数列解答题一

第一篇：数列解答题一

数列解答题

1、(本小题满分12分)已知数列{an}的各项均为正数，记A(n)=a1+a2++an，B(n)=a2+a3++an+1，C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2,.（Ⅰ）若a11,a25，且对任意nN，三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列，求数列*

{an}的通项公式.（Ⅱ）a11，对任意nN，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.求数列*

{an}的前n项和Sn.答案：

1．解(Ⅰ)因为对任意nN，三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列，所以B(n)A(n)C(n)B(n).……………3分所以an1a1an2a2,即an2an1a2a14.所以an1(n1)44n3.……………6分（Ⅱ）若对于任意nN，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列，则 

B(n)qA(n),C(n)qB(n).所以C(n)B(n)qB(n)A(n),得an2a2q(an1a1), ……………8分即an2qan1a2qa1.当n1时，由B(1)qA(1),可得a2qa1，所以an2qan10.因为an0，所以an2a2q.……………10分 an1a1

n,q1即数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，则An1qn ……………12分,q11q

第二篇：2013高考数列解答题练习

数列的专题训练

1.．设数列an的前n项和为Sn，且Snc1can，其中c是不等于1和0的实常数.（1）求证: an为等比数列；（2）设数列an的公比qfc，数列bn满足

b1

1,bnfbn1nN,n2，试写出 的通项公式，并求b1b2b2b3bn1bn的结果.b3n

2.．已知函数f(x)=（1）求证：数列{

1an

7x5x

1,数列an中,2an+1－2an+an+1an=0，a1=1,且an≠0, 数列{bn}中, bn=f(an－1)

}是等差数列；（2）求数列{bn}的通项公式；(3)求数列{bn}的前n项和Sn.29

3.已知数列an的前n项的和为Sn，且anSnSn1n2,Sn0，a11

（1）求证：为等差数列；（2）求数列an的通项公式．

Sn

n*

4.已知数列{an}满足a11，且an2an12(n2,且nN)

.（1）求证：数列{

an

2n

}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式；

Sn2

n

（3）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：5.已知函数f(x)

1an

x3x1

2n3。

,数列{an}满足a11,an1f(an)(nN)

n

（1）求证：数列{

（2）若数列{bn}的前n项和Sn21,记Tn是等差数列；

b1a1



b2a2



bnan,求Tn.6.已知数列{an}和{bn}满足：a11，a22，an

0，bn

nN*），且{bn}是以q为公比

2的等比数列（I）证明：an2anq；（II）若cna2n12a2n，证明数列{cn}是等比数列；

（III）求和：

1a1



1a2



1a

3

1a

4

1a2n1



2n

7.已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x+2x的图象上，其中n=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求数列｛an｝的通项及Tn； 8.数列{an}满足a12,a25,an23an12an.（1）求证：数列{an1an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若bnnan,求数列{bn}的前n项和Sn.9.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn(1)an,其中1,0；（1）证明：数列{an}是等比数列；

（2）设数列{an}的公比qf(),数列{bn}满足b1公式；（3）记1,记Cnan（1bn

12,bnf(bn1)(nN,n2)求数列{bn}的通项

*

1),求数列{Cn}的前n项和Tn；

10.数列{an}的前n项和为Sn，且满足a11，2Sn(n1)an.（1）求{an}的通项公式；（2）求和Tn =

12a1

13a2



1(n1)an

.11.已知数列{an}中，a12，且当n2时，an2n2an10

（1）求数列{an}的通项公式；（2）若{an}的前n项和为Sn，求Sn。12.设正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn

(an1)．

（I）求数列{an}的通项公式；（II）设bn

1anan1，求数列{bn}的前n项和Tn．

13.已知等差数列{an}中，a1=1,公差d>0，且a2、a5、a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.(Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项an、bn;(Ⅱ)设数列{cn}对任意的n∈N*，均有

c1b1

c2b2

+…＋

cnbn

＝an+1成立，求c1+c2+…+c2005的值.14.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2(a2 －a1)=b1。

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn=

anbn, 求数列{cn}的前n项和Tn.215.等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5a5．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn16.已知：数列{an}满足a13a23a33（1）求数列{an}的通项；（2）设bn

nan

n1

nn1anan1，求数列{bn}的前n项的和．



an

n3,aN.,求数列{bn}的前n项和Sn.

第三篇：等比数列解答题

等比数列解答题

1、求等比数列2，2，1，

2、设an是等比数列.13，an，求n.264

1（2）已知a125，a4，求q.5

1（3）已知a48，a8，求a1.23、在2和162中间插入三个数，使这5个数成等比数列，求这三个数.1，…的第8项.（1）已知a13，q

4、已知ab与a2b2及c成等比数列，则第三项c为多少？ 25、求等比数列2，1，1

2，…的前8项的和.6、若等比数列前三项的和为36，公比是2，求它的第5项.7、有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首尾两项和为21，中间两项和为18，求这四个数.8、已知an0，n1,2,，an是等比数列，试证明数列lgan成等差数列.9、已知在等比数列an中，a4a224，a2a36，Sn781，求n的值.510、小王欲购买价值5000元的iPhone5S，除一次性付款方式外，商家还提供三种分期付款方案（月利率为0.48%），前提是在1年内将款全部还清：

（1）购买后1个月第1次付款，过2个月第2次付款，…，购买后12个月第6次付款；

（2）购买后1个月第1次付款，过1个月第2次付款，…，购买后12个月第12次付款；

（3）购买后1个月第1次付款，过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款；

你能帮他选择一下吗？

（注：分期付款每期所付款额相同，每月利息按复利计算即上月利息要计入下月本金）

第四篇：市场营销解答题

1.进行消费者市场细分的依据主要有哪些?

一种产品的整体市场之所以可以细分，是由于消费者或用户的需求存在差异性。引起消费者需求差异的变量很多，实际中，企业一般是组合运用有关变量来细分市场，而不是单一采用某一变量。概括起来，细分消费者市场的变量主要有四类，即地理变量、人口变量、心理变量、行为变量。以这些变量为依据来细分市场就产生出地理细分、人口细分、心理细分和行为细分四种市场细分的基本形式。

2.简述影响企业分销渠道设计的市场条件的主要内容

答：影响企业分销渠道设计的市场条件的主要内容有：

(1)目标顾客的类型。即目标顾客是生活资料的消费者，还是生产资料的用户。

(2)潜在顾客的数量，潜在的顾客多，市场大，需要中间商为之服务；潜在的顾客少，则可由厂家直接供应。

(3)目标顾客的分布。目标顾客集中，企业有条件采用直接式渠道销售。反之，对于目标顾客分布得很分散的企业，往往采用间接式渠道。

(4)购买数量。主要指消费者或用户一次购买商品的数量，常称为“批量”。购买批量大的，可以采用直接销售渠道结构，客户购买批量小的，则利用中间商销售最有利。

(5)竞争状况。要根掘竞争企业采取的营销渠道策略而制订相应的渠道策略，以争取竞争中的有利位置。

此外，还要考虑消费者购买不同产品时接近渠道的习惯。

3.如何正确理解市场和市场营销的含义？

市场指的是具有特定的需求或欲望，而且愿意并能够通过交换来满足这种需要和欲望的全部现实的潜在顾客构成的。市场营销是个人或组织通过创造并同他人或组织交换产品和价值以获得其所需所欲之物的一种社会过程。

5.简要说明市场营销观念的形成和发展过程。五种观念各自的内涵如何？新旧观念有何不同？

答：

1、生产观念：以生产为中心的企业经营指导思想，重点考虑“能生产什么”把生产作为企业经营活动中心。

2、产品观念：企业以消费者在同样的价格水平下会选择质量高的产品为前提，把企业营销活动的重点放在产品质量的提高上。

3、销售观念：是以销售为中心的企业经营指导思想，重点考虑如何能卖出去，把销售作为企业经营活动的核心。从市场来看，生产社会化程度的提高，促使劳动生产率提高，商品数量增加许多商品开始供过于求。竟争的加剧，使得企业急于将制成的产品卖出去。

4、市场营销观念：以消费者需求为中心的企业经营指导思想，重点考虑消费者需要什么，把发现和满足消费者需求作业企业经营活动核心。

5、社会营销观念：20世纪70年代，由于相当一部分企业为了牟取得最大量的利润，不惜以假充真、以次顶好、缺斤短两甚至用那些损害消费者健康和威胁消费者安全的商品欺骗消费者，为了维护消费者的利益，许多国家成立了消费者保护协会，消费者主义兴起。

市场营销的形成：市场商品供过于求继续发展，市场竟争越来越激烈。与此同时，消费者需求的变化也越来越快，人们有了更多的选择商品和服务的机会。市场营销观念就是在这种买方市场形成的条件下产生的。

新旧观念的不同：

1、企业营销活动的出发点不同。旧观念下企业以产品为出发点，新观念下企业以消费者需求为出发点。

2、企业营销活动方式不同。旧观念下企业主要用各种推销方式推销制成的产品，新观念下企业则是从消费者需求出发，利用整体市场营销组合策略，占领目标市场。

3、营销活动的着眼点不同。旧观念下企业目光短浅，偏向于计较每一项短期交易的盈亏和利润的大小，而新观念下企业除了考虑现实的消费者需要外，还考虑潜在的消费者需要，在满足消费者需要、符合社会长远利益的同时，求得企业的长期利润。

6.企业的战略规划包括哪些主要内容？

（1）规定企业的任务；（2）制定为实现企业任务的长期目标和短期目标；（3）制定出指导企业实现目标，选择和实施战略的方针；（4）决定用以实现企业目标的战略。

7.企业市场营销管理过程包括哪些步骤？

步骤包括：企业市场机会分析、研究与选择目标市场、制定战略性市场营销规划、规划与执行市场营销策略、实施与控制市场营销活动

8.简述可供选择的战略方案？

答：可供企业选择的发展战略有三种 密集性增长战略、一体化增长和多角化增长战略

1、密集性增长战略：市场渗透、市场开发、产品开发

2、一体化增长战略：后向一体化、前向一体化、水平一体化

3、多角化增长战略：同心多角化、水平多角化、复合多角化

9.怎样理解市场营销组合的概念与意义？

答：

1、概念：指的是企业在选定的目标市场上，综合考虑环境、能力、竟争状况，对企业自身可以控制的因素加以最佳组合和运用，以完成企业目标的目的与任务。

2、意义：市场营销组合的制定和实施，一方面为企业在目标市场上全面、充分发挥企业的优势和潜力，争取竟争的有利位置，获得最佳的经营成果提供了手段;另一方面，还改变了传统的企业内部各职能部门只对小单位负责、各自为政的局面，将企业内各职能部门的动作协同到企业总目标上来，互相配合，最大限度地发挥部门的积极和创造性，在提高企业营销水平的同时，改善了企业营销人员及各部门工作人员的素质。

10.市场营销环境、市场营销宏观环境、微观环境的含义如何？

答：市场营销环境，泛指一切影响、制约企业营销活动的最普遍的因素。

宏观营销环境，也称总体环境、一般环境或间接环境，指影响企业营销活动的社会性力量与因素。

微观营销环境又称个体环境市场环境、直接环境或作业环境，指与企业的营销活动直接发生关系的组织与行为者的力量和因素。

11.分析企业经济环境应从哪些方面入手？

答：经济环境研究一般包括经济发展状况,人口与收入、消费状况、消费者的储蓄和信贷、与市场营销活动有关的其他行业状况、物质环境状况

12.企业文化环境主要包括哪些内容？

人类社会历史实践过程中所创造的物质和精神财富的总和。包括价值观念、宗教信仰、教育水平、道德规范、民风民俗等内容。

13.企业面临环境威胁时可选择的对策如何？

答：

1、对抗策略，也称抗争策略，即企业试图通过自己的努力限制或扭转环境中不利因素的发展。

2、减轻策略，也称削弱策略，即企业力图通过自己的某些策略，以降低环境变化威胁对企业的负面影响程度。

3、转移策略，也称转变或回避策略，即企业通过改变自己受到威胁的主产品的现有市场或将投资方向转移来避免环境变化对企业的威胁。

15.影响消费者行为的外在因素主要有哪些？相关群体的含义？它是如何影响消费者行为的？

答：外在因素：主要有相关群体、社会阶层、家庭状况、文化状况。

相关群体：相关群体指能直接或间接影响一个人的态度、行为或价值观的团体。

影响：1向消费者展示新的生活方式和消费模式；2相关群体能够影响人们的态度，帮助消费者在社会群体中认识消费方面的“自我”；3相关群体的“仿效”作用，使某群体内的人们消费行为趋于一致化；④相关群体中的“意见领袖（或意见领导者）”的示范作用。

16.消费者购买行为主要有哪几类型？各种类型的特点及企业的营销对策如何？

答：消费者购买行为主要有三种类型：经常性的购买、选择性的购买、探究性的购买。

三种类型的特点及企业的营销对策是：

①经常性的购买，也称惯例化的反应行为，是一种简单的、频率高的购买行为，通常指购买价格低廉的、经常使用的商品。消费者对这类商品的规格牌号都很熟悉，不会花很多时间和精力去搜寻。面对这种情况，企业除了要研究消费者的爱好外，还要保证商品的质量和一定的存货水平，保持价格的相对稳定，注意对现有消费者的强化工作，利用种种诱因如出色的广告、成功的商品陈列和别出心裁的促销方式吸引潜在的消费者。

②选择性的购买，也叫有限地解决问题。消费者对于这类产品有过购买经历，有些基本知识，但是由于对新的商标、厂牌不熟悉，有风险感。企业应当适时地传达有关新牌号商品的信息，增加顾客对新产品的了解和信任感，促使下决心购买。

③探究性的购买，也叫广泛地解决问题，指消费者对自已需要的商品一无所知，既不了解性能、牌号、特点，又不清楚选择标准和使用养护方法。此类商品一般价格高、购买频率低，这种购买行为最复杂。企业要通过市场调查了解潜在消费者在哪里，针对潜在的目标顾客提体会比较全面的信息，既要介绍此类商品的一般专业知识，又要突出宣传企业商品的特 点，使消费者在普遍了解大类商品的基础上，建立起对某具体牌号商品的信心。

17.消费者购买决策过程包含哪几个阶段？企业如何根据各阶段购买行为的特点引导和刺激消费者行为？

答：消费者购买决策过程包含五个队段：确认需求、寻求信息、方案评价、购买决定、购后评价。

企业在营销过程中要详细地、真实地介绍商品，使消费者全面了解商品，以避免期望过高而造成不满意感。交易过程结束后，营销人员还应关心消费者购后的反应，如可以以调查表、追踪服务等方式了解消费者对商品的意见和建议。这既可使企业今后产品的改进有据可依，也可使购者有安全之感，消除和弥补一些消费者因到手商品的缺点而产生的遗憾，使他们确信自己的选择是正确的。

18.生产者购买者行为的特征如何？

答：生产者购买者行为的特征是：购买者数目少、交易量大、区域相对集中、需求受消费品商场的影响、需求缺乏弹性、需求受社会影响较大、专业性采购、需要专门服务、直接采购、品质与时间的要求、多数人影响购买决定。

19.简述生产者购买行为的主要类型。

生产者购买行为主要有以下三种类型：直接重购，即生产者用户的采购部门按照过去的订货目录和基本要求继续向原先的供应商购买产品；修正重购，即生产者用户改变原先所购产品的规格、价格或其它交易条件后再行购买；新购，即生产者用户初次购买某种产品或服务。

20.市场营销信息系统是由哪四个子系统构成的？

1.内部报告系统2.市场营销情报系统。3.市场营销调研系统。4.市场营销决策支持系统。

21.市场营销调研主要有哪些步骤？

步骤：1.确定问题和研究目标。2.制定调研方案。3.收集信息。4.分析信息。5.撰写调查报告，提出调研结论。

22.概述市场营销调研的主要方法。

有两种选择：全面调查和非全面调查，搜集资料的方法主要有：问案调查法、观察法、询问法、访问法、实验法。

23.市场预测主要有哪几个步骤

1、确定预测目标明确目的，是开展市场预测工作的第一步，因为预测的目的不同，预测的内容和项目、所需要的资料和所运用的方法都会有所不同。明确预测目标，就是根据经营活动存在的问题，拟定预测的项目，制定预测工作计划，编制预算，调配力量，组织实施，以保证市场预测工作有计划、有节奏地进行。

2、搜集资料进行市场预测必须占有充分的资料。有了充分的资料，才能为市场预测提供进行分析、判断的可靠依据。在市场预测计划的指导下，调查和搜集预测有关资料是进行市场预测的重要一环，也是预测的基础性工作。

3、选择预测方法根据预测的目标以及各种预测方法的适用条件和性能，选择出合适的预测方法。有时可以运用多种预测方法来预测同一目标。预测方法的选用是否恰当，将直接影响到预测的精确性和可靠性。运用预测方法的核心是建立描述、概括研究对象特征和变化规律的模型，根据模型进行计算或者处理，即可得到预测结果。

4、预测分析和修正分析判断是对调查搜集的资料进行综合分析，并通过判断、推理，使感性认识上升为理性认识，从事物的现象深入到事物的本质，从而预计市场未来的发展变化趋势。在分析评判的基础上，通常还要根据最新信息对原预测结果进行评估和修正。

5、编写预测报告 预测报告应该概括预测研究的主要活动过程，包括预测目标、预测对象及有关因素的分析结论、主要资料和数据，预测方法的选择和模型的建立，以及对预测结论的评估、分析和修正等等。

24.定性预测方法与定量预测方法各有什么优缺点？

定性：采用少量数据和直观材料，简便易行，不需要先进计算设备，易于普及和推广，但缺乏客观标准，有一定的主观片面性。定量：需要大量的统计材料和先进的计算方法。

26.企业分析竞争者需要哪些步骤？

1、发现竞争者。

2、判断竞争者战略和目标。

3、评估竞争者的实力

4、估计竞争者的反应模式。

27.简述市场领先者、市场挑战者、市场跟随者、市场补缺者的主要竞争策略？

答：市场领先者的策略：①扩大需求总量策略。a发现新的购买者和使用者；b开辟产品的新用途；c增加产品的使用量；②保护市场占有率策略。a、阵地防御；b、侧翼防御；c、先发防御；d、反攻防御；e、运动防御；f、收缩防御；③提高市场占有率。市场挑战者的主要竞争策略：①确定策略目标和挑战对象。攻击市场领先者；攻击市场挑战者或追随者；攻击地区性小企业；②选择进攻策略。正面进攻；侧翼进攻；围堵进攻；迂回进攻；游击进攻。

市场跟随者的主要竞争策略：①紧密跟随策；②距离跟随策略；③选择跟随策略。

市场补缺者的主要竞争策略：①补缺基点竞争。一个最佳的“补缺基点”应具有以下特征：有足够的市场潜量和购买力；利润有增长的潜力；对主要竞争者不具有吸引力；企业具有占据该补缺基点所必需的资源和能力；企业已有的信誉足以对抗竞争者。②市场补缺者的具体策略。最常见提企业根据顾客的分类进行专业化营销，其次，根据产品的分类进行专业化营销。

28.简述补缺基点的特征。

1.有足够的市场潜量和购买力；2.利润有增长的潜力；3.对主要竞争者不具有吸引力；4.企业具有占据该补缺基点所必需的资源和能力；5.企业已有的信誉足以对抗竞争者。

30.目标市场营销策略有哪三种？各自的优缺点如何？

1、无差异性市场策略。优点：节约成本。缺点：产品单一，竞争激烈。

2、差异性市场策略。优点：能分别满足不同消费者群的需要，提高信任感，增强产品竞争力，有利于企业扩大销售，树立企业形象，提高顾客信赖度和购买率。缺点：成本和销售费用高。

3、集中性市场策略。优点：节省费用，集中精力创名牌和保名牌。缺点：承担风险

31.企业如何根据有关影响因素为其产品选择适宜的市场营销策略？

答:

1、企业经营的实力.一般来讲,大型企业实力比较雄厚,资金也多,原材料也比较充足,有条件采用无差异性市场策略和差异性市场策略.反之,企业就应把力量集中起来专攻一个或二个细分市场.2、产品的自然属性.产品的自然属性指产品在性能,特点等方面差异性的大小以及产品特性变化的快慢.长期以来没有太大的变化,这类产品适宜采用不差异性策略.反之,适合采取差异性或集中性策略、市场差异性大小,同质市场适宜无差异性策略,反之,异质市场,适宜差异性或集中性策略

4、产品所处的市场生命周期,新产品在引人期和成长期适合于采用集中性市场策略或无差异性市场策略,到了成熟期,一般适合采用差异性市场策略和集中性市场策略

5、竞争对手状况,一般来说,企业的目标市场策略应与竞争对手有所区别.如果竞争对手采用了无差异性策略,企业选择差异性或集中性策略有利于开拓市场,提高产品竞争能力:如果竞争这已采用了差异性策略,企业可以选择对等的或更深层次的细分或集中市场策略

32、什么是市场补缺者？一个最佳的“补缺基点”应具备哪些特征？市场补缺者的竞争策略如何？

市场补缺者，就是指精心服务于总体市场中的某些细分市场，避开与占主导地位的企业竞争，只是通过发

展独有的专业化经营来寻找生存与发展空间的企业。其取胜的关键在于专业化的生产和经营状况。

1、补缺基点的特征

一个最佳的“补缺基点”应具有以下特征：

（1）有足够的市场潜量和购买力；

（2）利润有增长的潜力；

（3）对主要竞争者不具有吸引力；

（4）企业具有占据该补缺基点所必需的资源和能力；

（5）企业已有的信誉足以对抗竞争者。

2、市场补缺者策略

作为市场补缺者，企业往往从自己的优势或擅长出发，根据不同的分类进行专业化营销。最常见的是根据

顾客的分类进行专业化营销。此外，还可以根据服务项目、配送渠道、乃至根据顾客的订单进行专业化营

销。

33、什么是市场细分？市场细分的重要意义何在？

市场细分，是指按照消费需求的差异性把某一产品（或服务）的整体市场划分为不同的子市场的过程。这

是50年代中期由美国著名市场学家温德尔.斯密（Wendell R.Smith）提出的新概念。这一概念的提出，表明战后西方市场营销思想和战略进入了一个新的阶段。市场细分和目标市场营销已成为企业市场营销战略的一个核心内容，是决定企业营销成败的一个关键性的问题。

市场细分对企业有重要的意义，概括地讲有以下三个方面：

1．有利于企业发现和比较市场机会。

2．有利于企业有效地分配人、财、物力。

3．有利于企业自身的应变和调整。

第五篇：解答题标准答案（定稿）

解答题答案及评分标准（每题10分）

224n(1)n13n4343的敛散性，如收敛求其和。1.判断级数2n555nnn13解：4n收敛，(1)收敛，均为等比级数，n5n15n14n(1)n13n收敛，……………（5分）n5n134和S55

……………（10分）

81413551,2.讨论函数f(x)1,x为有理数,在[0,1]的可积性。

x为无理数;解：对区间[0,1]的任意分法T, 每个小区间既有有理数点又有无理数点..（3分）

若每个ξk均取为无理数:(T,)=f(k)xk=1

k1nn若每个ξk均取为有理数:(T,)=f(k)xk=-……………（6分）

k1（10分）于是当l(T)0,积分和(T,)极限不存在.故f(x)在[0,1]不可积.…3.求级数(n1)xn的和函数.n0解：收敛半径rlimann1, ………………（3分）

n1nn1设S(x)(n1)x，有S(x)dxnn00xnxx0a(n1)xdx

nn0(n1)xdxxn1x…………………（6分）

n00n01xS(x)x12 1x(1x)'于是有 112x3x24x3...(n1)xn...x(1,1)…（10分）(1x)2

4.求平面曲线2yx2与xy4所围区域的面积.12y2x解：解得交点(2,2),(4,8).…………………（3分）

yx4面积微元dAx41x22dx

…………………（6分）

2面积A42dA42xdx1xx412224x1x18（10分）

62345.设f(lnx)ln(1x)，求f(x)dx.xtln(1et)令tlnx,则xe,f(t)，于是………………………………解：（3分）

etln(1ex)f(x)dxdx

exln(1ex)dex

………………………（6分）

ln(1ex)exln(1ex)1xedxdex

xxxxe1eee1ln(1ex)xxxln(e1)C(e1)ln(1e)xC

…（10分）xe6.求曲线xy4,x1,x4,y0所围区域绕x轴旋转所成旋转体的体积.解：绕x轴旋转的旋转体的体积V(4x)dx

……………（5分）14212………………（10分）161x17.求曲线xy1,x0,y0所围区域的面积.解：面积微元dA1x2xdx

…………（5分）

面积AdA1x2xdxx1x24x1………（10分）0023061132418.已知函数f(x)的二阶函数f''(x)连续，求xf''(x)dx。解：xf''(x)dxxdf'(x)

………………（3分）

xf'(x)f'(x)dx

………………………（6分）

xf'(x)f(x)C

………………………（10分）

9.已知F(x)在[1,1]连续，在(1,1)内F'(x)11x2，且F(1)3,求F(x).2解：F(x)F'(x)dx又因为F(1)11x2dxarcsinxC

……………………（3分）

33，有arcsin1C,故C.…………..……（6分）22F(x)arcsinx

……………..…（10分）

x2y210.讨论函数f(x,y)22在原点的二重极限和二次极限。2xy(xy)0x4解：limf(x,y)lim20;limf(x,y)lim41，x0x0xx0x0xy0yx故二重极限不存在 ………………（5分）

由limf(x,y)x000，y0，可知limlimf(x,y)0

y0x0y2同理可知limlimf(x,y)0。

x0y0所以二次极限都存在且都等于0。

…………（10分）

n11.求级数x2在[1,1]上是否一致收敛.n1n解：0,pN,xC，npn1n2xxxun1(x)un2(x)unp(x)22...2(n1)(n2)(np)

(n1)12(n2)12...(np)12n(n1)(n1)(n2)11...(np1)(np)

…（5分）nx21,nN,pN,x[1,1],x于是有0,N2...(n1)(np)

n1np

n即级数x2在[1,1]上一致收敛.………………（10分）

n1nn12.求级数(1)n1xn的收敛域;逐项微分后所得级数的收敛域.n1an1n11n1,r11.解：llima1nln1nn当x1时级数为(1)n1n11,收敛；当x1时级数为1,发散

nnn1故收敛域1,1.……………（5分）逐项微分后幂级数(1)n1xn1，收敛半径r1,n1

当x1时级数一般项不趋于0，发散，故收敛域为-1,1.………………（10分）13.给定函数列xn, 0≤x < 1.（1）求极限函数;（2）研究xn在[0,1)上是否一致收敛.解：（1）f(x)limfn(x)limxn0

…………………（5分）

nn（2）limsupf(x)fn(x)limsupxn10，nxCnxC故xn在[0,1)上不一致收敛。

…………………（10分）

xn14.求的收敛半径和收敛域，并求和。

n1n(n1)axn解：对，llimn1，nann1n(n1)1(n1)(n2)lim1, n1n(n1)故收敛半径r11.……………（3分）

l且x1时级数均收敛，故收敛域为[1,1].………………（6分）

xn111S'(x)2ln(1x),(0x1)，xxn1(n1)

S(x)S'(t)dt10x1xln(1x),(0x1)x x00,1, x1和函数S(x)12ln2, x1

………………（10分）

11xln(1x),0x1xxtcostdt,x0，15.已知f(x)0

2x0x,(1)考察f(x)的连续性，写出它的连续区间;(2)考察f(x)在x0处是否可导，若可导求f'(0).解：（1）f(0)0,limf(x)0,limf(x)0，x0x0故f(x)在x0连续，连续区间为(,).………………（5分）

tcostdtf(x)f(0)0limlimxcosx0，（2）f(0)limx0x0x0xx'xx2f(0)lim0

x0x'（10分）故f(x)在x0处可导，f'(0)0.…………………(1)n1n()的收敛域。16.求级数 n1xn1解：用比值判别法.limnun1(x)un(x)limn11…………（3分）

nn11x1x(1)当11,1x1,即x0或x2时,原级数绝对收敛;…（5分）1x11,1x1,即2x0时,原级数发散;（7分）1x(2)当

(1)n收敛当x0时,级数nn1(3)当|1x|1,x0或x2,（9分）1当x2时,级数发散;n1n故级数的收敛域为(,2)[0,).…（10分）17.已知f(x)的一个原函数为sinx,求f(x)f(x)dx。

1xsinx解：设f(x)的一个原函数为F(x)，则

2sinxcosxsinxf(x)F'(x) (1xsinx)…………..……（3分）1xsinx于是f(x)f(x)dxf(x)df(x)

………..……（6分）

1f2(x)C

2(cosxsin2x)2C

……………（10分）2(1xsinx)418.讨论级数cosnx(0x)的绝对和条件收敛性。pnn1解：当p1时，级数绝对收敛，……………（3分）

当0p1，由Dirichlet定理知级数收敛，但cosnxnpcos2nx1cos2nx，np2np2np所以|cosnx|发散，即级数条件收敛，………………（7分）pnn1当p0时，级数的一般项不趋于0，所以级数不收敛 ……………（10分）

n19设|r|1，研究级数rcosnx的一致收敛性，并计算其和函数

n0S(x)在[0,2]上的定积分.nnn解：un(x)rcosnxr（常数），而r为收敛的正项级数，于是由M判别法知rncosnx在|r|1一致收敛.………………（3分）

n0 又因为每一项un(x)rncosnx在R连续，于是有和函数S(x)在0,2连续，且与可换序.…………（6分）

20S(x)dxrcosnxdxrncosnxdx2…………（10分）

nn00n00x12220.求函数F(x)dx在[1,2]上的最大值、最小值。2x1dxdx10,x[1,2] , 解：F'(x)dx12x12x1

……………（4分）f(x)在[1,2]上单增，最小值F(1)0, ……………….（7分）

最大值F(2)212d(2x1)dx11ln(2x1)22x1212x1211ln3。…（10分）221.讨论下列无穷积分的敛散性（如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛）1）1xarctanxsinxxcosxdx dx

2）dx 3）3101xx100x1）解：1sintsintsinxdxxt2tdt2dt 211xtt而1sintdt是条件收敛的。因此原积分条件收敛 t2）因为|u0cosxdx|2，而x在[0,)上单调趋向于0x，因此由狄利克

100x雷判别法知0xcosxxcos2x1xxcos2xxcosx|dx收敛。但是|

100x100x2100x100x100x0xxcos2xxcosxdx发散，dxdx为条件收敛 收敛。因此00100x100x100x

条件收敛

1xarctanx1|dx收敛。因此原积分绝对收敛 3）|，而11x32x22x222.讨论下列瑕积分是否收敛

1)2lnxxdx;2)dx.01lnxx1341lnxlnxx()limlim(4x4)0, 解：1）瑕点为x=0,lim1x0x0x0x4x1lnx3(p,0)故dx收敛

04x2）瑕点为x=1,lim(x1)x12xx1x(p1,1)故lim1,dx发散。1x1lnxlnxlnx

23.讨论下列级数的敛散性 (n!)2(i);(2n)!n1ii）2(1)2nn1iii)pn2n(lnn)

1）

un1[(n1)!]2(2n)!(n1)21limlimlim1,nun[2(n1)]!(n!)2n(2n1)(2n2)4nn所以收敛

2(1)n1limunlim1,所以收敛nn222）n3）由于积分

+2d(lnx)dudxpp2ln2up x(lnx)(lnx)p1时收敛，p1时发散，因此由积分判别法，级数p1时收敛，p1时发散24.判别dxx22x2的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值。

解：原式=0dxdxdxdx0x22x21(x1)201(x1)2 x22x20 =arctg(x1)0arctg(x1)0

25.判别1lnxdx的收敛性，如果收敛，则计算广义积分的值。xbblnxblim2lnxdlnxlim[(lnx)2]1

1bbx解：原式=lim故b11lnxdx发散 x26.讨论无穷限广义积分解：因为

1sinxarctanxdx的敛散性 x1sinxx在n[1,+上)有界，由阿贝尔判别法dx收敛，arctax1sinxarctxandx收敛。xsinxarctanxsinx但 ||||, x1,4xx1|sinx|dx发散，故有比较判别法知 x

1|sinxarctanxsinxarctanxdx为条件收敛 |dx发散，因此1xx