数列专题一 等差数列知识点

第一篇：数列专题一 等差数列知识点

数列专题一 等差数列知识点

——等差、等比数列是重要的、基本的数列，许多其它数列要转化成这种数列来处理，要站好这块地盘

一、建构知识网络

1．定义：an1and(常数)(nN*)

2．通项公式：ana1(n1)d，推广：anam(nm)d

d=ana1aam，d=n是点列（n，an）所在直线的斜率.n1nm

ddn(a1an)n(n1)na1dn2(a1)n 2222

变式：由于“mnpq,则amanapaq”，所以只要有pqn1，3．前n项的和：Sn则 nan1 222

4.等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+cSnn(apaq)，特别的，当n为奇数时，Sn

5．性质:设{an}是等差数列，公差为d,则

(1)mnpq,则amanapaq

(2)an,anm,an2m,组成公差为md的等差数列.(3)Sn,S2nSn,S3nS2n,组成公差为n2d的等差数列.6．等差数列的判定方法(n∈N*)

(1)定义法: an+1-an=d是常数(2)等差中项法:2an1anan2

(3)通项法:ana1(n1)d(4)前n项和法:SnAn2Bn

7．a1,d,n,an,Sn知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,三数:ad,a,ad； 四数：a3d,ad,ad,a3d

8.会从函数角度理解和处理数列问题，等差数列性质：单调性① 当d0时，数列ana1(n1)d单调递增，前n项的和Sn有最小值；② 当d0时，数列ana1(n1)d单调递减，前n项的和Sn有最大值；③ 当d0时，数列{an}为常数列；

④ |an|的性质。

第二篇：等差数列知识点

精英辅导学校杨景勋专用2011年12月16日星期五

（一）等差数列I1、等差数列{an}中，a1=1，公差d=3，an=2005则n=_____

2、等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10-a12的值为______

3、等差数列{an}中，a1=-5，前11项的平均值为5，若从中抽出一项，余下的10项的平均值为4，则抽取的（一）等差数列II

等差数列{an}中，1、若a1=-6，a9=6，Sn是数列的前n项和，则（）A、S4

4、正项等差数列{an}中，公差d≠0，有（）

A、a1a8>a4a5B、a1a8a4+a5D、a1a8=a4a55、（全国卷I）设{an}是公差为正数的等差数列，a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（A、120B、105C、90D、756、一个等差数列共10项；其中奇数项的和为125，偶数项的和为15，则第6项是_____

7、已知数列{an}前四项为-1，3，-6，10，则{an}的一个通项式为_______________

8、等差数列a-d，a，a+d的一个通项公式是____________

9、已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1

4的等差数列，则|m-n|=_______

10、等差数列{an}中，若a1=25，从第10项开始小于1，则公差d的范围是________

11、（2006全国卷II）已知等差数列{an}中，a2=7, a4=15，则前10项的和S10=_______

12、一个等差数列{an}中前4项和为40，最后4项的和为80，所有项和210，求项数n.13、等差数列{an}中，若Sm=30，S2m=100，求S3m.2、a1=25，S17=S9，问数列的前多少项之和最大，并求出最大值。

3、a3=12，S12>0，S13<0，①求公差d 的取值范围；②指出S1，S2…S12中哪一个值最大，说明理由。）

4、（2004年重庆考试卷）a1>0，a2003+a2004>0，a2003•a2004<0，则使前n项和S>0成立的最大自然数n是（A、4005B、4006C、4007D=4008

5、（2004年福建卷试卷）若

a5Sa=5，则求939

S=_______

56、（2001年上海考试卷）设数列的通项为an=2n-7（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a15|=______ n7、已知公差d>0，首项a1>0，Sn=

1，则i1aiai1

limSn=________ n

8、（2006北京卷）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn，（1）若a11=0，S14=98，求数列{an}的通项公式；

（2）若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式。/ 1）

第三篇：等差数列数列练习题

一、选择题

35241.已知为等差数列，1

A.-1B.1C.3D.7 aaa105,aaa699，则a20等于（）

2.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于()

A．13B．35C．49D． 63

3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4，则公差d等于

5C.-2D 3 3

4.已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝ A．1B

11C.D.2 22

5.若等差数列{an}的前5项和S525，且a23，则a7()A.－2B.－

A.12B.13C.14D.15

6.在等差数列an中，a2a84,则 其前9项的和S9等于（）

A．18B 27C36D 9

7.已知{an}是等差数列，a1a24，a7a828，则该数列前10项和S10等于（）

A．64B．100C．110D．120

8.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11，S420，则S6（）2

A．16B．24C．36D．48

9.等差数列an的前n项和为Sx若a21,a33,则S4＝（）

A．12B．10C．8D．6

10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）

A．63B．45C．36D．27

11.已知等差数列{an}中，a7a916,a41,则a12的值是（）

A．15

二、填空题 B．30 C．31 D．64

12.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1221，则a2a5a8a1113.设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9=

14.设等差数列an的前n项和为Sn，若a55a3则S9S5

15.等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35,则a4

已知等差数列{an}的公差是正整数，且a3a712,a4a64，则前10项的和S10 16.三、解答题

17.在等差数列an中，a40.8，a112.2，求a51a52a80.18、设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S12>0，S13<0，①求公差d的取值范围；②S1,S2,,S12中哪一个值最大？并说明理由.19、设等差数列{an}的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求：

（1）{an}的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；

（2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.20.已知等差数列{an}中，a3a716,a4a60求{an}前n项和sn.1

第四篇：等差数列知识点总结

等差数列

1.定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

用递推公式表示为anan1d（d为常数）（n2）；

2．等差数列通项公式：

（1）ana1(n1)ddna1d(nN*)（首项:a1，公差:d，末项:an）

（2）anam(nm)d．从而d

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：Aab或2Aab 2anam； nm

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan

24．等差数列的前n项和公式：snn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)nAn2Bn 2222

（其中A、B是常数）（当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的证明方法

（1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2．

（3）数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

注：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a2d,ad,a,ad,a2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，a3d,ad,ad,a3d,…（公差为2d）

7.等差数列的性质：

（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且

n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.22

2（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则斜率为公差d；前n和Snna1为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.注：a1ana2an1a3an2

a1an

a,a2,a3,,an2,an1,an ，图示：1

a2an

1(4)若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，…也成等差数列

S3m

图示：a1a2a3amam1a2ma2m1a3m 

Sm

S2mSm

S3mS2m

（5）若等差数列{an}、且{bn}的前n和分别为An、Bn，Ana(2n1)anA2n

1f(n)，则nf(2n1).nnn2n1

（6）若an、bn为等差数列，则anbn为等差数列

等差数列的性质以及常见题型

一等差数列的定义及应用

1.已知数列an的通项公式为an3n2，试问该数列是否为等差数列。

111yzzxxy

2.已知：，成等差数列，求证：也成等差数列。，xyzxyz

二等差数列的性质考察

(1)熟用ana1(n1)dam(nm)d，d

anam

问题 nm1、等差数列an中，a3a524，a23，则a6

2、已知等差数列an中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则an

3、已知等差数列an中，apq，aqp，则apq____．

(2)公差d的巧用

1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于_____

2、等差数列{an}中，已知公差d，且a1a3A．170

B．150

C．14

2a9960，则a1a2

a100

D．120

a2a

1等于()b2b1

4.已知xy且两个数列x,a1,a2,am,y与x,b1,b2,bn,y各自都成等差数列则

mm1nn1BCDnmn1m1(3)mnstamanasat性质的应用

A

1.等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_____。2.等差数列an中，若S1320。则a7_______。

3.在等差数列an中a3a1140，则a4a5a6a7a8a9a10_______。4.等差数列an中, a1a2a324,a18a19a2078,则S20_____。5.在等差数列an中，a4a512，那么它的前8项和S8等于_______。

6.等差数列an中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则a7_______.7.｛an｝为等差数列，a1+ a2+ a3=15，an+ an-1+ a n-2=78，Sn=155，则n= _______。（4）方程思想的运用

1.已知等差数列{an}中，S3=21，S6=24，求数列{an}的前n项和Sn

2.已知等差数列{an}中，a3a716,a4a60,求数列{an}的前n项和Sn

(5)Sn,S2nSn,S3nS2n也成等差数列的应用

1、等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和_______。

2、等差数列{an}的前n项的和为40，前2n项的和为120，求它的前3n项的和为_______。3.a1，a2，a3，……a2n+1 为 等差数列奇数项和为60，偶数项的和为45,求该数列的项数.4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有_______项。

5.在等差数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是_______。(6）an

S2n

1的运用 2n1,bn的前n项和，若对任意nN*，都有1.设Sn和Tn分别为两个等差数列an

a11

= ________。b11

Sn7n1，Tn4n27

则

（7）an与Sn的关系问题;

1.数列an的前n项和Sn＝3nn2，则an＝_______

2.数列an的前n项和Sn＝n2n1，则an＝ 3.数列an的前n项和Sn＝2n1，则an＝___________ 4.数列{4n2}的前n项和Sn＝______.（八）巧设问题；

一般情况,三个数成等差数列可设:ad,a,ad;四个数成等差数列可设:a3d,ad,ad,a3d.1.四个数成等差数列,和为26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数.2.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为22,求这四个数.3.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差

(九）．最值问题:；

1.在等差数列{an}中,a180,d6,求Sn的最大值.2.等差数列an中，a10,S4S9，则n的取值为多少时？Sn最大

3.已知等差数列{an}中a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取最大值.（10)累加法的应用-------裂项相消

1.已知数列{an}满足:anan12n1,a11,求an.2.已知数列{an}满足:an1an4n1,a11,求an.4.在数列{an}中，a12,an1anln(1),求an.n

(11)由an求an的前n项和

1.数列an的前n项和Snn24n，则|a1||a2||a10|_______.2.数列an的前n项和Snn24n，bnan，则数列{bn}的前n项和Tn_______.(12)由Sn得an的题型、直接法

1.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1

22，且满足2Sn12Sn3an1(nN*)。3

（1）求数列{an}通项公式an；

11119

（2）求证：当n2时，222L2。

a2a3a4an4

倒数法

an1

1.已知数列an中，an≠０，a1＝，an1＝（n∈N），求an

12an2

第五篇：等差数列知识点解读

等差数列

一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n项和求法。

*1.设数列an的前n项和为Sn．已知a15，an1Sn3n，nN．设bnSn3n，求数列bn的通项公式；

解：依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)．

因此，所求通项公式为bnSn-3n2n。

2．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为

3．已知等差数列{an}的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则a1a3a913． a2a4a1016

【考点梳理】

1.在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三个，可求其余两个。

2.补充的一条性质

s奇n1）项数为奇数2n1的等差数列有：ssana中，s2n1(2n1)an s偶n1奇偶

sa2）项数为偶数2n的等差数列有：奇n，s偶s奇nds2nn(anan1)s偶an

1an1and（定义）2an1anan23.等差数列的判定：{an}为等差数列 anAnB（关于n的“一次函数”）

SAn2Bn（缺常数项的“二次函数”）n

即：｛an｝an1and(d为常数）2anan1an1(n2,nN*)

anknbsnAn2Bn；

4.三个数成等差可设：a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；

四个数成等差可设：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=ana1aam，d=n，由此联想点列（n，an）所在直线的nmn1

斜率.2）点(n,Sn)在没有常数项的二次函数Snpn2qn上。其中，公差不为0.6.等差数列前n项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解）

1）若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最大值。（ⅰ）若已知通项an，则Sn最大an0； a0n1

q的非零自然数时Sn最大； 2p

2）若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最小值（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近

（ⅰ）若已知通项an，则Sn最小an0； an10

（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近

q的非零自然数时Sn最小。

2p

题型1等差数列的基本运算 例1在等差数列{an}中，(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

82

a1aa14d10

3解：(1)方法一：151∴a60＝a1＋59d＝130． 

aa44d908451d

3

aaaa88

方法2 dnm4515，an＝am＋(n－m)da60＝a45＋(60－45)d＝90＋15×＝130．

nm451533

2A212A12B8

4(2)不妨设Sn＝An＋Bn，∴2 

B1720A20B460

∴Sn＝2n－17n∴S28＝2×28－17×28＝109

2(3)∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，6(a1a6)6(a110)aa6(a10)

∴15＝1即a1＝－5而d＝613 22261

8(aa)

∴a8＝a6＋2 d＝16S8＝1844

又S6＝

变式训练1设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{的前n项和，求Tn.解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+

Sn

}n

n（n－1）d.∵S7=7，S15=75，2

7a121d7,a13d1,∴即解得a1=－2，d=1.15a105d75,a7d5.11

Sn11n5=a1+（n－1）d=－2+（n－1）=.n222SSS11∴n1－n=.∴数列{n}是等差数列，其首项为－2，公差为.n1n2n2129∴Tn=n－n.44

∴

小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解

方程组思想等。等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.题型2等差数列的判定与证明

*

例2已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36.求数列{an}的通项公式；

解：∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，a1＋2d＝

5由a3＝5，S6＝36得，解得a1＝1，d＝2.∴an＝2n－1.6a1＋15d＝36

变式训练2在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2.设bn＝n－1，证明：数列{bn}是等差数列；

n

an＋12an＋2ann

证明：由已知an＋1＝2an＋2得bn＋1＝nn－1＋1＝bn＋1.n

2又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．

小结与拓展：证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明an－an－1（n≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2an=an－1+an+1（n≥2）.题型3等差数列的性质

例3设等差数列an的首项及公差均是正整数，前n项和为Sn，且a11，a46，n

an

S312，则a2010答案：4020

变式训练3在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和

S13＝________.答案：52

解：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝2＝8.13×(a1＋a13)13×(a5＋a9)13×8

∴S13＝＝＝52.222

小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d（q）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.题型4等差数列的前n项和及最值问题

例4设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12＞0，S13＜0.（1）求公差d的取值范围；

（2）指出S1，S2，S3，„，S12中哪一个最大，并说明理由.解：（1）a3=12，∴a1=12－2d，解得a12=12+9d，a13=12+10d.由S12＞0，S13＜0，即＞0，且

12(a1a12)

13(a1a13)2

4＜0，解之得－＜d＜－3.27

（2）易知a7＜0，a6＞0，故S6最大.变式训练4设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n等于(A)

A．6B．7C．8D．9

【解析】设该数列的公差为d，则a4a62a18d2(11)8d6，解得d2，所以Sn11n

n(n1)

2n212n(n6)236，所以当n6时，Sn取最小值。

2d2d

n(a1)n利22

小结与拓展：等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn

用二次函数的性质求n的值.2.等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，{an}为常数列.3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.五、检测巩固：

1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．

(ad)2

(ad)16ad

解：设这四个数为：ad,a,ad,，则 a

a2ad12



a4a9解得：或，所以所求的四个数为：4,4,12,36；或15,9,3,1．

d8d6

2．由正数组成的等比数列{an}，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{an}的通项公式．