数列知识点总结

第一篇：数列知识点总结

必修⑤ 第二章 数列知识总结

一、等

1．等差数列定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项；数列可以看作一个定义域为正整数集N(或它的有限子集{1,2,,n}的函数当

自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.它的图像是一群孤立的点.它具有如下特征：

an1and, 或an2an1an1an(nN)

注意：

（1）证明数列{an} 是等差数列的五种基本方法（③④⑤大多用在客观题上）：

①利用定义：证明an1and（常数）

②利用中项性质：证明2anan1an2(nN)

③通项公式法：anpnq（p、q为常数）{an}为等差数列

④前n项和公式法：SnAn2Bn（A、B为常数）{an}为等差数列

（2）证明数列an不是等差数列的常用方法：找反例.(如验证前三项不成等差数列).（3）若an1ann,a1a,nN，则{an}不是等差数列,求an可用累加法

an(anan1)(an1an2)

2．通项公式及其变式 ⑤{an}成等比数列且an0{lgan}为等差数列 (aa,n 2.21)a1≥

ana1(n1)ddn(a1d)

变式：①anam(nm)d②a1a(n1)dn

aaaa ③dnm④dnm（联想点列(n,an)所在直线的斜率）nmnm

3．前n项和公式及其变式

n(a1an)na1n(n1)d； 2

2变式: ①Snannn(n1)d 联想:an是以an为首项, d为公差的等差数列.2②Snn(a1)n SS③n(n1)a1联想：n 是以a1为首项,为公差的等差数列 2

Saana1a2an④n1联想：算术平均数 Sn

4．等差中项

若 a, b, c成等差数列，则b 称a与c的等差中项，且b．

5．重要性质(等差数列an中)

（1）对称性质：若m+n=p+q(m.、n、p、qN), 则amanapaq；

特别地：当m+n=2p时aman2ap;

(2）若d为{an}的公差，则其子数列ak,akm,ak2m,,也成等差数列，且公差为md；（3）片段和性质：Sm,S2mSm,S3mS2m,也成等差数列，且公差为md；（4）若an,bn都是等差数列,则kan,kanp,kanpbn都为等差数列；

S奇a

n；S2nn(anan1);S偶an

1S*

若项数为2n-1(nN)则S奇S偶an；奇；S2n1(2n1)an.S偶n1

（5）若项数为2n(n)则S偶S奇nd；

评注:有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项.6．常用结论、技巧，减少运算量（注意对称设元，整体消参，设而不求）（1）设元技巧：如三个数成等差数列，可设为ad,a,ad；

四个数成等差数列，可设为a3d,ad,ad,a3d.（2）在等差数列中，求Sn最值：

方法一：建立Sn的目标函数，转化为n的二次函数求； 方法二：若a10,d0时,Sn有最大值，这时可由不等式组

an≥0

来确定n；

an1≤0

an≤0

若a10,d0时,Sn有最小值，这时可由不等式组来确定n.a≥0n

1（3）基本量计算：等差数列中有五量(a1,n,d,an,Sn)、三式（一个通项公式，两个求和公式），一般可以“知三求二”通过列方程（组）求关键量a1和d，问题可迎刃而解.（4）几个重要结论

①apq,aqp(pq)apq0 ②Spq,Sqp(pq)Spq(pq)③SpSq(pq)Spq0 ④SmnSmSnmnd

二、等比数列

１．定义与特征：

定义：______________________________________________.它具有如下特征：

an1aa

q(q为不为零常数)或者n2n1（nN*）nn1nan

1q(q为不为零常数)an

注：（1）证明数列是等比数列的两个基本方法：

①利用定义：

②利用等比中项：an1anan

2③通项公式法: ancqn(c0)④前n项和法:Snkqnk

a

(k0)

（2）证明数列an不是等比数列的常用方法：找特例.2．通项公式：ana1qn1；

变式：anamqnm； q

3．前n项和公式：

nm

⑤{an}成等差数列{cn}为等比数列



an

（n>m;m、nN）m

a1(1qn)a1anq

sn；(q1)

（1）注意：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论.Sn1qn

（2）当公比q1时，

m1qm

4．等比中项

若a，G , b成等比数列，则G为a, b的等比中项，即Gab,ab0.5．性质

在等比数列an中，有

（1）若m+n=p+q，m ,n, p ,qN, 则amanapaq；

当m+n=2p时，amanap；



anb,,也成等比数列； nn

nn

m

（3）若q为{an}的公比，则其子序列ak,akm,ak2m,也成等比数列,公比为q；

()

（4）片段和:Sm,S2mSm,S3mS2m,也成等比数列，且公比为qm.（2）若{an},{bn}成等比数列, 则{|an|}kan,an

a

6．常用结论、技巧：

（1）①SmnSmqmSnSnqnSm ②S3nSnqnS2nS2nq2nSn（2）前n项和公式，一定要分q=1或q1两种情况．(3)设元技巧：三个数成等比数列，通常设为,a,aq；

四个数成等比数列，不能设为3，aq,aq，只有当q>0时才可以．

qq

(4)等比数列an的单调性

①当a10,q1或 a1<0,0q1时，等比数列an为递增数列； ②当a10,0q1或 a1<0,q1时，等比数列an为递减数列； ③当q1时，等比数列an为常数列;

④当q0时，等比数列an为摆动数列.(5)有限项等比数列中，设“偶数项和”为S偶，“奇数项和”为S奇

①若总项数为偶数2n，则S偶qS奇； ②若总项数为奇数2n1，S奇a1qS偶.三、数列求和的方法：

１．公式法

(1)等差数列{an}的前n项和公式（三种形式）;

(2)等比数列{an}的前n项和公式（三种形式）;(3)几个重要公式

①135(2n1)(n1)

2②122232n2n(n1)(n2)

n2(n1)2333

3③123n

２．倒序相加法:在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）． 如: 在和n1之间插入n个正数，使这n+2个数成等比数列，求所插入的n个数之积． 3．错位相减法：适用于bncn的数列；其中bn成等差数列,Cn成等比数列.n

记Snb1c1b2c2bn1cn1bncn；则qSnb1c2bn1cnbncn1.（这也是等比数列前n和公式的推导方法之一）

4．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

②()③[] ④anSnSn1(n≥2)

5.分组求和：适用于cnanbn，而an、bn的和易求得.四、求一般数列通项公式的类型及方法：

①

1．应用公式（等差、等比数列）；

S1(n1)2．已知Sn求an可用an,是否分段,需要验证.SS(n≥2)n1n

(数列的通项、数列的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的关系)

3．累加法：适用于差后等差或差后等比的数列；

an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1；

如：①已知数列an满足an1an2n,a13,求an；

②已知数列an满足an1an2n,a13,求an.4．累积法：适用于分式给出的递推式，累积后可以消去中间项，aaa

annn12a1,n≥2.n1n

21如：① 已知数列an满足

an1,a1=1,求an； nan

② 已知数列an满足n12,a1=1,求an.n

5．构造特殊数列法：

（1）利用递推关系写出数列的前几项，根据前几项的特点观察、归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明.（2）将递推关系式进行变形,然后运用累加、累积、迭代、换元转化为常见数列（等差、等比数列）；

如：已知数列an满足an13an2,a11,求an；

五、数列的应用(三个模型)

已知数列an满足anan12n1,a11,求an.凡涉及到利息、产量、降价、繁殖增长率以及分期付款等问题时都可以用数列解决.(1)复利公式:按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利

和ya(1r)

（2）单利公式:利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和

x

ya(1xr)

（3）产值模型:原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值yN(1p)

x

第二篇：数列知识点总结

数列知识总结

一、基本概念

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

数列的项、数列的项数



表示数列的第n项与序号n之间的关系的公式通项公式：不是所有的数列都有通项公式 

符号控制器：如（1）n、（1）n+1

递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式．

有穷数列：项数有限的数列．



无穷数列：项数无限的数列．数列分类

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

二、等差数列：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个常数称为等差数列的公差．anan1d,n2且nZ，或an1and,n1且nZ





ana1n1damnmdknb1、若等差数列a

aa1anamn的首项是a1，公差是d，则有dn 

n1

nm 

nana1d1

等差中项：三个数a，G，b组成的等差数列，则称G为a与b的等差中项2G=ab



2n性质：若{apq2anapaqn}是等差数列，则

mnpqa

manapaq

若{an}是等差数列，则am、amk、am2k、am3k、构成公差公差kd的等差数列

若{an}、{bn}是等差数列,则{an+}、{an+bn}是等差数列

2、等差数列的前n项和的公式： Sna1annnn

2na1

12

dpn2qn等差数列的前n项和的性质：

S偶S奇nd

若项数为2nn*

，则S2nnanan1，S奇an（1）



S偶an1



S奇S偶an若项数为2n1n*，则S1a2n12nn，S奇nanS偶n1an，S奇n

S偶n1

Sm，S2mSm,S3mS2m（2）成等差数列S

{n

n

是等差数列若等差数列{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn1

n，则

anS2b

nT2n1

（3）等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

①若a10

ak0d0，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值k满足ak1

0

②若a10，则ak0d0Sn有最小值，当n=k时取到的最大值k满足

ak1

0

三、等比数列：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为等比数列的公比．

1、通项公式及其性质

a1na1qnanmmq若等比数列a，公比是q，则

n的首项是a1n1annman．



qa,q1a

ma，G，b成等比数列，则称G为a与b的等比中项G2ab

性质：若{a是等比数列，则2npqa2

napaq

n}

mnpqamanapaq

ak

m、amk、am2k、am3k、成公比q的等比数列

2、前n项和及其性质

na1q1,(S

q1)n

a11qn． 

1qa1anq1qa1a1

qn

1qa11qqna11qAqnA,q1Sn

nmSnqSm

Sn、S2nSn、S3性质

nS2n成等比数列S． 若项数为2n，则偶



Sq

奇Sm，S2mSm,S3mS2m成等比数列

四、(1)aS1

n1n与Sn的关系：an

Sn

S;（检验a1是否满足anSnSn1）n1n2

123nn(n1)

2(2)122232n2

n(n1)(n2)



62333n123n3(n1)24

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第三篇：高一数列知识点总结

数列是高一数学的重点，以下是小编整理的高一数列知识点总结，欢迎参考阅读！

求数列通项公式常用以下几种方法：

一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。

例：在数列{an}中，若a1=1，an+1=an+2（n1），求该数列的通项公式an。

解：由an+1=an+2（n1）及已知可推出数列{an}为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n—1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。

二、已知数列的前n项和，用公式

S1（n=1）

Sn—Sn—1（n2）

例：已知数列{an}的前n项和Sn=n2—9n，第k项满足

5（A）9（B）8（C）7（D）6

解：∵an=Sn—Sn—1=2n—10，∴5<2k—10<8 ∴k=8 选（B）

此类题在解时要注意考虑n=1的情况。

三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的（二）方法求通项公式。

例：已知数列{an}的前n项和Sn满足an=SnSn—1（n2），且a1=—，求数列{an}的通项公式。

解：∵an=SnSn—1（n2），而an=Sn—Sn—1，SnSn—1=Sn—Sn—1，两边同除以SnSn—1，得———=—1（n2），而—=—=—，∴{—} 是以—为首项，—1为公差的等差数列，∴—= —，Sn= —，再用

（二）的方法：当n2时，an=Sn—Sn—1=—，当n=1时不适合此式，所以，—（n=1）

—（n2）

四、用累加、累积的方法求通项公式

对于题中给出an与an+

1、an—1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。

例：设数列{an}是首项为1的正项数列，且满足（n+1）an+12—nan2+an+1an=0，求数列{an}的通项公式

解：∵（n+1）an+12—nan2+an+1an=0，可分解为[（n+1）an+1—nan]（an+1+an）=0

又∵{an}是首项为1的正项数列，∴an+1+an ≠0，∴—=—，由此得出：—=—，—=—，—=—，…，—=—，这n—1个式子，将其相乘得：∴ —=—，又∵a1=1，∴an=—（n2），∵n=1也成立，∴an=—（n∈N*）

五、用构造数列方法求通项公式

题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an（或Sn）的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an（或Sn）与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。

例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=（——1）（an+2），n=1，2，3，……

（1）求{an}通项公式（2）略

解：由an+1=（——1）（an+2）得到an+1——＝（——1）（an——）

∴{an——}是首项为a1——，公比为——1的等比数列。

由a1＝2得an——=（——1）n—1（2——），于是an=（——1）n—1（2——）+—

又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an—3n+1（n∈N*），证明数列{an—n}是等比数列。

证明：本题即证an+1—（n+1）=q（an—n）（q为非0常数）

由an+1=4an—3n+1，可变形为an+1—（n+1）=4（an—n），又∵a1—1=1，所以数列{an—n}是首项为1，公比为4的等比数列。

若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an—n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。

又例：设数列{an}的首项a1∈（0，1），an=—，n=2，3，4……（1）求{an}通项公式。（2）略

解：由an=—，n=2，3，4，……，整理为1—an=——（1—an—1），又1—a1≠0，所以{1—an}是首项为1—a1，公比为——的等比数列，得an=1—（1—a1）（——）n—1

第四篇：高考数列常用知识点及解题方法总结

高考数列常用知识点及解题方法总结

一、基本公式：
1.

二、求通项公式 an 的方法：
1.

三、求前 n 项和 S 的方法：
n

1.

第五篇：高中数学数列知识点

数列是以正整数集为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。下面小编给大家分享一些数学数列知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!

数学数列知识点1

等差数列

1.等差数列通项公式

an=a1+(n-1)d

n=1时a1=S1

n≥2时an=Sn-Sn-1

an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b

2.等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。

有关系：A=(a+b)÷2

3.前n项和

倒序相加法推导前n项和公式：

Sn=a1+a2+a3+·····+an

=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①

Sn=an+an-1+an-2+······+a1

=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2

等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：

Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

4.等差数列性质

一、任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N--

三、若m，n，p，q∈N--，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq

四、对任意的k∈N--，有

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。

数学数列知识点2

等比数列

1.等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

有关系：

注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

2.等比数列通项公式

an=a1--q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)

an=Sn-S(n-1)(n≥2)

前n项和

当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1--q’n)/(1-q)(q≠1)

当q=1时，等比数列的前n项和的公式为

Sn=na1

3.等比数列前n项和与通项的关系

an=a1=s1(n=1)

an=sn-s(n-1)(n≥2)

4.等比数列性质

(1)若m、n、p、q∈N--，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;

(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

(4)等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

(6)任意两项am，an的关系为an=am·q’(n-m)

(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

数学数列知识点3

数列的相关概念

1.数列概念

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N--或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

高中数学数列知识点