[名校联盟]江苏省淮安中学高三数学《第44课数列通项与求和》基础教案

第一篇：[名校联盟]江苏省淮安中学高三数学《第44课数列通项与求和》基础教案

第44课数列通项与求和（1）

考点解说：

会求数列的通项公式以及前n项的和。

一、基础自测1、123252(2n1)2

2、等比数列an中,Tnna1(n1)a22an1an,若T11,T24,则Tn

3、等比数列an中，a11，数列bn满足b1a,（a为常数），且bnanan1 则anbn的前n项和sn4、设等差数列an的公差d不为0，a19d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k

455、已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An7n

Bn，则使得n3anbn

为整数的正整数n的个数是

6、已知函数f(x)x 2,等差数列{ax}的公差为2.若,则log2[f(a1)f(a2)f(a3)f(a10)]

2snn7、已知sn为等差数列{an}的前n项和，Tn为等差数列{bn}的前n项和,若,则Tnm(m1)

a5b108、一个等差数列an中，al=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取一项，余下项的平均值是4，则它抽取的是

二、例题讲解

例

1、数列an满足递推关系：anan22,且a11,a24.（1）、求an；（2）求数列an的前n项的和.f(a2a4a6a8a10)4

例

2、根据下列条件求数列的通项

（1）、已知数列an中，a12,an12an32n1,求数列an的通项公式；（2）、已知数列an中，a12,an11（3）、已知数列an中，a13,an1，求数列an的通项公式； an

n13

an(n1)，求数列an的通项公式； 3n

（4）、已知数列an的前n项和sn满足sn2an(1)n,n1,求数列an的通项公式；

例

3、已知等比数列的公比为q，前n项和sn>0,对nN恒成立。（1）求q的取值范围；（2）设bn=an2

例

4、(选讲)在数列an中，其中0a12，an1ann1(2)2n(nN)，（1）求数列an的通项公式（2）求数列an的前n项和

*

an1,数列{bn}的前n项和为Tn,试比较sn与Tn,的大小。

2三、课后作业

班级姓名学号等第1、数列an的通项公式an(1)n1(4n3),则它的前100项之和s100等于

2、等比数列an的前n项和为Sn，若S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为

3、已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan144、数列an满足a11,ana12a23a3(n1)an1nan(n2)，则数列的通项公式an

5、数列

6、数列

2n1

的前n项和snn

2

1111，,,的前n项和sn1222243264287、Sn是等差数列{an}的前n项和，已知s6=36,sn=324,sn-6=144(n>6)，则n的值为

8、设公比为q的无穷等比数列{an}前n项的和为sn,给出下列命题：（1）sn中至多有有限项为0；（2）不存在an=0的项；（3）当q>1时数列{an}为递增数列；（4）当q=1时该数列一定是等差数列。其中所有错误命题的序号为

n1,n为奇数，2，则{an}前100项和等于

9、数列{an}的通项公式an=

n,n为偶数210、把数列{2n1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第104个括号内各数之和为__________

11、已知数列｛an｝满足：a1＝

33nan－1

n2，nN），且an＝求数列｛an｝

22an－1＋n－

1的通项公式

12、设等差数列an的公差为d1，前n项和为Sn，等差数列bn的公差为d2，前n项和为Tn,且

13、设数列an的前n项的和Sn

Snaad7n1，求：(1)11;(2)11;(3)1 

Tn4n27b11b7d2

412

an2n1，333

n

32n

（Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn，证明：Ti

2Sni

114、(选做题)在数列an中，a12，an14an3n1，nN．

*

（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；（Ⅲ）证明不等式Sn1≤4Sn，对任意nN皆成立．

*

错因分析：

第二篇：[名校联盟]江苏省淮安中学高三数学《第78课 垂直问题的证明》基础教案

第78课时垂直问题的证明

考点解说

了解线线垂直、线面垂直、面面垂直的概念;能正确利用有关定理解决垂直问题的证明题和探索性问题.一、基础自测

1.若,a,Pa,Q,Qa,则PQa是PQ的条件.2.已知,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则“⊥”是“m⊥”的条件

3.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.4.平面的斜线AB交于点B,过定点A的动直线与AB垂直,且交于点C,则动点C的轨迹是5.,是两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同的直线,给出四个论断:(1)mn;(2);(3)m;(4)n

以其中三个论断作条件,余下的一个论断作结论,写出你认为正确的一个命题:.6.设、、为平面,m、n、l为直线,则m的一个充分条件是.(1),l,ml

(3),,m(2)m,,(4)n,n,m

7.三个平面两两互相垂直,它们的交线交于一点O,且点P到三个平面的距离分别是3,4,5,则OP.二、例题讲解 例1.如图,已知棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,且AA1面ABCD,F为棱AA1的中点,M为线段BD1的中点.(1)求证:MF//面ABCD;(2)求证:MF面BDD1B1.例2.多面体ABCDE中,ABBCACAE1,CD2,AE面ABC,AE//CD.(1)求证:AE//面BCD;(2)求证:面BED面BCD

例3.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB//DC,BAD90,PA平面ABCD,AB1,AD2,CD4.(1)求证:BDPC;(2)求证:面PAC面PBD

.例4.四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB60的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:ADPB;

(2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找一点F,使平面DEF平面ABCD,并证明你的结论.板书设计

教后感



三、课后作业

班级姓名学号等第1.关于不同直线a,b,l及不同平面,,下列命题中

(1)若a//,b//,则a//b;

(2)若a//,ba,则b;

(3)若a,b,la,lb,则l;

(4)若a,a//,则.假命题的序号是.2.在四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个命题中

(1)BC//平面PDF;

(2)DF平面PAE;

(3)平面PDF平面ABC;

(4)平面PAE平面ABC.真命题的序号是.3.设a,b是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列四个命题中

(1)若ab,a,则b//;

(2)若a//,,则a;

(3)若a,,则a//;

(4)若ab,a,b,则.其中真命题的个数是.4.已知PA正方形ABCD所在的平面,垂足为A,连结PB,PC,PD,AC,BD,则互相垂直的平面有对.5.设a,b是两条直线,,是两个平面,则ab的一个充分条件是.(1)a,b//,;(2)a,b,//;

(3)a,b,//;(4)a,b//,.6.如图,PA平面ABCD,则当PC时ACBD;当

DC时,PDDC.7.对于直线m,n和平面,,的一个充分条件是.(1)mn,m//,n//;(2)mn,m,n

(3)m//n,n,m;(4)m//n,m,n.8.已知平面,和直线m,给出条件:

(1)m//;(2)m;(3)m;(4);(5)//.当满足条件时,有m//;当满足条件时,有m.9.如图,M,N,K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.(1)求证:AN//平面A1MK;(2)求证:平面A1B1C平面A1MK

.10.正三棱柱ABCA1B1C1中,点D是BC的中点,BC1,设B1D BC1

F.(1)求证:AC1//平面AB1D;(2)求证:BC1平面AB1D

.11.已知三棱锥PABC中,PC平面ABC,ABBC,D,F分别为AC,PC的中点,DEAP于点E.(1)求证:APBE;(2)求证:平面BDE平面BDF

.12.如图,在直三棱柱ABCA的中点,点D在B1C11B1C1中,E,F分别是A1B,AC1

上,A1DB1C.求证:(1)EF//平面ABC;(2)面A1FD面BB1C1C

.13.（选做题）将ABE沿AE折起,使二面角BAEC成直二面角,连结BC,BD,F是CD的中点,P是棱BC的中点.(1)求证:AEBD;(2)求证:平面PEF平面AECD;

(3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由.

第三篇：[名校联盟]江苏省淮安中学高三数学《第77课平行问题的证明》基础教案

第77课时平行问题的证明

考点解说

了解空间线线平行、线面平行、面面平行的概念;能正确利用有关定理解决平行问题的证明题和探索性问题.一、基础自测 1.已知直线a//平面,平面//平面,则a,的位置关系为.2.已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,有下列4个命题:

(1)若m//n,n,则m//;(2)若mn,m,n,则n//;

(3)若,m,n,则mn;(4)若m,n是异面直线,m,n,m//,则n//.其中正确的命题的序号是.3.已知m,n是两条不同的直线,,,是三个不同的平面.给出下列四个命题:

(1)若m,m,则//;(2)若,,则//;

(3)若m,n,m//n,则//;

(4)若m,n是异面直线,m,m//,n,n//,则//.其中真命题是.4.设x,y,z表示空间不同的直线或平面,且直线不在平面内,给出下列五个命题:

(1)x为直线y,z为平面;(2)x,y,z为平面;(3)x,y为直线,z为平面;

(4)x,y为平面,z为直线;(5)x,y,z为直线.则其中能保证“若xz且yz,则x//y”.其中真命题是.5.对于不重合的两个平面与,给定下列条件:

①存在平面,使得、都垂直于;②存在平面,使得、都平行于;③内有不共线的三点到的距离相等;

④存在异面直线l,m,使得l//,l//,m//,m//.其中可使//的有个.6.给出下列关于互不相同的直线m,n,l和平面,的四个命题:

(1)m,lA,点Am,则l与m不共面;

(2)l、m是异面直线,l//,m//,且nl,nm,则n;

(3)若l//,m//,//,则l//m;

(4)若l,m,lm点A,l//,m//,则//.其中为假命题的是.7.已知m,n是不同的直线,,是不重合的平面,给出下列命题:

(1)若m//,则m平行于内的任一条直线;(2)若//,m,n,则m//n;

(3)若m,n,m//n,则//;(4)若//,m,则m//;

(5)若,m,n//,则mn.其中,真命题的序号是.8.下列命题中,是假命题的是.(1)三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面;

(2)//,a,过内的一点B有唯一的一条直线b,使b//a;(3)//,//,,分别与,的交线为a,b,c,d,则a//b//c//d;

(4)一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件.二、例题讲解

例1.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,BAD

60,ABPB

, PCPA,E为CD的中点.(1)证明:BEPA;(2)在PC上找一点F,使得PA//平面BEF.例2.如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ACCD,DAC60, ABBCAC,E是PD的中点,F为ED的中点.(1)求证:平面PAC平面PCD;(2)求证:CF//平面BAE

.AB,BCPC.2(1)求证:PABC;(2)试在线段PB上找一点M,使CM//平面PAD,并说明理由.例3.如图,在四棱锥PABCD中,CD//AB,ADAB,ADDC

例4.如图,在多面体ABEDC中,AB平面ACD,ACADCDDE2,AB1,F为CE的中点,DE平面ACD.求证:BF//平面ACD.板书设计

教后感

三、课后作业

班级姓名学号等第1.已知,,是三个不同的平面,a,b是两条不同的直线,有下列三个条件:

(1)a//,b;(2)a//,b//;(3)b//,a.如果命题“a,b,且,则a//b”为真命题,则可以在横线上填入的条件为.(正确的序号)

2.已知m、n是不同的直线,、是不重合的平面,给出下列命题:

①若//,m,n,则m//n;②若m,n,m//,n//则//;

③若m,n,m//n，则//;

④m,n是两条异面直线,若m//,m//,n//,n//，则//.上面的命题中,真命题的序号是.3.设,,为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若,,则||;②若m,n,m||,n||,则||,③若||,l,则l||;④若l,m,n,l||,则m||n.其中真命题的个数是.4.已知a,b,c是直线,是平面，给出下列命题:

①若ab,bc,则a//c;②若a//b,bc,则ac;

③若a//,b,则a//b;④若a与b异面,且a//,则b与相交;

⑤若a与b异面,则至多有一条直线与a,b都垂直.其中真命题的个数是.5.,为平面,m为直线,如果//,那么“m//”是“m//”的条件.6.已知m,n是两条不同直线,,,是三个不同平面,下列命题中正确的是.(1)若m‖,n‖,则m‖n;

(3)若m‖,m‖,则‖;(2)若,,则‖;(4)若m,n,则m‖n.7.设有直线m,n和平面,.下列四个命题中,正确的是.(1)若m//,n//,则m//n;(2)若m,n,m//,n//,则∥;

(3)若,m,则m;(4)若,m,m,则m//.8.下列命题中正确的是.(1)直线a,b与直线l所成角相等,则a//b;

(2)直线a,b与平面所成角相等,则a//b;

(3)平面,与平面所成角均为直二面角,则//;

(4)直线a,b在平面外,且a,ab,则b//.9.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABAD2.(1)证明:面BDD1B1面ACD1;

(2)若E是BC1的中点,P是AC的中点,F是

AC11上的点,C1FmFA1,试求m的值,使得

EF//D1P.10.在菱形ABCD中,DAB60,PA面ABCD,且PAAB2,E是AB的中点.(1)求证PCBD;(2)设F是PD上一点,试确定F的位置,使AF//平面PEC.

11.直棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,BADADC90, AB2AD2CD2.(1)求证:AC面BB1C1C;

(2)在A1B1上是否存在点P,使DP与面BCB1和面ACB1都平行?

12.如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知DCDD12AD2AB,ADDC,AB//DC.(1)求证:DCAC1;(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E//面A1BD.1

13.（选做题）如图,ABCD为直角梯形,CCDA90,AD2BC2CD,P为平

面ABCD外一点,且PBBD.(1)求证:PABD;

(2)若直线l过点P,且l//BC,试在直线l上找一点E,使得PC//

面EBD.

第四篇：学案31 数列的通项与求和

4数列的通项与求和

导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

自主梳理

1．求数列的通项S1，n＝1，(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：an＝ Sn－Sn－1，n≥2.(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋„＋f(n)可求，则可用________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋„＋(an－an－1)．

an＋1(3)当已知数列{an}中，满足a＝f(n)，且f(1)·f(2)·„·f(n)可求，则可用__________求数列的通项an，n

aaa常利用恒等式an＝a1„a1a2an－1.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．

(5)归纳、猜想、数学归纳法证明．

2．求数列的前n项的和

(1)公式法

①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________；

，q＝1，②等比数列前n项和Sn＝＝，q≠1.

推导方法：乘公比，错位相减法．

③常见数列的前n项和：

a．1＋2＋3＋„＋n＝__________；b．2＋4＋6＋„＋2n＝__________；

c．1＋3＋5＋„＋(2n－1)＝______； d．12＋22＋32＋„＋n2＝__________；

e．13＋23＋33＋„＋n3＝__________________.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．

(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．常见的裂项公式有：

11111111①n22n－12n＋1； ③n＋1n.nn＋1n＋12n－12n＋1n＋n＋

1(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．

(5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．

自我检测

1．(原创题)已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝3n2(n∈N*)，则数列{an}的前n项的()

3939A.2n－1)B.2(3n－1)C.8n－1)D.8n－1)

2．(2011·邯郸月考)设{an}是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，若{Sn}是等差数列，则q为()

A．－1B．1C．±1D．0

3．已知等比数列{an}的公比为4，且a1＋a2＝20，设bn＝log2an，则b2＋b4＋b6＋„＋b2n等于()

A．n2＋nB．2(n2＋n)C．2n2＋nD．4(n2＋n)

n＋14．(2010·天津高三十校联考)已知数列{an}的通项公式an＝log2(n∈N*)，设{an}的前n项的和为Sn，n＋

2则使Sn<－5成立的自然数n()

A．有最大值63B．有最小值63C．有最大值31D．有最小值31

5．(2011·北京海淀区期末)设关于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．

探究点一 求通项公式

2n＋1·an

例1 已知数列{an}满足an＋1＝a＝2，求数列{an}的通项公式．

an＋2＋1

变式迁移1 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．

探究点二 裂项相消法求和

例2 已知数列{an}，Sn是其前n项和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2.(1)求数列{an}的通项公式；

1m

(2)设bn＝Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn20对所有n∈N*都成立的最小正整

log2an·log2an＋1

数m.111

变式迁移2 求数列1，n项和．

1＋21＋2＋31＋2＋3＋„＋n

探究点三 错位相减法求和 例3(2011·荆门月考)已知数列{an}是首项、公比都为q(q>0且q≠1)的等比数列，bn＝anlog4an(n∈N*)．

(1)当q＝5时，求数列{bn}的前n项和Sn；

4(2)当q＝15时，若bn

123n

变式迁移3 求和Sn＝a＋a＋a＋„＋a.分类讨论思想的应用

例(5分)二次函数f(x)＝x2＋x，当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)的函数值中所有整数值的个数为g(n)，2n3＋3n2an＝(n∈N*)，则Sn＝a1－a2＋a3－a4＋„＋(－1)n－1an＝()

gn

nn＋1nn＋1n－1nn＋1nnn＋1A．(－1)B．(－1)C.2 D．－

222

【答题模板】答案 A

解析 本题考查二次函数的性质以及并项转化法求和．

当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，函数f(x)＝x2＋x的值随x的增大而增大，则f(x)的值域为[n2＋n，n2＋3n

322n＋3n

＋2](n∈N*)，∴g(n)＝2n＋3(n∈N*)，于是an＝＝n2.gn

方法一 当n为偶数时，Sn＝a1－a2＋a3－a4＋„＋an－1－an＝(12－22)＋(32－42)＋„＋[(n－1)2－n2]

3＋2n－1nnn＋1

＝－[3＋7＋…＋(2n－1)]＝－＝－

222；

nn－1nn＋12

当n为奇数时，Sn＝(a1－a2)＋(a3－a4)＋„＋(an－2－an－1)＋an＝Sn－1＋an＝－2n＝2nn＋1

∴Sn＝(－1)n－12

方法二 a1＝1，a2＝4，S1＝a1＝1，S2＝a1－a2＝－3，检验选择项，可确定A正确． 【突破思维障碍】

在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示．

1．求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项；(2)观察法：例如由数列的前几项来求通项；(3)可化归为使用累加法、累积法；

(4)可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法；(5)求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明． 2．数列求和的方法：

一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．

3．求和时应注意的问题：

(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．

(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010·广东)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1且a4与2a7的等差中项

5为4，则S5等于()

A．35

B．3

3C．3

1D．29

S7n＋2a2．(2011·黄冈调研)有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，若T则b()

n＋3n5

6537729A.12B.8C.13D.4an－1－anan－an＋1

3．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1且＝(n≥2)，则此数列的第10项()

anan－1anan＋1

1111A.2B.2C.10D.51

4．数列{an}的前n项和为Sn，若anS5等于()

nn＋1

511

A．1B.6C.6D.305．数列1,1＋2,1＋2＋4，„，1＋2＋22＋„＋2n－1，„的前n项和Sn>1 020，那么n的最小值是()A．7B．8C．9D．10

二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010·东北师大附中高三月考)数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，„)，则log4S10＝__________.7．(原创题)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－a，则该数列前26项的和为________．

n

8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的 通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝____________.三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·河源月考)已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)．

(1)若函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an}，试证明数列{an}是等差数列；(2)设函数f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，试求数列{bn}的前n项和Sn.10．(12分)(2011·三门峡月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n＋an－c(c是常数，n∈N*)，a2＝6.(1)求c的值及数列{an}的通项公式；

1(2)证明aaaa8anan＋1122

311．(14分)(2010·北京宣武高三期中)已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n，数列{bn}满足b1＝－1，bn

*

＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N)．

(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求数列{bn}的通项公式bn；

a·b(3)若cn＝n，求数列{cn}的前n项和Tn.答案自主梳理

n(a1＋an)n(n－1)a1(1－qn)

1．(2)累加法(3)累积法 2.(1)① na1＋2d 倒序相加法 ②na1 21－q

a1－anqn(n＋1)n(n＋1)(2n＋1)n(n＋1)

2 ③2 n2＋n n261－q2

自我检测

1．C 2.B 3.B 4.B5．10 100课堂活动区

例1 解题导引 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1；累乘：an

aan－1a＝·„·a等方法． an－1an－2a11

***

解 已知递推可化为a＋∴aa2，a－a＝2，a－a＝2，„，a－＝2.an＋1n2213243nan－1

11

1－2

1111111212n

将以上(n－1)个式子相加得aa＝2＋2＋2＋„＋2，∴a＝

1＝1－2.∴an＝2－1n1n

1－2

变式迁移1(1)证明 由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an；于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．

an＋1an3

(2)解 由(1)知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是＋2＝4，a13an1331

因此数列2是首项为2422(n－1)×44－4an＝(3n－1)·2n－2.

例2 解题导引 1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也

有可能前面剩两项，后面也剩两项．再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．

11111111.2．一般情况如下，若{an}是等差数列，则，anan＋1danan＋1anan＋22danan＋2

此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和．

解(1)∵n≥2时，an＝7Sn－1＋2，∴an＋1＝7Sn＋2，两式相减，得an＋1－an＝7an，∴an＋1＝8an(n≥2)． 又a1＝2，∴a2＝7a1＋2＝16＝8a1，∴an＋1＝8an(n∈N*)． ∴{an}是一个以2为首项，8为公比的等比数列，∴an＝2·8n－1＝23n－2.11111

(2)∵bn＝＝3，log2an·log2an＋1(3n－2)(3n＋1)3n－23n＋1111111111m1∴Tn＝3－4＋4－7＋„＋＝3(1－3∴20≥3，∴最小正整数m＝7.3n－23n＋13n＋1

121－变式迁移2 解 an＝2nn＋1，n(n＋1)

111112n11－1－∴Sn＝2·[2＋23＋„＋nn＋1]＝2·n＋1＝n＋1.

例3 解题导引 1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．

2．用乘公比错位相减法求和时，应注意：

(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．

解(1)由题意得an＝qn，∴bn＝an·log4an＝qn·log4qn＝n·5n·log45，∴Sn＝(1×5＋2×52＋„＋n×5n)log45，设Tn＝1×5＋2×52＋„＋n×5n，①则5Tn＝1×52＋2×53＋„＋(n－1)×5n＋n×5n＋1，②

n

23nn＋15(5－1)① －②得－4Tn＝5＋5＋5＋„＋5－n×5＝4－n×5n＋1，55

∴Tn＝16n×5n－5n＋1)，Sn＝16(4n×5n－5n＋1)log45.141414141414

(2)∵bn＝anlog4an＝n15nlog415，∴bn＋1－bn＝(n＋1)15n＋1log415－n15nlog415

141414n14n14n14n

＝1515－15log415>0，∵15>0，log415，∴1515，∴n>14，即n≥15时，bn

变式迁移3解当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝2a≠1时，Sn＝aaa＋„＋a，①

11123n1111n

∴an＝a＋a＋a＋„＋＋，②①－②，得1－a·Sn＝aaa„＋a＋

aa

11111－a1－1－aaaa1nnn

1－aSn＝－－＋＝＋，∴Sn＝－1aa－1a(a－1)(a－1)·a1－a

∴S＝1

a1an，a≠1.(a－1)(a－1)·a

n

n(n＋1)

2，a＝1，课后练习区1．C 2.A 3.D 4.B 5.D 6．9解析 ∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．

an＋1

两式相减得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an，即a＝4.∴{an}为以a2为首项，公比为4的n

n－2

等比数列．当n＝1时，a2＝3S1＝3，∴n≥2时，an＝3·4，S10＝a1＋a2＋„＋a10＝1＋3＋3×4＋3×42

49－1

＋„＋3×4＝1＋3×(1＋4＋„＋4)＝1＋3×1＋49－1＝49.∴log4S10＝log449＝9.4－1

7．－10解析 依题意得，a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝2，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，a8＝21

所以数列周期为4，S26＝6×(1－2－1＋2)＋1－2＝－10.8．2n＋1－2解析 依题意，有a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，„，an－an－1＝2n－1，所有的代数式相加得an－a1＝2n－2，即an＝2n，所以Sn＝2n＋1－2.9．解 f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7＝[x－(n＋1)]2＋3n－8.……(3分)(1)由题意，an＝n＋1，故an＋1－an＝(n＋1)＋1－(n＋1)＝1，故数列{an}是以1为公差，2为首项的等差数列．…………(5分)

(2)由题意，bn＝|3n－8|……(7分)当1≤n≤2时，bn＝－3n＋8，数列{bn}为等差数列，b1＝5，n(5－3n＋8)－3n2＋13n∴Sn＝；…(9分)当n≥3时，bn＝3n－8，数列{bn}是等差数列，b3＝1.22

－3n2＋13n

22，1≤n≤2，(n－2)(1＋3n－8)3n－13n＋28

∴Sn＝S2＋分)∴Sn＝2

223n－13n＋28

n≥3.2

(12分)

10．(1)解 因为Sn＝2nan＋an－c，所以当n＝1时，S1＝2a1＋a1－c，解得a1＝2c，(2分)当n＝2时，S2＝a2＋a2－c，即a1＋a2＝2a2－c，解得a2＝3c，……(3分)所以3c＝6，解得c＝2；……(4分)

则a1＝4，数列{an}的公差d＝a2－a1＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2.……(6分)

111111

(2)证明 因为aaaa„＋„＋anan＋14×66×8(2n＋2)(2n＋4)1223

***1＝24－6)＋268＋„＋2(＝246＋(68＋„＋(……(8分)

2n＋22n＋42n＋22n＋4

111111111＝24－)＝8……(10分)因为n∈N*，所以aa＋aa＋„＋<8.…(12分)

2n＋44(n＋2)anan＋11223

－－

11．解(1)∵Sn＝3n，∴Sn－1＝3n1(n≥2)．∴an＝Sn－Sn－1＝3n－3n1＝2×3n－1(n≥2)．…(3分)

3，n＝1，1－1

当n＝1时，2×3＝2≠S1＝a1＝3，…(4分)∴an＝n－1*…(5分)

2×3，n≥2，n∈N

(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，„，bn－bn－1＝2n－3.(n－1)(1＋2n－3)2

以上各式相加得bn－b1＝1＋3＋5＋„＋(2n－3)＝＝(n－1).∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n.……(7分)

－3，n＝1，(3)由题意得cn＝n－1*………(9分)

2(n－2)×3，n≥2，n∈N.当n≥2时，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋„＋2(n－2)×3n－1，∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋„＋2(n－2)×3n，相减得－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋„＋2×3n－1－2(n－2)×3n.3n－3(2n－5)3n＋3n23n－1n

∴Tn＝(n－2)×3－(3＋3＋3＋„＋3)＝(n－2)×3－2……(13分)

(2n－5)3n＋3*

T1＝－3也适合． ∴Tn＝(n∈N)．……(14分)

第五篇：高中数学难点解析教案13 数列的通项与求和

高中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有

c1b1c1b2cncn=an+1成立，求limnS2n1S2n.命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和，实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系，借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口.错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a1、b1、d、q，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{dn}，运用和与通项的关系求出dn，丝丝入扣.解：(1)∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d－(d－2)=2d，∵d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴b3b1(q2)q2222=q，由q∈R，且q≠1，得q=－2，2∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1

京翰教育http://www.xiexiebang.combn=dn，则d1+d2+„+dn=an+1,(n∈N*), ∴dn=an+1－an=2, ∴cnbn=2,即cn=2·bn=8·(－2)

1212n－

1；∴Sn=

83［1－(－2)］.n∴S2n1S2n1(2)2n12n(())2n2,lim1nS2n1S2n321(2)2

2n［例2］设An为数列{an}的前n项和，An=(1)求数列{an}的通项公式；

(an－1)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;(3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和；Dn为数列{dn}的前n项和，Tn=Br－Dn，求limnTn(an)4.命题意图：本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力.知识依托：利用项与和的关系求an是本题的先决；(2)问中探寻{an}与{bn}的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.错解分析：待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系，使Tn中既含有n，又含有r，会使所求的极限模糊不清.技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4－1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n与r的关系，正确表示Br，问题便可迎刃而解.解：(1)由An=3232(an－1)，可知An+1=

an1an32(an+1－1)，32∴an+1－an=(an+1－an)，即=3，而a1=A1=(a1－1)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式an=3n.2n－1n1(2)∵32n+1=3·32n=3·(4－1)2n=3·［42n+C1(－1)+„+C2·4·(－1)+(－1)2n］2n2n·4=4n+3，∴3+1∈{bn}.而数3=(4－1)=4+C142n·2n

2n

2n

2n

2n－1

n1·(－1)+„+C2·4·(－1)+(－1)=(4k+1)，2n2n∴32n{bn}，而数列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.(3)由32n+1=4·r+3，可知r=

32n134，京翰教育http://www.xiexiebang.comn11n1n1r,nn!(n1)!n!,11n!11sin2等ctgαctg2α，Cnr1Cn,(n1)!(n1)!④错项相消法 ⑤并项求和法

数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法.●歼灭难点训练

一、填空题

1.(★★★★★)设zn=(则limSn=_________.n1i2)，(n∈N)，记Sn=｜z2－z1｜+｜z3－z2｜+„+｜zn+1－zn｜，n*2.(★★★★★)作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在京翰教育http://www.xiexiebang.com=bn－1，则cn=(2122n12n1132n12n11an1ananan112)

[(1)(1)]2n1112n1,b1b2bnnc1c2cn(1)(1315)(12n12n1)112n1，lim(b1b2bnn)lim(1nn12n1)1.歼灭难点训练

京翰教育http://www.xiexiebang.com|zn1zn||(1Snc1c2cn2[1(11i2)nn1(1i2)|(nn22)n1，2222)]1(222)2

limSnn12222222122

答案：1+

a2n12.解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列{an}，可得an=

31，正三角形的内切圆构成等比数列{rn}，可得rn=

62n1a,

332∴这些圆的周长之和c=lim2π(r1+r2+„+rn)=

n a2，面积之和S=limπ(n2+r22+„+rn2)=n9a2

9答案：周长之和332πa，面积之和

an1annn1a

2二、3.解：(1）可解得

，从而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n－1.(3)Tn－Sn=2n－n2－1，验证可知，n=1时，T1=S1，n=2时T2＜S2；n=3时，T3＜S3;n=4时，T4＜S4；n=5时，T5＞S5；n=6时T6＞S6.猜想当n≥5时，Tn＞Sn，即2n＞n2+1 可用数学归纳法证明(略）.4.解：(1）由an+2=2an+1－anan+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差数列，

d=a4a141=－2,∴an=10－2n.(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=－n2+9n，当n＞5时，Sn=n2－9n+40，2n9n 1n5故Sn=2

n9n40 n5(3)bn=1n(12an)1n(2n2)12111()2nn112)(1213)(1n1n1)]n2(n1)Tnb1b2bn[(1；要使Tn＞

m32总成立，需m32＜T1=14成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7.5.解：(1）由已知Sn+1=(m+1)－man+1①，Sn=(m+1)－man②,由①－②，得an+1=man－

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高中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com man+1，即(m+1)an+1=man对任意正整数n都成立.∵m为常数，且m＜－1 ∴an1anmm1，即{

anan1}为等比数列.13(2)当n=1时，a1=m+1－ma1，∴a1=1，从而b1=mm1.由(1)知q=f(m)=，∴bn=f(bn－1)=

bn1bn111bn(n∈N*,且n≥2)∴1bn111bn1，即

1bn1bn11，∴{}为等差数列.∴

1bn=3+(n－1)=n+2，bnn2m(n∈N*).)n1an(m1,lim(bnlgan)lim[nnn1n213109lgmm114]lgmm11,1n2)1 而lim3(b1b2b2b3bn1bn)lim3(nn1415n1由题意知lgmm11,mm110,mb116.解：(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得：解得b1=1,d=3, 10(101)d14510b12∴bn=3n－2.(2)由bn=3n－2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+=loga［(1+1)(1+1414)+„+loga(1+

13n2))„(1+1313n2)］，13logabn+1=loga33n1.14因此要比较Sn与小，logabn+1的大小，可先比较(1+1)(1+)„(1+

13n2)与33n1的大取n=1时，有(1+1)＞3311 取n=2时，有(1+1)(1+ 由此推测(1+1)(1+1414)＞3321„

13n2)„(1+)＞33n1

①

若①式成立，则由对数函数性质可判定： 当a＞1时，Sn＞13logabn+1，13

② ③ 当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1，京翰教育http://www.xiexiebang.com/

高中数学辅导网 http://www.xiexiebang.com 下面用数学归纳法证明①式.(ⅰ)当n=1时，已验证①式成立.(ⅱ)假设当n=k时(k≥1），①式成立，即：

(11)(11414)(113k213k223)33k1.那么当n=k+1时，13(k1)23(11)(13)(1)(1)233k1(113k13)23k13k1(3k2).[3k13k1(3k2)][3k4]3(3k2)(3k4)(3k1)(3k1)32

9k4(3k1)20,143k13k1(3k2)1)(13k41)333(k1)1因而(11)(1)(13k23k13(k1)1这就是说①式当n=k+1时也成立.由(ⅰ）(ⅱ）可知①式对任何正整数n都成立.由此证得： 当a＞1时，Sn＞1313logabn+1；当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1.7.解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t.∴a2=2t3a22t3.,3ta13t又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t，3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t

① ②

①－②得3tan－(2t+3)an－1=0.∴anan12t33t,n=2,3,4„,所以{an}是一个首项为1公比为

2t33t的等比数列；

(2)由f(t)= 2t33t=

231t,得bn=f（1bn123)=

23+bn－1.可见{bn}是一个首项为1，公差为于是bn=1+(3)由bn=是b2n=4n13233的等差数列.(n－1)=

2n13;

532n1,可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为

43的等差数列，于, ∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+„+b2n－1b2n－b2nb2n+1 =b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+„+b2n(b2n－1－b2n+1)=－434312534n13492(b2+b4+„+b2n)=－

·n(+)=－(2n+3n)

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