江苏省淮安中学高二数学《平面与平面垂直的性质》学案

第一篇：江苏省淮安中学高二数学《平面与平面垂直的性质》学案

教学目标

1． 掌握两个平面垂直的性质定理并能灵活应用；

2． 培养学生的空间想象能力和辨证思维。

教学重点与难点

重点：两个平面垂直的性质定理。

难点：两个平面垂直的性质定理的灵活应用。

教学过程

课前检测：

1、叫做二面角的平面角；

2、叫做直二面角；

3、两平面垂直的判定定理：；用字母符号表示为；实质是由垂直推出垂直；

4、证明面面垂直的方法有①②

一、问题情境、学生活动

 长方体ABCDA1B1C1D1中，平面CDD1C1平面ABCD，则平面CDD1C1中所有的直

线都与平面ABCD垂直吗？什么情况下平面CDD1C1里的直线与平面ABCD垂直？

二、数学理论、数学运用 A

AB C1C

1．平面与平面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.符号语言：

图形语言：简记为：面面垂直线面垂直

例

1、求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.例

2、S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。

求证：AB⊥BC。

例

3、如图，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，ABAC，侧面BB1C1C底面ABC。（1）若D是BC的中点，求证：ADCC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AMMA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C。

三、回顾反思

1． 面面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直 2． 已知面面垂直，如何找一个面的垂线？

3． 解题时要注重线线、线面、面面垂直的相互关系

1.2.4 两平面垂直的性质作业

1、下列命题正确的有

（1）两个平面互相垂直，则其中一个平面内的任一直线必垂直于另一个平面；（2）垂直于同一个平面的两个平面平行；

（3）若平面平面，平面平面，l, 那么l；（4）如果平面平面，那么经过内的一点P垂直于 的直线必在内；

2、下列命题正确的有（1）若,,则；（2）若,,则；（3）若1,1,,则1

13、如图,l,AB,ABl,BC,DE,BCDE,则AC与DE的位置关系是

4、设是直二面角，直线a,b,且a不与垂直，b不与垂直，则（）A． a与b可能垂直，但不可能平行B． a与b可能垂直也可能平行

C． a与b不可能垂直，但可能平行D． a与b不可能垂直，也不可能平行

5、如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界A

1上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是（）A．线段B1CB．线段BC1

C．BB1中点与CC1中点连成的线段 D．BC中点与B1C1中点连成的线段

6、正方体ABCD—A1B1C1D1中，求二面角C1BDC的正切值。

7、如图,在与的交线l上取线段AB=4cm，AC、BD分别在内和内，ACl,BDl,AC3cm,BD12cm，求线段CD的长。

8、如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,A1BAC1,求证:A1BB1C。A C

A1119、已知，平面DAB平面ABC，平面DAC平面ABC，E点是A在平面DBC内的射影。（1）求证：DA平面ABC；

（2）当E为DBC的垂心时，求证ABC是直角三角形。

B

第二篇：高中数学《平面与平面垂直的性质》说课稿

高中数学《平面与平面垂直的性质》说课稿

尊敬的各位考官大家好，我是今天的X号考生，今天我说课的题目是《平面与平面垂直的性质》。虽然我个人的教学经验并不丰富，但是为了能过够成为一名合格的人民教师，我对于本节课也有了一些自己的思考，接下来我就从几方面简单的谈一谈我对本节课的理解。

一、说教材

我认为要真正的教好一节课，首先就是要对教材熟悉，那么我就先来说一说我对本节课教材的理解。《平面与平面垂直的性质》在人教A版高中数学必修二第二章第三节第四小节，本节课的内容是平面与平面垂直的性质定理及其推导和应用。到本小节，学生已经学了直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，教学中可以引导学生思考这些定理之间相互联系的同时也对于本节课的知识点有了很好的铺垫作用。同时本节课的内容也是之后解决空间几何位置关系问题的必要基础。

二、说学情

教材是我们教学的工具，是载体。但我们的教学是要面向学生的，高中学生本身身心已经趋于成熟，管理与教学难度较大，那么为了能够成为一个合格的高中教师，深入了解所面对的学生可以说是必修课。本阶段的学生思维能力已经非常成熟，能够有自己独立的思考，所以应该积极发挥这种优势，让学生独立思考探索。

三、说教学目标

根据以上对教材的分析以及对学情的把握，结合本节课的知识内容以及课标要求，我指定了如下的三维教学目标：

(一)知识与技能

掌握平面与平面垂直的性质，会根据面面垂直证明线面垂直。(二)过程与方法

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在探索证明平面与平面垂直的性质时，提升逻辑推理能力以及空间观念。(三)情感态度价值观

在自主探索中感受到成功的喜悦，激发学习数学的兴趣。

四、说教学重难点

并且我认为一节好的数学课，从教学内容上说一定要突出重点、突破难点。而教学重点的确立与我本节课的内容肯定是密不可分的。那么根据授课内容可以确定本节课的教学重点是：掌握平面与平面垂直的性质。而本节课作为本章的最后一节，那么就要求学生不光掌握面面垂直，还要能够理解与之前知识的联系，所以本节课的教学难点是：会根据面面垂直证明线面垂直。

五、说教法和学法

那么想要很好的呈现以上的想法，就需要教师合理设计教法和学法。根据本节课的内容特点，我认为应该选择讲授法，练习法，学生自主思考探索等教学方法。

六、说教学过程

而教学方法的具象化就是教学过程，基于新课标提出的教学过程是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。我试图通过我的教学过程，打造一个充满生命力的课堂。

(一)新课导入

教学过程的第一步是新课导入环节，那么我先抛出提出问题：

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这样的问题首先回归了课本，并且通过学生熟悉的图形能很好地将新旧知识联系起来，并且由旧知开始，能很好地帮助学生克服畏难情绪。从而引出本节课的课题《平面与平面垂直的性质》

(二)新知探索

接下来是教学中最重要的新知探索环节，就刚才导入中提出的问题，引导学生感知在相邻两个相互垂直的平面中，有哪些特殊的直线、平面的关系。这样铺垫好学生思维之后我设置让学生自主探索，抽取出问题模型，并尝试自主验证。

我在巡视后总结学生证明并板书：

一般地，我们得到平面与平面垂直的性质定理。

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。[page] 这个过程采用的思路仍然是“直观感知、操作确认、推理证明”，这是符合学生学习立体几何知识，培养空间观念、空间想象能力以及逻辑推理能力的基本规律。

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至此本节课的主要教学内容已经完成，做到了突出重点，突破难点。(三)课堂练习

当然光得出结论还是不够的，作为一节数学课要及时对知识进行应用，我设计了如下课堂练习：

例1：把黑板看成一个平面，它和地面所在的平面是垂直的。那么能不能在黑板上画一条和地面垂直的直线?是什么样的?

这样的问题能够兼顾到本节课的所有主要内容，让学生自己动手操作感受线面垂直和面面垂直的相互性，而且问题的两个平面并不是实际相交的，利于学生的思维发展。

(四)小结作业

在课程的最后我会提问：今天有什么收获? 引导学生回顾：平面与平面垂直的性质定理。

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本节课的课后作业我设计为：

将教室转化为一个长方体，用今天课上的知识证明一组线面垂直。这样的作业设置能够有效激发学生思考，不限制学生的思维，真正做到以学生为主体。

七、说板书设计

我的板书设计遵循简洁明了突出重点部分，以下是我的板书设计：

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第三篇：直线与平面垂直的判定和性质练习题

直线与平面垂直的判定和性质、平面与平面垂直的判定和性质（6.8）出题人：娄媛审题人：刘福义

一、选择题

1．两异面直线在平面α内的射影（）A．相交直线B．平行直线

C．一条直线—个点D．以上三种情况均有可能 2．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）A．有且只有—个B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个D．—定不存在3．若平面α的斜线l在α上的射影为l′，直线b∥α，且b⊥l′，则b与l（）

A．必相交B．必为异面直线C．垂直D无法确定 4．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是（）．

A.互相垂直 B.互相平行 C.一定相交 D.平行或相交 5．已知平面，直线l，直线m，lm，则l与的位置关系是（）． A．l B．l// C．l

D．以上都有可能

6．过平面外一点P：①存在无数个平面与平面平行；②存在无数个平面与平面垂直；③存在无数条直线与平面垂直；④只存在一条直线与平面平行．其中正确的是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个 7．在二面角-l-的一个面内有一条直线AB，若

AB与棱l的夹角为45，AB与平面所成的角为30，则此二面角的大小是（）．

A．30

B．30

或150C．45D．45或135

8下列命题

①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；

③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；

④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长．

其中，正确的命题有（）

A．1个B．2个C．3个D.4个

二、填空题

9．正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角DA1C1B的大小是________．

10．在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有____________个．

11.已知二面角ABCD、ACDB、ABDC都相等，则A点在平面BCD上的射影是BCD的___心． 12．、、是相交于点O，且两两垂直的三个平面，点P到、、的距离分别为4cm，6cm，12cm，则PO=________．

三、解答题

13．在四面体SABC中，ASC90，ASBBSC60，SASBSC，求证：平面ASC平面ABC

14如图，在长方体AC1中，已知AB＝BC＝a，BB1＝b（b＞a），连结BC1，过Bl作B1E⊥BC1交CC1于E，交BC1于Q，求证：AC1⊥平面EBlD1

15已知，，a，b，a//b，求证：//．

第四篇：《平面与平面垂直的性质》教学设计

《平面与平面垂直的性质》教学设计

一、教材分析：

直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

二、学情分析：

1.学生思维活跃，参与意识和自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学方法；通过一系列的问题及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现。

2.学生抽象概括能力和空间想象能力有待提高，故采用多媒体辅助教学。让学生在认知过程中，着重掌握原认知过程，使学生把独立思考与多向交流相结合。

三、根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标:（1）知识与技能目标：

①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识； ②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.（2）过程与方法目标： ①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.②通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力。

③发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.（3）情感、态度与价值观目标：

让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.四、教学重点与难点：

（1）教学重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。（2）教学难点：运用性质定理解决实际问题。

五、教学设计思路：

1、复习导入：

（1）线面垂直判定定理：

如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.（2）面面垂直判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.2、探究发现：

（1）创设情境：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！设计说明：

感知在相邻的两个相互垂直的平面内，有哪些特殊的直线和平面关系，然后通过操作，确定两个平面垂直的性质定理的合理性，引导学生通过模型观察，讨论在两个平面相互垂直的情况下，能够推出一些什么样的结论。（2）探索新知：

已知：面α⊥面β，α∩β= a, AB α, AB⊥a于 B，求证：AB⊥β

(让学生思考怎样证明)

分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线.证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a，∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β，∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE

又∵AB⊥a, BE∩a = B，∴AB⊥β

（3）面面垂直的性质定理：

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（用符号语言表述）若α⊥β，α∩β=a, AB α, AB⊥a于 B，则 AB⊥β

注：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面

我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。同学们在学习中要认真理解和体会。

3、学用结合：

（1）例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.（教材第76页“思考”）

(2)例2．如图，已知平面α、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a⊥β, a α，试判断直线a与平面α的位置关系（求证：a ∥α）（教材第76页例题5）（分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系)解：在α内作垂直于α、β交线AB的直线b，∵ α⊥β ∴b⊥β

∵ a⊥β ∴ a ∥b , 又∵a α ∴ a ∥α

六、课堂练习：

教材第77页“练习”。

七、归纳总结：

（1）面面垂直判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.（2）面面垂直的性质定理：

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.八、布置作业： 教材第77页习题2、3。

九、板书设计：

2.3.4平面与平面垂直的性质

1、面面垂直判定定理：、3、例1

5、作业

4、例2

2、面面垂直性质定理：

教学后记：学生对面面垂直的性质一时还理解不够深入透彻，应通过练习巩固深化，提高思维能力，特别是应用线面垂直的性质、面面垂直的性质定理的来解决一些问题（主要是用来解决证明线线平行、线面垂直的）的能力还需通过多加练习和思考。

第五篇：两个平面垂直的判定和性质(一)

两个平面垂直的判定和性质(一)

一、教学目标

1、理解并掌握两个平面垂直的定义．

2．掌握两个平面垂直的判定定理的证明过程，培养学生严格的逻辑推理，增强学生分析、解决问题的能力．

3．利用转化的方法掌握和应用两个平面垂直的判定定理．

二、教学重点、难点

1．教学重点：掌握两个平面垂直的判定．

2．教学难点：掌握两个平面垂直的判定及应用．

三、课时安排

本课题安排2课时．本节课为第一课时：主要讲解两个平面垂直的判定．

四、教与学的过程设计

(一)复习近平面角的有关知识

1、是二面角的平面角？

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

2、一般地，作二面角的平面角有哪几种方法？

三种．一是利用定义；二是利用三垂线(逆)定理；三是利用棱的垂面．

3、练习(幻灯显示)．

已知：二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°．

求：CD与平面β所成的角．

证明：作CO⊥β交β于点O，连结DO，则∠CDO为DC与β所成的角．

过点O作OE⊥AB于E，连结CE，则CE⊥AB，∴∠CEO为二面角α-AB-β的平面角，即∠CEO=45°．

∵CO⊥OE，OC＝OE，∴∠CDO=30°．

即DC与β成30°角．

点评：本题涉及到直线与平面所成角的范围[0°，90°]以及利用三垂线定理寻找二面角的平面角．事实上，利用三垂线定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一种方法．

(二)两个平面垂直的定义、画法

1、两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况，日常我们见到的墙面和地面、以及一个长方体中，相邻的两个面都是互相垂直的．那么，什么是两个平面互相垂直呢？

两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

2、知道了两个平面互相垂直的概念．如何画它们呢？

如图1-128，把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直．记作α⊥β．

3、练习：(P.45中练习1)

画互相垂直的两个平面、两两垂直的三个平面．如图1-129．

(三)两个平面垂直的判定

两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 提示：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角．让学生独自写出证明过程．

求证：α⊥β．

证明：设a∩β=CD，则B∈CD．

∴AB⊥CD．

在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．

∴α⊥β．

师：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直(图见课本P.43中图1-49)，实际上，就是依据这个原理．

另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．下面我们来做一道练习． 练习：(P.45中练习2)

如图1-131，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了．为什么？如果不转动呢？

如果不转动，只能确定两条直线OA⊥OB，无法确定OA⊥β，从而无法确定α⊥β．

(四)练习

例：⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点． 求证：平面PAC⊥平面PBC．图1-13

3证明：在θO内．

∵AB为θO的直径，∴BC⊥AC．

又PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC．

(五)总结

本节课我们讲解了两个平面垂直的定义、画法及判定方法．判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键．

五、作业

P．46中习题六．6、7、8、10(1)，∴平面PAC⊥平面PBC．