平面与平面平行教学案[五篇]

第一篇：平面与平面平行教学案

高一数学教学案材料编号：49

平面与平面平行

班级姓名学号设计人：贾仁春 审查人：孙慧欣 使用时间：12.30

一、教学目标：

1． 掌握空间中平面与平面的位置关系；

2． 掌握空间中面面平行的判定定理及性质定理，并能应用于解题。

二、教学重点、难点：

1． 教学重点：面面平行的定义与判定；

2． 教学难点：如何证明面面平行的判定和性质定理，并掌握这些定理的应用。

三、课前自学：

（一）复习检测：

1． 给出以下四个结论：

（1）若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；

（2）若两条直线和第三条直线都垂直，则这两条直线平行；

（3）若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行；

（4）若两条直线分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行。

其中错误结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

（二）自学导学：

基础知识梳理：

学点一：平面与平面的位置关系：

两个不重合的平面的位置关系有和两种。

（1）两个平面平行——

（2）两个平面相交——

学点二：平面与平面平行的判定定理及推论：

1． 两个平面平行的定义：

2． 两个平面平行的判定定理：符号语言：。图形语言：

推论：符号语言：。图形语言：

学点三：平面与平面的性质定理：

1．性质定理： 符号语言：。图形语言：

3． 两个平面平行的重要结论：

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一条直线于另一个平面。

（2）夹在两个平行平面间的相等。

（3）经过平面外一点，一个平面和已知平面平行。

(三)自学检测：

1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（）

A．平行B．相交C．平行或相交D．以上均不对

2．给出下列命题：

（1）m,n,m//,n////；

（2）//,m,nm//n；

（3）//,ll//；

（4）内的任一直线都平行于//

其中正确的是（）

A．（1）（3）B．（2）（4）C．（3）（4）D．（2）（3）

（四）例题分析：

例1．已知三棱锥P-ABC中D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF//平面ABC。

例2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是D1A1，A1B1，B1C1的中点，求证：平面AEF//平面GBD

例3．已知平面//平面//平面，两条直线l,m，分别与平面,,相交于点A，B，C和点D，E，F.求证：

小结：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。ABDE.BCEF

例4．如图，已知//，点P是平面,外一点，直线PAB，PCD分别与平面,相交于点A，B和点C，D

求证：（1）AC//BD；（2）已知：PA=4cm，AB=5cm，PC=3cm，求PD的长。、四、课堂导学：

（一）重难点突破：

1．面面平行的判定定理是论证面面平行的重要依据，必须交待清楚的是：两条相交直线，另一个平面；该定理的推论比定理有用的多，使用推论时必须交待清楚的是：两条相交直线，另一个平面内的两条直线。

2．搞清平行的转化：

线线平行线面平行

面面平行

（二）当堂检测

1． 有下列四个命题：

（1）分别在两个平行平面内的两条直线都平行；

（2）若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；

（3）如果一个平面内的两条直线内的两条直线平行于一个平面，则这两个平面平行；

（4）如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。

其中正确命题的序号为

2． 如图，已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为SAB上的高，D，E，F分别为AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系并给予证明。

（三）课堂小结：

1． 空间中两平面的位置关系；

2． 判断面面平行的方法有3种：（1）定义，（2）判定定理，（3）推论。

3． 线线平行、线面平行、面面平行三者的转化。

第二篇：平面与平面平行的性质

平面与平面平行的性质

¤知识要点：

1.面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号语言表示为：//,a,ba//b.2.其它性质：①//,ll//； ②//,ll；③夹在平行平面间的平行线段相等.¤例题精讲：

【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β.求证：MN∥α.【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面，外，它们在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．

C1C B1 A1F

E MNEC

D N MA

【例

3】如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且BECFAG，求证：平面EFG∥平面ABC.【例4】如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1EC1F.求证：EF∥平面ABCD.直线与平面垂直的判定

¤知识要点：

1.定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l.l－平面的垂线，－直线l的垂面，它们的唯一公共点P叫做垂足.（线线垂直线面垂直）

2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.符号语言表示为：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m，n，则l⊥

3.斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”.通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.¤例题精讲：

【例1】四面体ABCD中，ACBD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF

BDC90，求证：BD平面ACD.AC，【例2】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值.【例3】三棱锥PABC中，PABC，PBAC，PO平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC垂心.【例4】已知RtABC，斜边BC//平面，A, AB，AC分别与平面成30°和45°的角，已知BC=6，求BC到平面的距离.平面与平面垂直的判定

¤知识要点： 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角－AB－.（简记P－AB－Q）

2.二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.范围：0180.3.定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作.4.判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（线面垂直面面垂直）

¤例题精讲：

【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF.ABC

1E

A

C

【例2】如图, 在空间四边形ABCD中，ABBC,CDDA, E,F,G分别是

CD,DA,AC的中点，求证：平面BEF平面CBGD.【例3】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1BC中，E是CC1的中点，求证：B1平面A1BD平面BED．

【例4】正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且

EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比.线面、面面垂直的性质

¤知识要点：

1.线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.（线面垂直线线平行）

2.面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号语言表示为：若，l，a，al，则a.（面面垂直线面垂直）

¤例题精讲：

【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？

【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.【例3】三棱锥PABC中，PAPBPC,PO平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的外心.【例4】三棱锥PABC中，三个侧面与底面的二面角相等，PO平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的内心.小结：

1、证明两直线平行的主要方法是：

①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；

②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；

③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；

④平行线的传递性：a//b,c//ba//c

⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；

⑥垂直于同一平面的两直线平行；

2、证明两直线垂直的主要方法：

①利用勾股定理证明两相交直线垂直；

②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；

③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；

④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，如图：POOA是PA在平面上的射影aPA又直线a,且aOA

即：线影垂直线斜垂直，反之也成立。

④利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。

3、空间角及空间距离的计算

（1）异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，如图：直线a与b异面，b//b，直线a与直线b的夹角为两异 面直线 a与b所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90]

（2）斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，PAO为线面角。

（3）二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直

如图：在二面角-l-中，O棱上一点，OA，OB，且OAl,OBl,则AOB为二面角-l-的平面角。

用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：

①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）

4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ是两异面直线间的距离

（异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线）

5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。如图：O为P在平面上的射影，线段OP的长度为点P到平面的距离

求法通常有：定义法和等体积法

等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。如图在三棱锥VABC 中有：VSABCVASBCVBSACVCSAB

第三篇：平面与平面平行教案2

新课程有效课堂教学设计简案

主题：§1.2.2空间中的平行关系——平面与平面平行

____课时 课型：发现生成课和问题解决课 主备人：

一、教学目标 知识与技能：

（1）理解并掌握平面与平面平行的判定和性质定理。(2)能把平面与平面平行的关系转化为线面或线线平行关系进行问题解决，进一步体会数学化归的思想方法。

过程与方法：

培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。

情感、态度与价值观：

（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；

（2）了解空间与平面互相转化的数学思想，培养学生主动探究知识、合作交流的意识；（3）在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣，使学生的学习不断由感性认识上升到理性认识；

（4）体会获得知识的愉悦，提高了学习数学的信心。

教学重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理。

教学难点：平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用。

二、教学过程

第二课时

1创设情境，回顾知识：

回顾上节内容，导入下一环节。2自主学习，解决问题： 教师：⑴发放《问题生成单》。⑵关注学生情况。⑶指导解决问题。学生：⑴浏览《问题生成单》。⑵走进文本读、划、写、记、练、思。⑶组织语言，准备交流。3合作交流，解决问题：

教师：⑴走进小组倾听交流。⑵有效指导，解决问题。⑶组织全班交流。⑷科学引导，使问题条理化。

4展示疑难，合作交流：

教师：指导学生分组交流并加以总结提炼，并提出新问题加以解决。学生：⑴展示问题。⑵讲解交流问题。5问题训练，提升能力： 教师：⑴发《问题训练单》。⑵巡视，批阅，搜集做题信息。⑷纠正共性问题。学生：⑴自主完成《问题训练单》。⑵全班展示交流。⑶针对问题反思。6全面总结，反思提高。

教师：⑴引导学生从知识、方法、情感等方面总结、反思。⑵总结规律提炼数学思想。⑶巡视、获取信息。

学生;⑴结合自身体会反思。⑵展示反思，全班交流。

拓展设计

教学反思

本节课的成功之处：

本节课最遗憾的地方：

本节课存在的问题：

我对本节课持有的看法：

第四篇：2.2.2平面与平面平行的判定导学案

任丘一中数学新授课导学案班级：小组：姓名：使用时间：

§2.2.2平面与平面平行的判定

编者:顾伟

组长评价： 教师评价：

1.了解空间中平面与平面的位置关系；

2．掌握平面与平面平行的判定定理；

重点：平面与平面平行的判定定理..使用说明：（1）预习教材P56 ~ P57，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；

（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；

（3）不做标记的为C级，标记★为B级，标记★★为A级。

预习案（20分钟）

一．知识链接

直线与平面平行的判定.二．新知导学

平面与平面的位置关系有哪几种？

探究案（30分钟）

三．新知探究

问题：三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？

三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？

直线与平面平行的判定定理：符号语言：

作用：

将平面与平面平行关系转化为直线与平面间平行关系。

平面平行的传递性：

如果平面α //平面β，平面β //平面γ，则平面α //平面γ。

四．新知应用

例1.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：

（1）已知平面α，β和直线m，n，若m,n,m//,n//，则α // β；

（2）一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α // β。

（3）一个平面α内有无数条直线都平行于另一个平面β，则α // β。

（4）一个平面α内的任何直线都与β平行，则α // β。

（5）直线a // α，a // β，且直线a不在α内，也不在β内，则α // β。

（6）直线a，直线b，且a//,b//，则α // β。

规律方法

例2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，求证：平面AB1D1//平面C1BD。

变式．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点。求证：

（1）E、F、B、D四点共面；

（2）平面AMN //平面EFBD。

例3．已知四棱锥V—ABCD，四边形ABCD为平行四边形，E、F、G分别是AD、BC、VB的中点，求证：平面EFG //平面VDC。

规律方法：面面平行的判定定理的实质就是一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行。

例4．如图，α // β，A、C，B、D，且A、B、C、D不共面，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF//,EF//。（可作如下辅助线）

例5．如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是AD、SB上的中点，且SD=DC，SDDC求证：（1）MN//平面SDC；（2）求异面直线MN与CD所成的角.S

B

V 例6．（★）一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和VC，应该怎样画线？ ．P

C B

A

五．我的疑惑

（把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”））

随堂评价（15分钟）

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差

※ 当堂检测（时量：15分钟 满分：30分）计分：

1．下列说法正确的是（）.A.一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行

B.平行于同一平面的两条直线平行

C.如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行

D.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行

2．下列说法正确的是（）.A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.平行于同一个平面的两条直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行D.平行于同一个平面的两个平面平行

3．在下列条件中，可判断平面与平行的是（）.A.、都平行于直线l

B.内存在不共线的三点到的距离相等

C.l、m是内两条直线，且l∥，m∥

D.l、m是两条异面直线，且l∥，m∥，l∥，m∥

4．已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，下列说法中：⑴a//c,b//ca//b；⑵a//,b//a//b；⑶c//,c////；⑷//,////； ⑸a//c,c//a//；⑹a//,//a//.其中正确的说是.5．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且

过M作MHAB于H.AMFN，求证：（1）平面MNH//平面BCE；

（2）MN∥平面BCE.§2.2.2 课后巩固

1.下列命题中为真命题的是（）

A.平行于同一条直线的两个平面平行

B.垂直于同一条直线的两个平面平行

C.若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．

D.若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均

平行.2.已知m、n是两条直线，、是两个平面,有以下命题：

①m、n相交且都在平面、外，m//,m//,n//,n//，则//； ②若m//,m//，则//；

③若m//,n//,m//n，则//.其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.33.过两平行平面、外的点P两条直线AB与CD，它们分别交于A、C两点，交于

B、D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为__________.4.设m,n是两条直线，,是两个平面，则下面的推理中正确推理的序号为（1）a,b,a//,b////；

（2）//,a,ba//b；

（3）a//,la//l；

（4）a,b异面，a,b,a//,b////.5.已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是棱CC1、BB1的中点，求证：平面DEB1//平面ACF.6.正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AB,BC的中点,G为DD1上一点,且

-A1

1D1G:GD1：2,ACBDO,求证:平面AGO∥平面D1EF.7.直三棱柱ABCA1B1C1中,B1C1AC11，AC1A1B,M、N分别是A1B1、AB的中点,求证：平面AMC1//平面NB1C.8.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ//平面PAO?

第五篇：证明两个平面平行

证明两个平面平行

证明两个平面平行的方法有：

(1)根据定义。证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。

(2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。

2.两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面，平面

与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。

3.两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。

因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。

1.两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：

(1)平行—没有公共点;

(2)相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。

注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。

2.两个平面平行的判定定理表述为：

4.两个平面平行具有如下性质：

(1)两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。

简述为：“若面面平行,则线面平行”。

(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简述为：“若面面平行,则线线平行”。

(3)如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。

(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等

用反证法

A平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为p

B平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为Q

假设A和B不平行，那么一定有交点。

设有交点R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

没有这样的三角形。因为三角形的内角和为180

所以A一定平行于B