秩的概念。3.5会求向量组的极大无关组与秩。3.6了解向量组的秩与矩阵秩的关系。4.线性方程组（4学时）

4.1掌握线性方程组的消元解法。4.2了解方程组等价的概念。

4.3掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。4.4理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念。4.5了解非齐次线性方程组的解的结构。

4.6掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

5.线性空间与线性变换（6学时）5.1 掌握线性空间的概念。

5.2 了解基 维数

坐标的概念。5.3 掌握基变换和坐标变换。5.4了解线性变换的概念。

5.5 熟练掌握内积与Euclid空间。5.6 掌握正交基和正交矩阵的概念。6.矩阵的特征值与特征向量（4学时）

6.1理解矩阵的特征值与特征向量的概念。6.2掌握求矩阵的特征值与特征向量的方法。6.3了解相似变换、相似矩阵的概念。6.4了解矩阵对角化的充要条件。

6.5了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质。6.6掌握求实对称矩阵的相似对角矩阵的方法。7.二次型（4学时）

7.1了解二次型及其秩的概念，掌握二次型的矩阵表示。7.2会用配方法化二次型为标准形。7.3了解合同变换和合同矩阵的概念。

7.4 掌握用正交变换法化二次型为标准型的方法。7.5了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法。

对学生能力培养的要求

通过该课程的学习，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，培养学生的科学计算能力，提高学生的逻辑思维和推理能力，为进一步扩大数学知识面及学习相关课程理论奠定必要的基础。通过教学，提高学生的数学素养，培养学生的探索精神和实践创新能力。

第五篇：参加《线性代数》课程培训的心得体会

参加《线性代数》课程培训的心得体会

祖建 西南石油大学理学院

尊敬的李老师,您好!

我是西南石油大学理学院的一名老师，教了《线性代数》这门课程两遍.有幸参加了这次全国高校教师《线性代数》课程的网络培训，领悟到了李教授的授课风采.在我们学校《线性代数》是《高等数学》的后继课程，它是工科学生必修的一门重要基础课.《线性代数》是从解线性方程组和讨论二次方程的图形等问题的基础上而发展起来的一门数学学科.《线性代数》介绍代数学中线性关系的经典理论，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性.由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此《线性代数》课程所介绍的理论和方法也具有广泛的实用性.尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要.《线性代数》课程主要讲授矩阵与行列式、向量、线性方程组、方阵相似对角化和二次型以及《线性代数》实验等内容.《线性代数》教学不仅关系到学生在整个大学期间甚至研究生期间的学习质量，而且还关系到学生的思维品质、思辨能力、创造潜能等科学和文化素养，《线性代数》教学既是科学的基础教育，又是文化的基础教育，是素质教育的一个重要的方面.我们学校开设本课程的目的是不仅使学生掌握该课程的基本理论与基本方法，在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物，为学生学习后继数学课程、其它基础课程和专业课程提供必要的基础知识和思想方法，而且培养学生较强的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力和归纳判断能力，培养学生运用所学知识去分析问题、建立数学模型以及利用计算机解决实际问题的能力和意识，为学生将来从事科学研究工作奠定良好的理论基础，提供一种重要的数学工具，积累一定的运用计算机解决实际问题的实践经验.通过这次培训，我领悟到了《线性代数》的抽象概念并非枯燥难懂，而是源于自然，充满魅力和威力.我们对《线性代数》课程的教学设计要让抽象回归自然，代数几何熔一炉.从几何直观引入抽象概念，易于接受，更容易懂.我们工科学校要结合学校的特色，根据学生的实际情况进行教学，突出重点，突出我们的特色.我们的课程设计要以学生为中心.以下是我根据这次的学习，所设计的关于逆矩阵这一节的教案，敬请李教授指导.谢谢！

§1.4逆 矩 阵

在本章第三节里，我们定义了矩阵的加法、减法和乘法三种运算.而在矩阵乘法运算中，我们看到单位矩阵E的作用类似于数1在数的乘法中的作用，即对于任意n阶矩阵A，有

AEnEnAA.（下面用类比于数的性质引出逆矩阵的概念）

在数的乘法运算中，对于非零数a，则存在唯一一个数b，使得

abba1.我们自然要问：非零矩阵是否也有类似这样的性质？ 我们先看下面的引例： 引例1

000010ab

（1）设A01，则对任意Bcd01.cd，都有AB



（2）设A

112110

，则存在，使得.BABBA121101

引例1说明，对于非零矩阵A，不一定存在矩阵B，使得ABBAE.如果这样的矩阵B存在，我们就称A为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.可逆矩阵是一类重要的矩阵，而它的逆矩阵在矩阵的运算中起着重要作用.下面，我们来介绍可逆矩阵的定义、性质和矩阵是可逆矩阵的条件，最后介绍一种求逆矩阵的方法.1、逆矩阵的定义

定义1 设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B使ABBAE，则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，记作AB，即，AAAAE.显然，B

1

1

1

1

A.单位矩阵E是可逆矩阵，其逆矩阵为自身；零矩阵不是可逆矩阵.【说明】（1）、可逆矩阵及其逆矩阵都是方阵，并且它们的阶数相同；（2）、可逆矩阵与其逆矩阵可交换；（3）、只有方阵才有逆矩阵.【问题1】如何求引例1（2）中的矩阵A的逆矩阵？

ab

【方法】由逆矩阵的定义，设Bcd，由ABBAE，则可求出矩阵B.即，

采用待定元素的方法.例1 设方阵A满足AA2AE0，证明A可逆.证明 因为A(AA2E)(AA2E)AE，所以A可逆.2、可逆矩阵的性质（以下均设A是n阶方阵）

1111

a)若A可逆，则A的逆矩阵唯一，记为A，且A也可逆，(A)A，A1A.111

b)若A可逆，数k0，则kA可逆，且(kA)kA.1

1

c)设A和B都是n阶可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且(AB)

B1A1.一般地，若同阶矩阵A1,A2,,As都可逆，则A1A2As也可逆，且

111

(A1A2As)1AsAs1A1.d)若A可逆, 则A也可逆，且(Ak)1(A1)k.e)若A可逆, 则A也可逆，且(AT)1(A1)T.证明

a)设B、C都是A的逆矩阵，则BBEB(AC)(BA)CC；由AA

1

T

k

E知，AA1AA1E1，A0,A1A

1

.b)事实上，(kA)(k1A1)(k1A1)(kA)(kk1)(AA1)E.c)事实上，(AB)(B1A1)A（BB1）A1AEA1AA1E，(B1A1)(AB)E.d)事实上，Ak(A1)kAAe)事实上，因为，AA1A1A1E；(A1)kAkE.AA1A1AE,所以，(AA1)T(A1A)TE,即，(A1)TATAT(A1)TE.【说明】（1）、不能将A写为（2）、(AB)

1



1； A

A1B

1

.（3）、如果A可逆，那么矩阵方程AXB有唯一解

XEX(A1A)XA1(AX)A1B.例2 设ABAC，且A可逆，证明BC.证明 BEB(AA)BA(AB)A(AC)(AA)CC.【问题2】在什么条件下矩阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求A？

1

11113、矩阵可逆的条件

定义2设A(aij)nn，Aij为A中元素aij的代数余子式，则称矩阵

A11A21

AA2212A

A1nA2n

为A的伴随矩阵.An1An2



Ann

A的伴随矩阵A与A有如下重要关系；

命题1设A为n阶方阵A(aij)nn的伴随矩阵，则AAAAEn.

证明由行列式按一行（列）展开和行列式的性质知，A,ij

aA，ikjk

0,ijk1

n

于是

a11

a

AA21

...an1



a12a22...an2

...a1nA11A21

A...a2n12A22

......



...annA1nA2nAn1A0

An20A

Ann000

0

AEn， A

同理AAAEn.推论1 设A为n阶方阵A(aij)nn的伴随矩阵，则AA

*

【说明】A0A0.

n1

.命题2若A0，则A

1



11A，(A*)1A.AA

事实上，由命题1，有 A

11

AAE；1AAA1AE.AAAAA



定理1方阵A可逆A0.证明 必要性若A可逆，则存在n阶方阵B使ABBAE，从而AB1.充分性由命题2可得.推论2设方阵A满足ABE(或BAE)，则A可逆.由推论2，我们只需验证ABE(或BAE)，就知道A可逆，且A推论3设方阵A满足ABE，则BAE，且A例如，若ABCDE, 则下列成立的是：

1

1

B.B，B1A.BCDAE(成立),BACDE(不成立),DABCE(成立).【说明】

（1）、当A0时，A称为奇异矩阵（退化矩阵）；

当A0时，A称为非奇异矩阵（非退化矩阵）.（2）、定理1不仅给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求矩阵的逆矩阵的公式，即提供了一种求矩阵的逆矩阵的方法——伴随矩阵法（公式法）.例3 设

23, A45

51

则A2

2

3

3121.2，(A)521

2

事实上，因为A2，AA*，A124，A213，A222，115

53



42

5

1

A1A=2

A

2

*

3

3112*1A2(A)5A21

2

abdb

【注意】一般地，ca.cd

4、逆矩阵的应用举例

1101

1

例4设A020，求A2A的值.2731

1

解因为A2，所以A可逆，从而A

2

1

1

2A1，AAA12A1，11

A2A2A4.2

例5

设n阶方阵A满足A3A2E0，求A，(A-E).1-

1【分析】（1）、由A3A2E0得，A3A2E,即，A

31

AEE, 所以，22

A1

AE;22

（2）、（凑因式法）

11

(AE)(A2E)A23A2E4E,即，(AE)AEE,所以，2

4(A-E)-1

11AE.42

301

例6解矩阵方程AXA2X，其中A110.014

【分析】求满足一定关系式的未知矩阵，一般应先根据矩阵的运算化简关系式，再求出

出相关矩阵的逆矩阵，最后求出未知矩阵.由AXA2X得，AX2XA,即，(A2E)XA,所以，当A2E可逆时，X(A2E)1A.因此，可以先求(A2E)1，再乘以A.用伴随矩阵法：

(A2E)1

A2E)*，A2E

522

.X(A2E)1A432

322

一般说来，用伴随矩阵法来求矩阵的逆矩阵，计算量是非常大的，对于阶数较大的矩阵，我们一般不采用这种方法求逆矩阵.以后我们将给出另外一种实用的求矩阵的逆矩阵的方法——初等行变换法.祖 建

四川、成都、西南石油大学理学院

*** 2007-11-21