数列中有关证明问题（优秀范文五篇）

第一篇：数列中有关证明问题

数 列 有 关 证 明

一、证明数列是等差数列和等比数列

方法：⑴ 定义法：用 等差数列和等比数列的定义；⑵中项法：等差中项和等比中项．

1．已知数列{an}中，a11，an12an+2(nN)．

(1)求证数列nan是等差数列；（2）求数列{an}的前n项和为Sn． n12

2．已知数列{an}中，a12，an14an-3n+1(nN)．

（1）证明：数列{an-n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn；

（3）证明：对任意 nN，都有Sn14Sn．

3．已知数列{an}中，a1

（1）证明：数列

数 列 有 关 证 明第1页 2an2，an1(nN)． 3an11n1是等比数列；（2）求数列的前n项和为Sn． anan

4．数列{an}中，a11，an1112，bn(nN)． 4an2an

1（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求证：数列{an}中对任意nN，都有an1﹤an；

（3）设cn(2)n，问数列{cn}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？存在求出这三项，不存在说明理由．

5．已知数列{an}中，a11，a23，an23an1-2an．

（1）证明：数列{an1-an}是等比数列；（2））求an；

（3）若数列{bn}满足

4b11b4b21…4bn1(an1)bn，证明：数列{bn}是等差数列．

6．已知数列{an}的前n项和为Sn

n(a1an)，求证：数列{an}是等差数列．

2数 列 有 关 证 明第2页

7．等差数列{an}中，a26，a518，数列{bn}的前n项和为Sn=1bn1． 2

（1）求an；（2）求证：数列{bn}是等比数列；（3）求证：an1bn1anbn．

8．数列{an2

n}前n项和为Sn，a11，an1nSn．

证明：（1）数列{Sn

n}是等比数列；（2）Sn14an．

9．数列{aban

n}的前n项和为Sn，n2(b-1)Sn．

(1)证明：当b=2时，数列{a1

nn2n}是等比数列；

10．数列{an}的前n项和Sn=2an2n(nN)．

（1）求证：数列an12an是等比数列；（2）求an．

数 列 有 关 证 明第3页 2）求an．（11．数列{an}前n项和为Sn，a11，a26，a311，且（5n8）Sn1(5n2)Sncnd．

(1)求c、d的值；（2）证明：数列{an}是等差数列；

（3）证明：不等式amnaman1对任意m、nN都成立．

12．正项数列{an}、{bn}满足：a11，a22，bn=anan1，且{bn}是公比为q的等比数列．

（1）证明：an2anq2；（2）记cna2n12a2n，证明：数列{cn}是等比数列；

（3）求和：Tn111111． …a1a2a3a4a2n1a2n

二、证明数列中的等式和不等式

1．数列{an} 满足：an=n，n2k1，（kN）． a，n2k，k

（1）求值：a2a4a6…a14a16；

（2）若S2na1a2a3…a2n1a2n，求证：S2n4n1S2n1(n2)．

数 列 有 关 证 明第4页

2.已知点（1，1）是函数f(x)ax(a0,且a1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为 3

． f(n)c，数列{bn}(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn1=Sn+Sn1（n2）

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）若数列{10001的最小正整数n是多少? }前n项和为Tn，问Tn>2009bnbn1

xy1恒成立． 3．实数集R上的函数f(x)对任意x，y满足f(xy)f(x)f（y）

（1）求f(0)，f(1)的值；（2）设an=f(n)，bn1，求证：b1b2…bn4． 1an

4．数列{an}的前n项和Sn，a12，Sn14an2(nN)．

求证：（1）数列{an1-2an}是常数列；(2)

数 列 有 关 证 明第5页 a1na11a21…n． a21a31an112

5．已知数列{an}中，an=aan(n1)，记bnnn1，证明： 2an1an2nb1b2b3…bn2n3(nN)．

6．已知数列{an}中，a1a，an1

（1）判断数列2(2n3)an4n10(nN)． 2n1an2是否是等比数列； 2n1

1111…(n3)． S3S4Sn10（2）数列{an}的前n项和Sn，a11，证明：

a(an1)(a0，a1)． a1

2Sn（1）求an；（2）记bn1，若数列{bn}是等比数列，求a的值； an

111（3）在（2）中求得a值下，设cn，数列{cn}前n项和Tn，求证：Tn2n． 31an1an17.数列{an}的前n项和Sn

数 列 有 关 证 明第6页

第二篇：数列证明

数列证明

1、数列{an}的前n项和记为Sn，已知a11,an1（Ⅰ）数列{

2、已知数列an的前n项和为Sn,Snn2Sn(n1,2,3).证明： nSn}是等比数列；

（Ⅱ）Sn14an.n1(an1)(nN).3（Ⅰ）求a1,a2；

（Ⅱ）求证数列an是等比数列。

3、已知数列{an}的前项和为Sn，且满足an2SnSn10n2a11。21

○1 求证：是等差数列

；○2求an的表达式；

Sn

4、在数列an中，a12，an14an3n1，（n∈N*）。

（Ⅰ）证明数列ann是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn；

5、设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313。

（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列

an的前n项和Sn bn 2

6、已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11，⑴设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列； ⑵设数列cnan,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列； n2⑶求数列an的通项公式及前n项和。

7、已知数列{an}的前n项和为Sn，且anSnSn1(n2,Sn0),a1

（Ⅰ）求证：数列{

2.91}为等差数列； Sn8、已知数列{an}满足a11，an12an1

（1）求证：{an1}是等比数列

（2）求an的表达式和Sn的表达式

9、数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)．（Ⅰ）求数列an的通项an；（Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn．

第三篇：数列证明

数列——证明

1．已知a13且anSn12，(1)证明 数列公式.nSn是等差数列；（2）求Sn及an的通项n2

112.已知等比数列an的公比为q=-.（1）若a3，求数列an的前n项和；（Ⅱ）证明：

42对任意kN，ak，ak2，ak1成等差数列。

3.已知等比数列an中，a11an11（1）sn为数列an前n项的和，证明：sn,q，332

（2）设bnlog3a1log3a2log3an，求数列bn的通项公式.4.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b2、b4、b5(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式；(Ⅱ)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn是等比数列.5.在数列an中，a1=0，且对任意kN，a2k1,a2k,a2k+1成等差数列，其公差为2k.*54

（Ⅰ）证明a4,a5,a6成等比数列；（Ⅱ）求数列an的通项公式；

第四篇：数列求和问题

数列求和问题·教案

教学目标

1．初步掌握一些特殊数列求其前n项和的常用方法．

2．通过把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和问题，培养学生观察、分析问题的能力，以及转化的数学思想．

教学重点与难点

重点：把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和． 难点：寻找适当的变换方法，达到化归的目的． 教学过程设计

（一）复习引入

在这之前我们知道一般等差数列和等比数列的求和,但是有时候题目中给我们的数列并不是一定就是等比数列和等差数列,有可能就是等差数列和等比数列相结合的形式出现在我们面前,对于这样形式的数列我们该怎么解决,又该用什么方法?

二、复习预习

通过学习我们掌握了是不是等差等比数列的判断,同时我们也掌握也一般等差或者等比数列的一些性质和定义,那么对于题中给我们的数列既不是等差也不是等比的数列怎么求和呢,带着这样的问题来学习今天的内容

三、知识讲解 考点

1、公式法

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.1、等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d 22(q1)na1

2、等比数列求和公式：Sna1(1qn)a1anq

(q1)1q1qn113、Snkn(n1)

4、Snk2n(n1)(2n1)

26k1k1n15、Snk3[n(n1)]2

2k1n

考点

2、分组求和法

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例求和：Sn2351435263532n35n 解：Sn2351435263532n35n

2462n35152535n

4，6，，2n练习：求数列2，14181161，的前n项和Sn． 2n111{2n}，而数列是一个等差数列，数列n1是一个等比

2n12分析：此数列的通项公式是an2n数列，故采用分组求和法求解．

111111解：Sn(2462n)234n1n(n1)n1．

222222小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.考点

3、、倒序相加

类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。

这一种求和的方法称为倒序相加法.这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).例求sin21sin22sin23sin288sin289的值

解：设Ssin21sin22sin23sin288sin289„„„„.①

将①式右边反序得

Ssin289sin288sin23sin22sin21„„„„..②（反序）

又因为 sinxcos(90x),sin2xcos2x1

①+②得（反序相加）

2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89 ∴ S＝44.5

2x练习：已知函数fxx 22（1）证明：fxf1x1；

1（2）求f102f108f109f的值.10解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，1f1092ff10108f108f102f105f105f1 101令Sf109则Sf102f108f109f 101f 10两式相加得：

2S9

1f1099f9 所以S.210小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.考点

4、裂相相消法

把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似

（其中{an}是各项不为零的等差数列，c为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：

1，求它的前n项和Sn

n(n1)例、数列an的通项公式为an解：Sna1a2a3an1an

11111 122334n1nnn1111111111 =1

22334n1nnn11n n1n1小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.1针对训练

5、求数列 1111，,，的前n项和Sn.122332nn1练习：求数列112,1231,,1nn1,的前n项和.解：设annn11n1n（裂项）

1nn1则 Sn12312（裂项求和）

＝(21)(32)(n1n)

＝n11

作业：基本练习

2221、等比数列{an}的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则a12a2＝________________.a3an2、设Sn1357(1)n(2n1)，则Sn＝_______________________.3、111.1447(3n2)(3n1)

4、1111=__________ ...243546(n1)(n3)

5、数列1,(12),(1222),,(12222n1),的通项公式an，前n项和Sn 综合练习1、1222324252629921002＝____________；

2、在数列{an}中，an1，.则前n项和Sn；

n(n1)(n2)n2an(n1)(n2)，n3、已知数列{an}满足：a16，an1（1）求a2，a3；（2）若dn an，求数列{dn}的通项公式；

n(n1)

考点5错位相减

类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.若anbncn，其中bn是等差数列，cn是公比为q等比数列，令

Snb1c1b2c2bn1cn1bncn

则qSnb1c2b2c3bn1cnbncn1 两式相减并整理即得

例4 求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1„„„„„„„„„①

解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积

设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn„„„„„„„„„.②（设制错位）

①－②得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn（错位相减）

1xn1(2n1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x)∴ Sn 2(1x)小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{bn}的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和公式求和.2462n练习：

1、求数列,2,3,,n,前n项的和.22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积

222462n设Sn23n„„„„„„„„„„„„„①

222212462nSn234n1„„„„„„„„„„„„②（设制错22222位）

1222222n①－②得(1)Sn234nn1（错位相减）

222222212n2n1n1

22n2 ∴ Sn4n1

2、已知 ann2n1，求数列｛an｝的前n项和Sn.解：Sn120221(n1)2n2n2n1 ①

2Sn121222(n1)2n1n2n ②

②—①得

Snn2n120212n1n2n2n1

1352n13、6、,2,3,,n,;的前n项和为_________ 222264、数列{an}中, a11,anan1n1,nN*，则前n项和S2n=；

55、已知数列annn!，则前n项和Sn=；

小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列cn的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.

第五篇：数列问题练习

数列练习

1、(09重庆理)设a12，an1

2a2，nN*，则数列bn的通项公式bn．bnn

an1an1

1

2、（08江西理）在数列an中，a12,an1anln1，则an＝？

n

3、（10全国理）设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.24、（13江西理）正项数列{an}的前项和{an}满足：sn(n2n1)sn(n2n)0

（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn

5n1*

TnN，数列{b}的前项和为。证明：对于任意的，都有.Tnnnn22

64(n2)a5、（13广东理）设数列an的前n项和为Sn.已知a11,2Sn12

an1n2n, n33

nN*.(Ⅰ)求a2的值；(Ⅱ)求数列an的通项公式；

(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有

a1a2



17.an46、（12广东理）设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式．

7、（12江苏）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an1

bnb

1，nN*，求证：数列n

aann

anbnanbn，nN*，（1）设bn1



是等差数列； 

8、(11广东)设b>0,数列an满足a1=b，an

nban1

(n2)求数列an的通项公式；

an12n2，9、（10湖北理）)已知数列an满足: a1

131n121n， 21an1an1

aa

n

数列n10n1；

b满

n

足：bn =an12-an2（n≥1）.(Ⅰ)求数列an，bn的通项公式;

10、（11安徽）在数1和100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作Tn，再令anlgTn,n≥1.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bntanantanan1,求数列{bn}的前n项和Sn.